Система управления запасами в условиях дифференцированных скидок Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»



СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННЫХ СКИДОК

С. Н. ЯШИН,

доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой управления инновационной деятельностью E-mail:jashin@52.ru Нижегородский государственный технический университет

Е. В. КОШЕЛЕВ,

кандидат экономических наук, доцент кафедры государственного и муниципального управления E-mail: ekoshelev@yandex.ru Нижегородский государственный университет

им. Н. И. Лобачевского — Национальный исследовательский университет

С. А. МАКАРОВ,

старший преподаватель кафедры математики и системного анализа E-mail: mcarow@yandex.ru Волго-Вятская академия государственной службы

В условиях мирового финансового кризиса и возрастающей конкуренции актуальным является вопрос о снижении издержек, связанных с приобретением хозяйствующими субъектами материальных ресурсов. В статье рассматривается ситуация, которая может сложиться, если поставщик предлагает дифференцированную систему скидок. Предложен метод определения величины партии, при которой издержки минимизируются.

Ключевые слова: дифференцируемые скидки, экономия, издержки, размер партии, управление, запасы.

В условиях мирового финансового кризиса и возрастающей конкуренции хозяйствующих субъектов вопросы, связанные с экономией затрат,

становятся особенно актуальными. В частности, для российских предприятий актуальным является вопрос, связанный с уменьшением издержек, направленных на финансирование запасов материальных ресурсов. С одной стороны, стремление к экономии финансовых средств подталкивает предприятия к уменьшению запасов, что обусловлено уменьшением издержек, связанных с хранением материального ресурса и увеличением ликвидности финансовых активов. С другой стороны, уменьшение ресурсных запасов может привести к увеличению организационных издержек, связанных с поиском поставщиков, заключением сделок, транспортировкой и т.д. Кроме того, в условиях

инфляции и нестабильного уровня цен хозяйствующие субъекты, наоборот, стремятся увеличить финансирование запасов ресурсов в текущем периоде, предполагая, что таким образом существенно снизят издержки будущих периодов.

Поставщики ресурса стремятся получить причитающуюся им прибыль в текущем периоде, из-за чего неохотно идут на снижение продажной цены. С другой стороны, конкуренция требует от продавцов увеличивать торговый оборот и идти на уступки покупателям, прежде всего, крупным. В связи с этим компромиссным вариантом поведения поставщиков ресурса на сегодняшний день стала установка дифференцированной системы скидок, при которой скидка предоставляется не на весь приобретаемый товар, а только лишь на определенную часть, превышающую некоторый предельный уровень.

В таких условиях перед хозяйствующими субъектами, приобретающими материальные ресурсы, необходимые для производственной деятельности, встала дилемма: закупать ресурсы небольшими партиями, экономя на хранении и рискуя понести большие затраты в случае неожиданного роста инфляции и организационных издержек; либо закупать товар большими партиями, снижая риски будущих расходов и организационных издержек, но увеличивая расходы, связанные с хранением ресурса и изъятием финансовых средств из оборота.

В финансово-экономической литературе [1—4] достаточно подробно рассматривается вопрос о финансировании запасов ресурсов хозяйствующего субъекта и, в частности, вопрос об определении оптимальной величины партии приобретаемого ресурса. Однако решение ряда задач, которые могут иметь место в рассматриваемой ситуации, основывается на численных методах, которые усложняют финансово-экономический анализ деятельности организации с целью снижения издержек.

Система финансирования запасов при нескольких уровнях цен подразумевает возможность приобретения товара по цене, предполагающей скидки в случае увеличения однократных закупок. Скидка может предоставляться как на всю партию приобретаемого материального ресурса, так и на ее отдельную часть, которая превышает определенный уровень. В первом случае имеет место недифференцируемая скидка, во втором — дифференцируемая. В большинстве учебников по финансово-экономическому анализу рассматривается ситуация с недифференцируемой скидкой. Что же касается аналитического решения задачи

определения оптимальной величины партии приобретаемого ресурса в условиях действия системы дифференцируемых скидок, то оно подробно не представлено.

Рассмотрим ситуацию с двумя уровнями цен кх и к2 (кх > к2). Цена к2 устанавливается на часть партии, которая превышает определенный уровень Ь. Таким образом, расходы, связанные с приобретением очередной партии ресурса (Ст), составят: при д < Ь\

С = к,а,

т 1 1 '

при д > Ь\

Ст = кхЪ + к2(д - ¿X где д — объем партии приобретаемого ресурса.

