CC BY
12видно, неооходимыи для роста парового пузырька перегрев капли на несколько, например, на 5 градусов достигается за время нагрева tit порядка I msT что согласуется с оценкой, полученной в работе [I].
На рис. 5 приведены графики роста парового пузырька и изменения внешнего размера капли с течением времени воздействия на нее теплового излучения. Очевидно, паровой пузырек достигает сравнимых с каплей размеров (Rb>0,5R) за время роста L порядка 10 ms* что также согласуется с пояучеиой в работе [1] оценкой. Учитывая, что скорость роста пузырька со временем заметно увеличивается, можно сделать вывод о том, что дальнейший его рост приведет практически за
Кафедра физики
то же время t„ к взрывному вторичному дроблению капли на несколько (2.,.4) более мелких.
ЛИТЕРАТУРА
1 Орлов В*ЮМ Симаков H.H., Быгев Д.О, Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2000. Т. 43, Вып. 4, С. 134-138,
2. Орлов ВЛО» Реактор лля получения сажи. - Патент РФ на изобретение № 2131766 от 07.04.9Х, МПК 6 B0JJ 10/00, БИ № 17, 1999.
3. Симаков H.H., Бмтен Д.О., Орлов ВЛО Ит иуюк. Химия и хим. технология, 2001. Т 44, Выи, 4, С. 129-132.
4. Сивухии Д.В. Обшии курс физики. Т. 4. Оптика. М,: Наука. 1980.752 с.
5. Map чу к Г. И, Методы вычислительной математики. М,: Наука. 1980. 536 е.
УДК 662.612
Г*А* Зуева, Лукьянчикова, В. А, Падохин СИСТЕМНО-СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ ТЕПЛООБМЕНА В ПОЛОМ ЦИЛИНДРЕ
(Ивановский государственный химико-технологический университет
Институт химии растворов РАН) ечпаП:§а!та@висит1
На основе решения в области изображений но Лапласу задачи теплопроводности полого цилиндры при граничных условиях третьего рода разработана структурная модель теплообмена^ представляющая собой визуализацию взаимодействия и преобразования тепловых потоков^ как па границе, так и внутри цилиндра и позволяющая провести идентификацию теплофизических параметров*
Системно-структурный подход, активно развиваемый в настоящее время, применяется к анализу теплообменных. процессов и идентификации теплофизических параметров и тепловых воздействий [1-3]. В частности, данный подход может быть успешно применен при построении математической модели транспорта теплоты в солнечных коллекторах [4]. Превращение солнечной энергии в тепловую в солнечном коллекторе является перспективным направлением применения возобновляемой солнечной энергии [5]. Вместе с тем, успешная реализация системно-структурного подхода возможна только после апробации его на
более простых задачах, как с точки зрения мате-матического моделирования процесса теплообмена, так и с точки зрения его экспериментального исследования.
Структура переноса теплоты или, точнее, структура транспорта информации о переносе теплоты, должна отражать взаимосвязь и взаимообусловленность пространственно-временного формирования температурного поля и тепловых потоков на границе тела и внутри него.
Выявим структуру переноса теплоты в полом цилиндре. Построим структурную модель одномерной нестационарной задачи теплопроводно-
сти для полого цилиндра при граничных условиях третьего рода. Методика экспериментального исследования теплообмена в полом цилиндре достаточно хорошо изучена. Поэтому данную задачу можно рассматривать как модельную.
Физическая модель теплообмена. Пусть полый цилиндр (теплообменная трубка) с внутренним радиусом /?! и наружным К2 имеет равномерное начальное распределение температур. Цилиндрическая трубка прогрета до температуры
внешней среды Т0. Причем, на протяжении всего
времени процесса температура на наружной поверхности поддерживается постоянной и равной
температуре внешней среды Т{), Воздух, находящийся внутри полого цилиндра имеет переменную во времени известную температуру 0(0.
Будем полагать, что температура воздуха выше температуры цилиндрической поверхности в начальный момент времени. Стенка со временем прогревается за счет конвективного потока теплоты, поступающего на внутреннюю поверхность цилиндра.
