Синтез та аналіз алгоритмів виявлення постійних сигналів на тлі негауссівських асиметрично-ексцесних завад Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК621.396.96

СИНТЕЗ ТА АНАЛІЗ АЛГОРИТМІВ ВИЯВЛЕННЯ ПОСТІЙНИХ СИГНАЛІВ НА ТЛІ НЕГАУССІВСЬКИХ АСИМЕТРИЧНО-ЕКСЦЕСНИХ ЗАВАД

у вигляді стохастичних поліномів кінцевого степеня s , оптимальні коефіцієнти якого знаходяться по вибраному критерію якості. Показано, що застосування даного моментного критерію якості для вирішення задач виявлення сигналів на тлі негауссівських завад дозволяє отримати високоефективні нелінійні алгоритми при нескладній їх реалізації.

1. Постановка задачі

ПАЛАГІН В.В., ЛЕЛЕКО С.А.____________________

На основі моментного критерію якості перевірки статистичних гіпотез типу Неймана-Пірсона, моментно-куму-лянтного опису випадкових величин і стохастичних поліномів вищих порядків розробляються алгоритми виявлення постійних сигналів на тлі асиметрично-ексцесних негауссівських завад. Будуються нелінійні вирішальні правила і досліджується їх ефективність.

Вступ

Виявлення сигналів на тлі завад є одним з важливих завдань, яке вирішується в радіолокації, радіонавігації, телекомунікаційних та інформаційних системах. Така задача часто вирішується на основі використання імовірнісних критеріїв якості перевірки статистичних гіпотез (Байєса, Неймана-Пірсона і ін.) [1, 2], де найбільшого розповсюдження отримала модель гаус-сівської завади, яка не відображає реальних природних процесів. Т ак, завади, створювані РЛС при відбитті сигналів від морської поверхні, метеоутворень, мають виражений негауссівський характер [3]. Цікавим є побудова алгоритмів виявлення сигналів на тлі нега-уссівських завад, як більш узагальнених і наближених до реальних завадових ситуацій. Показано, що використання нових моментних критеріїв, що базуються на моментно-кумулянтному описі випадкової величини і поліноміальному представленні вирішальних правил (ВП), дозволяють ефективно вирішувати дану проблему [4, 5]. Показано, що такі моментні критерії якості базуються на основі мінімізації імовірності помилок першого і другого роду ВП. На практиці часто зустрічаються задачі, коли необхідно одну з ймовірностей помилок зафіксувати, а другу мінімізувати. Така постановка задачі відповідає використанню критерію якості Неймана-Пірсона (KuP ) [6]. Наукова задача даної роботи полягає в розробці та адаптації математичного апарату для оптимальної обробки сигналів на тлі негауссівських завад за моментним критерієм якості типу Неймана-Пірсона.

Нехай спостерігається випадкова величина £ у вигляді адитивної суміші корисного постійного сигналу a і випадкової величини л, яка розподілена по нега-уссівському закону з нульовим математичним очікуванням і дисперсією % 2 : £ = a + Л-

Припустимо, що з випадкового сигналу \ робиться вибірка x = {xi,x2,...xn} об’ємом n. За результатами обробки необхідно винести рішення про те, що спостерігається гіпотеза Hi, коли корисна величина має вигляд £, = a + л , або гіпотеза Н0 , коли приймається тільки завада - .

Для побудови ВП скористаємося моментним критерієм якості типу Неймана-Пірсона [7].

Згідно з даним критерієм поліноміальне ВП Лns в загальному вигляді запишеться як

Hi

Asn(x) = ЕkiZxV + ko > о,

i—1 v—1 < (1)

Ho

де поріг ВП визначається:

ko = EoC + (1 - C)E1, (2)

C - нормуючий коефіцієнт, а невідомі коефіцієнти ki знаходяться з мінімуму критерію KuP :

Go + Gl

KuP(G,E) =AzCtcL (3)

[Ei - Eo]2

тут Ei, Gi - математичне очікування і дисперсія ВП (1) при гіпотезах Hi, i = o,1 відповідно.