Будем считать, что стоимость хранения (С1) зависит лишь от количества хранящегося ресурса и не зависит от стоимости приобретенного ресурса. Также будем полагать, что организация несет однократные расходы, связанные с приобретением очередной партии ресурса в размере С5 (организационные расходы). В течение всего времени деятельности организация равномерно расходует ресурс. Тогда расходы на приобретение и хранение одной партии ресурса составят: при д<Ь:

а, = Кд+2 С+ с,

при д> Ь:

а = кхЬ + к2(д - Ь) + 2 СЛ + с,,

где ^ — интервал времени, в течение которого предприятие потребляет ресурс в размере одной партии.

Число периодов, в течение которых приобретается и потребляется ресурс в размере одной партии, можно рассчитать как отношение общей потребности в ресурсе Я в течение планового периода к величине одной партии д или как отношение величины всего периода планирования Тк величине периода, в течение которого происходит

потребление одной партии ресурса ^: — = —.

' д К

Таким образом, общая сумма расходов (О), связанных с приобретением и хранением ресурса в течение всего интервала времени планирования Т, составит: при д<Ь:

при д> Ь:

е=

а = Кд + 2 СЛ + С,)—, 2 д

к,Ъ + к2(д -Ъ) + 2СЛ + С,)-2 д

(1)

(2)

Находя первую производную расходов 0 по переменной д (величина партии) и приравнивая ее к нулю, получим формулы для расчета оптимальной величины партии без скидки и со скидкой, соответственно:

=

2С Я

С1Т :

42 =

2[С, + Ъ (кх -к2)]Я

С1Т

(3)

(4)

Формула (3) — это классическая формула Вильсона для определения оптимальной величины партии в отсутствии каких-либо скидок. Очевидно, что дх < д2 при любых значениях Ь> 0. Для определения того, при каком значении величины партии: 41 или д2 достигается наименьшее значение расходов, необходимо рассмотреть значения величины расходов 0. Для этого подставим формулы (3) и (4), соответственно, в формулы (1) и (2), после чего получим:

0(41) = кхЯ + V 2С1СТЯ,

е (?2 ) = кгЛ + 2 С, [С, + Ъ {к, - к2)] ТК.

(5)

(6)

Рис. 1. Общие затраты на приобретение и хранение ресурса в условияхдвух уровней цен: а - когда 0 (д1) > 0 (д2); б - когда 0 (д1) < 0 (д2)

Рис. 2. Общие затраты в условиях двух уровней цен при дифференцированной скидке: а — когда д<Ь; б — когда д> Ь

Поскольку к 1Я > к2Я и ^2С\С ТП < 2С1 [С, + Ъ (к1 -к2)] ТЯ , то возможны случаи,

когда 0(41) > 0(42), 0(41) < 0(42) и 0(41) = 0(42) ■ Первые два случая представим на графиках (рис. 1).

На каждом графике представлена пара кривых, описывающих общие затраты на приобретение и хранение ресурса. Кривая 1 описывает общие затраты при условии, что скидка не предоставляется, а кривая 2 — затраты при условии предоставления скидки. Кривые пересекаются в точке Ь. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно приравнять правые части уравнений (5) и (6). Хотя это очевидное умозаключение можно сделать, и не выполняя действий по решению иррационального уравнения. Действительно, если величина партии приобретаемого ресурса становится равной Ь, то приобретение дополнительной единицы ресурса дает лишь возможность для получения скидки только на эту единицу ресурса. При этом первые Ь единиц ресурса приобретаются по все той же цене кг На рис. 1 а представлен случай, когда общие затраты, вычисленные при условии, что скидка не предоставляется, больше, чем общие затраты в условиях предоставления скидки: 0(41) > 0(42)- Такое может иметь место при высокой величине скидки и относительно низких издержках на хранение С1 и организацию поставки ресурсов С. На рис. 1 б, наоборот, представлен случай 0 (дх) < 0 (д2), когда имеют место достаточно высокие организационные издержки С5 и издержки хранения Ср а скидка, предоставляемая на приобретение дополнительной единицы ресурса сверх уровня Ь, достаточно мала.

График общих затрат, соответствующий формулам (1) и (2), будет представлять кривую, огибающую снизу кривые 1и2 (рис. 2).

