CC BY
197. Chizhonkov E. V. Numerical aspects of one stabilization method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2003. 18, N 5. 363-376.
8. Чижонков E.B. Об операторах проектирования для численной стабилизации // Вычисл. методы и програм. 2004. №5. 161-169.
Поступила в редакцию 07.09.2012
УДК 519.21
МАКСИМИЗАЦИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПОЛЕЗНОСТИ В ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЛЕВИ
М.Ю. Иванов1
В статье исследуются задачи максимизации логарифмической полезности и поиска эталонного портфеля в экспоненциальной модели Леви в терминах триплета . Ieisii Хинчина.
Ключевые слова: эквивалентная мартингальная мера, эквивалентная ст-мартингальная плотность, эталонный портфель, логарифмическая полезность, экспоненциальная модель Леви.
The problems of logarithmic utility maximization and finding the numéraire portfolio in an exponential Lévy model are studied in the paper in terms of Lévy-Khinchin triplet.
Key words: equivalent martingale measure, equivalent ст-martingale density, numéraire portfolio, logarithmic utility, exponential Lévy model.
1. Введение. В современной финансовой математике широкое распространение получила задача, в которой агент на финансовом рынке пытается с помощью инвестиций максимизировать ожидаемую полезность своего портфеля в конечный момент времени. Для случая полных рынков, когда множество мартингальных мер состоит из одной единственной меры, задача решена, в частности, в работе [1]. В работе Д. Крамкова и В. Шахермайера [2] рассмотрен вопрос максимизации ожидаемой полезности в общей модели неполных рынков, где цены активов являются семимартингалами. Исходная проблема решается с помощью двойственной задачи, где минимум берется по множеству супермартингальных плотностей, а не только мартингальных мер.
Одной из наиболее часто рассматриваемых функций полезности является логарифмическая. В этом случае оптимальный процесс капитала X * и решение двойственной задачи Y * связаны соотношением
X*Y* = 1. Таким образом, процесс 1/X* является супермартингальной плотностью; более того, он одно-
X*
портфелем, может существовать и в том случае, когда ожидаемая логарифмическая полезность равна +œ>. Эти и другие свойства эталонного портфеля в общей семимартингальной модели рынка были исследованы в работе [3].
Среди конкретных семимартингальных моделей рынка к наиболее распространенным можно отнести экспоненциальную модель Леви. Различные аспекты задачи максимизации полезности в этой модели рассматривались, например, в работах [4] и [5]. Задача максимизации логарифмической полезности для экспоненциальной модели Леви в предположении, что логарифмы процесса цен имеют неограниченно большие как положительные, так и отрицательные скачки, решена с помощью двойственного метода в работе Т. Р. Хёрда [6].
Цель настоящей работы состоит в более детальном изучении задачи максимизации логарифмической полезности и нахождении эталонного портфеля в экспоненциальной модели Леви. А именно все возможные случаи исследуются в терминах триплета Леви-Хинчина: приводятся условия, однозначно определяющие, задает ли решение двойственной задачи эквивалентную мартингальную меру, является ли оно мартингалом или супермартингалом.
2. Постановка задачи и основной результат. Введем модель семимартингального рынка с одним активом, следуя известным работам [2, 7, 8]. На вероятностном пространстве (Q, F, F,P), где фильтрация
1 Иванов Михаил Юрьевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: m_y_ivanov@mail.ru.
^ = )о<4<т непрерывна справа, рассмотрим семимартингал 5 с действительными неотрицательными значениями, у которого траектории непрерывны справа и имеют пределы слева на интервале времени [0, Т]. Он моделирует цену актива. Введем самофинансируемый портфель П как пару (х, Н), где константа х означает начальный капитал портфеля, а Н = {Н^ — предсказуемый процесс, интегрируемый по 5; Н интерпретируется как количество единиц актива в портфеле в момент Процесс капитала X = (X)о<^<т П
Обозначим через X (х) семейство процессов капиталов с начальным значением х, которые в каждый момент времени неотрицательны: X(х) = {XI ^ 0 : Хо = х}. В дальнейшем считаем X = X(1).
На нашем рынке присутствует агент, цель которого — максимизировать ожидаемую логарифмическую полезность актива в конечный момент времени:
Так как X (x) = xX, то задачу достаточно решить для x = 1. Искомый портфель в случае конечного u(x) также называют log-оптимальным. Для определенности в дальнейшем термин "log-оптимальный" мы
x=1
Решение задачи (1) в общем случае найдено в работе [9]. Более общим является понятие эталонного (numéraire) портфеля.
