Формирование множества эффективных вариантов при решении задач структурного синтеза территориально распределенных объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 719.81

ФОРМИРОВАНИЕ МНОЖЕСТВА ЭФФЕКТИВНЫХ ВАРИАНТОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ СТРУКТУРНОГО СИНТЕЗА ТЕРРИТОРИАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ

БЕСКОРОВАЙНЫЙВ.В.________________________

Анализируется подход к формированию подмножеств эффективных вариантов при решении задач многофакторного структурного синтеза территориально распределенных систем. Для выпуклых множеств альтернативных вариантов предлагается метод формирования приближенной области компромиссов. Описываются полученные оценки эффективности и временной сложности модификаций метода.

1. Введение

Технологии структурного синтеза территориально распределенных систем (ТРС), как и других объектов проектирования, представляют собой итерационные схемы, включающие чередующиеся процедуры синтеза и анализа [1]. Процедуры синтеза служат для формирования вариантов построения системы s є S* (где S* — множество допустимых вариантов ее построения), а процедуры анализа — для формирования их покритериальной kj(s),

i = 1, m (где m — количество частных критериев) и/ или обобщенной оценок U (s).

При выборе решений в процессе структурного синтеза ТРС требуется выполнять анализ большого количества альтернативных вариантов S*. Так, при решении задач синтеза топологии ТРС в классе радиально-узловых структур только по критерию стоимости (даже при использовании метода направленного перебора локальных экстремумов функции цели) требуется перебор порядка l

lo+1 j

Card(S*)= Z C„ вариантов (где n — количество 1=1

элементов системы; l — количество узлов системы,

1° — оптимальное количество узлов) [2]. Общее

количество вариантов (деревьев), которые могут быть получены на n элементах, при синтезе древовидных структур ТРС составляет порядка

Card(S*)= nn_2 [3,4]. Анализ всевозможных кольцевых структур для несимметричной матрицы стоимостей может потребовать перебора

Card(S*)= (n -1)! вариантов [3]. Для современного состояния вычислительной техники проблемой является даже хранение такого количества вариантов, не говоря уже об их многокритериальном анализе.

2. Формирование области компромиссов

Область допустимых решений в общем случае

состоит их двух подобластей S* = SS U SK , где SS — область согласия, в которой частные критерии

могут изменяться согласованно; SK — область компромиссов, в которой хотя бы одна пара критериев является строго противоречивой. Оптимальное решение задачи многокритериального синтеза so принадлежит области компромиссов so є SK [5,6]. Ни одно из решений, принадлежащих SK, не может быть улучшено сразу по всем частным критериям. С учетом этого в процессе проектирования предлагается параллельно формировать множества альтернативных вариантов S* и множества компромиссов SK. Суть этого подхода состоит в следующем.

Первый из сформированных альтернативных вариантов топологической структуры s включается в множество компромиссных SK. Каждый из далее формируемых вариантов x є S* сравнивается с каждым (на первом этапе с единственным) из вариантов у є SK. Если сформированный вариант x лучше всех вариантов из SK по всем показателям, он включается в SK. Если некоторый вариант у є SK хуже, чем х, он исключается из SK. После завершения генерации альтернативных вариантов х є S* будет сформировано подмножество компромиссных вариантов SK. При этом, в общем случае, Card(S*)>>Card(SK), что позволяет сократить объем памяти для хранения альтернативных вариантов и уменьшить затраты на их дальнейший анализ.

3. Формирование приближенной области компромиссов

Существуют постановки задач структурного синтеза и оптимизации, в которых множество альтернативных вариантов S* уже сформировано. При большой мощности множества S* точное определение SK представляет собой достаточно сложную с вычислительной точки зрения задачу. Её упрощением служит выделение приближенной области компромиссов (ПОК) SP. При этом должно выполняться требование SKс SP. Для построения ПОК может быть использован следующий метод [6].

На множестве допустимых решений S* производится оптимизация по каждому из частных критериев kj(s), i = 1, m , в результате чего определяются наилучшие по каждому критерию решения

s° = arg extr ki(s), i = 1, m и соответствующие им зна-

seS*

чения других частных критериев kj( so), j = 1, m, j ф i.

Тогда наилучшее значение частного критерия kj

равно kj" = kj (so), а наихудшее среди значений

частного критерия kj в точках экстремумов по

другим критериям равно ki = maxki(s°), если

j

РИ, 2003, № 4

113

kj(s) ^ min и kj = min ki(s?), если kj(s) ^ max. j

Полученные пары значений < kf , kj“ >, i = 1, m являются границами отображения приближенного множества SP на пространство критериев К.

