CC BY
7дение которых несколько отличается от основных, составляющих моделируемую среду. Если основные клетки можно назвать «рабочими клетками» то в рассмотрение можно ввести «граничные клетки», «клетки - стенки», «клетки - источники» и пр. Теперь нетрудно заметить, что клеточно-автоматный подход можно представить, как некий модельный аналог дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной процесс.
Из локальных правил поведения клеток автомата следует, что объем вычислений при моделировании зависит только от общего количества клеток в автомате, но не зависит от их типов. Поэтому усложнение граничных условий, появление в модельной области участков с разными физическими свойствами и другие моменты, существенно усложняющие решение дифференциальных уравнений, здесь не приводят к увеличению времени моделирования. Можно сделать вывод, что клеточные автоматы следует использовать как для исследования процессов, описываемых сложными дифференциальными уравнениями, не имеющими аналитического решения, так и для процессов, не позволяющих описать их такими уравнениями. Требуется лишь корректно описать клетки модели необходимыми свойствами (состояниями) и определить правила их локального взаимодействия.
ЛИТЕРАТУРА
Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. / Под ред. С.В. Емельянова. М.: Мир. 1978.312 с.;
Mesarovich M., Takakhara Ya. Systems general theory: Mathematical foundations. / Ed. S.V. Emelyanov. M.: Mir. 1978. 312 p. (in Russian).
Анфилатов В. С., Емельянов А.А, Кукушкин А.А
Системный анализ в управлении. М.: Финансы и статистика. 2009. 368 е.;
Anfilatov V.S., Emelyanov A.A., Kiikiishkiii A.A. System analysis in a management. M.: Finansy i statistika. 2009. 368 p. (in Russian).
Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа. Томск : НТЛ. 2001. 389 с.
Peregudov F.I., Tarasenko F.P. Fundamentals of Systems Analysis. Tomsk: NTL. 2001. 389 p. (in Russian). Бандман О.Л. // Программирование. 2001. №4. С. 1-17; Bandman O.L. // Programirovanie. 2001. N 4. P. 1-17 (in Russian).
Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2009. 430 е.; Norenkov I.P. Fundamentals of computer-aided design. M.: MGTU. 2009. 430 p. (in Russian).
Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2009. Т. 52. Вып. 3. С. 109-114;
Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2009. V 52. N 3. P. 109-114 (in Russian) Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука. 1978. 356 е.;
Buslenko N.P. Simulation of complex systems. M.: Nauka. 1978. 356 p. (in Russian).
Кафедра информационных технологий,
кафедра машин и аппаратов химических производств
УДК 66.011.001:681.51
A.B. Кукушкин, Ю.В. Семенов, А.Н. Лабутин
ВЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕАКТОРОМ ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ
РЕАКЦИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
(Ивановский государственный химико-технологический университет) e-mail: a_kukushkin@mail.ru, yury_semenov@mail.ru, lan@isuct.ru
В работе решена задача синтеза векторного алгоритма управления реакторами идеального смешения для проведения реакций последовательного, параллельно-последовательного и обратимого типов. Имитационное моделирование замкнутой системы "объект-управляющее устройство" показало эффективность синтезированных законов автоматического регулирования с астатической составляющей для случая не полной наблюдаемости объекта.
Ключевые слова: векторный алгоритм управления, реактор идеального смешения, синтез системы управления, синергетический подход
Реакции последовательного (I), парал- промышленности и часто реализуются в реакто-лельно-последовательного (II) и обратимого ти- pax идеального смешения (РИС) или каскаде ре-пов (III) широко распространены в химической акторов [1].
А
А
4
4- -^В
(I)
(II)
в
->А
управления многомерным объектом необходима его математическая модель, приведенная ниже:
^ = R dz 1
V
uxl
dx2
17
vx2
dx.
(III) =
u.x,
dx2 _ vx}
sx i
dx4 IJX,
целевым продуктом является вещество В, С и Б -побочные продукты.
Принципиальная схема реактора, работающего в политропическом режиме, представлена на рис. 1.