Математическая постановка задачи:
= а -—V- + ——1 ч < г < +О 0; ^1}
д1 \ дг" г дг )
начальное условие
Г(>%0) = Т0; (2)
на внешней поверхности цилиндра
Т(Я291) = Т0; (3)
-Я
на внутренней поверхности цилиндра dT(rj)
дг
(4)
Требуется / > 0, It < г < Я,.
наити
T(rJ) при
о
Т(ГЛ)
R|
R->
Рис. i. Схема теплообмена в цилиндрическом трубке Fig. I, The scheme of heat exchange in a cylindrical tube
Решение дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющее начальным
и граничным условиям, позволяет определить нестационарные локальные и средние температуры, а также тепловые потоки. Этого во многих случаях достаточно, чтобы удовлетворить инженерную практику. Однако данное решение и расчеты на его основе не всегда позволяют провести детальный анализ взаимообусловленного переноса теплоты на границе тела и внутри него. Оно мало пригодно для решения таких современных инженерных задач как проектирование сложных информационных систем, включающих элементы различной физической природы, а также некоторые задачи, связанные с управлением процесса теплопроводности, когда необходимо находить обратный оператор системы.
Неэффективность непосредственного использования решений дифференциальных уравнений теплопроводности для целей анализа и синтеза, в частности, можно объяснить еще и тем, что они выражаются через сложные комбинации производных, интегралов, и членов, содержащих неэлементарные функции. Громоздкость выражений не позволяет рассмотреть физическую сущность отдельных членов исходных уравнений и их взаимосвязь.
Системно-структурный подход в значительной мере лишен перечисленных недостатков и ограничений и имеет ряд существенных достоинств [1]. Решение задачи теплопроводности находится в пространстве изображений по Лапласу. При этом выражение преобразуется к более простым, часто только алгебраическим формам. Полученное решение в изображениях рассматривается как некоторая система. Элементы этой системы операторы (передаточные функции) устанавливают математические правила преобразования тепловых воздействий в порождаемую ими реакцию в местах наблюдения. Строение системы представляется структурной схемой. Структурная схема - математическая модель переноса теплоты в объекте состоит из связанных между собой элементов, характеризующихся оператором. Входы и выходы структурной схемы имеют наглядную физическую интерпретацию.
Составленная таким образ ом схема является информационной математической моделью исследуемого теплообмениого процесса. Она используется для получения такой информации о реальном объекте, которую невозможно или затруднительно получить, используя оригинал математической модели, например, для построения схем идентификации тешюфизических свойств веществ, нестационарных тепловых потоков, из-
мерительных схем, для структурной реализации информационно-измерительной системы.
Для решения краевой задачи теплопроводности (1-4) применим операционный метод [6]. Представим температуры в виде сумм
0(Г) = Д0(Г) + 71О;
Тогда в изображениях по Лапласу приращения температур имеют вид
АГ(г,/) = Т(г,$) - '
о
Л'
Д0(л') = ©(л-)
О
V
Уравнение, начальное и граничные условия примут вид
1 я. <г< ят,/>0; ^
дАТ{г\!) = { ¿УАДг,/) 1 гЛТ{>\!)
дг \ дг~ г дг
)
-Л-
дА Т{1\()
дг
АГ(г,0) - 0;
ДГ(Л2,0 = 0;
(6)
(7)
(8)
Общим решением для Ь-изображения изменения температуры является выражение
а
)х
киЦ- ял л ^ Д V я V г* у я
шЧ) г- г г }
■ а')( ( -/г,) +, -к, ( -я,)1
л' л V V я V ^
(9)
Здесь
А (2) " ФункДия Бесселя первого рода порядка 1;
/0(2) - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 0;
К{ (и) - модифицированные функции
Бесселя второго рода соответственно порядка 0, 1.
Пользуясь формальными правилами преобразования структурных схем, можно выражение для АТ(/% л*) представить структурной схемой,
отражающей структуру дифференциального уравнения, решенного относительно изображения температуры (ур, 9), Однако таким путем не всегда удается быстро составить схему, чтобы она наилучшим образом отражала структуру переноса теплоты в теле, т.е. включала в себя такие звенья,
входные и выходные величины которых имели оы физический смысл (могли бы быть измерены). Для достижения последнего примем во внимание, что общим решением для ¿-изображения температуры является выражение
дТ(гчя) - ¿/„(Л-'") + ¡-г),
а V а
(10)
где А и В некоторые постоянные, которые требуется найти.
