Перколяционная мультифрактальная математическая модель разрушения жидкостьсодержащего породного массива как основа для прогнозирования схода оползней Текст научной статьи по специальности «Математика»

- © Р.К. Халкечев, 2015

УДК 004.942; 331.45

Р.К. Халкечев

ПЕРКОЛЯЦИОННАЯ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ ЖИДКОСТЬСОДЕРЖАЩЕГО ПОРОДНОГО МАССИВА КАК ОСНОВА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СХОДА ОПОЛЗНЕЙ

Разработана математическая модель, позволяющая исследовать любой жидкость-содержащий породный массив на предмет реализации динамических проявлений в виде оползней. Порог перколяции в данной модели связан с деформационными свойствами и формированием поля напряжений в исследуемом объекте. Ключевые слова: модель, перколяция, разрушение, поле напряжений, поле давлений.

В работе [1] представлены математические модели, позволяющие определить напряженно-деформированное состояние породного массива как природного мультифрактального объекта, содержащего включения с группой нечувствительности, совпадающей с унимодулярной группой. Используя данные работы, разработаем перколяционную математическую модель, позволяющую определить, безопасен ли исследуемый жидкостьсодержащий породный массив по требованию к реализации динамического проявления в виде оползня. Поскольку рассматриваемый объект исследования относится к классу трудноформализуемых, то разработку математической модели будем производить в алгоритмическом виде, используя нотацию Д. Кнута [2].

Алгоритм Ade|

Аае11. [Пронумеровать каждое оползневое тело в жидкостьсодержащем породном массиве]. Определить оползневые тела в составе исследуемого жид-костьсодержащего породного массива. Каждому оползневому телу присвоить номер от 1 до Мот, где Мот - общее количество оползневых тел в исследуемом жидкостьсодержащем породном массиве.

Аёе12. [/^1]. Счетчику / оползневых тел в исследуемом жидкостьсодержащем породном массиве присвоить значение, равное 1.

{Шаги 3-39 определяют, реализовалось ли необходимое условие для проявления локальной и глобальной неустойчивости /-го оползневого тела.}

Аёе13. [Построить трехмерную перколяционную решетку, соответствующую области растягивающих напряжений /-го оползневого тела]. Для исследуемого /-го оползневого тела определить область частично растягивающих напряжений. Разбить полученную область на одинаковые кубики, объем каждого из которых равен среднему объему зерна области растягивающих напряжений.

Аёе14. [Определить элементы множества К]. Для каждого кубика из исследуемой трехмерной перколяционной решетки сопоставить параметр г = (х, у, z, X) где х, у, z - координаты центра кубика; X - индикатор разрушения, определяемый следующим образом:

[1, если кубик разрушен

к = <

у 0, в противном случае

В результате получим множество Я = |г1, г2,... гп| (п - общее количество кубиков в рассматриваемой решетке), описывающее рассматриваемую трехмерную перколяционную решетку.

Дёе|5. [Определить подмножества в1, в2,... вп множества Я]. Разделить рассматриваемую трехмерную перколяционную решетку на совокупность слоев параллельных плоскости ZOX, описываемую подмножествами в:

G¡ = {г : у = Ь}, г е К, 1 = 1.. k ;

где Ь. - набор значений, указывающих соответственно на координаты центра кубика по оси ОУ; к - количество слоев в направлении плоскости ZOX в рассматриваемой трехмерной перколяционной решетке, соответствующей области частично-растягивающих напряжений.

{Шаги 6-13 определяют порог перколяции вдоль склона в исследуемой трехмерной решетке, соответствующей области частично-растягивающих на-пряжений|

Дёе|6. [Рш^0,01]. Вероятности разрушения Рш зерна с наполненной жидкостью порой в области растягивающих напряжений присвоить значение, равное 0,01.

Дёе|7. [^1]. Установить счетчик 1 количества подмножеств равным 1.

Дёе|8. [Для двухмерной решетки, описываемой подмножеством в., произвести компьютерный эксперимент]. Произвести компьютерный эксперимент для двухмерной решетки, описываемой подмножеством в.. Этот эксперимент заключается в следующем.

