CC BY
18
The final result of implementation of our iterative procedure is
Ix = [0.672604526057511,0.672604526072895].
As you can see
diam{Ix)= 1.53835832961136«-01 l>e =le-15, that's why in our example M = 1.
Now if we choose any x^E I^ we can restore a bit sequence using chaotic mapping (3) and rule (6). For example if x^ = 0.67260452606 then slopping tent mapping (3) give us chaotic sequence shown on Fig. 6.
We know value of X and according to rule (6) can restore all members of target sequence as it is shown in Table 1.
CONCLUSION
Approach proposed can be used for coding and data compression as well. We can increase the amount of encoded elements for bit sequence with few "ones" or "zeros" in it, because reduction of total coefficient of contraction takes place in such case. Obviously that critical factor of the algorithm is accuracy of software and hardware. It depends on sensitivity to initial conditions of chaotic mapping.
REFERENCES
1. R. Kempf, J. Adamy, "Regularity and chaos in recurrent fuzzy systems", Fuzzy Sets and Systems, vol. 140, 2003, pp. 259-284.
2. T.Y. Li, J.A. Yorke, "Period three implies chaos", Amer. Math. Monthly, vol. 82, 1975, pp. 985-992.
3. P.E. Kloeden, "Cycles and chaos in higher dimensional difference equations", Proceedings of the 9th Internet. Conf. Nonlinear Oscillations, Vol.2, Kiev, Naukova Dumka, 1984, pp. 184-187.
4. P.E. Kloeden, "Chaotic iterations of fuzzy sets", Fuzzy Sets and Systems, vol. 42, 1991, pp. 37-42.
5. A. Sokolov, M. Wagenknecht, "Investigation of chaotic behavior of fuzzy Takagi-Sugeno models with regard to simulation and control of technological processes", Scientific Report, Univ. of Zittau/Goerlitz, IPM, 2003.
НадШшла 26.03.04
В данш po6omi ми дос.'пджуемо динамгтп системы, що представленг рекурентними базами правил ТакагиСугено, ят широко використовуютъся для багатьох застосувань. Головне запитання, на яке необх1дно eidnoeicmu, - в яких умовах рекурентна база правил може реконструювати хаотичш 6imoei nocjiidoeuocmi. Ми використовуемо для досягнення щег мети так зване "зворотне хаотичне в1дображення".
В данной работе мы исследуем динамические системы, которые представлены рекуррентными базами правил Та-каги-Сугено, широко использующимися во многих применениях. Основной вопрос, на который необходимо ответить, -в каких условиях рекуррентная база правил может реконструировать хаотические последовательности бит. Мы используем для достижения этой цели так называемое "обратное интервальное отображение".
УДК 519.71
В.В. Бескоровайный
СИНТЕЗ ТОПОЛОГИИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С КОЛЬЦЕВЫМИ СТРУКТУРАМИ
Рассматривается задача синтеза топологии территориально распределенных систем в классе кольцевых (радиально-кольцевых) структур с расширенным набором оптимизируемых параметров и ограничений. Предложены математическая модель и метод решения задачи. Приведены оценки временной сложности и точности предложенного метода.
ВВЕДЕНИЕ
Задача оптимизации топологии является одной из основных при синтезе территориально распределенных объектов [1]. Существует множество систем, принципы построения и особенности технологий функционирования которых предполагают их построение по кольцевым схемам. Учет ограничений на производительность центра, пропускные способности связей, длины кольца и т.д. в задачах синтеза кольцевых структур на практике приводит к формированию сетей кольцевых подструктур с единым центром. При этом в предельном случае образу-
ется радиально-кольцевая структура с количеством кольцевых подструктур равным количеству элементов системы. Типичным примером могут служить топологические структуры специализированных компьютерных сетей, транспортных систем для развозки почты, товаров, доставки билетов [2].
Постановки задач структурного синтеза подобных систем имеют много общего с постановками задачи коммивояжера (ЗК) [3]. Вместе с тем, они включают специфические факторы, не позволяющие напрямую использовать методы решения задач синтеза кольцевых структур: учет трафика между элементами; выбор места расположения центрального узла; определение количества подструктур; разбиение множества элементов на подструктуры; учет ограничений по каждой из подструктур.
Для решения задач, сводимых к ЗК, известно множество точных и приближенных методов [4, 5]. Они зачастую неприменимы для решения задач структурного синтеза с учетом перечисленных факторов.
