Скейлинг газосодержащих породных массивов Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 004.942;001.57;539.3;552.08;549.08;552.12

СКЕЙЛИНГ ГАЗОСОДЕРЖАЩИХ ПОРОДНЫХ МАССИВОВ

© 2012 г. Р.К. Халкечев

Московский государственный Moscow State Mounting

горный университет University

Исследуется газосодержащий породный массив на предмет скейлинга. Установлено, что для получения газосодержащего породного массива необходимо использовать два последовательно сменяющих друг друга алгоритма построения, каждый из которых генерирует паттерн (минеральный и горнопородный уровни). Разработанные алгоритмы определения характерного размера и полученные решения сохраняют свой вид при преобразованиях - переходе из одного уровня на другой, следовательно, данные алгоритмы и решения обладают двумя показателями скейлинга. Эти выводы позволяют доказать, что газосодержащий породный массив является мультифракталом.

Ключевые слова: газосодержащий породный массив; мультифрактал; математическое моделирование; скейлинг; характерный размер; паттерн.

In the presented work, it is investigated a gassy rock mass on a subject of scaling. During research it is established: 1) for reception of a gassy rock mass it is necessary to use consistently replacing two each other algorithm of construction, each of them generates a pattern (mineral and mountain geological material levels); 2) the developed algorithms of definition of the characteristic size and the received decisions keep the kind at transformations - transition from one level on another, Therefore, the given algorithms and decisions possess two indicators of scaling. The given conclusions allow to prove that a gassy rock mass is a multifractal.

Keywords: gassy rock mass; multifractal; mathematical modeling; scaling; characteristic dimension; pattern.

Фракталы неизмеримо расширили наши возможности описания природы. Абстрактные конструкции, связанные с именами Бернардо Больцано, Георга Кантора и Джузеппе Пеано, снабдили нас моделями реальности гораздо более реалистичными, чем вся евклидова геометрия целочисленных показателей. Однако в физике и геологии, в особенности при изучении породных массивов, мы сталкиваемся со многими явлениями, требующими расширения понятия фрактала на сложные структуры с более чем одним показателем скейлинга (масштабной инвариантностью). Такого рода расширенные фракталы, характеризуемые целым спектром показателей, принято называть мультифракталами.

Докажем, что газосодержащий породный массив является мультифракталом, а следовательно, для его исследования необходимо использовать мультифрак-тальный подход при математическом моделировании. Для этого рассмотрим составляющие породного массива, при условии исследования механических свойств, и проверим его на скейлинг.

Действительно, породный массив складывается из различных горных пород. Горные породы формируются из минералов. В свою очередь, минералы складываются из зерен, а зерна - из совокупности атомов. Таким образом, породный массив удобно представить в виде системы, состоящей из трех уровней: минеральный (совокупность зерен); горно-породный (совокупность минералов); породно-массивный (совокупность горных пород). При наличии газа в породном массиве на каждом уровне можно наблюдать

газовые включения, совокупность которых в зависимости от размера может формировать дополнительные уровни.

Рассмотрим минеральный уровень. Минеральный уровень образуется из случайно ориентированных зерен в пространстве. Таким образом, на минеральных уровнях стохастическая неоднородность связана с ориентацией, размером структурных единиц минерала (зерна). В общем случае, чтобы установить инвариантность структуры относительно какого-либо преобразования, необходимо совершить это преобразование и затем сравнить преобразованную структуру с исходной. В случае точного совпадения, что возможно в кристаллах, констатируем инвариантность относительно данного преобразования. Однако в случае стохастических структур, обусловленных случайной формой и ориентацией структурных единиц минерала, очевидно, нет точного совпадения; необходимо использовать приближенный метод. Для того чтобы в случае стохастических структур можно было применять такое важное понятие, как скейлинг, необходимо расширить представление о симметрии, допуская не точную инвариантность, а приближенную, которую оценивают с помощью того или иного критерия согласия.

