CC BY
17
- © Р.К. Халкечев, 2015
УДК 004.942; 331.45
Р.К. Халкечев
ПЕРКОЛЯЦИОННАЯ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ ГАЗОСОДЕРЖАЩЕГО ПОРОДНОГО МАССИВА КАК ОСНОВА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВНЕЗАПНОГО ВЫБРОСА ПОРОД И ГАЗА
Разработана математическая модель, позволяющая исследовать любой газосодер-жащий породный массив на предмет реализации динамического проявления в виде внезапного выброса пород и газа. Исследование на предмет перколяции в данной модели осуществляется по разрушению отдельных элементов согласно разработанным критериям, учитывающим наличие включений с группой нечувствительности, совпадающей с унимодулярной группой.
Ключевые слова: математическая модель, соляной пласт, выбросоопасная область, поле напряжений, поле давлений.
Л ля выполнения оперативных мер по защите от внезапных выбросов пород и газа требуется хорошо налаженная система прогноза таких чрезвычайных ситуаций. Интеллектуальным ядром такой системы могут и должны быть математические модели геоматериалов реальной структуры относительно деформационных свойств и полей напряжений, полностью определяющие дальнейшее разрушение с последующей потерей устойчивости, что обеспечит уменьшение последствий техногенных катастроф в горных выработках и шахтах.
Анализ результатов исследований по данной проблеме показывает, что многочисленные аналитические и численные исследования с применением ЭВМ, как правило, выполняются в рамках механики деформируемого твердого тела. Разработанные математические модели геоматериалов в рамках механики деформируемого твердого тела - это упрощенные модели, которые недостаточны для целей исследования: выявление механизма возникновения, и на этой основе осуществление прогноза внезапных выбросов пород и газа. В них используется недопустимая идеализация (породный массив рассматривается как упругое тело, состоящее из бесструктурных частиц), приводящая к неадекватным математическим моделям. По этой причине на основе работ [1, 2] разработаем перколяционную мультифрактальную математическую модель, лишенную выше обозначенного недостатка. С целью оперативного использования полученных результатов на практике, построение модели будем производить в алгоритмическом виде, с помощью нотации Д. Кнута [3].
Алгоритм Adeb
ДёеЬ1. [Построить трехмерную перколяционную решетку, соответствующую выбросоопасной области исследуемого соляного пласта как газосодержащего породного массива]. Для исследуемого соляного пласта определить выбросоо-пасную область и аппроксимировать ее многогранником. Разбить данный многогранник на одинаковые кубики, объем каждого из которых равен среднему объему зерна соляного пласта.
ДёеЬ2. [Определить элементы множества К]. Для каждого кубика из исследуемой трехмерной перколяционной решетки сопоставить параметр г = (х, у, z, X) где х, у, z - координаты центра кубика; X - индикатор разрушения, определяемый следующим образом:
Г1, если кубик разрушен
0, в противном случае .
В результате получим множество К = |г2, г2,... гп} (п - общее количество кубиков в рассматриваемой решетке), описывающее рассматриваемую трехмерную перколяционную решетку.
ДёеЬ3. [Определить подмножества Ь1, ^2,... Ln множества К]. Разделить трехмерную решетку на совокупность слоев параллельных плоскости УОЕ. Каждому такому слою сопоставить двухмерную перколяционную решетку, описываемую подмножеством Ь.:
= [г : х = И1}, г е Я, 1 = 1... т ,
где Ь. - набор значений, указывающих соответственно на координаты центра кубика по оси ОХ; т - количество слоев в направлении плоскости УО2 в рассматриваемой трехмерной перколяционной решетке.
{Шаги 4-11 определяют комплексный порог перколяции в исследуемой трехмерной перколяционной решетке.}
ДёеЬ4. [Р0-^0,01]. Вероятности разрушения Р0 зерна с газонаполненной порой присвоить значение, равное 0,01.
ДёеЬ5. [^1]. Установить счетчик 1 количества подмножеств равным 1.
ДёеЬ6. [Для двухмерной решетки, описываемой подмножеством Ь., произвести компьютерный эксперимент]. Произвести компьютерный эксперимент для двухмерной решетки, описываемой подмножеством Ь.. Этот эксперимент заключается в следующем.
Вначале все квадраты рассматриваемой двухмерной перколяционной решетки установить в состояние «свободно от трещины» и закрасить в белый цвет, при этом г. = /(г., 0), ] = 1...т, г.еЬ., /(г., 0) - функция, возвращающая элемент г. с присваиванием индикатору разрушения X этого элемента значения, равного 0. .
Далее, для каждого квадрата из рассматриваемой решетки с помощью генератора равномерно распределенных случайных чисел сгенерировать случайное число Р от 0 до 1. Если полученное значение Р окажется меньше вероятности разрушения Р0, то квадрат переходит в состояние «занято трещиной» и закрашивается в черный цвет, при этом гк = /(гк, 1), к = 1...т, гке^, /(гк, 1) -функция, возвращающая элемент гк с присваиванием индикатору разрушения X этого элемента значения, равного 1. В противном случае, квадрат сохраняет свое состояние - «свободно от трещины».