5_ _
dr V '
u2x"z vxs R2 H KtFt{x, - x,-)
~T ~+~pc vpd :
(1)
Рис. 1. Принципиальная схема объекта управления Fig. 1. The schematic representation of the control object
На рис.1 введены следующие обозначения: xiBX - концентрация исходного реагента; i)i, ги -расходы исходного реагента и разбавителя; х5вх1, х5вх2 - температуры исходного реагента и разбавителя; и - расход смеси на выходе; - расход хладоагента в рубашке; х6БХ - температура хладоа-гента на входе в рубашку; хь х2, х3, х4 - концентрации веществ А, В, С, D; х5 - температура в реакторе, х6 - температура хладоагента; V - объем аппарата, V,, , - объем рубашки.
Цель функционирования реактора - получение целевого компонента В с заданной концентрацией (х2 ) при определенных (оптимальных) значениях конструктивных и технологических параметров. Отсюда, основная задача системы управления объектом заключается в стабилизации концентрации целевого вещества и температуры процесса на заданном оптимальном уровне (х~2. а*5 ) в условиях действия внешних и внутренних возмущений. Кроме того, в условиях рыночной экономики периодически изменяется спрос на целевой продукт и, следовательно, периодически необходимо изменять производительность по этому веществу, то есть переходить с одной производительности на другую [2].
Для решения задачи синтеза алгоритма
ЛХ6 ! KTFT(XS хб).х[ о
dr г„ г;, ' "
где и = V! + и2 (при V = const); АН - тепловой эффект реакции, отнесенный к скорости образования вещества В; Кт - коэффициент теплопередачи; FT - поверхность теплопередачи; р, рхл - плотности реакционной смеси и хладоагента; С, Схл - теплоемкости реакционной смеси и хладоагента; kj = kjQ ■ +273.15 о — константы скорости
соответствующих стадий; Rt, i = 1,4 - скорости изменения концентраций компонентов А, В, С, D соответственно. Выражения для скоростей реакций по исходному реагенту А и целевому продукту В различаются в зависимости от типа реакции: (1Щ =-k\X\ -R2 = к\х{ -к2х2.
(II) R\ = -к-х\ - к3хг; R2 = к\х\ — к2х2 ■ (III) Ri = -fcjxj + к3х2; R2 = /qxj - k2x2 - k3x2 .
Качественный анализ системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) показывает: она нелинейная в силу нелинейности кинетики реакций (R,) при неизотермическом режиме работы аппарата; на концентрации компонентов А и В и скорости их изменения не влияют концентрации веществ С и D, а концентрации веществ А и В и температура взаимосвязаны и, следовательно, из системы уравнений (1) можно исключить уравнения для х3 и х4.
Управлять концентрацией компонента В предполагается путем изменения подачи разбавителя — г)2, приводящего к изменению концентрации веществ и времени пребывания их в аппарате, при V=const. Регулирование температуры возможно осуществлять изменением подачи хладоагента - ихл.
Непосредственно, в качестве управляющих воздействий целесообразно выбрать отклонения расходов г>2 и г>,. , от их значений в статике
Аи2 = v2°uh Аихл = ихл°-и2,
где Iii и и2 - безразмерные управления, изменяющиеся в интервале [-1;+1], что соответствует изменению расходов и2 и юхл в интервалах v2=[0;2v2°], ихл=[0;2ихл°].
Для проведения синтеза алгоритма стаби-
лизации концентрации целевого компонента и температуры модель (1) представим в виде: Х1 Ц + и2 + и1°2
= к | с1т 1 V
V
^Х2 и + °2 + Х-у
-= л,--:-;
с1т V
сЬс5 _ + и2х"' чр2
с1т ~ V V
(2)
V
рС
УрС
dx6
V,.
ходе изображающей точки системы в фазовом пространстве из произвольного начального положения в окрестность многообразий ц/г = 0 и ц/2 = О под воздействием управлений иг и подчиняется функциональному уравнению:
(4)
dт
г = 1,2.
где Ti - постоянная времени. Это уравнение устойчивой экстремали, доставляющей минимум оптимизируемому функционалу./:
J =
О
. , ч ах 41=1
с1х.
+ Ктрт{х5-хв) , 0 V р С ,|г=0 '
XI' .V/ ,Т<7
где и2 = Ух. = УхЛ
С точки зрения теории автоматического управления реактор является многомерным, нелинейным и многосвязным объектом управления. Вопросы синтеза систем автоматической стабилизации и управления химическими реакторами для поддержания оптимальных условий работы рассматривались, в основном, в линейной постановке [3,4].
В данной статье задача синтеза алгоритма векторного управления концентрацией и температурой решается с точки зрения современной науки об управлении, т.е. с учетом нелинейности и мно-госвязности математической модели объекта [5].