Определение 1. Портфель X* G X является эталонным, если P (inft X* > 0) = 1 и для любого X G X отношение X/X* есть супермартингал.
В работе [3] показано, что при условии NFLVR (см. ниже) и в предположении конечности u(x) log-
1/X*
решением двойственной задачи к (1) в смысле Крамкова-Шахермайера. Разумеется, возможна ситуация, когда эталонный портфель существует, a u(x) = +œ>.
Напомним известные условия, характеризующие степень отсутствия арбитража на рынке: 1) условие NA выполнено тогда, когда не существует такого XX G X, что P(Xt ^ 1) = 1 и P(Xt >
2) условие МиРВИ выполнено тогда, когда набор случайных величин (Хт)хех ограничен по вероятности, т.е. 8ирхех Р(Хт > п) = 0;
3) условие МРЬУИ выполнено тогда, когда не существует такой последовательности портфелей (Хп)пШ, Хп е X, что Р(Х'П ^ 1 — 5п) = 1 для некоторой ^^^^^^^щей последовательности 5п I 0 и Р(Х'П > 1 + е) > е для некоторого е > 0.
Нетрудно убедиться (см. [10]), что условие МРЬУЫ эквивалентно одновременному выполнению МА и
Определение 2. Мера Q ~ P называется
эквивалентной мартингальной мерой (EMM), если процесс цены S является мартингалом по Q; эквивалентной а-мартингал^^^й ^рой (Е^^^^ если процесс цены S является а-мартингалом по Q, т.е. представим в виде S = 1 + J KdM, где K — предсказуемый процесс, a M — мартингал;
эквивалентной супермартингальной мерой (ESMM), если любой процесс X GX является супермар-Q
Очевидно, что EMM есть ЕстММ, и нетрудно убедиться, что ЕаММ есть ESMM. Определение 3. Процесс D, для которого D0 = 1,P(inft Dt > 0) = 1, называется эквивалентной ст-мартингадьной плотностью (Е^^^^ если D есть локальный мартингал, a SD — а-мартингал;
эквивалентной супермартингальной плотностью (ESMD), если для любого X GX процесс XD является супермартингалом.
аа
а
немедленно следует, что портфель X* G X эталонный, если 1/X* есть ESMD.
Фундаментальный результат Ф. Делбаена и В. Шахермайера [7] состоит в том, что NFLVR эквива-аа
различаться).
В свою очередь в работе И. Каратзаса и К. Кардараса [10] было показано, что условие NUPBR эквивалентно существованию ESMD и влечет существование (а значит, эквивалентно существованию)
а
u(x) = sup E[ln(XT )].
x ex (x)
(1)
1) > 0;
NUPBR.
В нашей работе мы изучаем случай, когда цена актива есть стохастическая экспонента процесса Леви: S = E(L), где AL > —1. Эта модель называется экспоненциальной моделью Леви. Любой процесс Леви однозначно определяется своим триплетом (B,C,vL), в одномерном случае он имеет вид
Bt(w) = bt, Ct(w) = ct, vL(w,dt,dx) = dtv(dx).
Здесь константы b,c (c ^ 0) и мер a v, такая, что f(1 A x2)dv < ж, однозначно определяются из представления Леви-Хинчина характеристической функции
где мы полагаем h(x) = xlДля экспоненциальной модели Леви все вышеприведенные условия оказываются эквивалентными. Более того, имеет место следующее предложение.
Предложение. Для экспоненциальной модели Леви следующие условия эквивалентны:
1) существует хот,я, бы одна, EMM, по которой L — процесс Леей;
2) существует хот,я, бы одна, EMM;
;
;
;
6) процесс L не является монотонным или L = 0.
В многомерном случае эквивалентность этих условий доказана Кардарасом (см. теоремы 3.7, 4.5 и замечание 3.8 в [12]). В одномерном эквивалентность некоторых доказана ранее в работах [13-16]. Для условия 6 напомним, что L является монотоиным тогда и только тогда, когда либо c = 0,v[x < 0] = 0,b — f xl^^v(dx) ^ 0 либо c = 0, v[x > 0] =0,b — f xl^^v(dx) ^ 0 (см. [17]).