Итак, мы имеем стохастическую структуру минерального уровня. Это обусловлено физическим процессом - кристаллизацией из расплава или раствора со случайным полем зародышей кристаллизации, что и определяет стохастичность формы и ориентации зерен минерала. Параметром G структуры минерала,

содержащей всю информацию о геометрических особенностях, может служить совокупность характеристик

G = {г,,р,(Ф),у,}, I = 1,2,...,п ,

где г - совокупность радиус-векторов зародышей кристаллизации; р, (ф) - набор функций, которые описывают форму 1-го зерна в полярной системе координат, связанной с вектором г; у, - характеристики ориентации отдельного зерна.

Пусть G = {£■} - множество параметров, соответствующих ансамблю структур, возникающих из-за случайного положения центров кристаллизации и ориентации осей зерна, а F(G) - функция распределения. При таком изучении структуры функцию распределения построить не удается. Эта задача допускает решение, если рассматривать плоскую структуру, считать форму зерен одинаковой и заданным распределением поля зародышей кристаллизации [1] (рис. 1).

\ VA \ s

1 V^ 1 \ к /

-1-J

/\ у—

Рис. 1

Масштаб инвариантности изучим с помощью трансляций I. Параметр структуры G подвергается преобразованию

где t - преобразование в виде сдвига.

В результате получим параметр новой структуры G0 = tG , соответственно, построим функцию распределения F множественных структур

G0 = 0} = . Сравним преобразованные структуры [ F (tG)] с исходными [ F с помощью критерия согласия х2:

X2 ^у (О), Fv ^)} = х, V). (2)

Точное совпадение может иметь место в идеальных кристаллах. Значение х2 зависит от объема V , а также от величины и направления трансляции t. Если (х2)п - нормативное значение критерия для выбранного уровня значимости, тогда сдвиг на величину t, для которых х^, V) < (х2)п не меняет статистических свойств структуры G, т. е. изучаемая структура

статистически инвариантна по критерию х2 относительно указанных преобразований. Таким образом, мы имеем обобщенное понятие однородности х2 -однородность, введенное для стохастических структур минерального уровня породного массива.

Для трех степеней свободы и уровня значимости

а = 0,05 нормативное значение х = 7,815 [2]. Анализ зависимости х2(У), указанный критерий и определение статистической однородности позволяют считать значения 6 • d наименьшим значением характерного размера.

Рассмотрим горно-породный уровень (совокупность минералов). Он может иметь различную текстуру. Данный уровень, в подавляющем большинстве своем, складывается из полиминеральных горных пород и руд «однородной» или «массивной» текстуры [3]. Таким образом, при переходе от реального объекта к содержательной модели, данный уровень состоит из п включений, каждое из которых соответствует минералу.

Разобьем рассматриваемый уровень на ячейки типа Вороного, которые получаются следующим образом: надо провести векторы, соединяющие центр данного включения с центрами соседних, и через середины векторов перпендикулярно к ним восстановить плоскости. В результате имеем структуры с ячейками типа Вороного. Таким образом, мы получим стохастические композиции структур, разбитые на ячейки типа Вороного, которые схематически изображены на рис. 2.

Рис. 2

Эти ячейки уже нельзя считать регулярными и идентичными ячейкам Вороного в кристаллах. Однако поскольку каждый из них содержит по одинаковому включению, полученная ячейка не может слишком сильно отличаться от симметричной ячейки Вороного того же объема. Если теперь этими ячейками мы можем покрыть весь рассматриваемый объем V соответствующего уровня, то мы имеем масштабную инвариантность внутреннего строения данного уровня.

В рудных же телах и некоторых горных породах мы не можем покрыть весь рассматриваемый объем ячейками типа Вороного. Для одних это удается сделать только для некоторой части. Для других частей приходится строить свои ячейки, поэтому для данного уровня имеем сложную структуру с более чем одним показателем скейлинга.

tG^ {trl, рг (ф),уг}, i = 1,2,...,n , (1)

Итак, мы имеем случайную структуру горнопородного уровня, обусловленную стохастичностью величины соответствующей площади минералов, попавших в ячейку Вороного.