Синтез закона управления предлагается осуществлять с использованием методов синерге-тической теории управления, а именно: метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов на основе процедуры рассмотрения параллельно-последовательной совокупности инвариантных многообразий [6].
Ранее в работах [7,8] решались задачи аналитического синтеза алгоритмов стабилизации температуры или концентрации целевого вещества реакции в химическом реакторе.
С учетом того факта, что управление щ непосредственно входит в уравнение для концентрации Х2, а управление и2 не присутствует в уравнении для температуры, а входит в правую часть уравнения для х6, то на первом этапе процедуры синергетического синтеза предлагается ввести в рассмотрение следующие макропеременные:
¥1 = х2 - *2;
И")
\\)2=хб+\'(х5), где Х2 - заданное значение концентрации компонента В, v(x¡) - некоторая функция, определяемая в дальнейшем.
Изменение макропеременных у/, при пере-
С учетом (3) система (4) примет вид:
гг ¿х2 —
11—- + хг-хг =0;
ёт
с1т
дх, йт
(5)
В силу уравнений модели объекта (2), система (5) запишется следующим образом:
С^иг^г м1и2х2 _ (¡2~х2 ,
«2-
V У
дх<~,
где
Т\
Т2 '
Кг1Н
' рс '
(6)
, ^ хв
л = —--+аг \ - а1х
_КТР7
а, =-
Урс' ' уж
Из (6) получим выражения для векторного закона управления:
га.
V х, - хг Т,и2хг
и2х2 и2
и = /6 (7)
2 Т2Ь2 йж, ^ Ъ2 ) Ь2
Управления и и2 переводят изображающую точку в окрестность пересечения многообразий цг1=цг2=0. При этом реализуется связь: х2 = л'2-
хб = -\'(л'5 ), и наблюдается эффект «сжатия фазового пространства», т.е. снижения размерности системы (2). В результате уравнения декомпозированной системы примут вид:
х1 Ц + 1А, + М,и,
С^ЗСл _ Х-1
—1 = л +
йт 1 V
V
ат
(8)
/5 "Г
Под воздействием внутреннего управления
и, =
у(х5) происходит движение ИТ системы (8) вдоль пересечения многообразий цг;=(/ь=0 в окрестность следующего многообразия ц/з=0. Сформируем макропеременную цгз с учетом цели управления температурой в реакторе: уз = - л-5 .
Используя функциональное уравнение типа (4), в силу уравнений декомпозированной модели (8), формула для внутреннего управления запишется следующим образом
"*5
«1 ОЦ^З
(9)
= R -dz 2
+ иг + ("
TlV2X2
Х2
V
dz ' а, а.Т,
dx2
После преобразования получаем: Т\ •—^ +
, —■ Т dx5 ~
+ *2 = Л2= ?3--—+ Х5 = Х5.
dx
Данные уравнения
значениям в статике.
Исследовались инвариантность системы к возмущениям, ковариантность с заданием. Структура закона для всех типов реакций одинакова, отличие только в выражении для Я^:
Я2 = А-'.х, - к,х, реакции /, II ;
Я2 = А:, х, - к2х2 - к}х2 реакция III .
Х2(т), Моль/л
Используя (9), получено выражение для частной производной оу / 0x5.
Таким образом, векторный закон управления состоит из выражений (7), (9) и формулы для
Параметрами настройки являются величины Ть Т2, Т3. Значения этих параметров определяют качество и время переходных процессов управления. Условие асимптотической устойчивости системы в целом относительно макропеременных цг,имеет вид Г, > 0, т.к. изменение ц/, описывается уравнением свободного движения апериодического звена 1-го порядка (4). Асимптотическая устойчивость изменения регулируемых переменных при движении вдоль многообразий проверяется подстановкой и1 во второе уравнение системы (2) и V - во второе уравнение системы (8):
и.
0,5-С
"¡500 1 I 1 i .-•- 2
У 1 1 и \
я *%1> \ 1
/ 2
0.1
-0.2
- 0.4
3x103
О 1x10 2x10
т, мин
Рис. 2. Переходные процессы регулируемых переменных и управлений при ступенчатом изменении задания
Алл = 0. 1 ■ Л'т > Лл"5 =0.1- .v!
