Система управления каскадом химических реакторов для проведения последовательно-параллельной реакции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.011.001:681.51

А.Н. Лабутин, В.Ю. Невиницын, А.Н. Деветьяров

СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ КАСКАДОМ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ РЕАКЦИИ

(Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: lan@isuct.ru, nevinitsyn@gmail.com

В работе решена задача синергетического синтеза нелинейной системы управления концентрацией целевого компонента в каскаде реакторов идеального смешения с секционированной подачей общего реагента в аппараты. Синтез алгоритма управления концентрацией осуществлен с использованием метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов.

Ключевые слова: химический реактор, синергетическая система управления, аналитическое конструирование агрегированных регуляторов, инвариантное многообразие, аттрактор, компьютерное моделирование

Многие промышленно-важные продукты и полупродукты в технологии основного органического и нефтехимического синтеза получают путем реализации последовательно-параллельных реакций:

A + B-

, A + р

A + P

n-1

->P„

Р

( ■*■ n

(1)

. Pn -

где А и В - исходные реагенты; Р1, Р2, .. продукты реакции; к1, к2, ..., кп - константы скоростей стадий. Целевым компонентом является вещество Р2. В общем случае, при изменении спроса на продукты реакции целевым может быть и другой компонент или смесь ряда веществ.

Современным, научно обоснованным подходом к проектированию реакторных систем является интегрированный подход, предполагающий совместное проектирование непосредственно аппаратурно-технологического оформления реакторного узла и системы управления узлом [1]. При решении задачи оптимального синтеза реакторной системы определяются аппаратурно-технологи-ческое оформление процесса и оптимальные условия реализации реакции (обеспечивающие максимальную селективность по целевому продукту). Для этого исследуется влияние температуры, концентраций и соотношения реагентов, типа реактора, способа введения реагентов в зону реакции и степени конверсии ключевого реагента В на селективность процесса по целевому продукту [2]. При этом необходимо учитывать характерную особенность современной экономики - периодически изменяющийся спрос на те или иные продукты реакции, что обеспечивает необходимость создания гибких реакторных систем [3]. Таким образом, можно сказать, что расширяются функ-

циональные задачи реакторной системы: она должна обеспечивать не только заданную производительность по целевым веществам, но и эффективно работать при переходе с одной производительности на другую.

В работе [4] показано, что эффективным способом управления селективностью по целевым продуктам для реакций рассматриваемого типа является их проведение в реакторах идеального вытеснения с распределенной по длине подачей общего реагента А или в каскаде реакторов идеального смешения с секционированным введением общего реагента А и организацией (при необходимости) рецикла промежуточных продуктов на вход реакторной системы.

Задачей системы автоматического управления является обеспечение оптимальных условий функционирования реакторного узла при действии внешних и внутренних возмущений, а также подзадача перевода химико-технологического процесса с одной производительности на другую.

В силу того, что химический реактор, как объект управления, является многомерным, многосвязным и нелинейным, синтез и использование линейных систем автоматического управления не позволяет обеспечить работоспособность комплекса «реактор - подсистема управления» при существенных возмущениях и отклонениях переменных состояния от номинальных значений. Эффективным и перспективным способом разработки алгоритмов управления динамическими объектами такого класса является метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР), базирующийся на синергетических принципах целевой самоорганизации нелинейных динамических систем [5].

о, =v, +а, d

'2 1

12 22 л3 2 42

V,

v, =u, +a,v

■зи1

"13 23 л33 43

Рис. 1. Принципиальная схема реакторного узла Fig. 1. The schematic representation of reactor unit

В работах [6, 7] поставлены и решены задачи разработки системы управления реакторами для проведения последовательных и последовательно-параллельных реакций, кинетика которых описывается линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В работе [8] была решена задача синтеза системы управления концентрацией целевого вещества на выходе реакторного каскада, функционирующего в изотермическом режиме при реализации сложной реакции с нелинейной кинетикой. Проведенные исследования показали эффективность синтезированных законов управления при действии внутренних и внешних возмущений.

В настоящей работе решается задача синтеза системы управления концентрацией целевого компонента в каскаде реакторов идеального смешения с секционированной подачей общего реагента в аппараты (рис. 1).