Тоді коефіцієнти k i , що мінімізують праву частину (3), знаходяться з розв’язку системи рівнянь:

Метою роботи є подальший розвиток та застосування нового моментного критерію якості типу Неймана-Пірсона для синтезу нелінійних алгоритмів виявлення сигналів на тлі негауссівських завад [7]. Даний критерій відрізняється від імовірнісного критерію Неймана-Пірсона і є адаптованим для вирішення нових практичних завдань по обробці негауссівських випадкових величин.

У роботі використовується моментно-кумулянтний опис випадкових величин за допомогою кінцевого числа моментів [8] і поліноміальне представлення ВП

ГFi,j(Ho) , Fi,j(Hl) Е kj , ч2 + 2

j=ij L (i - C2 c2 _

= mi -ui,i = 1,s,

(4)

де Fi,j(H^,Fi,j(H^ - коррелянти розміром(i,j) випадкової величини \ при гіпотезі Ho і альтернативі Hi відповідно, де:

Fi,j(Ho) = ui+j -uiuj, Fi,j(Hi) = mi+j -mimj>

тут mi,Ui - початкові моменти і-го порядку випадкової величини при гіпотезі і альтернативі відповідно [7].

io

РИ, 2oo8, № 3

Невідомий нормуючий коефіцієнт с знаходиться з умови заданої імовірності помилки першого роду:

Go(C)

(1 - C)2[Tj(C) - To(C)]2

-

(5)

а мінімізована імовірностість помилки другого роду ВП прийме вигляд

р

Gi

C2[Ei - Eo]2'

(6)

Математичні очікування Eo , Ei і дисперсії Go , Gi при гіпотезі і альтернативі ВП (1) запишуться у вигляді:

Eo = E[Ans(x)/Ho] = n ^ kiUi, i=1

Ei = E [л ns(x)/HJ = n X kimi, i=1

Go = E

(Л n^x))2/Ho

Gi = e[( Л nS(X))2/Hi

= n ZZkikjFi,j(Ho), i=ij=i

= n EEkikjFi,j(Hi)

i=ij=i

Як апріорна інформація про розподіл завади р при синтезі ВП виступає послідовність моментів і куму-лянтів. В даній роботі розглянутий випадок негауссі-вської асиметрично-ексцесної завади, яка характеризується значеннями коефіцієнтів ексцесу уз і асиметрії у 4 згідно з приведеною класифікацію [8]. Такі параметри завади характеризують, наприклад, релеївську заваду.

Якщо апріорна інформація невідома, то можна використати оціночні значення моментів випадкових величин при застосуванні одного з відомих методів.

Для синтезу нелінійних ВП до степеня полінома S = i,6 необхідно враховувати початкові моменти випадкової величини б, при гіпотезі і альтернативі до i2 порядку, показані в [7-8].

2. Побудова ВП і дослідження їх ефективності

У загальному вигляді при степені полінома S = i ВП запишеться в лінійній формі і прийме вигляд

Hi

ґ \ n >

MxAn = ko + ki Z xv o

v=i <

H o

З (4) легко отримати значення коефіцієнта kj :

ki =-------7

г 2.5

q

o.5

i i C2+(i - C2

V

(7)

a

2

де q = —

X 2

відношення сигнал/шум по потужності.

РИ, 2oo8, № 3

Тоді поріг ВП ko , згідно з виразом (2) прийме вигляд

k

nq(i - C)

o _7---------------N

' i i

- +

C2 (i - C)

(8)

Таким чином, ВП (i) при степені полінома S = i прийме вигляд:

Hi

/ \ i n >

Mx)in =-Ёxv -(i-C) a o.

n v—i <

H o

(9)

Нормуючий коефіцієнт C знаходимо з умови заданої імовірності помилки а і після нескладних перетворень отримаємо, що

C = i -

i

з/nqa .