Опытным путем было установлено, что на невыпуклых множествах допустимых вариантов S* описанный метод формирования приближенной области компромиссов Sp не гарантирует выполнения условия SK с Sp •

Для выпуклых множеств альтернатив S* предлагается модификация описанного выше метода, позволяющая получать ПОК меньшего размера. Суть его состоит в следующем. (Без потери общности будем рассматривать задачу, в которой решения s є S* задаются не значениями частных критериев ki(s), i = 1, m, а значениями их линейных функций полезности k;(s) =((kj(s)- kj")/(kp -kj" )X i = 1, m [6]).

Определим на множестве допустимых решений S* наилучшие решения по каждому из частных критериев

s° = arg extr k; (s), i = 1, m. Полученные при этом зна-

seS*

чения частных критериев определяют крайние точки границы приближенной области компромиссов

kij = k; (sj), i, j = 1, m . Построим плоскость (m — плоскость, гиперплоскость), проходящую через граничные точки kij = ki (s°), i, j = 1, m и отсекающую от области допустимых решений S* приближенную область компромиссов Sp [7,8]:

(k1 (s) -ku) ... (km(s)-km1)

(k12 _ k11)

Det .

(km2 _ km1)

= 0. (1)

_(k1m _ k11) - (kmm _ km1) _

В дальнейшем будем использовать нормальную форму уравнения плоскости (1) в виде

F(ai,..., am+i, K(s) )= 0,

где K(s) = [k1(s), k2 (s),..., km(s)]; аі, i = 1, m +1 - коэффициенты уравнения плоскости (1).

Для разделения точек на подмножества (подобласти) согласия SS и приближенной области компромиссов Sp будем определять их расположение

относительно плоскости (1). С этой целью воспользуемся известным критерием взаимного расположения точек M1(xbyb...,z0 и M2(X2,y2,...,Z2) относительно плоскости Ax+By+...+Cz+D=0 (где A,B,C,D — коэффициенты нормальной формы уравнения плоскости). Точки M1(x1,y1,...,z1) и M2(x2,y2,...,z2) расположены по разные стороны плоскости, если числа Ax1+By1+...+Cz1+D и

Ax2+By2+. ..+Cz2+D имеют противоположные знаки. Точка лежит на плоскости, если соответствующее число равно нулю. В качестве первой точки будем использовать начало координат, т.е. M1(0,0,...,0). В качестве второй используем точку M2, соответствующую альтернативному варианту si

с координатами (k^, k±2,..., kim ). Точка, лежащая

в области Sp , должна, в оговоренных выше условиях, лежать с противоположной стороны или на плоскости (1) относительно начала координат M1(0,0,...,0).

Определим для точки начала координат значение F(M1). Вычислим значение F( K(s^ ) для точки M2

с координатами (k^, ki2,..., kim ), соответствующей очередному варианту si. Если полученное значение F( K(s^ )=0 или имеет знак, противоположный F(M 1), отнесем вариант si к приближенной области компромиссов sP , в противном случае- к

области согласия SS . Для рассматриваемой задачи всегда F(M1)<0 и, следовательно, требуется проверка выполнения только одного условия F( K(si) ) > 0.

4. Анализ эффективности методов

Для равномерного распределения характеристик вариантов множества S* метод выделения ПОК Sp , приведенный в [6], для m=2 в круге оставляет 1/4 его площади, для m=3 в шаре оставляет 1/8 его объема и т.д., т.е. позволяет сократить область поиска в гипершаре (m-шаре) примерно в 2m раз. В техже условиях предложенный метод формирования ПОК дает гораздо более компактную область Sp . Используем в качестве оценки степени сокращения ПОК SP для рассмотренных

методов отношения площадей сектора Card( Sp) и

сегмента Card( Sp) (рис. 1). Для предложенного метода степень сокращения ПОК относительно S* составит 4 -л /(л - 2), т.е. порядка 11,02 раза, аотносительно Sp — л /(л - 2), т.е. порядка 2,75 раза ( см. рис. 1).

Формирование множества SK путем полного перебора непосредственно из множества S* в худшем случае требует попарного сравнения всех вариантов множества по всем частным критериям. Для этого

требуется выполнить порядка f0(n*, m) =

=o[ 2 • m• сП* ] операций сравнения, где m—количество частных критериев; n*=Card(S*) — мощность множества S*. Для оценки сложности методов формирования ПОК проведем учет основных операций. Определение множества Sp известным методом из [6] предполагает выбор лучшего варианта

по каждому из критериев (требуется порядка m • n * операций), формирование границ (требуется по-

114

РИ, 2003, № 4

Рис. 1. Подмножества SP и SK на выпуклом множестве альтернатив S*

рядка m2 операций), проверку попадания каждого из вариантов по всем критериям в выделенные

границы (требуется порядка 2 • m • n* операций). Таким образом, временная сложность метода формирования ПОК Sp составляет fi (n*, m) = = o[3 • n*-m + m2].