Глобальный минимум функции общих затрат в данном случае выбирается из локальных минимумов, полученных при дх и д2. Таким образом, чтобы в условиях двух уровней цен при дифференцированной скидке получить минимум функции общих затрат, связанных с приобретением и хранением ресурса, достаточно сравнить локальные

минимумы функции в условиях, когда скидка предоставляется и не предоставляется. Нетрудно также догадаться, что равенство общих затрат 0 (д1) = 0 (д2) может быть достигнуто лишь в частном случае. При этом дх Ф д2.

Описанная ситуация предполагает, что функция общих затрат на приобретение и хранение ресурса предоставляется в условиях, когда выполняется следующее соотношение между оптимальными величинами партии при отсутствии скидки дх, при наличии скидки д2 и значении величины партии Ь, превышение которого дает право на получение скидки: дх< Ь < д2. Рассмотрим другие случаи.

Если д 1 = Ь < д2, т. е. если оптимальный размер партии закупаемого ресурса без скидок дх совпадает со значением величины партии Ь, превышение которой дает право на получение скидки на каждую дополнительно приобретенную единицу ресурса. В этой ситуации, очевидно, что глобальный минимум достигается при д2 (рис. 3 а).

Действительно, если оптимальный объем партии дх, полученный без предоставления скидки, совпадает с размером партии Ь, превышение которого дает право на скидку за каждую дополнительно приобретенную единицу, то данный объем в принципе не может быть оптимальным, поскольку точка минимума для части огибающей кривой, учитывающей влияние скидки, еще не достигнута.

Если же наоборот, дх<Ь = д2, то оптимальным будет объем партии, равный дх (рис. 3 б). В этом случае, наоборот, минимум кривой, учитывающей скидки, достигается в момент, когда эта скидка только начинает предоставляться. Получается ситуация, при которой пользоваться скидками вообще невыгодно, так как каждая дополнительно приобретенная единица изделия, несмотря на скидку, приводит к увеличению совокупных затрат. Такая ситуация может иметь место при достаточно больших издержках, связанных с хранением ресурса.

Случай Ь < дх <д2. Эта ситуация представляет собой «преждевременное» предоставление скидки (рис. 4 а).

Рис. 3. Общие затраты при недифференцированной скидке: а — когда д1= 6; б — когда = Ь

Рис. 4. График общих затрат: а — когда Ь < < б — когда < < Ь

В этой ситуации организация, приобретающая ресурсы, заинтересована в том, чтобы приобрести большее количество ресурса, чтобы получить право на скидку. Суммарные расходы предприятия при этом снижаются и являются в точке д2 меньшими, чем в точке дх, когда скидка не предоставляется.

Если же дх < д2 <Ь, то, наоборот, скидкой невыгодно пользоваться, поскольку минимальное значение расходов, рассчитанное для данного условия, может быть достигнуто только при значении д2, когда скидка не предоставляется. А в условиях, когда скидка не предоставляется, оптимальным значением является значение величины партии дх, которое меньше, чем д2. Поскольку каждая ветвь функции общих затрат имеет только один локальный минимум, то этот минимум будет достигнут в точке дг Этот локальный минимум для всей функции будет единственным, а потому значение функции затрат при данном значении объема закупаемой партии ресурса следует считать оптимальным (рис. 4 б).

Таким образом, если закупки ресурса производятся равными по величине партиями в условиях, когда существует два уровня цен, то для определения оптимальной величины партии, при которой суммарные затраты на финансирование запасов

ресурса будут минимальными, необходимо найти аргументы и д2 для каждой ветви функции (формулы (1) и (2)), при которых достигаются локальные минимумы, а затем сравнить значения дх и д2 со значением величины закупаемой партии Ь, при которой приобретается право на получение дифференцированной скидки. Если окажется, что Ь < дх <д2, то оптимальный размер партии равен дт Если дх < д2< Ь, то оптимальная величина закупаемой партии составляет дг Если имеет место случай дх < Ь <д2, то оптимальная величина партии находится как минимальное из значений 0 и 0 (д2).