При С^,5 отримуємо ВП, яке повністю збігається з лінійним ВП, отриманим як по моментному критерію мінімуму верхньої межі імовірності помилок [4], так і по імовірнісному критерію мінімуму суми імовірності помилок першого і другого роду ВП в припущенні гауссівської моделі завад.

Мінімізована імовірність помилки другого роду ВП згідно з (6) при s = i приймає вигляд

Pin =

i

C2nq

(io)

З виразів імовірності помилок першого і другого роду ВП видно, що при зростанні однієї імовірності помилок інша зменшується, і навпаки, що збігається з теоретичним трактуванням їх взаємодії.

З виразу (io), який виражає імовірностість помилки ВП, видно, що при n ^ж або при q ^ж значення Pj прямує до нуля.

Кількість здобутої інформації про відмінність гіпотез є зворотною величиною до отриманого критерію KUP і може служити кількісною мірою оцінки ефективності синтезованих ВП. У загальному вигляді дана величина має вигляд

I

sn

Go + Gi

(i - C2 C2

= Ei - Eo

(ii)

Для лінійного ВП (9) кількість здобутої інформації про відмінність гіпотез запишеться у вигляді

Iin = n

(

\ '

V C2 (i - C2 J

Лінійне ВП не враховує негауссівського розподілу завади, тому збільшимо ступінь полінома до S = 2 .

q

i

i

Для побудови нелінійного ВП при ступені S = 2 постановка задачі збігатиметься з постановкою задачі для випадку S = i, і використовуючи (i), отримаємо:

ii

Mxbn = k1 E xv + k2 E xv - k0

v—1 v—1

Hi

>

0

< . (12) H0

Показано, що невідомі коефіцієнти ВП (12) знаходяться з вирішення системи алгебраїчних рівнянь(4).

Поріг ВП визначиться у вигляді виразу

ko = n|ck2 + (1 - C)(k1q°.5 + k^q +1)|.

Кількість здобутої інформації про відмінність гіпотез прийме вигляд

і2п = n(k1q05 + k2q)

Невідома нормуюча величина C знаходиться з умови заданої імовірності помилки (5):

а 2n _

k2 + 2k1k2 У 3 + k2(Y 4 + 2)

n(1 - C2[k1q°5 + k2qf Мінімізована імовірностість помилки прийме вигляд:

Р 2n = - A + B

nC

k1q°5 +k2qf

де

A - k2 + 2k1k2(y3 + 2q° 5)

B = k2(4q05y 3 + 4q05 +y 4 + 2

)

k1 =

((C - 1)2cVq(2(1 + q - 2C(1 + q) + C2(2 + q)) +

((2 + 4C(C -1)(2 + C(C -1)(2 + q) -+ (3 + 2(C - 3)C^/jy 3 (1 + 2(C - 1)C)y 4))

(1 + 2C(C -1))2 У32 + (1 + 2C(C -1))2 у 4^x7 ’

k2 =

((C - 1)2C%/q((1 - 2C^/q+

((2 + 4C(C -1)(2 + C(C -1)(2 + q) -+ (1 + 2C(C - 1))y 3))

- (1 + 2C(C-1))2 у з2 + (1 + 2C(C-1))2 у 4)x 2'

Проводячи аналогічні міркування для різних степенів стохастичного полінома, були побудовані і проаналізовані інші ВП.

Наприклад, при S = 6 ВП прийме вигляд

0n n 2 n 3

6n = k1 E xv + k2 E xv + k3 E xv + v=1 v=1 v=1

H1

+ k4 X xv + k5 X xvk5 + k6 X xv - k0 > 0.

v=1 v=1 v=1 <

H0

Проведено дослідження властивості синтезованих ВП. На рис. 1 і 2 представлені залежності відношення кількості здобутої інформації про відмінність гіпотез

для лінійного ВП I1n при S = 1 до кількості здобутої 12

інформації про відмінність гіпотез для нелінійних ВП ISn при S = 2,6 від коефіцієнтів асиметрії у3 та ексцесу і у4 при заданій імовірності помилки першого роду а = 10_ , відношенні сигнал/шум q = 7 .

