Эффективное управление оборудованием электрических станций Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пьявченко ТА., Карась В.М. Алгоритмы цифрового управления процессом горения в топке парогенератора // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - №2. - C. 148-154.

2. Плетнев ГЛ. Автоматизированные системы управления обьектоами тепловых электростанций: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МЭИ, 1995. - 352 с.

3. Пьяв ченко ТА. Расчет пара метров ПИД-закона управления для объектов с транспортным запаздыванием // Известия ТРТУ. Тематический выпуск “Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении”. - 2006. - №5 (60). - C. 83-88.

4. Чиликин М.Г., Сандлер A.C. Общий курс электропривода: Учебник для вузов. - 6-е изд., доп. и перераб. - М.: Энергоиздат, 1981. - 576 с.

Пьявченко Тамила Алексеевна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

.: 88634371689.

Кафедра систем автоматического управления; профессор.

Карась Вячеслав Михайлович

E-mail: [email protected].

Кафедра систем автоматического управления; аспирант.

Pyavchenko Tamila Alekseevna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 88634371689.

The Department of Automatic Control Systems; professor.

Karas’ Vyacheslav Mixaylovich

E-mail: [email protected].

The Department of Automatic Control Systems; postgraduate student.

УДК 501.462

E.A. Плаксиенко

ЭФФЕКТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБОРУДОВАНИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

СТАНЦИЙ

Построено эффективное стабилизирующее управление нелинейным оборудованием электростанций на основе нелинейных моделей, представленных в квазилинейной форме. Управление получено путём решения полиномиального уравнения с применением системы . .

Объект; управление; модель; нелинейность.

E.A. Plaksienko

effective control of electrical power-stations equipment

On base of nonlinear model, represented in the semi-linear form, is found effective control stability for equipment of electrical power-stations. Control is found by solved ofpolynomial equation with application system of algebraic equation. Example is given.

Plant; control; model; nonlinear.

Введение. Для производства и распределен ия электрической энергии на электростанциях очень часто используются различное оборудование. Управление им осложняется тем, что соответствующие математические модели являются нели.

управления линейными объектами приводит к неэффективному управлению обо.

объектами можно построить, если предварительно математическую модель объекта управления представить в квазилинейной форме. В частности, это позволяет для определения нелинейных управлений применять аналитический метод, в котором используется решение полиномиальных уравнений, рассмотренное в работе [2]. К указанному оборудованию электростанций с нелинейной моделью относятся, , , -. , обладают высокими эксплуатационными свойствами [1]. Однако для их нормальной работы требуется высококачественная система управления. Ниже приводится пример построения управления для турбогенератора указанным методом.

Прежде чем переходить к определению этого управления, рассмотрим постановку задачи управления нелинейными объектами в квазилинейной форме.

. -

,

можно представить в квазилинейной форме следующего вида:

х = А( х) х + Ь( х)и, (1)

где хе Я" - доступный измерению вектор состояния системы; А(х) = [aij(х)] и

Ь(х) = [Ь1(х) Ь2(х) ...Ьп(х)]т - функциональные непрерывная пхп -матрица и

"- ; - . , (1)

является не приближённым, а точным представлением соответствующей нелинейной системы уравнений.

, (1) -ляемым, т.е. выполняется условие

det[b(x) А(х)Ь(х)... Ап-1( х)Ь(х)] Ф 0 (2)

в некоторой области ОеЯ", причем эта область включает начало координат

х = 0. х ,

определить выражением и = -кт (х) х, где к (х) - некоторые нелинейные функции

(1).

Задача заключается в определении функций к (х), i = 1, п так, чтобы свободные движения замкнутой системы были затухающими, т.е.

||х(х0, t)|| < С0(х0)ехр(-а^), О,0 еОе Я". (3)

Здесь х(^ х0) - решение системы (1); причем х(0, х0) = х0 , х0 еО0 ; С0(х0) и а - положительные постоянные.

В этом случае, очевидно, обеспечивается асимптотическая устойчивость положения равновесия х = 0 объекта управления (1) или, что то же самое, замкнутой системы в некоторой области притяжения О0.

Решение задачи. Подставляя управление и = -кт (х) х в (1), получим уравнение замкнутой системы

(4)

где

Б(х) = А(х) - Ь(х) кт (х) .