9:1-1
вариант реализации алго-
имеют вид апериодического звена, решение которого носит затухающий характер, т.е. х2 |х_»оо =
, Х5 ^оо = х^ри Т2, Т5>0.
Исследовались 2 варианта реализации алгоритма управления (7), (9).
I вариант. Осуществляется измерение всех переменных состояния объекта, текущие значения которых используются для расчета управляющего воздействия.
II вариант. Измеряются только концентрация целевого вещества и температура в реакторе. Остальные переменные состояния, входящие в закон управления, считаются не наблюдаемыми. Их значения при расчете управляющего воздействия принимаются постоянными и равными их
ритма управления; 2 - II вариант реализации алгоритма управления;--изменение концентрации целевого вещества В;-----изменение управляющего воздействия u i
Fig. 2. Transitions process of the output variables and controls at the step disturbance of the task Axi = 0.1 • > Ax$ =0.1- .vi? ;
1 - the first version of a control algorithm; 2 - the seond version
of a control algorithm;--change in the target compound (B)
concentration;-----change in the control action ui
Установлено, что изменение переменных состояния и управлений для всех типов реакций совпадают при отработке системой возмущений и задающего воздействия. Поэтому на рис.2 приведены переходные процессы для реакции параллельно-последовательного типа при реализации обоих вариантов алгоритма управления.
Результаты моделирования показали, что система характеризуется наличием существенной статической ошибки, т.е. не обладает достаточной точностью при реализации II варианта алгоритма управления. В связи с этим, синтезирован астатический закон стабилизации концентрации целевого вещества В и температуры в реакторе. Для этой цели модель объекта (2) дополняется уравнениями, характеризующими введение интегральной составляющей:
dz1 — dz2
-= х2 — х2 > -
dx dx
■ = х5 -х5,
(10)
где л"2 - заданное значение концентрации компонента В, Т5 - заданное значение температуры в
реакторе, 2| | (2 - л-2 ут, = | (-5 - л-5 у/т.
о о
Используя метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов [6], получено выражение для закона управления:
и2Л"2 и2 Т\игх2
и2 =
(,т6 - v(_v5 )) dv{x5 ) Г /5 + щ х6
T2b
2°2
й»5
b
2
А
(11)
У(х5) = + (х5~*5)(7зУ2+Ц + У2г2 ' ах ахГ3 '
Для нахождения алгоритма управления, была использована процедура рассмотрения параллельно-последовательной совокупности инвариантных многообразий: = " > - = + )-Уз = -х5 +"'2л2- где ~ настроечные параметры, отвечающие за вклад интегральной составляющей, а"2 - заданное значение концентрации вещества В, хд - заданное значение температуры в реакторе, - некоторая функция определяемая в дальнейшем.
С целью исследования работоспособности алгоритма векторного управления проведено имитационное моделирование замкнутой системы "объект-управляющее устройство". При моделировании использовали значения технологических и конструктивных параметров объекта, приведенные ранее. Настройки регуляторов: Т1=250, Т2=300, Т3=100, у! = у2 = 0,03.
Результаты моделирования показали, что при I и II вариантах реализации алгоритма управления, система асимптотически устойчива, инвариантна к возмущениям, ковариантна с задающим воздействием по каналам управления и характеризуется отсутствием статической ошибки.
Ниже приведены переходные процессы в системе для реакции параллельно-последовательного типа при реализации II варианта алгоритма управления.
Методами синергетической теории управления решена в нелинейной постановке задача синтеза векторного алгоритма управления концентрацией целевого вещества и температурой процесса для типовых реакций в реакторах идеального смешения. Показана эффективность синтезированных законов автоматического регулирования с астатической составляющей для случая не полной наблюдаемости объекта.
Рис. 3. Переходные процессы регулируемых переменных и управлений для астатического закона при ступенчатом изменении задания д^ = о. 1 • х®, Ах$ =0.1- х® ■ а)-- изменение регулируемой переменной х2;-----изменение управляющего воздействия u 1; б)--изменение регулируемой
переменной х5;-----изменение управляющего воздействия
"2
Fig. 3. Transitions process of the output variables and controls for
the step disturbance of the task д^ = о. 1 • л? > Ддз = 0.1 ■ х® • а)
--change in controlled variable x2;-----change in the
control action ul; 6)-- change in controlled variable x5;
-----change in the control action u2
ЛИТЕРАТУРА
1. Лебедев H.H., Манаков H.M., Швец В.Ф. Теория технологических процессов основного органического и нефтехимического синтеза. М.: Химия. 1984. 376 е.; Lebedev N.N., Manakov N.M., Shvets V.F. The theory of technological processes of basic organic and petrochemical synthesis. M.: Khimiya. 1984. 376 p. (in Russian).