Вначале все квадраты рассматриваемой двухмерной перколяционной решетки установить в состояние «свободно от трещины» и закрасить в белый цвет, при этом гь = /(гь, 0), Ь = 1...к, гьев., Дгь, 0) - функция, возвращающая элемент гь с присваиванием индикатору разрушения X этого элемента значения, равного 0.

Далее, для каждого квадрата из рассматриваемой решетки с помощью генератора равномерно распределенных случайных чисел сгенерировать случайное число Р от 0 до 1. Если полученное значение Р окажется меньше вероятности разрушения Рш, то квадрат переходит в состояние «занято трещиной» и закрашивается в черный цвет, при этом гц = Дгц, 1), и = 1...к, гиев., Дгц, 1) -функция, возвращающая элемент гц с присваиванием индикатору разрушения X этого элемента значения, равного 1. В противном случае, квадрат сохраняет свое состояние - «свободно от трещины».

Дёе|9. [В двухмерной решетке, описываемой подмножеством в., существует бесконечный кластер вдоль склона?]. Исследовать элементы подмножества в. на предмет наличия бесконечного кластера вдоль склона. Если такой кластер в двухмерной решетке, описываемой подмножеством в., существует, то перейти к шагу 10, иначе к шагу 13.

Д^Ю. [1<к?]. Если счетчик 1 количества подмножеств меньше к, то перейти к шагу 11, иначе к шагу 12.

Д^И. [1<—1+1?]. Увеличить счетчик 1 количества подмножеств на 1. Перейти к шагу 8.

Дае|12. [РСД-^РШ]. Порогу перколяции РСД вдоль склона присвоить значение вероятности разрушения Рц/. Перейти к шагу 14.

Лае113. [Рш-^Рш+ 0,01]. Увеличить вероятность разрушения Рш на 0,01. Перейти к шагу 7.

{Шаги 14-37 определяют текущее значение вероятности разрушения Ркш в исследуемой трехмерной перколяционной решетке, соответствующей области частично растягивающих напряжений оползневого тела}

Лёе114. [Ркш^0]. Текущему значению вероятности разрушения Ркш присвоить значение, равное 0. (жв- чрн)

Лёе115. [Определить < р > ]. Определить среднюю величину давления

(жв-чрн)

< р > в наполненных жидкостью макровключениях области частично растягивающих напряжений.

{Здесь и далее сочетание «-чрн» в помете параметров, тензоров и функций указывает на то, что они характеризуют объекты в области частично растягивающих напряжений.}

Лёе116. [дЛ^0]. Присвоить количеству состояний цЛ, при которых происходит разрушение зерна с порой посредством поля напряжений, значение равное 0.

Лёе117. [дБ^0]. Присвоить количеству состояний цв, при которых происходит разрушение зерна посредством поля давлений, нулевое значение.

(вЬт-чрн) (в^Б-чрн) (efmt-чрн) (вЬш(-чрн) (вЬшд-чрн)

Лёе118. [Определить С , С , С , С , С ]. С помощью мультифрактальных математических моделей, приведенных в работе [1], определить эффективные тензоры модулей упругости области частично растягивающих напряжений в целом и составляющих ее геоматериалов.

(т/ - чрн) (ту-чрн)

Лёе119. [Определить Ф (х - х') и Ф (х - х')]. Определить функцию

(ту-чрн)

Ф (х - х'), задавшись конкретной моделью случайного поля неоднородно-стей в виде горных пород в среде, соответствующей области частично растягивающих напряжений оползневого тела. Аналогичным образом определить

(т/ - чрн)

функцию Ф (х - х').

(0tmq-чрн) (0Ьпд-чрн)

Лёе120. [Определить а ]. Определить внешнее поле напряжений а , действующее на область частично растягивающих напряжений оползневого тела.