/Л V»
Очевидно, что на внутренней и внешней поверхностях цилиндра
V а На ~
ДГ(Л^у) - 0 - +
а V &
Учитывая граничное условие (7), выразим А и В из этой системы уравнений
»V
А =
а
(П)
а V а V ¿7 V ((
В = -
а
(12)
а V а V и V а
Кроме того, примем во внимание, что аА&($) - приращение изображения составляющей конвективного теплового потока, воспринимаемого внутренней поверхностью цилиндра
(г = ), вследствие изменения изображения температуры воздуха на *);
аАТ(И13л1) - приращение изображения составляющей конвективного теплового потока, воспринимаемого внутренней поверхностью цилиндра
(г = вследствие изменения изображения ее температуры на А7'( /?| ;
а(Ав{$) - А= А^(л') - полное приращение изображения конвективного теплового потока, воспринимаемого внутренней поверхностью полого цилиндра;
ЗА Г(г,5)
-Л
дг
-А'т
А» приращение изо-
бражения теплового потока, проходящего через поверхность г = внутрь цилиндра, обусловленного теплопроводностью цилиндра.
На основе уравнения баланса тепловых потоков на внутренней поверхности полого ци-
линдра имеем ДqA(Rns)^ Aqa(s). Запишем L-изображение уравнения (8):
dAT{t\s)
Л
дг
r~R\
a(A0(s) - AT(R, ;ty)). (13)
Воспользуемся далее общим решением (10). Подставляя его в граничное условие (13) и учитывая найденные коэффициенты А и В(ур. 11, 12), получим
a/\(Hs)-a!\T{R^s) ^
ьтт^кжл
17
V и
г;
л
л'
/7
/Ш/^.ОМ^ г)
Выразим отсюда ДГ(Л температуру
на внутренней поверхности полого цилиндра
. (14)
Д T[Rl%s) =
а + Л,
V у« V tf Y tf V«
V a V а Ча v a
Затем выразим температуру Д.Г(г,5т)через , используя общее решение
АГ(г,л) - А10(л\-г)+
а V а
а постоянные А и В подставив из (11), (12), Получим
S
Л/- /гд' -г)
" г) о
К (,1s к. Ж»(J- R ') - '»(J * Ж,,(j'v я,)
а V« V« V а
S
$
AT(R ,л)/ f -г) 1 " \й
U ! (J» R )К (J-R )-/ (J-R )К (J-R )
av \1 .... \ ' л Л« ' о м/ - п 4 и ... i '
а
a
а
а
или
t/ V ¿?__у а V а
UK J Л J* f 2) - Л>ЦГ )А „( Л Л,)
а V Й V г? ¥ if
(15)
Запишем выражение для градиента температур
д г г г г (
^ ^ 4 ^ ^ п С*'* ( " Л"' л '' «^iiii -.......
t* Is г .v..... /л- . /л
Запишем выражение для теплового потока qjr,s) - -- A,gradAT(r,s) =
МП
'„u '-^U rf/ji
У fi V ¿i V и \ и
Теперь на основе полученных выражении для ДГ(/?|,б'), ДГ(г,л<), ^%гас1АТ(г,х),
(г, 5) можно составить структурную схему (рис. 2).
лф
1
I f Г ^ 1 Г 1 Г" ^Г I
^NJ/- !' Mi/1 !y.
К"! v3 i ^w./'1 ¡^i ^ /J i
ЛГ(г.л-)
••••л , :••„; ; J-ft. -flr.
' ! K.. 1 f"' I Г J
К":
Рис, 2, Структурная схема решетш одномерной задачи теплопроводности для полого цилиндра
Fig, 2, The block diagram of the solution of one-dimensional heat conductivity equation for a hollow cylinder
Из рисунка 2 видно, что структурная схема включает в себя такие звенья, входную и выходную величины, которые имеют физический смысл (могут быть измерены). В данном случае входной величиной является a AS(s) - приращение изображения составляющей конвективного 'теплового потока, воспринимаемого внутренней поверхностью цилиндра от теплоносителя при изменении его температуры на Дв(л') .