За параметр структуры горно-породного уровня примем случайную величину £ - площадь включений, попавших в ячейку Вороного. Тогда множество Я^, где I = 1,2,3,...,п, может пониматься как выборка значений случайной величины Я. Параметр Я подвергнем преобразованию трансляции t типа (1). В результате получаем новую структуру горнопородного уровня tЯ. Затем сравниваются преобразо-

2

ванные структуры с исходными с помощью % критерия и выясняется, можно ли выборки Я^ и tЯi считать извлеченными из одной и той же совокупности. Если примем п = 4, то число степеней свободы будет на единицу меньше п -1, или 3. Пусть уровень значимости а = 0,05 . Тогда по таблице (см. [2]) можно найти, что при трех степенях свободы и уровне вероятности 0,950 значение %2 = 7,815 . В данном случае выражение (2) имеет вид

%2 ^ (Я), Fv ^Я} = %2(Й), (3)

а нормативное значение %2р = 7,815 .

Учитывая принятый критерий согласия (3), а также то, что при трансляции, для которых %2 >%а = 7,815, изучаемая структура статистически инвариантна по принятому критерию, производя анализ зависимости %2 от I, находим наименьшее значение характерного размера, равного 6 • h .

Рассмотрим породно-массивный уровень (совокупность горных пород). Данный уровень складывается из различных горных пород и руд. Одной из основных черт породного массива является высокая степень неоднородности. Кроме неоднородностей, характерных для горных пород и руд, - границы раздела между структурными (зерно) и текстурными (минералами) единицами; неравномерность распределения минералов - в массиве встречается неоднородность, обусловленная границей раздела между различными горными породами (рудами), и неоднородность, обусловленная неравномерным распределением последних. Второй вид неоднородности не позволяет покрыть весь объем массива пород ячейками типа Вороного. Действительно, породный массив не включает в себя большое число образований, многократно повторяющихся одинаковых звеньев (горных пород, руд), групп

Поступила в редакцию

(совокупность горных пород, руд) и составных единиц. Отсюда следует, что скейлинга у породно-массивного уровня не существует.

При наличии газа в породном массиве на каждом уровне можно наблюдать газовые включения. Рассмотрим, как данные газовые включения формируют дополнительные уровни для породного массива.

При наличии газовых включений на минеральном уровне может реализоваться один из трех дополнительных уровней. Первый наблюдается в случае, когда газовые поры в зернах распределены равномерно. Второй реализуется в случае неравномерного распределения газовых пор. И третий уровень наблюдается в случае, когда построение уровня осуществляется генерированием «блоками», представляющими собой совокупность зерен с газовыми включениями равномерного и неравномерного распределений. Характерный размер таких «блоков» равен 6 • d .

Аналогичная ситуация наблюдается и при переходе на следующий - горно-породный уровень. А именно: можно наблюдать один из трех дополнительных уровней. Данные уровни идентичны предыдущим, с той лишь разницей, что вместо зерна с порой наблюдаем минерал с газовым включением. Таким образом, имеем следующие паттерны: уровень с равномерным распределением газовых включений в минералах; уровень с неравномерным распределением и уровень, являющийся композицией двух последних.

Итак, мы можем заключить, что породный массив является мультифракталом, поскольку: 1) для получения породного массива необходимо использовать два последовательно сменяющих друг друга алгоритма построения, каждый из которых генерирует паттерн (минеральный и горно-породный уровни); 2) сравнивая алгоритмы определения характерного размера структурных составляющих минерального и горнопородного уровней, а также полученных решений, приходим к выводу, что они сохраняют свой вид при преобразованиях - перехода из одного уровня на другой, следовательно, данные алгоритмы и решения обладают двумя показателями скейлинга.

Литература

1. Кендал К. Моран П. Геометрические вероятности. М., 1966. 267 с.

2. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М., 1985. 272 с.

3. Текстуры и структуры руд / А.Г. Бетехтин [и др.]. М., 1958. 396 с.

7 сентября 2011 г.

Халкечев Руслан Кемалович - канд. физ.-мат. наук, докторант, кафедра «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет. Тел. (8652)362763. E-mail: [email protected]

Khalkechev Ruslan Kemalovna - Candidate of Physico-Mathematical Science, doctoral candidate department «Physics of geological materials and processes», Moscow State Mounting University. Ph. (8652)362763. E-mail: [email protected]