В.В. Бескоровайный: СИНТЕЗ ТОПОЛОГИИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С КОЛЬЦЕВЫМИ СТРУКТУРАМИ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задачу синтеза топологии территориально распределенных систем (ТРС) с кольцевыми структурами будем рассматривать в следующей постановке. Заданы: множество рассредоточенных по территории элементов системы Е1 = {е }, I = 1, пр, их характеристики (матрица весов, отражающая расстояния, стоимости или время реализации связей V = г,у = 1 ,пЕ + 1 , матри-ГГ
ца корреспонденции
I = 1,Пц -удельный вес 1-го кольца.
С учетом этого задачу можно представить следующим образом. Найти минимум функции Рк(Пц,К)^>гптгде
ПЕ ПЕ+\ п^г 1
рМи>К) = Мпи) +2>1 + I ■ ги ' <!>
/ = 1 I = 1 / = 1 "
при ограничениях
л,+ 1
X гу = и = Х'пЕ' X гч = = }'ПЕ' <2> /=1 7=1
,пЕ+ 1 X Г"е+
7=1
= И
г/>
(3)
М;
и^пЕ-ги<пЕ-\,1,) = 2, ПЕ+ (4)
[^у]. = !,«£■ + 1 , где «£■+ 1 - номер пункта, в котором предполагается расположение центра), типы узлов и связей, на базе которых синтезируется система, и их характеристики (стоимости, мощности или емкости), места возможного размещения ее центра б = к = 1, «с и основные положения
технологии ее функционирования.
Необходимо определить: место размещения центра, количество кольцевых подструктур (центральных узлов Пц) и схему связей элементов в каждом из колец. При этом должны экстремизироваться выбранные критерии эффективности и выполняться структурно-функциональные ограничения.
В качестве критериев чаще всего используют показатели затрат на создание и (или) эксплуатацию системы, реже - показатели ее оперативности или живучести. В качестве ограничений обычно выступают длина, время прохождения или вес каждого кольца. Каждое из колец радиально-кольцевой структуры имеет одинаковые значения основных детерминированных показателей живучести: реберной, вершинной, смешанной связности; среднее количество пар вершин, остающихся связными при одновременном повреждении q ребер или элементов.
В качестве показателя оперативности системы предлагается использовать оценку времени обслуживания запросов элементов в кольце X. В зависимости от конкретной постановки задачи в качестве оценки можно использовать максимальное %= тах Т. или средневзве-
1<1<л„
где Рк(Пц, Л) - вес лучшего варианта структуры, содержащей пц подструктур с центром, расположенным в пункте к;
ук(пи> ' вес Центра, расположенного в пункте к, как функция от количества подструктур Пц. Будем считать
Ук(пи) = ^ + Уи-пи, где V® - вес центра; у^ - вес узла подструктуры (обслуживающего устройства); у^- -вес связи элементов г и /; г ~ = 1, если между элементами (пунктами) I и / существует непосредственная связь, Гц = 0 , в противном случае; - вспомогатель-
пи
шенное значение времени X = у Т^-и^ , где X^ - макси-
1= 1
мальное время обслуживания запросов элементов 1-то кольца (подструктуры); Пц - количество колец; и^,
ные переменные, иг- > 0, г = 1, пЕ + 1 .
Ограничения (2) обеспечивают связь каждого из пунктов, в которых расположены элементы системы только с двумя другими пунктами. Ограничение (3) отражает требование начала и завершения цепочек каждой из подструктур в центре (пункте пЕ + 1 ). Ограничения (4) обеспечивают замкнутость цепочек связей.
При решении задач реинжиниринга ТРС с радиально-кольцевой структурой, связанных с увеличением количества или весов ее элементов, изменением трафиков, характеристик используемых узлов, следует внести соответствующие изменения в (1) - (4), касающиеся размерности и значений элементов матрицы весов V = [у,у], весов узлов и центра.
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Задача синтеза однокольцевой структуры (без ограничений) может быть сведена к одной из модификаций ЗК - Гамильтоновой задаче размещения. Задано пЕ пунктов обслуживания и пс (не входящих в пЕ ) пунктов возможного расположения базы коммивояжера. Известны стоимости строительства базы в каждом из пунктов, стоимости переезда между каждой парой из
и пунктов. Коммивояжер, начиная и заканчивая
Е С
маршрут на базе, должен объезжать все пЕ пунктов. Необходимо выбрать место строительства базы так, чтобы суммарная стоимость строительства и маршрута коммивояжера были бы минимальными. Ее решение может быть получено путем п^ - кратного решения ЗК.
