Метод предварительной оценки стоимости территориально распределенных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 658.512.011.56: 681.5

МЕТОД ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

БЕСКОРОВАЙНЫЙ В.В.____________________

Анализируется задача оценки оптимального количества подсистем и стоимости территориально распределенных объектов. Предлагается эвристический метод ее решения, базирующийся на идее формирования оптимальных по стоимости подмножеств элементов в потенциальных подсистемах. Описываются эмпирические оценки точности и временной сложности метода.

Для многих из проектируемых, создаваемых и эксплуатируемых в настоящее время объектов, относящихся к различным сферам человеческой деятельности, характерны сложность структуры и значительные территориальные расстояния [1]. При этом увеличение последних между функциональными подсистемами приводит к появлению нового системного свойства, не характерного для территориально сосредоточенных систем. Оно связано с тем, что структурные, стоимостные и функциональные характеристики распределенных объектов во многом определяются топологией (размещением) их подсистем и элементов [2]. Топология подсистем и элементов, в свою очередь, определяет топологию коммуникационных связей, обеспечивающих функционирование объекта как единого целого, реализуя обмен ресурсами, энергией, информацией между элементами и подсистемами.

Важной проблемой при создании и планировании развития подобных объектов является выбор их структуры. Рациональный выбор структурных параметров во многом определяет свойства синтезируемых объектов. Этим объясняется важность рассматриваемой проблемы и внимание к ней ученых и специалистов [1—3].

Системологический анализ проблемы структурного синтеза территориально распределенных систем (ТРС) позволил провести ее декомпозицию и определить схему взаимосвязи задач по входным и выходным данным на всем протяжении их жизненных циклов [4, 5]. На ранних этапах проектирования или управления проектами создания (реорганизации) ТРС в условиях высокой степени неопределенности исходных данных возникает необходимость предварительной оценки их стоимости. Для этого следует хотя бы приближенно определить количества узлов или подсистем, входящих в состав ТРС.

В общем случае территориально распределенные системы создаются для обслуживания множества неравномерно рассредоточенных по территории і auaed a Ob={obj|, i = 1, n0 . Вследствие этого обслуживающие элементы ТРС El = (еіД, i = 1, n E

также неравномерно размещаются по территории. В связи с этим использование для предварительной оценки оптимального количества подсистем (узлов и связанных с ними элементов) и стоимости системы в целом моделей и методов, приведенных в [6, 7], невозможно. Поэтому необходима разработка моделей и методов оценивания другого рода, учитывающих неравномерность размещения элементов систем и пригодных для решения задач синтеза объектов, содержащих до нескольких сотен элементов.

Предлагаемый подход к решению задачи базируется на аналитико-имитационных моделях определения оптимальных подмножеств обслуживаемых объектов и количеств подсистем ТРС [2, 8, 9].

Для вычисления оценок оптимального количества узлов ТРС используется процедура определения для каждого из потенциальных мест размещения узлов подсистем системы g є G, оптимального подмножества связанных с ними элементов, описанная в [10]. Оптимальность подмножества здесь понимается в том смысле, что для заданного места расположения узла относительно центра и элементов удельная стоимость подключения выделенных подмножеств элементов минимальна.

Для определения стоимости системы Co используется оценка оптимального количества узлов в ней

n U . Модель оценки стоимости ТРС в общем виде может быть представлена следующим образом [2]:

nu =]w z/Wo[, Co = Cc + Ce + Ceuc , (1)

где nU — оценка оптимального количества узлов

системы; w z — вес (суммарная потребность во взаимодействии с узлами) всего множества элемен-

nE

тов системы El, w z = 2 Wi , где Wi — вес i-го

i=1

элемента; Wo — оценка веса оптимального множества элементов подсистемы; ] [ — операция округления к ближайшему целому; СС — стоимость центра системы; Ce — стоимость всех элементов системы; Ceuc — стоимость связи элементов, узлов и центра.

Стоимость связи структурных частей системы C euc может быть выражена через произведение удельной стоимости связи элемента единичного веса в оптимальном по размеру множестве c(nU) на вес всего множества элементов, т.е. Ceuc = c(nU) • wz . При одинаковых значениях весов wi = 1, Vi = 1, Пе в качестве w z может выступать количество элементов системы nE. В таких случаях wi = 1, Vi = 1,Пе , а в качестве wo будет выступать оценка среднего количества элементов в оптимальном подмножестве no = | Elo | .