Распространим эти рассуждения для случая, когда имеет место целая система скидок, или, другими словами, три и более уровня цен. В этом случае ситуация несколько усложняется. Чтобы разобраться в ней, рассмотрим следующий пример. Строительная фирма «Экобазис», занимающаяся возведением коттеджей, приобретает у производителя стройматериалов фирмы «ЛесПром-НН» строительный брус стандартного размера (0,135 м3) по цене 600 руб. /ед. За год фирма планирует использовать в строительстве 6 ООО ед. бруса. Однократные расходы, связанные с поставкой очередной партии бруса фирме, составляют 500 руб. Стоимость хранения бруса на складе составляет 1 руб. /ед. бруса в день. Производитель стройматериала, реализующий брус, предлагает следующую систему дифференцированных скидок: цена первых 100 ед. бруса составляет 600 руб. /ед. На последующие единицы бруса, приобретенные сверх первых 100 ед., установлены следующие скидки:

- 101—200 ед. — 5 %;

- 201—300 ед. — 10%;

- 301—500 ед. — 12,5 %;

- 501—1 000 ед. — 15 %;

- 1 001—2 000 ед. — 17,5 %;

- более 2 000 ед. — 20 %.

Требуется определить оптимальный размер партии.

Для решения задачи определим оптимальные размеры партии для каждого уровня цен (без скидок и со скидками).

Значения оптимальной величины партии для различных уровней цен рассчитываем:

- при невозможности воспользоваться скидками (п = 1) по формуле (3);

- при наличии возможности воспользоваться скидками (п > 1) по формуле, аналогичной формуле (4):

Чп ='

п

2 С. + Х 1=2 Ъ-г К ) Я

СТ

(7)

Последовательно подставляя данные задачи в формулу, получим значения оптимальной величины партии дп при различных значениях максимальной величины скидки:

- дх — 129 ед.;

- д2 — 342 ед.;

- 43 — 563 ед.;

- дл- 683 ед.;

- д5- 847 ед.;

- 46—1 ЮЗ ед.;

- — 1 489 ед.

Теперь необходимо определить, какие из полученных значений являются локальными минимумами функции общих затрат для каждого размера максимальной величины скидки.

Оптимальный объем партии дх = 129 ед. бруса, рассчитанный для случая, когда никакие скидки не предоставляются, превышает уровень в 100 ед., после которого предоставляется скидка 5 %. А при таком уровне цен оптимальное значение величины партии уже равно величине д2. Этот случай был рассмотрен ранее (рис. 4 а). Таким образом, при дх минимальная величина затрат не может быть получена.

Значение д2 = 342 ед. бруса представляет собой оптимальную величину партии при условии, если бы имела действие лишь скидка 5%, предоставляемая на приобретение каждой дополнительной единицы со 101-й до 200-й. Однако при величине партии в 342 ед. предоставляется скидка уже в размере 12,5 %, а локальный минимум достигается при оптимальной величине партии дА, рассчитанной для данного размера максимальной величины скидки. Таким образом, при величине партии д2 = 342 минимальное значение общих затрат не может быть получено. Значение величины партии д3, рассчитанное для случая, когда скидка предоставляется в размере 10 %, можно уже не рассматривать, поскольку оно больше значения д2 и явно выходит за пределы того диапазона, когда максимальная величина дифференцированной скидки составляет 10 %, для которой она была рассчитана.

В отношении значения оптимальной величины партии д4 = 683, рассчитанного для условия, когда максимальная величина скидки составляет 12,5%, можно привести рассуждения, аналогичные тем, что были приведены в отношении значений величины партий дх, и д2. Если приобретается 683 ед. бруса, то максимальная величина скидки должна уже составлять 15 %, а при этом оптимальная величина партии д5 = 847 ед. бруса. Следовательно, при величине партии д4 = 683 ед.

бруса невозможно достичь минимальных совокупных затрат.

Величина партии д5 = 847 ед. бруса является оптимальной для случая предоставления скидок, максимальный уровень которых составляет 15 %. Эта скидка предоставляется на каждую дополнительную единицу сверх 500, пока объем партии не превысит 1 ООО ед. Значение д5 как раз и находится в интервале от 501 до 1 ООО. Таким образом, минимальное значение общей величины затрат, связанных с приобретением и хранением бруса, может быть достигнуто при д5 = 847 ед.

Значение оптимальной величины партии д6 = 1 103 единиц бруса, рассчитанное для случая, когда максимальная величина дифференцированной скидки составляет 17,5%, также находится в необходимом для получения данной скидки диапазоне значений от 1 001 до 2 000 единиц и также является локальным минимумом функции общих затрат, связанных с приобретением и хранением бруса. Следовательно, при этом значении также может быть достигнуто минимальное значение общих затрат.