ДёеЬ7. [В двухмерной решетке, описываемой подмножеством Ь., существует объединенный бесконечный кластер?]. Исследовать элементы подмножества Ь. на предмет наличия объединенного бесконечного кластера, состоящего из одного горизонтального и двух вертикальных бесконечных кластеров. Если такой кластер в двухмерной решетке, описываемой подмножеством Ь., существует, то перейти к шагу 8, иначе к шагу 11.
ДёеЬ8. [1<т?]. Если счетчик 1 количества подмножеств меньше т, то перейти к шагу 9, иначе к шагу 10.
ДёеЬ9. [2^2+1?]. Увеличить счетчик i количества подмножеств на 1. Перейти к шагу 6.
ДёеЬ10. [РС-^Р0]. Комплексному порогу перколяции Рс присвоить значение вероятности разрушения Р0. Перейти к шагу 12.
ДаеЬ11. [Р0^Р0+ 0,01]. Увеличить вероятность разрушения Р0 на 0,01. Перейти к шагу 5.
{Шаги 12-35 определяют текущее значение вероятности разрушения в исследуемой трехмерной перколяционной решетке.}
ДёеЬ12. [Рко^0]. Текущему значению вероятности разрушения Рко присвоить значение, равное 0. (гв) (гв)
Д
УеЬ13. [Определить < р > ]. Определить среднюю величину давления < р > в газовых макровключениях выбросоопасной области.
ДёеЬ14. [дД^0]. Присвоить количеству состояний цД, при которых происходит разрушение зерна с порой посредством поля напряжений, значение равное 0.
ДёеЬ15. [дБ^0]. Присвоить количеству состояний цв, при которых происходит разрушение зерна посредством поля давлений, значение 0.
(е1ш) (еШэ) (еШ1) ((еЛШд)
ДёеЬ16. [Определить С , С , С , С , С ]. С помощью мультифрак-тальных математических моделей природных мультифрактальных объектов относительно деформационных свойств и полей напряжений [1, 2] определить эффективные тензоры модулей упругости соляного пласта и составляющих его геоматериалов. {ш{) ш) (Шд)
ДёеЬ17. [Определить Ф (х - х') и Ф (х - х') ]. Построить функцию Ф (х - х') , задавшись конкретной моделью случайного поля неоднородностей в виде природных мультифракталов четвертого порядка в среде, соответствующей природному мультифрактальному объекту пятого порядка сложности. Анало-
(Ш!)
гичным образом построить функцию Ф (х - х').
(0Шд) (0Шд)
ДёеЬ18. [Определить а ]. Определить внешнее поле напряжений а , действующее на соляной пласт в целом как на природный мультифрактальный объект пятого порядка сложности.
(0Шд)
а
[ к
(п) С
(по (1п!)Л-
1+ В- С I
Ы) (1п!)Л
< I I + В - С I >-1 I I + Н - С
Л п) ( -< С II
(шо (1Ш!)
(п!) (1п!)
+ В- С
(п)
> < с)
(по (1п!)Л-1
1+ В- С I >х
1 (Ш!) (Ш!)
I + - Г К (х - х') - Ф (х - х')с1х' п 1
(Шд) (1Шд)
XI I + Н - С
1 (Шд) (Шд)
I + - Г К (х - х') - Ф (х - х')с1х' п
(е!(Шд)
■ С'
-
(п) а [ к ]
, при
(0Шд) (0Шд)
к = 1...^; а ^ ЛУв( а [1,..,.
ДёеЬ19. [Определить стр]. Определить для зерен из выбросоопасной области предел прочности стр на растяжение.
Л1еЬ20. [ф^—0]. Присвоить углу ф значение равное 0. ДёеЬ21. [9-^0]. Присвоить углу 9 значение равное 0. Л1еЬ22. [у-^0]. Присвоить углу у значение равное 0.
х
(п)
Л1еЬ23. [Определить ст (ф,9, у) ]. Определить значение тензора напряжений в зерне как природном фрактале на основе следующего выражения:
(п) ст
(п/) ( (п/) (1п/) у1 (п/) ( (п/)
(ф,9,у) ^ С(ф,9,у) 11+ В- С (ф,9,у) I < С(ф,9,у) 11+ В х
(1п/) Л-1^ , ^ (п/) ( (п/) (1п/) Л-1 ( (п/)
С (ф, 9, у) I > < С (ф, 9, у) I I + В - С (ф, 9, у) I >< I I + В х
(1п/) л-1^ 1 ( (ы )л-1 х С (ф, 9, у) I >-1 I 1+ Н - С I -
1 (Ы) (Ы)
I + - Г К (х - х') - Ф (х - х')6х' п 1
( ы аы)л х I I + Н - С I
1 ,(тя) (Ы)
I + - Г К (х - х') - Ф (х - х'),х' п
(вЛшя) (0Ыя) - С ст
(п)
(п/)
(П)
ДёеЬ24. [ ст22(ф, 9, у) > стр или ст33(ф, 9, у) > стр ?]. Если компонента ст22(ф, 9, у)
(п)
или ст33(ф, 9, у) превышает или равна пределу прочности зерна ст на растяжение, то перейти к шагу 25, иначе к шагу 26.