104

РИ, 2003, № 2

Оптимальные подмножества элементов Elg, Vg є G (где g и G— соответственно место и множество мест возможного размещения узла, причем G является подмножеством мест размещения элементов) определяются по минимуму удельной стоимости взаимодействия с центом через узел, расположенный в пункте g:

c(Wg) = (Cg + CgC + E cgi)/wgЦg ^min , (2)

ieElg wg

где Wg — вес подмножества элементов Elg , непосредственно взаимодействующих с g-м узлом; c g — стоимость узла, расположенного в пункте g; CgC — стоимость взаимодействия узла, расположенного в пункте g с центром; Cgi — стоимость взаимодействия /-го элемента с узлом, расположенным в пункте g; Цg =1, если | Elg |> 1, т.е. подмножество Elg содержит более одного элемента и Цg =0, если I Elg |= 1.

Функция (2) для многих практически интересных случаев одноэкстремальная [10]. Первые два слагаемых (Cg + CgC)/wg - цg являются убывающими функциями от значения веса w g, а третье

Е Cgi/wg 'Eg

ieElg

в силу принятого порядка под-

ключения элементов — возрастающая функция от wg (рис. 1).

С

В качестве оценки веса w оптимального множества элементов подсистемы El О в (1) может быть использовано его среднее значение для мест возможного размещения подсистем g є G, в которых их создание оказалось целесообразным:

w° = Е wg/ Ее g, (3)

geG geG

а также может быть использован вес, при котором минимизируется суммарная удельная стоимость:

w° = argmin X C(wg)-цg (4)

wg geG

Схема метода оценки стоимости системы на основе модели (3) MCE (от Method of cost estimation) может быть представлена следующим образом.

S0. Начало.

S1 .Выбрать очередное место возможного размещения узла g є G .

S2.Сформировать начальные условия: ng:=0; wg:=0; C(wg):= 0; Elg:=0 .

53. Найти следующий элемент i по min Cgi .

igElg

54. Вычислить значение удельной стоимости C(wg + wi) (2).

55. Eсли удельная стоимость уменьшилась C(w g + w i ) < C(wg ) и ng < nE, включить элемент i в подмножество Elg; ng:= ng+1; wg := wg+wj и перейти к S3.

56. Если множество мест возможного размещения не исчерпано, перейти к S1.

57. Вычислить по (2) значение оценки веса оптимального множества элементов подсистемы w° .

58. Вычислить по (1) значение оценки оптимального количества подсистем nU =]w^ /w°[.

59. Вычислить по (1) значение оценки стоимости системы C° = Cc + Ce + Ceuc .

S10. Конец вычислений. Определены оценки веса

оптимального множества элементов подсистемы ~ ° ~° w , оптимального количества подсистем nu и

стоимости системы C° .

Поиск минимума (2) производится последовательным (по минимуму стоимости или расстояния) включением элементов в подмножество Elg , непосредственно взаимодействующих с g-м узлом.

^ C ■

При этом способы оценки . ft, gi для систем с

i^Elg

радиально-узловыми и радиально-кольцевыми структурами различны. В первом случае Е Cgi

ieElg

представляет сумму стоимостей связей каждого из элементов с узлом, а во втором — сумму стоимостей кольца связей из элементов, включаемых в подмножество, и узла.

При использовании модели (2) следует учитывать ее характерные особенности: она позволяет формировать оптимальные множества элементов отдельной подсистемы Elg без учета мест расположения других подсистем g є G; оптимальные подмножества некоторых подсистем могут включать по одному элементу, т.е. ng = | Elg |= 1. На практике это приводит к тому, что полученные по (2) оптимальные подмножества El° в реальных топологических структурах могут быть трансформированы к субоптимальным Elg°. В частности, элементы из множеств, содержащих по одному элементу, будут включены (перераспределены) между другими множествами.

РИ, 2003, № 2

105

Отмеченные особенности учитываются в модификациях метода MCE. Суть их модификаций состоит в том, что элементы полученных множеств Elg с мощностью ng= 1 включаются в множества, закрепленные за ближайшими по стоимости подключения из потенциальных узлов (включая центральный).

