CC BY
68
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. - М.: Наука: Физматлит, 1999.
2. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука, Физматлит, 1990.
3. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. - М.: Иностранная литература, 1952.
4. Алексеев ЮМ. Определение параметрических бифуркаций при анализе устойчивости колебаний инжекционных полупроводниковых лазеров. - М.: Нелинейный мир, 2005.
- № 3. - C. 37-38.
5. Алексеев Ю.И., Орда-Жия>лина М.В., Михеев СС. Анализ устойчивости инжекционных полупроводниковых лазеров методами теории колебаний // Радиотехника и электроника.
- 2006. - № 43. - С. 476-479.
6. Андр оное А А., Витт А А., С.Э. Хайкин. Теория колебаний. - М.: Наука, 1981.
7. . . . - .: -
, 1984.
8. Моисеев НМ. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1969.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.Р. Гайдук. Орда-Жи^лина Марина Владимировна
Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел: 88634371733.
Кафедра антенн и радиопередающих устройств; доцент.
Алексеев Юрий Иванович
E-mail: [email protected].
Кафедра антенн и радиопередающих устройств; профессор.
Orda-Zhigulina Marina Vladimirovna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634371733.
The Department of Antennas and Radio Transmitters; Associate Professor.
Alekseev Yuriy Ivanovich
E-mail: [email protected].
The Department of Antennas and Radio Transmitters; Professor.
УДК 501.462
ЕЛ. Плаксиенко
СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ
ОБЪЕКТАМИ
Рассмотрена проблематика синтеза управления нелинейными энергетическими объектами на основе метода Ляпунова, преобразования переменных состояния, синтеза управления путем приведения уравнений объекта к управляемой форме Жордана.
Предложен аналитический метод синтеза стабилизирующих управлений нелинейными энергетическими объектами путем приведения их уравнений к специальной форме. Получены условия существования решения задачи синтеза. Приводится численный пример.
Энергетический объект; нелинейность; преобразование; управление.
E.A. Plaksienko
CONTROL SYNTHESIS OF NONLINEAR ENERGETIC PLANTS
The article deals with the problems of nonlinear control synthesis, the energy facilities on the basis of Lyapunov method, based on the transformation of state variables, control synthesis by reduction of equations of the object to a managed form of Jordan.
An analytical method for the synthesis of stabilizing controls nonlinear energy facilities by adapting them to the equations of special form. Conditions are obtained for solving the problem of synthesis. A numerical example.
Energetic plant; nonlinearity; transformation; control.
Управление энергетическим нелинейными объектами является достаточно сложным, так как они, с одной стороны, работают в очень напряженных режимах, а с другой стороны, к ним предъявляются очень высокие требования по качеству и .
синтеза нелинейных управлений энергетическими объектами. К ним относятся: метод градиентного управления, метод отождествления высших производных, ме-, , , метод «backstepping» и многие другие [1-4].
Наиболее общим из известных является метод синтеза управлений на основе прямого метода Ляпунова, однако он в значительной степени осложнен отсутствием эффективного метода построения подходящей функции Ляпунова. Поэтому чаще всего применяются функции в виде квадратичных форм с постоянными мат,
. ,
, -
нейных энергетических объектов.
Весьма эффективными являются методы синтеза, основанные на преобразованиях переменных состояния, в результате которых уравнения объектов приобретают некоторую специфическую форму. Как правило, эта форма позволяет легко найти искомое управление. В данной работе используется метод синтеза управлений для нелинейных аффинных объектов с дифференцируемыми нелинейностями путем приведения их уравнений к управляемой форме Жордана (УФЖ) [5]. Следу, -, .
Если уравнения энергетического объекта приведены к УФЖ, то задача синтеза стабилизирующего управления решается аналитически, причем для синтезированной системы легко строится функция Ляпунова, которая позволяет, в частности, оценить область притяжения положения равновесия и длительность переход.
, , . , , -вия существования решения этой задачи для конкретного нелинейного объекта. В виду большой сложности этой проблемы ограничимся здесь частным случаем нелинейных объектов третьего порядка с одним управлением и дифференцируе-.