Первые два этапа при определении множества Sp совпадают с этапами первого метода, т.е. требуют

выполнения порядка n * -m + m2 операций. Составление уравнения гиперплоскости предполагает развертывание определителя матрицы размером m х m. Для этого требуется выполнить порядка m!m—1 операций. Решение о принадлежности точки ПОК предполагает вычисление значения функции F( K(si)) (требуется 2 • m операций для одной точки, что составит порядка 2 • m • n * операций для всех точек множества S*). С учетом этого временная сложность предлагаемого метода составляет порядка f2 (n*, m) = o[3 • n * -m + m!-m + m2 -1]. Таким об-

та x є Sp, то вариант у не включается в множество SK.

С учетом полученных оценок сложности методов формирования ПОК можно оценить сложность процедур формирования области компромиссов с промежуточным выделением ПОК. Временная сложность процедуры формирования области компромиссов по схеме S* ^ Sp ^ SK составляет

fio(n*, m) =o[3 •n* -m + m2 + 2 •m • сПі],

где n1= Card( Sp) — мошцость множества ПОК Sp . В частности, как было установлено, для областей допус-тимыхрешений S*, имеюшцх формут-шара, Card( Sp) =Card(S*)/2m.

Временная сложность процедуры формирования области компромиссов по схеме S* ^ Sp ^ SK составляет порядка

22

f20(n*,m) =o[3 • n* -m + m!-m + m + 2 • m • C^].

Здесь n2= Card( Sp) — мошцость множества ПОК Sp .

В частности, для областей допустимых решений S*, имеюших форму круга (гипершара с т=2),

Card( Sp )=Card(S*)/11,02.

Степень снижения временной сложности для методов, базирующихся на предварительном выделении ПОК,

может быть определена путем соотношения fo(n*, m) и fio(n*, m) (рис. 2):

Yi =fo(n*,m) / fio(n*,m),

T2 = fo(n*,m) / f2o(n*,m), (2)

где yi, у2 -соответственно степень снижения временной сложности процедур формирования SR- с использованием известного и предложенного методов.

разом, предлагаемый метод предполагает дополнительно выполнение всего m!m—1 операций. Ввиду

того, что на практике n * >> m , можно считать, что рассмотренные методы имеют практически одинаковую временную сложность f (n*, m) = O[3 • n * -m ]. Однако предложенный метод позволяет формировать ПОК меньшего размера, т.е.

Card( SP )>Card( sP ).

_ 40 -|

і 35 I 30 I 25

I 20

z

І 15

u

£ io

5

Для сужения множеств Sp и Sp

до SK может быть применена описанная выше процедура сравнения пар вариантов x,y є Sp. Если какой-либо вариант у є Sp по всем частным критериям хуже вариан-

0-1---------------------------------------------------------------------------1

32 48 64 80 96 112 128

Мощность исходного множества

[—□— Ряд2 Ряд3 X Ряд4]

Рис. 2. Степень снижения временной сложности процедуры формирования области компромиссов по схеме S* ^ Sp ^ SK

РИ, 2003, № 4

115

5. Выводы

Степень снижения временной сложности при формировании области компромиссов у(п*, m) по схеме S* ^ Sp ^ SK примерно в 2,5 раза выше, чем для

схемы S*^ Sp ^ SK. Для обеих схем она увеличивается с увеличением количества альтернатив в исходном множестве Card(S*) и количества частных критериев m. С учетом результатов анализа соотношений (2) (см. рис. 2) можно сделать вывод о том, что выделение подмножества SP практически всегда целесообразно, так как позволяет существенно снижать трудоемкость процедуры определения множества компромиссов по схемам

S* ^ Sp ^ SK.

Выбор единственного решения so на полученном множестве Sкнебольшого размера может осуществляться лицом, принимающим решения. В противном случае для формализации процедур оценивания и выбора необходимо привлечение дополнительной информации о важности частных критериев kj(s), i = 1, п и ценности различных значений формализованных свойств ТРС.

Литература: 1. Норенков ИП. Основы автоматизированного проектирования. М.: Изд-во МГТУ им.Баума-на, 2000. 360 с. 2. Бескоровайный В.В. Модификация метода направленного перебора для синтеза топологии систем с радиально-узловыми структурами // АСУ и приборы автоматики. 2003. Вып. 123. С. 110—116. 3. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 512 с. 4. Липатов Е.П. Теория графов и ее применения. М.: Знание, 1986. 32 с. 5. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1987. 412 с. 6. Петров Э.Т., Новожилова М.В., Гребенник И.В., Соколова НА. Методы и средства принятия решений в социальноэкономических и технических системах. Херсон: ОЛДІ-плюс, 2003.380 с. 7. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с. 8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 832 с.

Поступила в редколлегию 18.11.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Нефедов Л.И.

Бескоровайный Владимир Валентинович, канд. техн. наук, доцент, профессор кафедры системотехники ХНУРЭ. Научные интересы: структурный синтез территориально распределенных систем, математическое моделирование, теория оценивания и выбора решений. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, к.277, тел. (057)702-10-06.

116

РИ, 2003, № 4