На рис. 1 введены следующие обозначения: х1вх, х2вх - концентрации исходных реагентов А и В; и^, и2вх - расход исходных реагентов на входе в реакторную систему; а7, 7 = 1, ..., 3 - доля потока исходного реагента А на входе в 7-й реактор; а7и\вх, 7 = 1, ..., 3 - поток реагента А на входе в 7-й реактор; и7, 7 = 1, ..., 3 - расход реакционной смеси на выходе из i -го аппарата; х^-, х27, х37, х47, 7 = 1, ..., 3 - концентрации компонентов А, В, Рь Р2 в 7-м реакторе; У7, 7 = 1, ..., 3 - объем реакционной смеси в i -м аппарате.

Учитывая, что цель функционирования объекта - это обеспечение на его выходе заданного оптимального значения концентрации целевого вещества (Р2), возможно сформулировать основную задачу системы управления: стабилизация концентрации целевого вещества в выходном потоке в условиях действия на объект внешних и внутренних возмущений.

Для успешного решения этой задачи прежде всего необходимо выбрать регулирующие

воздействия (управления), наиболее существенно влияющие на значения регулируемых переменных. Для этого следует проанализировать структуру уравнений математической модели третьего аппарата каскада.

Математическая модель третьего реактора узла при постоянной температуре реакционной смеси и постоянном объеме имеет вид:

dr

dx 22 dr

dr dx дз dr

= Ri3 +

(x12 x13) (xj x13)

V,

= R23 +

= R33 +

=R43 +

V3

(Х22 — x23 )

V3

(Х32 — x33 )

V3

(Х42 — x43 )

v — — aV,

V

v2 — — avT

V3

(2)

31

V

v--41 avB,

V

где и2 = а^в + а2иВ + ив2х;

Я43 = к2хих33 - к3хих43 - скорость реакции

по компонентам.

Анализ структуры математической модели (2) показывает, что в качестве регулирующего воздействия для стабилизации концентрации целевого вещества на выходе реакторного узла может быть выбрана подача исходного реагента А на вход в третий аппарат каскада - поток а3и\вх. Канал управления с учетом кинетических закономерностей (вид Я43) и структуры правых частей системы (2) выглядит следующим образом:

где ы=а301 - регулирующее воздействие.

Учитывая структуру канала управления, был использован метод АКАР на основе последовательной совокупности инвариантных многообразий - аттракторов.

вх

2

—> x13-->

u

x

43

На первом этапе процедуры синергетиче-ского синтеза введем в рассмотрение макропеременную щ, задающую связь между х13 и регулируемой переменной х43:

= х1з + к1( х43), (3)

где у1(х43) - неизвестная пока функция от х43.

Закон управления и синтезируется таким образом, чтобы осуществлялся перевод изображающей точки (ИТ) системы в фазовом пространстве из произвольного начального положения в окрестность притягивающего многообразия щ=0. Изменение агрегированной макропеременной, играющей роль параметра порядка, подчиняется функциональному уравнению

Г1¥1 + ¥1 = 0, (4)

где Т1 - постоянная времени. Это уравнение устойчивой экстремали, доставляющей минимум оптимизирующему функционалу

з = |(т;2^ 12 +

0

т.

Уравнение (4) с учетом (3) примет вид

Т

ССх^ дк Сх„

с1т дх„ с1т

+ х13 + К = 0.

В силу уравнений объекта (2) это выраже-

ние запишется:

^ + (Х12 Х13 ^ , (Х1 Х13 )

V

V

и +

дкг

дХЛ1

(Х42 Х43 ) Х43

Л„ + ■ "

V

V

3 у

(5)

+ х13 + у1 = 0.

Из (5) получаем выражение для закона управления:

и =

ду1 дх„

--(х13 + у,)-яи-(х12 "х1з)-

т> . (Х42 - Х43 ) + —

дк1 х43

V

V, -

(ХТ -Х13) (6)

V

Сх

Ст

23 7 (Х22 Х23 ) Х23

23 = к, к +- 22 23 " 23

Ст

Сх

V

— (к2 х^^ к^ Х23)

2 V

V

-V

и, (7)

V

Ст

43 — К1(к3 Х43 к 2 Х33) + (Х42 Х43)" Х43

V

V

Функцию к1 в декомпозированной системе (7) можно рассматривать как «внутреннее» управление, под воздействием которого происходит движение объекта (7) вдоль многообразия щ=0. На втором шаге процедуры синтеза закона управления осуществляется поиск выражения для к1. Для этого вводится в рассмотрение цель движения системы (7) в форме инвариантного многообразия, отражающего технологическое требование к системе (цель работы)

= х - х = 0

43 43 '

(8)

где х43 - заданное значение концентрации целевого продукта на выходе узла.