Экспериментальные исследования точности предложенных оценок проводились при решении 122 задач синтеза топологических структур радиальноузловых ТРС различной размерности (ne=10—50) со случайными значениями координат размещения элементов. При этом оптимальные значения количества узлов nU определялись с помощью метода направленного перебора локальных экстремумов функции цели [11, 12].

При экспериментальном исследовании точности предложенного метода вычислялись средние и максимальные значения абсолютных An и относительных 5n погрешностей оценки оптимального количества узлов:

An =|nU - nUb 5n =|nU - HU|/nU

и стоимости системы

AC =

Co - Cc

SC =

Co -Co

Co

. o

где n и — оптимальное количество узлов системы; C — минимальное значение стоимости системы;

Co -

оценка минимальной стоимости системы.

Среднее значение погрешности оценки оптимального количества узлов вида (2) составляет A nj = =-0,1718, а ее модуля — An2 = 0,7587. Максимальное значение абсолютной погрешности составляет max Anj =2,25, а среднеквадратичное отклонение ее модуля — a n = 0,5238. При этом в 32,8% случаев значение оценки совпадало с точным решением.

Для повышения точности оценки (2) было проведено ее центрирование. Среднее значение погрешности центрированной оценки оптимального количества узлов nU составляет Anj =3,2786* 10-6,а ее модуля — An2 =0,7403. Максимальное значение абсолютной погрешности составляет max A nj =2,4218, а среднеквадратичное отклонение ее модуля — a n = 0,5218 (рис. 2). При этом в 36,06% случаев значение центрированной оценки совпадало с точным решением.

Среднее значение относительной погрешности оцен -ки стоимости структуры ТРС составляет 5C =-0,0773. Максимальное значение модуля относительной погрешности составляет max 5C = 0,1272, а среднеквадратичное отклонение ее модуля — а с = 0,0162.

Для повышения точности оценки стоимости ТРС было выполнено ее центрирование.

Частоты 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0,5 1,5 2,5

Абсолютная погрешность

Рис. 2. Распределение частот для модуля погрешности An

0,70491803

0,27868852

0 0163934 4

Среднее значение погрешности центрированной оценки стоимости Co составляет 8C1 =6,5422*10-6, а ее модуля — 5C2 =0,0126. Максимальное значение относительной погрешности составляет max 5Cj = 0,0499, а среднеквадратичное отклонение ее модуля — ст c = 0,0101 (рис. 3).

Частоты 06 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55

Относительная погрешность

0,54098

0,26230

0,16393

0,03279 0,01639

і—і 0,00000

Рис. 3. Распределение частот для модуля относительной погрешности 8 C

Реализация предложенного метода MCE и его модификаций предполагает частичное или полное (в зависимости от исходных данных) упорядочение строк матрицы расстояний между элементами, узлами и центром. Временная сложность быстрого алгоритма сортировки Quicksort в худшем случае составляет o[nplognE] [13]. Таким образом, все модификации предложенного метода имеют временную сложность o[nG • Пе • lognE ] , где nG — количество мест возможного размещения узлов синтезируемой системы. Результаты экспериментальных исследований модификаций метода MCE

для nG = Пе показали, что они в худшем случае имеют одинаковую полиномиальную (квадратичную) временную сложность (таблица, рис. 4).

Время решения задачи на ПЭВМ Pentium-600

не 100 110 120 130 140 150

t, с 1,12 1,50 2,27 3,31 4,47 6,15

не 160 170 180 190 200 210

t, с 8,11 10,45 13,27 16,70 20,73 25,32

106

РИ, 2003, № 2

30

Зрем

25

20

15

10

5

0

я

У

t= 0,002 n2 - 0,4 H76n + 22,86 >2

для ТРС с радиально-кольцевыми и древовидными структурами, что позволило бы расширить область их применения и, таким образом, сократить время проектирования и затраты на создание (реорганизацию) объектов такого класса.