L
фель X* и Y* = 1/X* есть ESMD. С другой стороны, существует EMM, по которой L — процесс Леви. Оказывается, что имеет место ровно одна из следующих ситуаций:
1) Y* есть супермартингал, но не локальный мартингал (и, значит, не есть EaMD и не задает ESMM);
2) Y* есть мартингал (и, значит, задает ESMM), но не является EaMD. Таким образом, соответствующая ESMM не есть ЕаММ (и, значит, не есть EMM);
Y* L
Точная характеризация этих случаев в терминах триплета (b, c, v) — основная цель данной работы. В случае когда логарифмы процесса цен имеют неограниченно большие как положительные, так и отрицательные скачки, задача рассмотрена в [6].
Введем множество C = {p : v{x : (1 + px) < 0} = 0}. Когда v L есть скачки, то C можно записать в более явном виде. Когда скачки ограниченны, обозначим через [А, 7] минимальный отрезок (либо точку), содержащий supp(v). В случае наличия неограниченных скачков — это полупрямая [А, 7), 7 = Нетрудно проверить, что £ — замыкание (M,N), где
1
M =
при 0 < 7 < +оо, 7
—ж при 7 ^ 0, 0 при 7 = +ж;
N = < А
при А < 0, +ж при А ^ 0.
Величины М и N связаны соотношением —оо +оо.
Обозначим через ^ и следующие выражения:
x2 / x
Fl=cN-b+ ,, _--v(dx)~ -^v(dx),
J\xHi\0-/N)+x\ Jx>il + Nx
x'2 / x
F2 = cM -b+ / „ _--v(dx) - / -^v(dx).
J\x\^i \{l/M) + x\ Jx>\ 1 + Mx
При подсчете значений этих выражений пользуемся правилами: 0 -те = 0, 1/те = 0, 1/0 = те. Нетрудно заметить, что все интегралы определены, так как подынтегральные выражения имеют постоянный знак в supp(v).
Теперь сформулируем основной результат. Все используемые неравенства допускают сравнение и бесконечные значения в одной из своих частей.
Теорема. В экспоненциальной модели Леей на конечном интервале времени [0, T] для процесса Y* = 1/X*, где X* — эталонный портфель, справедливы следующие утверждения.
1. Процесс Y* задает, EMM при выполнении любого из трех нижеследующих условий:
(г) Ъ + fx>1 XI/(dx) > 0, Fi ^ 0 при N < +оо, Fx > 0 при N = +оо;
(ii) b + fx>1 xv(dx) = 0;
(in) b + f 1 xv(dx) <0, F2 ^ 0 при M > —00, F2 < 0, при M = —00.
2. Процеcc Y* является мартингалом, но не EaMD (и, следовательно, не задает, ЕаММ), когда, выполнено
b+ xv(dx) < 0, Ж = 0.
Jx> 1
3. Проце cc Y * есть супермартингал, но не локальный мартингал, когда имеет место одно из двух условий:
(г) Ь + fx>1 xv(dx) > 0, Fi < 0, N < +00; (ii) b + fx>1 xv(dx) < 0,F2> 0, -оо < Ж < 0.
Отметим, что во всех случаях, не покрытых в теореме, процесс L будет монотонным и эталонного портфеля не существует.
Данную теорему можно сформулировать и тогда, когда S = E(L), но отсутствует ограничение AL > — 1, а также при S = L. Рассуждения в доказательстве поменяются соответствующим образом, более подробно об этом будет написано в конце п. 3.
3. Доказательство теоремы. Сразу оговорим, что далее, когда не указано иное, мы пользуемся обозначениями из монографии Ж. Жакода и А.Н. Ширяева [18]. Наша основная задача заключается в нахождении кандидата на роль эталонного портфеля X* и в проверке того, что X/X* есть супермартингал для любого X G X. При этом достаточно ограничиться случаем, когда X > 0 и X- > 0. Действительно, если X = 1 + Н ■ S, то можно взять последовательность Хп = 1 + Нп ■ S, где Нп = Щц^Н. Поскольку Хп ^ ^ и Х™ сходятся по вероятности к Xt для всех t, то из того, что Хп/Х* есть супермартингал для каждого и, следует, что X/X* является супермартингалом.
Начиная с этого момента считаем, что X > 0, X- > 0. Для такого X удобнее пользоваться другим представлением. А именно так как X = 1 + H - S, то, полагая H = (HS-)/X-, получим
1 + X-H - L = 1 + HS- - L = 1 + H - S = X.