Задача синтеза топологии систем с радиально-кольцевыми структурами и учетом ограничений включает в себя в качестве подзадачи задачу синтеза кольцевой структуры, которая может быть сведена к ЗК. Решаемая задача при фиксированном месте расположения центра может рассматриваться как одна из модификаций ЗК -задача неопределенного количества коммивояжеров. Для фиксированного места расположения центра и заданного
количества подструктур (в зависимости от вида и детализации ограничений) сформулированная задача может рассматриваться, например, как задача р коммивояжеров с центральной базой или задача не более р коммивояжеров с учетом стоимости аренды транспортных средств [3].
Решение исходной задачи предлагается получать путем циклического, пс - кратного (для различных мест размещения центра) решения задачи неопределенного количества коммивояжеров с выбором наилучшего варианта. Количество кольцевых подструктур Пц в зависимости от конкретных значений параметров и ограничений может изменяться от 1 до пЕ .
При определении стратегии поиска оптимального количества подструктур будем учитывать, что увеличение количества колец в радиально-кольцевой структуре, как правило, увеличивает (по крайней мере, не уменьшает) суммарный вес связей и снижает загрузку используемых центральных узлов, увеличивая общие затраты на их приобретение и эксплуатацию. Таким образом, увеличение количества подструктур увеличивает затраты на создание и эксплуатацию системы. При решении задачи необходимо определить минимальное количество колец п ц, обеспечивающих выполнение ограничений.
С учетом этого схема предлагаемого метода решения задачи может быть представлена следующим образом. Выбрать место размещения центра ^ е (7. Для выбранного расположения центра определить минимальное количество узлов п ц, обеспечивающих выполнение важнейших структурно-функциональных ограничений. С этой целью может быть использовано соотношение между суммарным весом элементов и производительностью узлов [2]. Синтезировать радиально-кольцевую структуру ТРС путем решения задачи р = пи коммивояжеров с центральной базой. Определить характеристики полученного варианта, проверить выполнение всех ограничений. При необходимости увеличить количество узлов Пц'.= (Пц+ 1). Получить решения для остальных мест размещения центра gke. в и выбрать лучший из вариантов.
Решение задачи Пц коммивояжеров с центральной базой в зависимости от имеющихся ресурсов может быть получено двумя способами: путем ее сведения к ЗК и путем формирования Пц = р подмножеств элементов с последующим решением ЗК для каждого из них.
Суть первого способа состоит в разбиении одно-кольцевой структуры на многокольцевую [3]. С этой целью необходимо сначала построить транспортную сеть для одного коммивояжера. Для этого введем с сеть р-1 фиктивный пункт с номерами пЕ + 2, пЕ + 3, ...,пЕ + р. В отличие от [3] сделаем веса (расстояния) V = [у^-'] в этой сети равными
г = 1, пЕ+ 1,7 = 2,р ,
V
' V. +1 = 2,р, ]= \,ПЕ+ 1 ,
V ■ = г. / = 2. о .
После решения ЗК с матрицей весов V = [ ] Ддя получения р маршрутов, объединим все пункты с номерами, большими пЕ, в один пункт с номером пЕ+ 1 . Этот способ за счет введения фиктивных р = Пц пунктов может значительно увеличить размерность и время решения задачи. К тому же для полученного таким образом варианта структуры могут не выполняться весовые ограничения для подструктур.
Основная трудность второго способа решения задачи р = Пц коммивояжеров с центральной базой заключается в определении оптимального (рационального) разбиения элементов системы на непересекающиеся подмножества. С этой целью предлагается использовать эвристический метод, использующий идею покоординатной оптимизации [2, 6]. Количество подструктур Пу = р равно количеству размещаемых узлов. Пункты размещения узлов играют роль вспомогательных точек (фиктивных узлов), относительно которых формируются подмножества элементов, включаемых в одну подструктуру. Разбиение элементов на подмножества осуществляется по территориальному признаку в рамках Пц = р секторов относительно центра. В качестве критериев отнесения объекта к к-му подмножеству (закрепления за узлом, расположенным в пункте к) могут быть использованы минимумы функций, которые для симметричных матриц весов имеют вид
к = агешги -----Ц-- , (5)
1 <к<пи тах^ „ ,}
к° = аттт К + + ^+ V,- ,}. (б)
V = .V/
+]
пЕ+ 1
1<к<пи
Критерий (5) имеет смысл минимума угла из центра между направлениями на элемент и узел. Его целесообразно применять на полносвязных коммуникационных сетях с евклидовой метрикой. Критерий (6) имеет смысл минимума веса цикла "центр - фиктивный узел -элемент - центр". Он лучше приспособлен для учета топологии существующей транспортной сети.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Среди точных методов для решения ЗК выбран метод ветвей и границ, реализованный по известной схеме из [7]. Эта схема позволяет получать точное решение ЗК. Основным ее недостатком является высокая временная и емкостная сложность. Временная сложность решения без ограничений по этой схеме может быть представлена функцией = пс ■ , где
- временная сложность метода ветвей и границ.