Макропеременная \у2 удовлетворяет решению функционального уравнения

Т2 у/2 + у2 = 0 , которое в развернутом виде с учетом выражения (8) в силу модели декомпозированной системы (7) примет вид:

Т

к1(к3 Х43 к 2 Х33) +

(Х42 Х43 )

V

Х43

V--и

V

у 3

+

(9)

+ Х43 Х43

Отсюда «внутреннее» управление запи-

шется:

(х43 Х43 )

(Х42 Х43 )v2

Т2 (к3 Х43 к2 Х33 ) ^3(к3 Х43 к2 Х33 )

■ +

(10)

+

^3(к3 Х43 к2 Х33)

дх43 ^3

Управление и переводит ИТ системы в окрестность многообразия щ=0, на котором реализуется связь х13= -у1 и наблюдается эффект «сжатия фазового пространства», т.е. снижение размерности системы уравнений (2). Уравнения декомпозированной системы с учетом соотношения х13= -к1 примут вид:

Закон (10) обеспечивает асимптотическое приближение ИТ ко второму притягивающему многообразию щ2 = х43 - х43 = 0 .

Частную производную дк1/дх43 можно получить как аналитическим способом, так и с помощью численных методов.

Окончательное выражение для закона внешнего управления и можно получить путем подстановки в (6) функции к1 и ее частной производной. Параметрами настройки закона управления, влияющими на качество динамики процессов в замкнутой системе «реакторный узел - управляющая подсистема», являются постоянные времени Т1, Т2. Время переходного процесса регулирования концентрации определяется в соответст-

+

и

+

Х43 и

/

вии с оценкой: + Т2]Т + Т2. Условие

асимптотической устойчивости замкнутой системы «реакторный узел - управляющая подсистема», в целом, относительно макропеременных щ и щ2 имеет вид: Т1> 0, Т2> 0.

Из (10) следует, что в выражение для у1 непосредственно входит регулирующее воздействие и. С учетом этого, предлагается следующий алгоритм реализации закона (6), (10). Предварительно вычисляется величина «внутреннего» управления у1 и значение частной производной 5у1/5х43 при текущем значении регулирующего воздействия и. Затем вычисляется новое значение управления и при рассчитанных у1 и ду1/дх43.

Проведено исследование замкнутой системы «реакторный узел - управляющая подсистема» методами имитационного моделирования с целью определения работоспособности предложенного алгоритма управления.

0.825

0.82

0.815

0.81

1 1 1 1 У1

-

i i i i

0.75

0.65

0.55

0.45

200

400

600

800

1x10"

т, мин

Рис. 2. Изменение регулируемой переменной х43 (сплошная линия) и управляющего воздействия u (пунктирная линия) при ступенчатом возмущении по хвх2, равном Дх2вх = -0.05 хвх2; 1 -

Т1=Т2=Ю, 2 - Т1=Т2=20 Fig. 2. Change in controlled variable х43 (solid line) and control action u (dashed line) for step disturbance Дх2вх = -0.05; 1 - Т1=Т2=Ю, 2 - Т1=Т2=20

Рис. 3. Изменение регулируемой переменной х43 (сплошная линия) и управляющего воздействия u (пунктирная линия) при начальном отклонении переменных состояния от статики Дх°д = -0.1х°ьj=1,..., 4, i=1,..., 3; 1 - 1 - T1=T2=10, 2 - Г!=Г2=20

Fig. 3. Change in controlled variable х43 (solid line) and control action u (dashed line) at initial displacement of state variables from static regime Дх°^ = -0.1 xj j=1,..., 4, i=1,., 3; 1 - 1 - T1=T2=10, 2 - Г!=Г2=20