Х
Х = Е(Н • Ь). (2)
Верно и обратное: если Х представим в виде (2) и Х > 0, Х- > 0, то Х е X. В частности, мы будем искать эталонный портфель в виде Е (Н* • Ь).
В дальнейших рассуждениях через ць обозначаем меру скачков процесса Ь. Лемма 1. Если Х = Е(Н • Ь), где Х > 0,Х- > 0, то Н е С dPdt п.в. Доказательство. Из (2) следует, что для п.в. ш
Хг = Х- + Х- Нг^Ьг = Х- (1 + Н4ДЬ4)
при всех откуда 1 + НгДЬг > 0. Значит,
я/ 1[1+Иг(Ш)х<0] ^lL(ш,dt,dx) =°.
Отсюда следует, что
EJJ 1[1+Я4(ш)х<0] V ^х^ = 0, поэтому V(х : 1 + Нг(ш)х < 0) = 0 dPdt п.в. Значит, то определению Н е С dPdt п.в. Лемма доказана.
Определим для у £ С функцию
Р(у) = су-Ъ+ [ - [ —^—(3)
у ! У|*|<1 1 +ух у ; Л>1 1+ух У ; 1 ;
В следующей лемме 2 будет, в частности, показано, что функция Г корректно определена и может принимать значения +ж и —ж только в граничных точках С.
Лемма 2. Функция Г (у) обладает, следующими свойствами:
1) -Р(у) конечна в (М,Ж);
2) Г (у) непрерывна и монотонно возрастает в С;
3) Р(у) = =
4) если Г (у) конечна, то интегралы, входящие в Г (у) также конечны.
Доказательство. Слагаемое су — Ь в (3) непрерывно и монотонно. Третье и четвертое слагаемые обозначим через /3(у) и /4(у):
/* ух2 [ X
Ш = / , ТТ^^' /4(у) = /
./ ж <1 1 + ух .)х> 1 1 + ух
/|я|<1 1 + 2/ж" 7Ж>1 1 + уж
По определению процесса Леви
V{°} = 0, х2и(йх) < ж, V(йх) < ж. (4)
J\x\<1 <У Х>1
Рассмотрим 1з(у)- Из определения (£, М,И следует, что для любых у £ (М,Ж) и ж € 8ирр(г/) выполнено 1 + ху ^ £о(у) > 0. То есть при х £ вирр^) знаменатель подынтегрального выражения ограничен снизу, и это означает вместе с (4), что /3(у) < ж для любого у £ (М, Ж).
Теперь покажем, что /4(2/) < сю для любого у £ (М, ТУ). Если у > 0, то из (4) имеем
1 [ х 1 [ 1а{у) = ~ 1-1у(с1х) ^ - / 1у(с1х) < оо.
У Л>1 ^ + ж у Л>1
Если же М < 0, то числитель подынтегрального выражения в /4(у) будет ограничен, так как 7 < +ж. Знаменатель ограничен снизу в силу рассуждений, проведенных для /3 (у). Значит, 1а(у) < С (у) /Х>1 V (йх) < ж, гДе С (у) — константа. Таким образом, мы показали, что /з(у) и /а(у) определены и конечны для любого у £ (М,Ж). При возрастании у подынтегральное выражение в /3 не убывает, а в /4 не возрастает. Поэтому по теореме о монотонной сходимости интегралы /3 и /4 будут непрерывны и монотонны по у на интервале (М, ТУ). Отсюда заключаем, что функция Р(у) конечна, непрерывна и монотонно возрастает по у в (М,Ж). Из теоремы о монотонной сходимости также вытекает свойство 3, что в свою очередь влечет свойство 2.
В граничных точках функция Г может принять бесконечное значение в том случае, когда либо у точки, являющейся нижней или верхней границей вирр^), есть ненулевая мера, либо плотность меры V недостаточно быстро убывает при подходе к ней. Предположим, что 1 ^ N < +оо. Тогда подынтегральное выражение /4 для у = N ограничено при х > 1, значит, ^(Х) < оо. Пусть — оо < М ^ 0, рассмотрим случаи в зависимости от значения М. Если М ^ — 1, то 14(М) = 0, так как 1/(1, +оо) = 0. При —1 < М ^ 0 знаменатель подынтегрального выражения /з(М) ограничен снизу величиной 1 + М, значит, |/з(М)| < ж. Из наших рассуждений вытекает, что во всех случаях хотя бы один из интегралов /3,/ конечен. Следовательно, если функция Г конечна, то и эти оба интеграла конечны, что доказывает свойство 4. Лемма доказана.