чрн)

а [и]<

(п{- чрн)

с

(п{- чрн) (1 п{- чрн)

I + в

с

( п{- чрн)

< с

(п{- чрн) (1 п{- чрн)

I + в

с

>

( П - чрн)

: < С

' (п{- чрн) (1 п{- чрн)

I + в

(- чрн) (1 - чрн)

I + н

с

(Шд-чрн) (1Шд-чрн)

I + н

с

(гйшд-чрн) \ 1 (П- чрн) (0тц-чрн) (0тц- чрн)

х С' | а [и] , при и = 1...^; ^ АУО{ а [1,..,ц])

С

><

' (п{- чрн) (1 п{- чрн)

I + в

С

>-1 X

1 (- чрн) (- чрн)

I + - К (х - х') • Ф (х - х')Сх' п :

1 -(Шд- чрн) (Шд- чрн)

I + - К (х - х') • Ф (х - х')ёх'

П 1

(чрн)

Дёе|21. [Определить ст р ]. Определить для зерен из области частично рас-

(чрн)

тягивающих напряжений предел прочности ст р на растяжение. Дёе|22. [ф^—0]. Присвоить углу ф значение равное 0. Дёе|23. [9-^0]. Присвоить углу 9 значение равное 0. Л1е|24. [у^0]. Присвоить углу у значение равное 0.

(П - чрн)

Дёе|25. [Определить а (ф,9,у)]. Определить значение тензора напряжений в зерне на основе следующего выражения:

(П - чрн)

(П- чрн)

а (ф, е, ^) ^ с (ф, е, ^)

( п{- чрн) (1 п{- чрн)

I + в

\

( п{- чрн)

с (ф, е, у) I < с (ф, е, у) х

/

(П - чрн) (1П- чрн)

I + В ■ С (ф, 0, V) I >-1 < с (ф, 0, V)

(1л/ - чрн)

1

( п{ - чрн)

^ (п(- чрн)

I + В X

ч

С (ф,0,V) I >•<

1

/

(л/- чрн) (1 л/- чрн)

I + в

С (ф, 0, у) I >

V

1

/

-1

(Ш/- чрн) (1т/- чрн)

I + Н

С

1 - чрн)

(- чрн)

I + - [ К (х - х') • Ф (х - х')ёх' п ;

1 Ату-чрн) (Шд-чрн)

I + - К (х - х') • Ф (х - х')ск'

П 1

-1 /

(тд-чрн) (1ímq- чрн)

I + Н

С

(чрн) (0 Шд-чрн)

• С а

(П -чрн)

СТ33 (ф,6, у) >ст ?]. Если компонента

(П -чрн)

Дае|26. [ ст22 (ф, 6, >стр или

(п/-чрн) (Ы-чрн)

ст22 (ф, 6, у) или ст33 (ф, 6, у) превышает или равна пределу прочности зерна стр на растяжение, то перейти к шагу 27, иначе к шагу 28.

Дёе|27. [дД-^(Д+1]. Увеличить число состояний цД на 1.

(чрн)

Л1е|28. [Определить поле давлений р 5 в зерне с ориентацией (ф, 9, у)].

(чрн)

Определить р 5 в зерне с ориентацией (ф, 9, у) на основе следующего выражения:

( чрн )

р 5' (ф, 6, у) ^ РоI

¡¡ы

(

I ы

/

(П - чрн)

с п

1 (ф, 0, V)

(П - чрн) а sd

(Ыт-чрн)

В

(ф, 0, V)

Мрц

(чрн) 1 (чрн)

трдшп

У о1

(чрн)

(П - чрн)

- С р

п(ф, 6, у)

V

Д, .29. [ р >— ст р ?]. Если давление р в поре, находящейся в зерне с

5 (чрн)

ориентацией (ф, 9, у) больше 1/5 от предела прочности на растяжение ст р, то перейти к шагу 30, иначе к шагу 31.

Дёе|30. [чв^чв+1]. Увеличить число состояний цв на 1.

Дёе|31. [у = 2п?]. Если у = 2п, то перейти к шагу 33, иначе к шагу 32.

Дёе|32. [у^у+тс/12]. Увеличить величину угла у на п/12. Перейти к шагу 25.

х

Лёе133. [9 = 2п?]. Если 9 = 2п, то перейти к шагу 35, иначе к шагу 34.

Лёе134. [9^9+п/12]. Увеличить величину угла 9 на п/12. Перейти к шагу 24.

Лёе135. [ф = 2п?]. Если ф = 2п, то перейти к шагу 37, иначе к шагу 36.