Моделирование проводилось при следующих технологических и конструктивных параметрах реакторного узла: 1^=^=^=200 (л); х1ех=19.74 (моль/л); Х2вх=10.93 (моль/л); V\x=1.5 (л/мин); v2bx=3.5 (л/мин); «1=0.33; «2^0.35; а3=0.32; Vi= =3.995 (л/мин); v2=4.52 (л/мин); v3=5 (л/мин); энергия активации £1=48635 (Дж/моль); предэкс-поненциальный множитель константы скорости k1 k10=109860 (л/[моль-мин|); соотношения констант скоростей последовательных стадий k2/k1=2, ky^=2.5; заданное значение концентрации целевого продукта Р2 на выходе узла х43 =0.8210

(моль/л). При моделировании предполагалось, что измеряются все переменные состояния.

На рис. 2, 3 приведены примеры переходных процессов регулирования в замкнутой системе «реакторный узел - нелинейная управляющая подсистема» при различных входных воздействиях и параметрах алгоритма управления (6), (10). Для наглядности движение системы (переходные процессы) до момента приложения входного воздействия (т=100 мин) приводится в статическом режиме.

Результаты имитационного моделирования замкнутой системы «реакторный узел - нелинейная управляющая подсистема» при использовании алгоритма (6), (10) показали инвариантность системы к возмущениям, ковариантность с задающим воздействием, асимптотическую устойчивость в целом, грубость при условии полной наблюдаемости объекта.

Таким образом, методами синергетической теории управления решена в нелинейной постановке задача аналитического синтеза закона стабилизации концентрации целевого продукта в каскаде химических реакторов с распределенной подачей исходного общего реагента в аппараты при проведении последовательно-параллельной реакции. Метод АКАР позволяет решать задачу управления в нелинейной постановке с учетом индивидуальных особенностей химических реакторов. Это указывает на перспективность и эффективность синергетического подхода для конструирования новых классов замкнутых систем «реактор - нелинейная система управления».

ЛИТЕРАТУРА

1. Дворецкий Д.С., Дворецкий С.И. // Вестник ТГТУ.

2003. Т. 9. № 3. С. 360-381;

Dvoretsky D.S., Dvoretsky S.I. // Vestnik TGTU. 2003.

V. 9. N 3. P. 360-381 (in Russian).

2. Лабутин А.Н. // Изв. вузов. Химия и хим. технология.

1999. Т. 42. Вып. 1. С. 117-122;

Labutin A.N. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim.

Tekhnol. 1999. V. 42. N 1. P. 117-122 (in Russian).

3. Лабутин А.Н., Гриневич П.В., Хализов Р.Л., Сучков

М.Е. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 1999. Т. 42. Вып. 3. С. 139-141;

Labutin A.N., Grinevich P.V., Khalizov R.L., Suchkov M.E. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 1999. V. 42. N 3. P. 139-141 (in Russian).

4. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. М.: Химия. 1976. 676 с.; Boyarinov A.I., Kafarov V.V. Optimization methods in chemical technology. M.: Khimiya. 1976. 676 p. (in Russian).

5. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат. 1994. 344 с.;

Kolesnikov A.A. Control synergetic theory. M.: Energoato-mizdat. 1994. 344 p. (in Russian).

6. Лабутин А.Н., Семёнов Ю.В. // Изв. вузов. Экономика, финансы и управление производством. 2011. № 4. С. 114-120;

Labutin A.N., Semenov Yu.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Economica, finansy i upravlenie proizvodstvom. 2011. N 4. P. 114-120 (in Russian).

7. Лабутин А.Н., Кукушкин А.В. // Изв. вузов. Экономика, финансы и управление производством. 2011. № 3. С. 81-86;

Labutin A.N., Kukushkin A.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Economica, finansy i upravlenie proizvodstvom. 2011. N 3. P. 81-86 (in Russian).

8. Лабутин А.Н., Невиницын В.Ю. // Изв. вузов. Экономика, финансы и управление производством. 2011. № 3. С. 86-92;

Labutin A.N., Nevinitsyn V.Yu. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Economica, finansy i upravlenie proizvodstvom. 2011. N 3. P. 86-92 (in Russian).

Кафедра технической кибернетики и автоматики