Опишем кратко идею, лежащую в основе выбора эталонного портфеля. С помощью формулы Иора Е(У)Е(^) = Е(У + 2 + [У, 2]) можно записать в случае существования отношение двух стохастических экспонент в виде
АУ
£{Х)/£{У) = £(г), г = х-у-[хс-ус,ус}-^2-(5)
Применив формулу (5) к X, X*, получим, что соответствующий процесс 2 имеет вид
" Н*х '
2 = (Н — И*) ■ Ь'(Н*),Ь'(И*) = Ь — ! сН*йЬ —
1 + И *х"
* ¡1.
В предположении, что члены, входящие в Z, являются специальными семимартингалами, предсказуемый процесс ограниченной вариации из канонического разложения специального семимартингала Z можно представить следующим образом: f(H* — H)F(H*)ds. Если функция F обращается в нуль в C, то естественно положить процесс Н* равным ее корню. Иначе она будет либо отрицательна, и тогда мы берем Н* = N, либо положительна, и тогда берем Н* = М. В силу леммы 1 значения процесса (Н — Н*) будут одного знака. Во всех случаях F(H*)(H* — H) ^ 0 и Z есть локальный супермартингал.
Теперь проведем более подробные рассуждения. Найдем случаи, когда v F есть корень. При b + !х>1 xv(dx) = 0 очевидно выполнено F(0) = 0. Если выражение b + fx>1 xv(dx) строго положительно или равно бесконечности, то либо F(0) < 0, либо F(0) = —те и F(xo) < 0 для всех достаточно малых xo > 0. Функция F монотонна и непрерывна. Поэтому уравнение F (у) = 0 имеет корень в C в том и только в том случае, когда
lim F(y) = F\ ^ 0 при N < +оо, lim F(y) = F\ > 0 при N = +оо.
■y-tN- y-tN-
Остался случай b + fx>i xv(dx) < 0. Тогдa F(0) > 0, и опять в силу монотонности и непрерывности корень в C есть в том и только в том случае, когда
lim F(y) = F2 ^ 0 при М > —те, lim F(y) = F2 < 0 при М = —те.
2/-J-M+ 2/-J-M+
F
При наличии корня положим процесс H* равным его значению и покажем, что 1/E(H* • L) задает EMM. По лемме 2
f H*x2 f x
/ 1-Tridv <00, / --——du < те. (6)
J\xHi 1 + xH* Jx>i 1 + H x
Также 1 + H*AL > 0 Из этого следует, что определено выражение 1/E(H* • L), и мы можем записать по формуле Иора
1 - Е (~H*L + H*2[Lc, Lc] + J2- {H*AL)2 ^
Е(Н* • Ь) у ' ^ 1 + Н*ДЬу '
Преобразуем выражение под экспонентой в правой части этого равенства, добавив и вычтя интегралы из (6), умноженные на tH*:
х 2
Ь[ := -Н*и + Н*2сЬ + Н*2-^^ * =
х2
= -Н*Ы - Н*Ц + Н*2сЬ - Н*к * [ць - уь\ — Н*(х — К) * {¡1Ь)г + Я*2 * =
1 + Н *х
= И-пну - н-ц - ^ . Ы - пН - , - =
H *x
Нетрудно убедиться, что процесс Ь' имеет детерминированный однородный триплет, тогда по следствию II.4.19 работы [18] он является процессом Леви. К тому же он является локальным мартингалом.
Е(Ь')
задает вероятностную меру. С помощью теоремы Гирсанова для семимартингалов [18, теорема III.3.24]
ЬЬ Леви и, более того, мартингалом по новой мере, откуда получаем, что Е(Ь') задает ЕММ и Е(Н* • Ь) есть эталонный портфель.
Теперь предположим, что ^ не имеет корня. Пусть выражение Ь + /х>1 xv^х) строго положительно или равно бесконечности. Если у Ь есть отрицательные скачки (и[—1, 0] ф 0), то N < +те и = < 0.
То есть мы находимся в случае 3 (г) теоремы. В рассматриваемой ситуации положим Н* = N. Ниже будет показано, что при таком выборе Н* Е(Н* • Ь) будет эталонным портфелем.