В. В. Бескоровайный: СИНТЕЗ ТОПОЛОГИИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С КОЛЬЦЕВЫМИ СТРУКТУРАМИ
При этом трудоемкость используемой (как и всех известных схем метода ветвей и границ) является экспоненциальной. В процессе реализации метода требуется хранение матриц весов размерностями пЕ X я£,
, (пЕ- 1) х (пЕ- 1), (пЕ- 2) х («£— 2) и т.д. С учетом этого, емкостная сложность метода может быть пред-
Пг
2
ставлена функцией 0[пЕ] = ^¡Г (nE~i) .
/ = 0
Для решения задач ЗК большой размерности предлагается использовать метод на основе схемы вставки (включения) [5]. Отличие метода будет состоять в способе формирования кольцевой структуры. Пусть i4,if,...,i - некоторая последовательность элементов
1 ¿. пЕ
структуры. Образуем начальный фрагмент кольцевой структуры, включающий два элемента /j,^'■ Элементы /Д / = 3, 4, ..., п) и центр I = пЕ+ 1 включать в такое место (1-1) - фрагмента структуры, чтобы увеличение веса структуры v^ + vf • —v^- ~ по модифицированной матрице весов V было минимальным.
Временная сложность решения ЗК однопроходным 2
методом вставки 0[пЕ] [5] . С учетом этого временная сложность предлагаемого метода решения задачи без учета ограничений на основе однопроходного алгоритма 2
вставки 0[пспЕ] , где пс - количество мест возможного размещения центра. При реализации этого метода предполагается хранение матрицы весов связей и одномерного массива с получаемым вариантом структуры. С учетом этого емкостная сложность метода может быть 2
оценена величиной 0[пЕ + пЕ].
Точность предлагаемого метода решения задачи определяется точностью метода решения ЗК. Для оценки точности метода вставки может быть использована аналитическая функция гарантированного поведения
метода \(nE)=F'/F® (где F° - значение целевой функции точного решения задачи; F' - значение целевой функции решения, полученного используемым методом вставки). Для различных реализаций используемого метода гарантированное поведение 2(1-1/пЕ) <Х(пЕ)<2. При наличии достаточных временных или вычислительных ресурсов точность метода может быть существенно повышена путем многократной реализации (процедура "мультистарт") однопроходного алгоритма для различных начальных фрагментов структуры ij
или применением процедур £-оптимизации [5].
С целью уточнения характеристик предложенных методов производилось их экспериментальное исследование путем решения множества задач с количествами элементов от 5 до 200 (рис.1). Координаты элементов определялись с помощью генераторов случайных чисел в областях прямоугольной формы. Решение производилось по критерию минимума стоимости структуры на ПЭВМ с процессором Pentium-200 с последующим ус-
реднением результатов. При этом решались задачи с выбором места размещения центра и с заданным размещением центра. В виду малого (менее 0,001 с для систем с пЕ <40) времени решения задачи методом вставки его оценка производилась на основании схемы "мультистарт" по результатам 1000 реализаций.
t=aoii№ Достобери петь FT =0.9979
t=oiooosne- Достовпрно Э.ОО&тЕ+а3159 ггь Ff=019997
140
180 22С
Когтесгво элементов
Рисунок 1 - Полиномиальная аппроксимация зависимости Ь{пЕ) для метода, использующего схему вставки
По результатам решения 100 задач среднее значение относительной погрешности метода, использующего схему вставки, составило 6 =0, 0241, максимальное ее значение £тах= 0, 1681. При этом относительная погрешность 84 % решений не превосходила 5 %. Метод имеет
2
полинимиальную временную сложность 0[пЕ] (рис.1). Сложность метода может быть снижена применнением эвристики: в качестве потенциальных мест размещения центра рассматривать пункты, имеющие минимальное взвешенное растояние до всех других пунктов.