Л1еЬ25. [чД^чД+1]. Увеличить число состояний qД на 1.
ДёеЬ26. [Определить поле давлений p8ii в зерне с ориентацией (ф, 9, у)]. Определить pSii в зерне с ориентацией (ф, 9, у) на основе следующего выражения:
( (п/т) ( (п/) ЛЛ-1
1к1тп+ в к1ря
р8* (ф, 9, у) ^ роГ]к'
( (п/) ; Л-1 (п/) х\Ст^ (ф, 9, у) I ст, (ф, 9, у)
р01рятп- Срятп(ф, 9, у)
Л1еЬ27. [p > 1/5стр?]. Если давление p в поре, находящейся в зерне с ориентацией (ф, 9, у) больше 1/5 от предела прочности на растяжение стр, то перейти к шагу 28, иначе к шагу 29.
ДёеЬ28. ^в-^[в+1]. Увеличить число состояний qB на 1. Л1еЬ29. [у = 2п?]. Если у = 2п, то перейти к шагу 31, иначе к шагу 30. ДёеЬ30. [у^у+тс/12]. Увеличить величину угла у на п/12. Перейти к шагу 23. ДёеЬ31. [9 = 2п?]. Если 9 = 2п, то перейти к шагу 33, иначе к шагу 32. Л1еЬ32. [9^9+п/12]. Увеличить величину угла 9 на п/12. Перейти к шагу 22. Л1еЬ33. [ф = 2п?]. Если ф = 2п, то перейти к шагу 35, иначе к шагу 34. ДёеЬ34. [ф^ф+п/12]. Увеличить величину угла ф на п/12. Перейти к шагу 21.
Л1еЬ35. [ РК0 ^ Яа + Яв ]. Текущему значению вероятности разрушения Рко,
присвоить значение
Я А + '
(число возможных состояний w отдельного зерна
с газонаполненной порой в рамках рассматриваемого алгоритма равно 13 824).
{Шаги 36-38 определяют, безопасен ли соляной пласт по требованию к вы-бросоопасности или нет}
Л1еЬ36. [РК0>РС?]. Если текущая вероятность разрушения Рко больше или равна комплексному порогу перколяции Рс, то перейти к шагу 37, иначе к шагу 38.
Л1еЬ37. [ Вывод: «На момент исследования, рассматриваемый соляной пласт небезопасен на предмет динамического проявления»].
ДёеЬ38. [ Вывод: «На момент исследования, рассматриваемый соляной пласт безопасен на предмет динамического проявления»].
Л1еЬ39. [Конец]. Выполнение алгоритма прекратить.
_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Халкечев К.В., Халкечев Р.К. О свойствах математической модели: эллипсоидальная неоднородность в упругой среде // Горный информационно-аналитический бюллетень. Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2011. - № 12. - С. 18-22.
2. Халкечев Р.К. Теоретические основы мультифрактального моделирования труднофор-мализуемых объектов // Горный информационно-аналитический бюллетень. Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2013. - № 9. - С. 8-16.
3. Кнут Д. Искусство программирования, т. 1. Основные алгоритмы. - М.: Вильямс, 2002. - 720 с. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_
Халкечев Руслан Кемалович - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: syrus@list.ru, МГИ НИТУ «МИСиС».
UDC 004.942; 331.45
PERKOLATED MULTIFRACTAL MATHEMATICAL MODEL OF DESTRUCTION OF THE GAS-CONTAINING ROCK MASS AS THE BASIS FOR FORECASTING OF SUDDEN EMISSION OF BREEDS AND GAS
Khalkechev R.K., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, e-mail: syrus@list.ru, Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.
In the presented article the mathematical model allowing to investigate any gas-containing rock mass regarding realization of dynamic phenomena in the form of sudden emission of breeds and gas is developed. Research regarding a percolation in this model is carried out on destruction of separate elements according to the developed criteria considering existence of inclusions with group of the insensitivity coinciding with unimodular group.
Key words: mathematical model, hydrochloric layer, rock outburst area, field of tension, field of pressure.
REFERENCES
1. Khalkechev K.V., Khalkechev R.K. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. Special edition). 2011, no 12, pp. 18-22.
2. Khalkechev R.K. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. Special edition). 2013, no 9, pp. 8-16.
3. Knut D. Iskusstvo programmirovaniya, t. 1. Osnovnye algoritmy (Искусство программирования, vol. 1. Основные алгоритмы), Moscow, Vil'yams, 2002, 720 p.
A