Если отрицательных скачков у Ь нет (г/[—1,0] = 0), то N = +оо. Условие отсутствия корня у Р, равносильное в данной ситуации тому, что Fl ^ 0, запишется как с = 0 и Ь — 1/|х|<1 xv^х) ^ 0, т.е. процесс Ь
Проведем аналогичные рассуждения, когда 6 + /х>1 хи(йх) < 0. Если г/(0,+оо) ф 0, то М > —ж и = ^(М) > 0. При этих предположениях положим II* = М. Ниже будет показано, что при таком выборе Я* £(Н* ■ Ь) будет эталонным портфелем. Если же и(0, +оо) = 0, т.е. М = — оо, то условие ^ 0 эквивалентно условиям с = 0 и Ь — ^Х\<1 xv(йх) < 0, что означает монотонность Ь.
Таким образом, при отсутствии корня у Г мы определили значение И * в тех оставшихся случаях, которые отвечают безарбитражному рынку. Покажем, что именно X* = Е(И* ■ Ь) будет эталонным портфелем. Рассмотрим произвольный строго положительный процесс X £ X. Предположим сначала, что Н Н*
Г (И *) < ж, что влечет (6), согласно лемме 2. Кроме того, 1 + И *АЬ > 0 п.н., поэтому определено отношение Е(И ■ Ь)/Е(И* ■ Ь), и мы можем записать его с помощью (5):
' = г (н ь - н- ■ ь - [я ■ г - я- ■ ь-, н' ■ ы - V (н - ) .
£(Н* ■ Ь) ^ 1 7< +Н*АЬ )
Обозначим через 2 процесс, стоящий под знаком стохастической экспоненты в правой части последнего равенства. Тогда
2 = I (И — И * )Ьйв + J И * (И * — И )сйв + (И — И *) ■ Ьс + (И — И *)(х — Ь) * ¡ь+ + (Я - Н*)1г * (рь - иь) + {Н\~+Н^*Х2 * /Ц = = /(#*- Я)(сЯ* - Ъ)йз + (Я - Я*) ■ Ьс + (Н^ * Иь+ + (Я - Н*)1г * (рь - иь) + {Н\~+Н^*Н2 * иь-
(И* — И)
проинтегрированные от 0 до Ь:
г= [(Н*- Н)(сН* - Ъ)(1з - (я* - Я) • ьс + {н ^У * {¡ль - иь)+ J 1 + И *х
+ /(Я ~Я)(/*|<1 1+хН*йи~ !х>1 1 + Н*хйи)й8 = = _(# * — Н) ■ Ьс — * Ы ~иь) + 1{Н* "
Обозначим
N = -(Я* -Н)-Ьс- * Ы ~ УЬ\ Б = |(Я* -
тогда 2 = N + В. Из ограниченности И * и И следует, что N является локальным мартингалом, в то время как (И * — И )Г (И *) < 0 в силу выбора И * и леммы 1. Поэ тому В представляет собой убывающий процесс. Значит, 2 есть локальный супермартингал, откуда получаем, что и Е(2) есть локальный супермартингал. Ввиду своей неотрицательности Е(2) будет просто супермартингалом.
Для произвольного процесса И рассмотрим последовательность Ип = И1 \нТак как А(Ип ■ Ь) = ИпАЬ = 1 \н\<пА(И ■ Ь) > —1 то в силу доказанного Е(Ип ■ Ь)/Е(И* ■ Ь) — супермартингал. Поскольку Ип ■ Ь = 1 \н\<п ■ (И ■ Ь) сходится по вероятности к И ■ Ь равномерно по Ь [18, теорема 1.4.31], то из явного
вида стохастической экспоненты нетрудно получить, что Е(Ип ■ Ь)ь — Е(И ■ Ь)ь для любого Ь. Таким
Е(И ■ Ь)/Е(И* ■ Ь) И*
Для того чтобы убедиться в справедливости теоремы 1, осталось выяснить, когда при отсутствии корня у Г процесс У * будет локальным мартингалом, и показать, что тогда он не ЕаМБ. Рассмотрим введенный выше процесс 2 при И = 0. Тогд а У * = Е (2) и 21 = N1 + ЬИ *Г (И *), откуд а Уь = Е (N1 )екь, к = И*Г(И*) < 0. Так как ЕN) — строго положительный локальный мартингал, то У будет локальным
мартингалом только в случае к = 0, т.е. при Н* = М = 0. Покажем, что тогда Y* = 1 не является KrrMI). Для этого необходимо проверить, что процесс цены S не а-мартингал. Поскольку в рассматриваемом случае b + fx<1 xvdx < 0, то L является супермартингалом, но не мартингалом. Значит, S = E(L) не является локальным мартингалом и в силу неотрицательности — ст-мартингалом.