(5)

, , уравнений систем с постоянными параметрами только тем, что матрица системы зависит от переменных состояния. Хотя системная матрица Б(х) является функ, , , -лином Б(р, х) = det(р - Б(х)), коэффициенты которого также являются, в общем случае, функциями вектора х. Этот полином имеет п корней р1 (х), i = 1, п .

Если все корни характеристического полинома Б(р, х) матрицы Б (х) системы (4) имеют строго отрицательные вещественные части, то эта система называ-.

Рассмотрим случай, когда в уравнении (4) матрица Б(х) является непрерывной, а коэффициенты её характеристического полинома - постоянными числами, и этот полином удовлетворяет критерию Гурвица. Тогда соответствующая система, , .

Поскольку матрица Б (х) является непрерывной матрицей, то при достаточно малом |х|| поведение нелинейной системы (4) будет близко к поведению линейной системы х = Б(0)х . Это утверждение следует из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению и условия постоянства коэффициентов характеристического полинома матрицы Б (х) при всех х. Действительно, в силу непрерывности матрица Б (х) стремится при ||х|| ^ 0 к постоянной матрице Б0 = Б(0), которая является устойчивой. Следовательно, положение равновесия х = 0 системы х = Б(х)х является устойчивым в малом.

Это позволяет путём решения уравнения Ляпунова

где С - положительно определённая матрица, найти симметрическую положительно-определенную матрицу Р, и построить положительно-определённую функцию Ляпунова V(х) = хтРх > 0. Производная по времени этой функции на траекториях линейной системы х = Б(0) х , естественно, является отрицательно определенной функцией при всех х. Однако в силу непрерывности матрицы Б (х) эта функция V(х) = хтРх будет иметь отрицательно-определенную произ-

(4)

О . Это означает, что существует некоторая область О0 е О такая, что если вектор начальных условий х0 е О0, то соответствующее решение системы (4) х^, х0) е О .

Другими словами, если х0 е О 0 и t > 0, то в указанных условиях будет выполняться неравенство (3), где а = -е + тт|Иер(|, i = 1, п . Здесь р1 - корни характеристического полинома матрицы Б (х) (5), а е > 0 - достаточно малое число. Ука-

Бт (0)Р + РБ(0) = -С ,

(6)

занная область й0 ей бу дет, очевидно, областью притяжения положения равновесия х = 0 системы (4).

,

управления объектом (1) необходимо найти такие функции к, (х), при которых системная матрица Б (х) является непрерывной, имеет характеристический полином с постоянными коэффициентами, а корни этого полинома имеют отрицательные вещественные части.

Перейдём к выводу расчётных соотношений, позволяющих найти вектор к (х) из выражения (5), удовлетворяющий указанным требованиям.

Характеристический полином Б(р, х) = ^(р - Б(х)) матрицы Б(х) (5), можно определить следующим выражением:

О( р, х) = А( р, х) + кг (х)аф( рЕ - А( х))Ь( х)

или

где

О(р, х) - А(р, х) = ^ к (х)Ві (р, х),

і=1

п-1

А(р, х) = ёе1;(рЕ - А(х)) = рп + ^ а. (х,) р1 ,

(7)

(8)

п-1

ві (р, х) = сіаф(рЕ - А(х))Ь(х) = ^ vlJ (х) р

і=0

(9)

Здесь с1 = [1 0

0], с2 = [0 1 0

0]

сп = [0 ... 0 1] - соответ-

ствующие строки единичной матрицы Е.

В соответствии с изложенным выше полином Б( р, х) в левой части выражения (7) должен иметь постоянные коэффициенты и удовлетворять критерию Гур-вица. Поэтому его можно считать заданным. Тогда это выражение фактически является полиномиальным уравнением относительно коэффициентов к1 (х). Решение этих уравнений, как показано в работе [2], сводится к решению некоторой системы

. .

Пусть полином

о * (р) = рп + £ 3 * р1

(10)

является желаемым полиномом матрицы Б(х) системы (4). Тогда, следуя [2],

(7) -

р .

, -

'10

20

’'21

уп0

п1

рг ' У 0 "

к2 = Ї1

кп_ У п-1.