Лёе136. [ф^ф+п/12]. Увеличить величину угла ф на п/12. Перейти к шагу 23.

Лёе137. [ Рш ^ + ^в ]. Текущему значению вероятности разрушения Ркш, э

присвоить значение ——— (число возможных состояний э отдельного зерна с на-

э

полненной жидкостью порой в рамках рассматриваемого алгоритма равно 13 824).

Лёе138. [РКШ<РСЛ?]. Если текущая вероятность разрушения Рш меньше порога перколяции РСЛ вдоль склона, то перейти к шагу 39, иначе к шагу 40.

Лёе139. [Вывод: «На момент исследования, ;'-е оползневое тело в исследуемом жидкостьсодержащем породном массиве безопасно на предмет схода оползня»]. Перейти к шагу 75.

{Шаги 40-74 определяют, реализовалось ли достаточное условие для проявления локальной и глобальной неустойчивости ;'-го оползневого тела.}

Лёе140. [Построить трехмерную перколяционную решетку, соответствующую основанию области сжимающих напряжений ;'-го оползневого тела]. Для исследуемого ]-го оползневого тела определить основание области сжимающих напряжений. Разбить полученную область на одинаковые кубики. При этом объем каждого такого кубика считать равным среднему объему зерна области сжимающих напряжений.

Лёе141. [Определить элементы множества К]. Для каждого кубика из исследуемой трехмерной перколяционной решетки сопоставить параметр г = (х, у, z, X) где х, у, z - координаты центра кубика; X - индикатор разрушения, определяемый следующим образом:

[1, если кубик разрушен

X = <

10, в противном случае .

В результате получим множество К = {г1, г2,... гп} (п - общее количество кубиков в рассматриваемой решетке), описывающее рассматриваемую трехмерную перколяционную решетку.

Лёе142. [Определить подмножества П1, О2,... От множества К]. Разделить рассматриваемую трехмерную перколяционную решетку на совокупность слоев параллельных плоскости ZOX. Каждому такому слою сопоставить подмножество О.: 1

О, = [г : у = Ь}, г е Я, 1 = 1... т ;

где Ь. - набор значений, указывающих соответственно на координаты центра кубика по оси ОУ; т - количество слоев в направлении плоскости ZOX в рассматриваемой трехмерной перколяционной решетке, соответствующей основанию области сжимающих напряжений.

{Шаги 43-50 определяют порог перколяции в вертикальном направлении для исследуемой трехмерной решетке, соответствующей основанию области частично-растягивающих напряжений}

Лёе143. [РЕ^0,01]. Вероятности разрушения РЕ зерна с наполненной жидкостью порой в основании области сжимающих напряжений присвоить значение, равное 0,01.

Ade|44. [i<—1]. Установить счетчик i количества подмножеств равным 1.

Ade|45. [Для двухмерной решетки, описываемой подмножеством Q., произвести компьютерный эксперимент]. Произвести компьютерный эксперимент для двухмерной решетки, описываемой подмножеством Q..

{см. шаг Ade|8 }

Ade|46. [В двухмерной решетке, описываемой подмножеством Q., существует вертикальный бесконечный кластер?]. Исследовать элементы подмножества Q. на предмет наличия вертикального бесконечного кластера. Если такой кластер в двухмерной решетке, описываемой подмножеством Q., существует, то перейти к шагу 47, иначе к шагу 50.

Ade|47. [i<m?]. Если счетчик i количества подмножеств меньше m, то перейти к шагу 48, иначе к шагу 49.

Ade|48. [i<—i+1?]. Увеличить счетчик i количества подмножеств на 1. Перейти к шагу 45.

Ade|49. [PCB<PE]. Порогу перколяции PCB в вертикальном направлении присвоить значение вероятности разрушения PE. Перейти к шагу 51.

Ade|50. [PE^PE+0,01]. Увеличить вероятность разрушения PE на 0,01. Перейти к шагу 44.