Сформулируем два дополняющих теорему 1 утверждения, которые вытекают из полученных результатов. Первое из них непосредственно следует из доказательства теоремы.
Утверждение 1. Капитал эталонного портфеля имеет вид X* = E(aL), где а л,ибо является корнем уравнения F(a) = 0; либо равно N или М.
Утверждение 2. Для логарифмической функции полезности log-оптимальный портфель существует тогда и только тогда, когда существует эталонный портфель X* и E ln XT < те. В этом случае log-оптимальный портфель совпадает с эталонным. Если эталонный портфель существует, то условие Е 1пХ£, = +оо эквивалентно тому, что J (\nxtx>i)dv = те, М = 0 и b + fx>1xv(dx) > 0.
Доказательство. Пусть эталонный портфель существует. Для всех X EX выполнено неравенство 0 ^ E(Xt/XT) ^ 1. Применим к нему неравенство Иенсена: E ln(Xy/XT) ^ 0. Полагая X = 1, получим E ln XT ^ 0. Предположим сначала, что E ln XT < +те. Тогда E ln XT конечно и E ln Xt ^ E ln XT для любого X E X, т.е. X* есть log-оптимальный портфель. Если E ln XT = +те, то очевидно, что log-оптимального портфеля не существует, более того, существует бесконечно много портфелей с бесконечной логарифмической полезностью. Действительно, X* представим как X* = 1 + H* ■ S, где H* = 0, отсюда видно, что для любого в е (0,1) процессом H® = 0H* определяется портфель Xе, v которого E ln XT = +те.
Далее, предположим, что эталонного портфеля не существует. Как уже было замечено, это равносильно тому, что L монотонно не возрастает либо не убывает, что будет верно и для S, кроме того, L ф 0. Если S возрастает, то E ln XT> — те для Xn = 1 + n(S — 1) EX. Значит, log-оптимального портфеля нет. Для убывающего случая все аналогично.
Пусть X* = E(H* ■ L) есть эталонный портфель. Из следствия II.8.16 работы [18] вытекает, что L = ln X * есть процесс Леви с мер ой Леви V, которая является об разом v при отображении x — ln(1+H * x). Как мы показали ранее, ELt ^ 0, поэтому конечность ELt эквивалентна сходимости интегралов
Если Н* < 0, то 1 + Н*х < 1 — Н*, откуда следует конечность правого интеграла в (7). Пусть Н* > 0, что, как следует из доказательства теоремы, имеет место тогда и только тогда, когда Ь + /х>1 xv^х) > 0. Если скачки Ь ограничены сверху, то интеграл, очевидно, тоже конечен. Если же 7 = +те, то М = 0, и сходимость правого интеграла в (7), очевидно, эквивалентна сходимости интеграла /(1пх1 x>l)dv. Утверждение доказано.
В заключение рассмотрим случаи, когда 5 = Е(Ь), но отсутствует ограничение ДЬ > — 1, и 5 = Ь. При 5 = Е(Ь), ДЬ = —1 во всех местах интеграл по х > 1 следует заменить на интеграл по \х\ > 1, в остальном же утверждения 1, 2 останутся в силе. Что касается теоремы, то п. 2 теоремы следует дополнить случаем Ь + XV(йх) > 0, N = 0, а в п. 3 (г) условие N < +оо поменять на 0 < N < +оо, в остальном же формулировка останется прежней. Если же допустить, что V({—1}) > 0, то процесс 5 обратится в нуль с положительной вероятностью в момент т = т!: ДЬг = —1} и останется постоянным после
Х
т, и, значит, не всякий процесс Х, представимый в виде (2), лежит в X. Откуда следует, что капитал эталонного портфеля записывается как
где H* находится, как и раньше. Значит, утверждение 1 соответствующим образом поменяет свой вид, утверждение 2 и теорема не изменятся.