і=0

і=0

где уі = уі (х) = 8* - аі (х), і = 0, п -1. В (11) аргументы нелинейных функций из (7), (8) и (9) опущены для сокращения записи.

Можно показать [2], что определитель матрицы системы (11) пропорциона-

(2) (1). если это условие выполняется, то система алгебраических уравнений (11) всегда имеет единственное решение. Это решение определяет компоненты кі (х) искомого вектора к(х), при котором решение системы (4) удовлетворяет условию (3) в некоторой области йёй” .

Оценить эту область йе Яп и область притяжения й0 ей положе ния равновесия х = 0 синтезированной системы целесообразнее всего методом численного моделирования, так как аналитические методы (например, на основе приведенной выше функции Ляпунова V (х) = хгРх системы перво го приближения) дают слишком грубые оценки области притяжения.

Изложенная методика определения стабилизирующего управления объектом (1) , , -деления управления различными нелинейными объектами, уравнения которых

(1).

примере электрического турбогенератора.

Пример. Найти у правление, стабилизирующее частоту турбогенератора при постоянном напряжении возбуждения и при отсутствии насыщения в магнитных .

режима имеют следующий вид:

х1 = х2, х2 = -2,58Іих1 + 4х3,

хз =-0,1х3-ф 3(х3) + и , (12)

х1 -

, х 2 - , х3 - ,

нелинейность ф3 (х3) = х3 х32 + 1 .

Нелинейности турбогенератора являются дифференцируемыми, поэтому систему (12) можно представить в квазилинейной форме (1). При этом матрица А(х) и вектор Ь( х) имеют вид

0 1 0 '0"

A( х) = ю( х1) 0 4 , b(х) = 0

0 I W со со 1 « о 1 1

где ю(х1) = -2,5 (sin Xj) / x1, a33(x3) = 1/ ^x32 +1.

Определитель матрицы управляемости в данном случае равен -16, т.е. условие (2) выполняется, поэтому существует решение задачи построения управления, стабилизирующего частоту турбогенератора.

Определяя по формулам (8) и (9) полиномы объекта управления, получим: A( p, х) = p3 + a33(x3) p2 + at(x) p +а0(х), B t( p ) = 4, B3(p, x) = p2 - ro(xt) и

B2(p) = 4p , где a0(x) = 2,5 (sinx¡)/x^x32 +1 , 0Cj(x) = 0,4x2 + 2,5(sinxí)lxt.

Выберем в качестве желаемого полином D* (p) = p3 + 3p2 + 3p + 4, удовлетворяющий критерию Гурвица. Система (11) в данном случае имеет вид

"4 0 -œ( xx) К ~4-a0~

0 4 0 k2 = 3 -a1

0 0 1 Кз _3 — a33 _

Её решение: kl(x) = 0,25(4 + 3ю(xt)), k2(x) = 0,25(3 + ro(xt))-0,1x2,

k3(x) = 3-a33(x3). Следовательно, искомое управление для заданной системы (12) определяется выражением:

u( x) = —x +1,875 sin x1 — 0,75x2 + 0,625x2 (sin x1) / x1 +

+0,1x2 — 3x3 + x3 / ^x3 + 1 .

Подставляя найденные выражения для матрицы A(x) и функций kt (x), i = 1, 3 в равенство (5), найдем матрицу D(x). Далее, определяя по формуле (7) её характе-, , полиномом D*(p), т^. имеет постоянные коэффициенты и удовлетворяет критерию .

Следовательно, синтезированная система является гурвицевой, и в соответствии с изложенным выше её положение равновесия асимптотически устойчиво в большом. Область притяжения й0 ей положения равновесия синтезированной системы может быть найдена, как отмечалось выше, методом компьютерного мо.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лупкин В.М. Анализ режимов синхронной машины методами Ляпунова. - Л.: Энерго-атомиздат, 1991.

2. . . . -

нике и технологиях ММТТ-22. Сб. трудов XXII Международной научной конференции. Т. 2. - Псков: Изд-во ПГТИ, 2009. - С. 136-138.

Плакеиенко Елена Алексеевна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге E-mail: [email protected].

347928, . , . , 44.

.: 88634362582.

Plaksienko Elena Alekseevna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 88634362582.