Структурная схема отражает важное свойство конвективного теплообмена - взаимосвязь явлений переноса теплоты на границе воздух -цилиндр и в самом полом цилиндре, А именно,
формирование температуры AT(Rlys) внутренней поверхности цилиндра зависит не только от коэффициента теплоотдачи а, но и от коэффици-
/I
ента тепловой активности
Появление замкнутого контура, включающего выражение (-а) и образующего обратную
связь, отражает в терминах структурной схемы наличие граничного условия третьего рода. Чем выше температура поверхности, тем меньше конвективный поток, поступающий на эту поверхность, т.к. он пропорционален разности ,/),
Заметим, что температура ДГ(/? ,лч) является промежуточным звеном для формирования температуры АГ(/\л\) внутри цилиндрической трубки. Кроме того, используя указанные промежуточные координаты и выражение
(ч) ^ X ^ , можно построить структур-
(Ъ
ную схему приращения изображения конвективного потока, воспринимаемого внутренней поверхностью цилиндра.
С помощью данной структурной схемы по результатам измерения температуры (точнее приращения температуры) внутренней поверхности
цилиндра АТ(К]9з) можно провести идентифи-
кацию коэффициента теплоотдачи а от воздуха к стенке цилиндра. Правильно поставив температурный эксперимент, можно построить квадратичный функционал, представляющий собой разность измеренной и полученной по математической модели температуры поверхности цилиндра. Значение коэффициента а может быть найдено из условия минимума среднеквадратичного функционала.
ОБОЗНАЧЕНИЯ а -■ коэффициент температуропроводности, м2/е;
Кафедра прикладной математики,
кафедра машин и аппаратов химических производств
с - теплоемкость стенки, Дж/(кг-К); - удельный тепловой поток, Дж/(с*мг);
Я2, /?! - внешний, внутренний радиус трубки, м:
г- текущий радиус тешюобменной трубки, м; Г(г,0- поле температур полого цилиндра, К; I- время, с;
а ~~ коэффициент теплоотдачи, Вт/(м"-К); 0(1) - температура воздуха, К;
Я - коэффициент теплопроводности цилиндра, Вт/{м-К);
Л И Т Е Р А Т У Р А
I. Шишков Л.Г. СтютемночтгрукгурньпЧ анализ процесса теплообмена и его приложения. М: Энергоатомиздат. 1983. 279 с.
2 К а фа ров В. В., Дорохов И Л,, Липатов Л Л. Системный анализ про кессон химической технологии. Статистические методы идентификации объектен химической технологии, М.: Наука. 19К2. 344 е.
3. Бутковский А,Г. Структурной! теория распределенных систем Мл Наука, 1977.320 с.
4. Зуева Г.А^ Лукьянчикова Н.В,, Палохин В.А. // Изв. вузов. Химия и хим, гехнодигия. 2005. "Г 48, Выи. 5. С. 95-99.
5. Зуева ГА., Магера Я, // ТОХТ. 2001. Т. 35, №6. С. 643-647,
6. Карга шоп Э.М. Аналитические методы теории тепло-пронодиости твердых тел. Мл Наука. 1985. 415 с.
УДК 621.928
В,Жушщ А.Л.Андреев, Н+ ВМгЬашак
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОД РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКОГО
КЛАССИФИКАТОРА
(Ивановский государственный энергетический университет, Ченстоховский политехнический университет, Польша)
Предложен метод расчета миогоапуп ел чат ых м п огопродуктовых динамических классификаторов со сложной структурой потоков, учитывающий рециркуляцию пот о-ков, подачу и отвод произвольного числа продуктов.
Предлагаемая математическая модель риала с выхода ступени на ее вход, подачу и от-
многоетупенчатых классификаторов в отличие от вод, деление и смешение произвольного числа
известной [I] позволяет рассчитывать многопро- потоков материала.
дуктовые классификаторы, рециркуляцию мате- При описании сепаратора выделяются ха-