100 110 120 130 140 150 160

Литература: 1.Цвиркун А.Д., АкинфиевВ.К. Струк-170 180 190 200 210 тура многоуровневых и крупномасштабных сис-

К0личеств0 элементов тем. Синтез и планирование развития. М.: Наука, Рис. 4. Полиномиальная аппроксимация временной 1993. 160 с. 2.Петров Э.Т., Пжіслаїсо^В.П., Беасо-

сложности метода MCE

Аппроксимация временной сложности метода полиномом t(nE) = 0,002• nE -0,4176• nE + 22,862 дает максимальную абсолютную погрешность At(n e ) = 1,95с, что составляет порядка 7,7%. Среднее время решения практических задач значительно меньше максимального (см. таблицу). Так, для решения задачи оценки минимальной длины связей (стоимости узлов и стоимости единиц длины связей равны 1) в радиально -узловой структуре для иЕ= 1000 на ПЭВМ Pentium-бООтребуется порядка 2 с.

Таким образом, сформулирована задача оценки оптимального количества подсистем и стоимости ТРС, предложены модели и эвристический метод ее решения для систем с радиально-узловой структурой, основанный на формировании оптимальных подмножеств элементов для потенциальных подсистем. Такая задача решается на ранних этапах проектирования или в процессах планирования развития ТРС. Ее решение позволяет: оценивать затраты на проектируемую или создаваемую систему; оценивать вычислительные затраты на решение задачи структурно-топологической оптимизации и, таким образом, выбирать метод ее решения с учетом требуемого объема вычислений, необходимой точности решения и имеющихся временных и вычислительных ресурсов; сократить время решения задачи структурно-топологической оптимизации методами направленного перебора за счет выбора стартовой точки в окрестности глобального экстремума. Низкая временная сложность разработанного метода позволяет использовать его при синтезе ТРС, включающих до нескольких тысяч элементов.

Направлениями дальнейших исследований в этой области могут стать: повышение точности предложенных оценок; разработка модификаций метода

ровайный В.В. Территориально распределенные системы обслуживания. К.: Техника, 1992. 208 с. 3.Свирщева Э.А. Структурный синтез неизоморфных систем с однородными компонентами. Харьков: ХТУ-РЭ, 1998. 256 с. 4. Бескоровайный В.В. Системологический анализ проблемы структурного синтеза территориально распределенных систем // АСУ и приборы автоматики. 2002. Вып. 120. С. 29-37. 5. Бескоровайный В.В. Синтез логической схемы системного проектирования территориально распределенных объектов // Радиоэлектроника и информатика. 2002. №. 3. С. 94-96. 6. Ильин В.А., Кабальеро А. Структура сетей телеуправляемых комплексов и АСУ. М: Энергоатомиздат, 1985. 56с. 7. Optimierung von Telekommunikationsnetzen. Optimale Knoten /Verfasst von L.Schade. — Dresden: ZSf HSFS, 1991. 64 S. 8. Бескоровайный В.В., Петров Э.Г. Оценка рациональных значений структурных параметров территориально рассредоточенных систем // Друга нац. наук. конф. “Інформатика: теорія, технологія, техніка-ПТТ-95”. Одеса, 1995. С. 56-57. 9. Бескоровайный В.В., Имангулова З.А. Оценка количества структурных элементов при синтезе ИВС // Вестник ХГТУ. 2000. № 1(7). С. 199-204. 10. Кустовые вычислительные центры /Под общ. ред. МаксименкоВ.И., Кузь-минаИ.В. М.: Статистика, 1978. 231 с. 11. Петров Э.Т., Болотов А.Б., Бескоровайный В.В. Алгоритм структурно-топологической оптимизации централизованных сетевых систем // Механизация и автоматизация управления. 1986. №1. C. 28-31. 12. Бескоровайный В.В., Имангулова З.А. Алгоритмы оптимизации топологии ИВС на множестве радиально-узловых структур // Радиоэлектроника и информатика. 2000. №2. С. 100104. 13.ТудманС., ХидетниемиС. Введение в разработку и анализ алгоритмов. М.: Мир, 1981. 368 с.

Поступила в редколлегию 21.02.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кошевой Н.Д.

Бескоровайный Владимир Валентинович, канд. техн. наук, доцент кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: структурный синтез территориально распределенных систем, математическое моделирование, теория оценивания и выбора решений. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, к.277, тел. (057)702-10-06.

РИ, 2003, № 2

107