Ну и, наконец, значение величины партии д7= 1 489 ед., рассчитанное для случая, когда максимальный размер дифференцированной скидки равен 20 %. Для того, чтобы получить такую скидку, необходимо приобрести более 2 000 ед. бруса. Таким образом, при величине партии д7= 1 489 ед. бруса минимальные совокупные затраты не могут быть достигнуты.

Таким образом, минимальная величина общих затрат для финансирования запасов может быть достигнута при величине партии, равной 847 либо 1 103 ед. бруса. Для определения этого минимума остается подставить значения размеров этих партий в формулы для нахождения величины общих затрат Q. По аналогии с формулой (7) для расчета оптимальной величины партии при предоставлении единственной дифференцированной скидки можно также вывести из формулы (6) формулу для расчета оптимальных общих затрат на финансирование запасов, вычисленных для любого максимального значения дифференцированной скидки.

Таким образом, при отсутствии скидки (п = 1) общие затраты рассчитаем по формуле (5). При наличии скидок (п > 1)по следующей формуле:

Q(qs) = 510 • 6 000 +

Q (дп ) = кп R + 2 С,

q+Ё - к )

TR. (8)

2-1(500 +100•30 + 200•30 + +J - 3 364 762 руб.

V300 -15 + 500 -15)360 • 6 000

Q{q6) = 495 • 6 000-

2 • 1(500 +100•30 + 200•30 + 300•15 -+500 -15 +1000 -15)360 • 6 000

i 3 224 559 руб.

Для значений д5 = 847 и д6 = 1 103 общие затраты составят, соответственно:

Таким образом, оптимальная величина партии бруса, при которой общие затраты на приобретение и хранение будут минимальными, составит д6 = = 1 103 ед.

Распределение значений оптимальных размеров партий при различных уровнях цен по интервалам объема закупок, дающих право на получение скидки, будетвыглядетьтак:

- 101—200 ед. — д1= 129 ед.;

- 301—500 ед. — #2= 342 ед.;

- 501-1 000 ед. - д3 = 563; д4= 683; д5= 847 ед.;

- 1 001—2 000 ед. — д6 = 1 103; д7= 1 489 ед. Для определения значений величины партии

дп, которые являются локальными минимумами функции общих затрат на финансирование запасов ресурсов необходимо узнать, какие из этих дп соответствуют интервалам, для которых была использована соответствующая система скидок. Другими словами, значение величины партии, равное дх, для того чтобы стать локальным минимумом функции общих затрат, должно находиться в первом интервале количества приобретенного ресурса, д2 — во втором, д3 — в третьем и т. д. После того как определены значения дп, попадающие в нужные интервалы, на основе этих значений определяется минимальное значение функции общих затрат (2 (дп).

Исследуя формулы (7) и (8), можно обратить внимание на то, что система дифференцированных скидок влияет на увеличение объема закупаемой партии. Причем, в выражениях для расчета оптимального объема партии и соответствующих им оптимальных затрат можно обратить внимание

п

на элементы Ь1_1(к1_1 - к1) , которые и оп-

1=2

ределяют основное отличие данной формулы от классической формулы Вильсона (3). В формулах, которые используются для расчета оптимальной величины партии при дифференцированной скидке, финансово-экономический смысл этой суммы не меняется. Как и в классической формуле Вильсона, указанная сумма представляет собой организационные расходы, связанные с приобретением одной

партии ресурса, поскольку ^ Ь11(к11 - ) — это не

1=2

что иное как величина сэкономленных средств за счет полученных скидок на приобретение ресурса. Последнее замечание является очень важным в том плане, что в большом количестве организаций величина расходов на оплату труда снабженцев

Список литературы

поставлена в зависимость от количества сделок. Поскольку данные расходы находятсвое отражение в величие С, постольку ее увеличение связано с

п

уменьшением величины ^Ь1_1(к1_1- к,). Таким

1=2

образом, оба слагаемых взаимозависимы.

1. Бригхем Ю., Гапенски ^.Финансовый менеджмент: полный курс. СПб: Экономическая школа, 2005.

2. Бродецкий Г. Л. Управление запасами. М.: Эксмо, 2008.

3. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. СПб: Питер, 2001.

4. СтерлиговаА. Н. Управление запасами в цепях поставок. М.: ИНФРА-М, 2008.