2. Лабутин A.H. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 1999. Т. 42. Вып. 1. С. 117-122;
Labutin A.N. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 1999. V 42. NL P. 117-122 (in Russian).
3. Дудников Е.Г. Автоматическое управление в химической промышленности. М.: Химия. 1987. 368 е.;
Dudnikov E.G. Automatic Control in the Chemical Industry. M.: Khimiya. 1987. 368 p. (in Russian).
4. Крамере X., Вестертерп К. Химические реакторы. Расчет и управление. М.: Химия. 1967. 264 е.;
Kramers H., Westerterp K. Elements of chemical reactor design and operation. M.: Khimiya. 1967. 264 p. (in Russian).
5. Красовский А. А. Синергетика и проблемы теории управления. Под ред. А.А. Колесникова. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004. С. 13-34;
Krasovskiy A.A. Synergetics and problems in control theory. Ed. A. A. Kolesnikov. M.: FIZMATLIT. 2004. P. 1334 (in Russian).
6. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат. 1994. 344 е.;
Kolesnikov A.A. Synergetic control theory. M.: Energo-atomizdat. 1994. 344 p. (in Russian).
7. Лабутин A.H., Кукушкин A.B. // Изв. вузов. Экономика, финансы и управление производством. 2010. № 4. С. 76-82;
Labutin A.N., Kukushkin A.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Economica, finansy i upravlenie proizvodstvom. 2010. N 4. P. 76-82 (in Russian).
8. Лабутин A.H., Семёнов Ю.В. // Изв. вузов. Экономика, финансы и управление производством. 2010. №4. С. 82-89; Labutin A.N., Semenov Y.V. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Economica, finansy i upravlenie proizvodstvom. 2010. N 4. P. 82-89 (in Russian).
Кафедра технической кибернетики и автоматики
УДК 541.183
A.B. Твардовский*, В.В. Набиулин*, A.A. Фомкин
МОДЕЛЬ И УРАВНЕНИЕ АДСОРБЦИОННОЙ ДЕФОРМАЦИИ МИКРОПОРИСТОГО
АДСОРБЕНТА
(*Тверской государственный технический университет, Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина РАН) e-mail: tvardovskiy@tstu.tver.ru
В работе предложены модель и уравнение адсорбционной деформации микропористых адсорбентов с произвольно изогнутыми щелевидными микропорами, позволяющие связать величину деформации в одной микропоре с изменением размеров всего адсорбента. На основании расчета деформации в одной микропоре определены величины деформации всего адсорбента. Расчеты сопоставлены с экспериментальными данными по линейной адсорбционной деформации микропористого углеродного адсорбента АР-В при адсорбции четыреххлористого углерода в широком интервале равновесных давлений.
Ключевые слова: адсорбция, адсорбент, адсорбционная деформация адсорбентов, дилатометрический метод, линейная деформация
ВВЕДЕНИЕ Большинство современных теоретических подходов, используемых в настоящее время при интерпретации экспериментальных данных по равновесной адсорбции в пористых телах, пренебрегает адсорбционной деформацией адсорбента. Адсорбцию газов и паров, как правило, изучают в предположении инертности твердого тела. Однако адсорбционная деформация пористых твердых тел может оказывать существенное влияние на термодинамические функции адсорбционной системы, обратимость адсорбционных процессов, а также механические свойства адсорбента.
При адсорбции на «жестких» адсорбентах, таких как активированные угли и цеолиты, их от-
носительная линейная адсорбционная деформация составляет, как правило, около 1%. Несмотря на то, что адсорбционная деформация невелика, из-за высокого модуля всестороннего сжатия твердого тела энергия, затрачиваемая на его деформацию, достаточно велика и должна учитываться при расчетах адсорбционных процессов.
В работах [1-5] предложены модели адсорбционной деформации микропористого адсорбента с цилиндрическими и плоскими щелевидными порами. На основании данных моделей построена модель адсорбционной деформации микропористых адсорбентов с произвольно изогнутыми щелевидными микропорами и проведен расчет.