Предположим уравнения некоторого энергетического объекта общего вида [1,4,5] имеют вид
x = f (x)+b(x) u, (1)
где x = [ xp..., xn ]T , xi - переменные состояния, f (x) = [ f1( x) ... fn (x)]T -нелинейная дифференцируемая вектор-функция, причем f (0) = 0, a u = u(x) -
скалярное управление. Рассмотрим случай, когда компоненты Ьі (х) входного вектора Ь(х) зависят лишь от одной переменной состояния х^, і є [1, п], причем Ьі(хі) ^ 0, і є [1,п] . Перенумеруем переменные состояния так, чтобы указанная переменная хі оказалась п -й переменной. В результате придём к системе
х; = /;(х) + Ь; (хп )и, I = 1, п -1,
хп = /п (х) + Ьп (хп)u, (2)
где Ьп (хп) Ф 0 , хп е Ох. При этих условиях существует взаимно-обратное пре-
образование Лукьянова-Уткина [6]
У = х - ?(хп ^ (3)
где вектор д(хп) = [^(хп)...<;п-1(хп)0]Г , -
ражениями
п
(хп) = | (Ьі (£)/Ьп (£)) й \. (4)
Так как согласно (3) у{ = х{ + ^ , ;' = 1, п -1, а уп = Хп, то учитывая, что
С; =Ь; (хп )хп / Ьп (хп ) , ; = 1, п -1 и хп = уп, из уравнений (2) получим систему нелинейных уравнений в новых переменных состояния
У = /;( У + ?( Уп )) + Ь;( Уп ) /п ( У + ?( Уп ))/Ьп ( Уп ) = Ф;( У), ; =1, п-1, (5)
уп = /п ( У + ?( Уп )) + U1, (6)
где и1 = Ьп (Уп )и .
(5), (6) [6] -
нений объектов с одним управлением. Таким образом, если в уравнениях энергетического объекта (1) выполнено условие Ь ■ (х ■) Ф 0 , 7 е [1, п], х ■ е Ох, то эти (1) (5), (6).
В дальнейшем ограничимся случаем п = 3, когда уравнения (5), (6) некоторого нелинейного энергетического объекта с неустойчивым положением равновесия х = 0 имеют вид
У = Ф1( Ур У2, Уз^ у2 = Ф2( Уl, У2, Уз), уз = Фз( у^ У2, Уз)+U1, (7)
причем
Ф0, ф0, (8)
дуз дуз
а ограниченная функция ф3(у1, у2, у3) является произвольной или даже равной .
, (8), -
пример, первое условие (8) и дф1(у)/ду2 Ф 0, то, согласно [5], уравнения (7)
. , (8)
о
дф2(у)/ду1 Ф 0, (7) ,
переменные состояния, например, полагая у1 = х2, у2 = х1, у3 = х3. Если же не
(8), (7)
для него управление, которое бы стабилизировало его положение равновесия -.
Для приведения уравнений (7) к форме Жордана при условии (8) достаточно
(7)
переменной у3 [5]. Для решения этой задачи проведём еще одно взаимообратное
преобразование Zl = Ф( У1, У2); г 2 = У2 ; гз = Уз с тем, чтобы привести систему (7) к следующему виду:
г1 =01(г1,г2), г2 =02(г1,г2,гз), гз =0з(г1,г2,гз) + и1. (9)
Чтобы сформулировать условия, при которых существует указанное преобра-, :
^ ^;(у); 3^ фф^, ; = 12. (Ю)
д Уз д Уз
Сформулируем основной результат данной статьи в виде следующей теоремы.
Теорема. Если в области 0.у пространства Я3 функции ф1(у) и ф2(у) из
(7) (8)
ф1 (У )ф2 (У) -ф2( У )ф1( У) = 0, У еО у, (11)
то существует взаимообратное преобразование г1 = Ф( у1, у2), г2 = у2 , гз = уз,
(7) (9).