{Шаги 51-74 определяют текущее значение вероятности разрушения PRE в исследуемой трехмерной перколяционной решетке, соответствующей основанию области сжимающих напряжений оползневого тела}

Ade|51. [PRE^0]. Текущему значению вероятности разрушения PRE присвоить значение, равное 0. ( жв-осн )

Ade|52. [Определить < p > ]. Определить среднюю величину давления

( жв-осн )

< p > в наполненных жидкостью макровключениях в основании области сжимающих напряжений.

{Здесь и далее сочетание «-осн» в помете параметров, тензоров и функций указывает на то, что они характеризуют объекты в основании области сжимающих напряжений.}

Ade|53. [qB^0]. Присвоить количеству состояний qB, при которых происходит разрушение зерна посредством поля давлений, значение 0.

(efm-осн) ( efms- осн) ( efmt- осн) ( eftmf-осн) (eftmq- осн)

Ade|54. [Определить C , C , C , C , C ]. С помощью мультифрактальных математических моделей природных мультифрактальных объектов относительно деформационных свойств и полей напряжений [1] определить эффективные тензоры модулей упругости основания области сжимающих напряжений как целого и составляющих его геоматериалов.

(tmf -осн) (tmq-осн)

Ade|55. [Определить Ф (x - x') и Ф (х - х')]. Построить функцию

(tmq- осн)

Ф (х - х'), задавшись конкретной моделью случайного поля неоднород-ностей в виде горных пород в среде, соответствующей основанию области сжимающих напряжений оползневого тела. Аналогичным образом построить

( tmf - осн )

функцию Ф (x - x').

(0tmq-осн) (0tmq-осн)

Ade|56. [Определить а ]. Определить внешнее поле напряжений а , действующее на основание области сжимающих напряжений оползневого тела.

(0tmq- осн)

a [u]<

( nf - OCH )

x < C

(nf - осн)

C

{nf-осн) (1 nf-осн)

I + B

(nf - och) (Inf - och)

I + B

C

\

(tmf-och) (1tmf-осн)

C

>•<

(nf - осн)

< C

(nf - осн) (Inf - осн)

I + B

C

>

f {nf-och) (1 nf-OCH)

I + B • C

>

I + H

C

(tmq-och) {ltmq-осн)

I + H

C

к

(eftmq-осн) Л 1 (nf - осн) (0tmq-осн) (0tmq-осн)

x C' I а [u] , при u = а ^ AVG( а [1,..,q]).

(осн)

Ade|57. [Определить и р ]. Определить для зерен из основания области сжи-

(осн)

мающих напряжений предел прочности и р на растяжение. Ade|58. [ф^—0]. Присвоить углу ф значение равное 0. Ade|59. [9-^0]. Присвоить углу 9 значение равное 0. Ade|60. [у^0]. Присвоить углу у значение равное 0.

(nf - осн)

Ade|61. [Определить а (ф, 9, у)]. Определить значение тензора напряжений в зерне на основе следующего выражения:

(nf - осн) (nf-осн) ( (nf-осн) (Inf-осн)

1 Atmf-осн) (tmf-осн)

I + -i K (x - x') • Ф (x - x')dx' n J

1 -(tmq-och) (tmq-осн)

I + - K (x - x') • Ф (x - x')dx' n J

а (ф, e, v) ^ с (ф, e, v)

(nf - OCH) (1 nf - och)

I + B

(nf - осн)

с (ф, e, v) I < с (ф, e, v) *

I + в

\

(Inf - OCH) .

X С (ф, 0, V) I >•<

(nf - och)

C (ф, 0, V) I >-1 < C (ф, 0,

(nf - och)

I + B x

1 Atmf - och)

I + - i K (x _ x') • Ф (x - x')dx' n J

i (nf-och) (1 nf-och) \ i

I + B • С (ф, 0, v) I >-1

(tmf- och) ( (tmq-och) (limq-och)

I + H • C

(tmf-осн) (1tmf-och)

V

I + H

i

С

V

1 Atmq-och) (tmq-осн)

I + - K (x - x') • Ф (x - x')dx' n J

(eftmq-осн) (0 tmq-осн)

■ C а

(осн)

Л^62. [Определить поле давлений р 811 в зерне с ориентацией (ф, 9, у)]. Оп-

(осн)

ределить р 811 в зерне с ориентацией (ф, 9, у) на основе следующего выражения:

(осн)

p 8 (ф, 9, у) ^ PoI"kl\Iklmn+ B

t (nfm-осн) f (nf - осн)

i)ki\ fklmnд klpqj ^ j pqmn_ £ pqmnj

f (nf - осн)

C m

po Ip

(ф, 9, у) II x

" (Ф, 0, V)

(nf - осн)

Jsd

(Ф, 0, V)

(осн) 1 (осн)

(осн)

Л^^. [ р >— ст р ?]. Если давление р в поре, находящейся в зерне с 5 (осн)

ориентацией (ф, 9, у) больше 1/5 от предела прочности на растяжение ст р

то перейти к шагу 64, иначе к шагу 65.

Л1е|64. [чв^чв+1]. Увеличить число состояний на 1.

Дёе|65. [у = 2п?]. Если у = 2п, то перейти к шагу 67, иначе к шагу 66.

Дёе|66. [у—у+п/12]. Увеличить величину угла у на п/12. Перейти к шагу 61.

Дёе|67. [9 = 2п?]. Если 9 = 2п, то перейти к шагу 69, иначе к шагу 68.

Л1е|68. [9-9+п/12]. Увеличить величину угла 9 на п/12. Перейти к шагу 60.

Дёе|69. [ф = 2п?]. Если ф = 2п, то перейти к шагу 71, иначе к шагу 70.

Д, ,70. [ф—ф+п/12]. Увеличить величину угла ф на п/12. Перейти к шагу 59. о

Дёе|71. [ РКЕ <--В ]. Текущему значению вероятности разрушения РКЕ, при-

э

своить значение — (число возможных состояний э отдельного зерна с наполненной жидкостью порой в рамках рассматриваемого алгоритма равно 13 824).

Дёе|72. [РКЕ<Рсв?]. Если текущая вероятность разрушения РКЕ меньше порога перколяции Рсв в вертикальном направлении, то перейти к шагу 73, иначе к шагу 74.

Дёе|73. [Вывод: «На момент исследования, /-е оползневое тело в исследуемом жидкостьсодержащем породном массиве безопасно на предмет схода оползня»]. Перейти к шагу 75.

Дёе|74. [Вывод: «На момент исследования, /'-е оползневое тело в исследуемом жидкостьсодержащем породном массиве небезопасно на предмет схода оползня»].

Дёе|75. [/<Мот?]. Если счетчик/ оползневых тел в исследуемом жидкостьсодер-жащем породном массиве меньше Мот, то перейти к шагу 76, иначе к шагу 77.

Дёе|76. [/-—/+1]. Увеличить счетчик/ оползневых тел на 1.

Дёе|77. [Конец]. Выполнение алгоритма прекратить.

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Халкечев Р.К. Теоретические основы мультифрактального моделирования труднофор-мализуемых объектов // Горный информационно-аналитический бюллетень. Отдельные статьи (специальный выпуск). - 2013. - № 9. - С. 8-16.

2. Кнут Д. Искусство программирования, т. 1. Основные алгоритмы. - М.: Вильямс, 2002. - 720 с. ЕШ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_

Халкечев Руслан Кемалович - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: [email protected], МГИ НИТУ «МИСиС».

UDC 004.942; 331.45

PERKOLATED MULTIFRACTAL MATHEMATICAL MODEL OF DESTRUCTION OF ENHYDROUS ROCK MASS AS A BASIS FOR FORECASTING OF A DESCENT OF LANDSLIDES

Khalkechev R.K., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, e-mail: [email protected], Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.

In the presented article the mathematical model allowing to investigate any gas-containing rock mass regarding realization of dynamic phenomena in the form of landslides is developed. The percolation threshold in this model is connected with deformation properties and formation of a field of tension in the studied object.

Key words: model, percolation, destruction, field of tension, field of pressure.

REFERENCES

1. Khalkechev R.K. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. Special edition). 2013, no 9, pp. 8-16.

2. Knut D. Iskusstvo programmirovaniya, t. 1. Osnovnye algoritmy (Искусство программирования, vol. 1. Основные алгоритмы), Moscow, Vil'yams, 2002, 720 p.