При S = L любой процесс X G X с X > 0,X- > 0 может быть записан в виде E(H - L). Откуда следует, что теорема и утверждения 1, 2 сохранят тот же вид, что и в случае S = E(L), AL = —1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Karatzas I., Lehoczky J.P., Shreve S.E. Optimal portfolio and consumption decisions for a "small investor" on a finite horizon 11 SIAM J. Control Optim. 1987. 25. 1557-1586.
2. Kramkov D., Schachermayer W. The condition on the asymptotic elasticity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. 1999. 9, N 3. 904-950.
(7)
X* = E(H* • L)tAr = E(H*1 [o)T] • L)t,
3. Becherer D. The numéraire portfolio for unbounded semimartingales // Finance Stochast. 2001. 5. 327-341.
4. Essche F., Schweizer M. Minimal entropy preserves the Levy property: how and why // Stochast. Proc. Appl. 2005. 115, N 2. 299-327.
5. Jeanblanc M., Klöppel S., Miyahara Y. Minimal f ^-martingale measures for exponential Lévy processes // Ann. Appl. Probab. 2007. 17. 1615-1638.
6. Kurd, Т.К. A note on log-optimal portfolios in exponential Lévy markets // Statistics and Decisions. 2004. 22. 225-236.
7. Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Ann. 1998. 312, N 2. 215-260.
8. Kallsen J. Optimal portfolios for exponential Lévy processes // Mathematical Methods of Operations Research. 2000. 51. 357-374.
9. Göll T., Kallsen J. A complete explicit solution to the log-optimal portfolio problem // Ann. Appl. Probab. 2003. 13. 774-799.
10. Karatzas I., Kardaras C. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stochast. 2007. 11. 447-493.
11. Takaoka K. On the condition of no unbounded profit with bounded risk // Graduate School of Commerce and Management. Hitotsubashi University, 2010. Working Paper N 131; http://hdl.handle.net/10086/18812.
12. Kardaras C. No-free-lunch equivalences for exponential Lévy models under convex constraints on investment // Math. Finance. 2009. 19. 161-187.
13. Eberlein E., Jacod J. On the range of options prices // Finance Stochast. 1997. 1. 131-140.
14. Jacubénas P. On option pricing in certain incomplete markets // Proc. Steklov Inst. Math. 2002. 237. 114-133.
15. Cherny A. S., Shiryaev A.N. Change of time and measure for Lévy processes // Lectures for the Summer School "From Lévy processes to semimartingales: Recent theoretical developments and applications in finance". Aarhus, 2002.
16. Селиванов A.B. О мартингальных мерах в экспоненциальных моделях Левн // Теория вероятностей и ее применения. 2004. 49, № 2. 317-334.
17. Sato K.-I. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge: Cambridge University Press, 1999.
18. Jacod J., Shiryaev A.N. Limit Theorems for Stochastic Processes. 2nd ed. N.Y.: Springer, 2003.
19. Jacod J. Calcul stochastique et problèmes de martingales. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1979.
Поступила в редакцию 24.09.2012
УДК 519.95
ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ СЛОЖНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
С. Б. Гашков1
Получены точные по порядку квадратичные и чуть более высокие оценки сложности вычисления некоторых линейных преобразований схемами в базисе {x + y}"0{ax : |a| ^ C}, состоящем из операции сложения и скалярных умножений на ограниченные константы, а также верхние оценки O(n log n) для сложности вычисления в базисе, состоящем из всех линейных функций {ax + by : a,b g К}. Нижние оценки вида ©(nlogn) получены для базиса из всех монотонных линейных функций {ax + by : a,b > 0}.
Ключевые слова: биномиальное преобразование, преобразования Стирлинга, преобразование Лаха, треугольник Паскаля, треугольник Паскаля по простому модулю, матрица Серпинского, матрица Адамара-Сильвестра, треугольники Стирлинга 1-го и 2-го рода, коэффициенты Гаусса, коэффициенты Галуа, сложность вычисления, схемы в базисах из арифметических и линейных операций.
Quadratic and superquadratic estimates are obtained for the complexity of computations of some linear transforms by circuits over the base {x + y}^{a,x : |a| < C} consisting of addition and scalar multiplications on bounded constants. Upper bounds O(n log n) of computation complexity are obtained for the linear base {ax + by : a,b g R}. Lower bounds ©(n logn) are obtained for the monotone linear base {ax + by : a,b > 0}.
1 Гашков Сергей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sbgashkovQgmail .com.