Доказательство теоремы можно провести, получив явное выражение для производной по времени г па траекториях системы (7) вектора г , который определяется некоторым преобразованием г1 =Ф(у1, у2) и г2 = у2, гз = уз, таким, что существует обратное преобразование у = у(г) . При этих условиях
= эв(у^ф1( у)+эв(у^ф2( у) =0( у). а2)
дУ1 дУ2
Так как у1, у2, уз являются независимыми переменными, а гз = уз, то
производная ^ не будет зависеть от гз = Уз , если функция Ф(У1, У2) будет выбрана так, что с учетом определения (12) выполняется тождество:
дг1 = д0(У) = д^ дФ1(У) + д^ дФ2(У) = 0 уеО (1з)
д гз д уз д у1 д уз д у2 д уз , у
Отсюда с учётом условий (8) и обозначений (10) выводим
д#/ду2 = ду_ = - ф;(Уl,у2,Уз) УеО (14)
дъ ф2( Уl, У2, УзУ у
д'д / ду 1
У2 = ^2
Покажем теперь, что в обратном преобразовании у1 = Q(г1, г2) у2 = г2,
уз = гз производная д у1 / д г2 не может зависеть от уз = гз. Действительно,
если преобразования г1 = #(у1, у2), г2 = у2 и у1 = Q(г1, г2), у2 = г2 взаимо-обратные, то г1 = #^(г1, г2), г2). Тогда, дифференцируя обе части этого равен-г1 г2 ,
Эг1 1 Э# дQ д# дQ дг1 0 д# дQ + д#
дгг дQ1 дг1 ду1 дг1 , дг2 ду1 дг2 дг2
Отсюда выводим
Зу1 =Э2
Эг1 Эг1
^э#л-1
эУ1
Эу1 = ЭQ = э#
^ Эг2 эУ2
Э#
ЭУ1
(15)
Так как искомая функция # = #(у1, у2) не зависит от гз = уз, то из (15) следует, что производная Э у1 / Э г2 не может зависеть от уз = гз.
В то же время из равенства (14) следует, что при произвольных функциях ф1(у) и ф2(у) общего вида она может зависеть от уз. Таким образом, на основе равенства (15) заключаем, что искомое преобразование г1 =#(у1,у2), г2 = у2, гз = Уз и обратное к нему преобразование у1 = Q(г1, г2), у2 = г2, уз = гз сущест-,
_Э
ЭУз V
ф; (у) | = ф2( у)ф2 ( у) -ф; ( у)ф2 ( у) = 0 ф2( у) ) (ф2( у ))2
Отсюда вытекает условие (11) теоремы. Доказательство окончено.
Итак, если п = з, условия Ь7 (х7) Ф 0 , 7 е [1, п] и (11) выполнены, то система (1) приводится к виду (9). Если при этом Э01(г)/Эг2 Ф0 при ге Ог, то эти уравнения (9) будут иметь УФЖ в области О г. В противном случае объект (1)
. , -
бенности применения полученных условий.
Пример. Рассмотрим энергетический объект управления, уравнения которого имеют вид
х1 = (ц(х) - 4)(у(х) + 2ц(х))2 + ц(х) - 4хз + 2хзи, х2 = 2(хз + (У(х) + 2ц(х))2) + (1 + х^)и , хз = (1 + хз2)и , (16)
где у(х) = х1 - 1п(1 + х2), ц(х) = х2 - хз - хзз / з . Положение равновесия х = 0 этого объекта при и = 0 является неустойчивым. Переменные состояния - измеряются. Найти управление по состоянию и = и(х) , стабилизирующее положение равновесия данного объекта.
Решение. Компоненты Ь; (х), I = 1, 2, з в данном случае зависят лишь от пе-хз , Ьз ( хз ) Ф 0 хз .
привести к регулярной форме с помощью преобразования Лукьянова-Уткина (з), (4).
По формулам (4) находим: д1(х) = 1п(1 + х^), д2(х) = хз + х|/3. Полагая
У1 = х1 — ^ (х) , у2 = х2 — £2 (х) , уз = хз, и1 = (1 + у3 )и и дифференцируя переменные у; по времени с учетом уравнений (6), придем к системе:
у1 = (1 + (У1 + 2У2)2)У2 — 4(Уз + (У1 + 2У2)2) = <Р 1(У),
у2 = 2( Уз + ( У1 + 2 У2)2) = <Р 2 ( У), у3 = и1. (17)
Частные производные функций ф1( у) и ф2( у) по переменной у3 в данном случае равны Эф1(у)/Эу3 =—4, Эф2(у)/Эу3 = 2, поэтому условие (11) вых з . ,
переменную у3 можно исключить из первого уравнения системы (17). Для определения соответствующего преобразования г1 =#( у1, у2), г2 = у2, г3 = у3 за-
(1з),
— 4 Э#(у.,у2) + 2 Э#(у.,у2) = 0 ,и„ 1 + 2^1 = 0.