Предложенные и метод структурно-топологической оптимизации радиально-кольцевых структур были использованы для решения задачи реинжиниринга сети зональных маршрутов маршрутов почтовых перевозок. Их применение позволило получить вариант построения сети перевозок с учетом ограничений по загрузке транспортных средств и продолжительности маршрутов. Полученный вариант позволил сократить затраты по сравнению с вариантом, используемым до реинжиниринга сети.
ВЫВОДЫ
Получила дальнейшее развитие задача синтеза топологии кольцевых структур ТРС путем включения в нее новых оптимизируемых параметров (места размещения центра, количества и состава подструктур) и дополнительных ограничений на состав подструктур. Предложены математическая модель и метод решения задачи, позволяющий свести ее решение к решению итерационной последовательности задач группирования объектов и задач коммивояжера.
и
100
Для решения ЗК, входящей в состав исходной задачи, в зависимости от размерности решаемой задачи и имеющихся вычислительных ресурсов могут быть использованы точные или эвристические методы. Показатели точности и сложности предложенного метода определяются точностью и сложностью используемых методов решения задачи группирования элементов и задачи коммивояжера. Базовая схема метода имеет полиномиальную временную сложность от количества элементов структуры.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Бескоровайный В.В. Системологический анализ проблемы структурного синтеза территориально распределенных систем // Автоматизированные системы управления и приборы автоматики. - 2002. - Вып. 120. - С. 29 - 37.
2. Петров Э.Г., Писклакова В.П., Бескоровайный В.В. Территориально распределенные системы обслуживания. -К.: Техника, 1992. - 208 с.
3. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.Х. Задача коммивояжера. Вопросы теории //Автоматика и телемеханика. -1989. - № 9. - С. 3 - 33.
4. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.Х. Задача коммиво-
яжера. Точные методы //Автоматика и телемеханика. -1989. - № 10. - С. 3 - 29.
5. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.Х. Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы // Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 11. -С. 3 - 27.
6. Бескоровайный В.В. Модификация метода направленного перебора для синтеза топологии систем с ради-ально-узловыми структурами //АСУ и приборы автоматики. - 2003. - Вып. 123. - С. 110-116.
7. Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. -М.: Мир, 1981. - 368 с.
Надшшла 22.03.04
Розглядаетъся задача синтезу топологи територ1ально розподыених систем в класг тльцевих (рад1ально-тльце-вих) структур з розширеним набором оптим1защйних пара-Mempie i обмежень. Запропоновано математичну модель i метод розв'язання задачг. Наведено оцЫки часовог склад-nocmi та mo4nocmi запропонованого методу.
Problem of syntheses of topology territorial distributed systems in the class recirculating (radial-recirculating) structures with supersets optimized parameters and restrictions is considered. Mathematical model and method of deciding a problem is offered. Brought evaluations of time difficulty and accuracy of offered method.
УДК 658.5
А.И. Вершина, Б.Т. Солдатов, A.A. Ермоленко
УЧЕБНЫЙ ПРОЦЕСС КАК ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Процесс обучения рассматривается с позиции теории решения задач и представляется как иерархическая система принятия решений. Каждый уровень получения знаний описывается как процесс Маркова, поглощающие состояния которого определяют параметры элементов вышестоящих уровней.
теории решения задач [3-4], представляя обучение как задачу получения знаний. Каждый уровень получения знаний будем описывать как процесс Маркова, попадание в поглощающие состояния которого определяют параметры элементов вышестоящих уровней [5].
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в связи с ростом уровня требований к эффективности образовательного процесса наблюдается рост интереса к формальным методам организации процесса обучения. Особое внимание уделяется качественному планированию процесса обучения и эффективным методам анализа и контроля усвоения материала.
Процесс обучения представляет собой сложную систему воздействий на субъект, в результате которых он получает знания. Совершенствование методов обучения с целью повышения эффективности учебного процесса влечет за собой необходимость определения целесообразности проведения изменений в учебном процессе. Для решения данной задачи необходимо иметь математическую модель учебного процесса, которая позволит оценить влияние предлагаемых методов обучения на уровень знаний субъектов. Рассмотрим данную проблему с общих позиций и опишем процесс обучения с позиции теории иерархических многоуровневых систем [1-2] и
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Обучение представляет собой сложную систему воздействия на субъект, в которой присутствует определенный порядок.
Рассмотрим процесс обучения с позиции общей теории систем.
Определение системы 5 как отношения К на множестве V имеет вид
5 = (Я,У). (1)
В соответствии с работой [ 1 ] отношение Я. может быть представлено множеством отношений
Я = (2)
первое из которых является структурой системы, второе соответствует множеству конституэнт отношения
^ -,£„}• (з)