ЭУ ЭУ 2 Э У1
Отсюда находим #( у1, у2) = у1 + 2 у2. Наконец, подвергая уравнения (17) преобразованию г1 = у1 + 2у2, г2 = у2, г3 = у3, придем к системе
г = (1 + г2)г2 = Ф 1(г), г2 = 2(гз + г2)= Ф2(г), г3 = иг (18) При этом Эф^г)/Эг2 = (1 + г1) Ф 0 и Эф2(г)/Эг3 = 2 Ф0 при всех
г е Я3. Следовательно, уравнения (18) в соответствии с определением [5] имеют , .
Согласно [5], характер переходных процессов замкнутой нелинейной системы с управлением, определяемым по уравнениям в УФЖ, определяется нелинейностями объекта управления и положительными числами Х;, ; = 1, п . В данном случае п = 3, поэтому положим ^1 = 5, X2 = 7 , Х3 = 9 и определим функции:
Щ = г1, Щ = ф 1 (г)Эщ / Эг1 + 5щ = (1 + г^)г2 + 5г1, щ = ф1 (z)Эw2 / Эг1 + +Ф2(г)Эщ2 /Эг2 + 7щ2 = (1 + г2)£(г) + 35г1. у2(г) = 2{[г£(г) + 35 + (1+г12)х х( + 2 г1)]г2 + 4( г3 + г12)( г1 г2 + 3)}, где £( г) = 2( г1 + г3 + г1 + 6 г2).
Эти функции позволяют записать управление
и (г) = -0,5[у( г) + 9£( г) + 35г1 /(1 + г2)], (19)
как функцию переменных г1, г2, г3. Заменяя эти переменные в соответствии с приведенными выше равенствами, можно получить соответствующее выражение, определяющее управление, как функцию переменных х1, х2, х3. Однако с точки зрения реализации данного управления целесообразнее по известным значениям х1, х2, х3 вычислять соответствующие значения переменных г1, г2, г3, а затем
(19).
Таким образом, если порядок нелинейного энергетического объекта равен трем, его уравнения удовлетворяют указанным выше условиям, а переменные состояния доступны прямому измерению с помощью датчиков, то, как показано вы, -ровать стабилизирующее управление по состоянию с требуемыми свойствами.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лупкин В.М. Анализ режимов синхронной машины методами Ляпунова. - Л.: Энерго-атомиздат, 1991.
2. Нейдорф РА., Соловей Н.С. Инженерные методы синтеза автоматических систем управления: Учебное пособие / Под ред. РА. Нейдорфа. - Ухта: УГТУ; Ростов-на-Дону: РГАСХМ, 2004.
3. Ут кин В А., Краснова СА. 20 лет блочному принципу управления // Материалы конференции «Управление в технических системах» ^ТС-2010). - СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010. - С. 74-77.
4. Astrom K.J., Wittenmark B. Adaptive control. N.Y.: Addison-Wesley Publishing Company, 1995.
5. Гайдук A.P. Синтез нелинейных систем на основе управляемой формы Жордана // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 7. - С. 3-13.
6. Лукьянов АТ., Уткин В.И. Методы сведения уравнений динамических систем к регулярной форме // Автоматика и телемеханика. - 1981. - № 4. - С. 5-13.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.Р. Гайдук.
Плакеиенко Елена Алексеевна
Таганрогский институт управления и экономики.
E-mail: [email protected].
г. Таганрог, ул. Петровская, 45.
.: 88634362582.
.
Plaksienko Elena Alexeevna
Taganrog Institute of Control and Economic.
E-mail: [email protected].
45, Petrovskaya Street, Taganrog, Russia.
Phone: +78634362582.
Associate Professor.
УДК 004.021
..
УГРОЗЫ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ РИСКИ ВИРТУАЛЬНЫХ СООБЩЕСТВ И ИХ КОММУНИКАЦИЙ
Представлен алгоритм определения степени уязвимости виртуальных сообществ. Для этого используется методика анализа информационных рисков, впервые примененная для сайтов виртуальных сообществ. Предложенный алгоритм позволяет дать экспертную оценку степени уязвимости анализируемого веб-ре^/рса на базе информации о количестве и типах найденных уязвимостей. Приведены средства защиты информации, методика их .
Защита информации; криминалистика; веб-ресурс; угрозы; риски; информационная .