Рис. 1. Графік залежності відношення кількості здобутої інформації про відмінність гіпотез для лінійного ВП I1n до нелінійного ВП при S = 2 I2n від коефіцієнтів асиметрії У3 та ексцесу у 4

Рис. 2. Графік залежності відношення кількості здобутої інформації про відмінність гіпотез для лінійного ВП I1n до нелінійного ВП при S = 6 I6n від коефіцієнтів асиметрії У3 та ексцесу у 4

З рис. 1 і 2 видно, що якість розпізнавання гіпотез збільшуватиметься при відмінних від нуля коефіцієнтах асиметрії у3 та ексцесу і у4 і кількість здобутої інформації про відмінність гіпотез для нелінійних ВП буде прямувати до нескінченності при досягненні у 4 межі області допустимих значень (ОДЗ) [8]. Із зростанням степеня полінома S ВП ефективність розрізнення гіпотез збільшується при зменшенні ОДЗ, що характеризує зменшення імовірності помилки другого роду Р для нелінійних ВП в порівнянні з лінійними.

На рис. 3, 4 наведені графіки залежності імовірності правильного виявлення для нелінійних ВП Psn |s=2,6| від співвідношення сигнал/шум q , при заданій імовірності помилки першого роду а = 10_5, об’ємі вибірки n = 200 . На графіках видно, що врахування

коефіцієнтів асиметрії У3 та ексцесу у4 дозволяє

РИ, 2008, № 3

збільшити імовірність правильного виявлення, причому імовірність правильного виявлення росте зі збільшенням коефіцієнтів асиметрії у3 та ексцесу у4.

1-е

Рис. 3. Графік залежності відношення імовірності правильного виявлення 1 — Р 2n для нелінійного ВП при S = 2 від співвідношення сигнал/шум q

— -‘Л-о,7,-о

—-ї3=оз,ї.=ос

Рис. 4. Графік залежності відношення імовірності правильного виявлення 1 ~P2n для нелінійного ВП при S = 6 від співвідношення сигнал/шум q

На основі отриманих ВП побудована структурна схема поліноміальних виявлячів постійного сигналу на тлі негауссівських завад (рис. 5).

Рис. 5. Структурна схема виявляла постійного сигналу

Структурна схема складається з 6 паралельних степеневих блоків обробки сигналу. Кількість степеневих блоків визначається степенем полінома S . У степеневих блоках обробки відбувається підсумовування і множення вибіркових значень xv на відповідні коефіцієнти k . Сума перемножених вибіркових значень xv порівнюється із значенням порога kQ і виноситься рішення про наявність на вході пристрою тільки завади (гіпотеза И0) або адитивної суміші сигналу і завади (гіпотеза Иі).

Висновки

Наукова новизна даної роботи полягає у застосуванні нового методу перевірки статистичних гіпотез на основі використання моментно-кумулянтного опису випадкових величин і побудови ВП у вигляді стохас-тичних поліномів вищих порядків.

При побудові ВП був використаний новий адаптований моментний критерій якості типу Неймана-Пірсона, на основі якого синтезовані нелінійні ВП, знайдені їх якісні характеристики.

Проведено комп’ютерне моделювання ефективності синтезованих поліноміальних ВП. Практична цінність роботи полягає в тому, що синтезовані нелінійні алгоритми по обробці сигналів для степеня ВП s = 1,6, розроблені їх структурні схеми. Показано що, врахування негауссовості завади і збільшення степеня сто-хастичного полінома дозволяє збільшити кількість здобутої інформації з вибіркових значень і зменшити одну з імовірності помилок ВП, що в цілому приводить до збільшення ефективності синтезованих алгоритмів.

Проведений аналіз нелінійних ВП, побудовані структурні схеми алгоритмів виявлення, які досить просто реалізуються на сучасній елементній базі.

Результати досліджень показують, що врахування тонкої структури негауссівської завади у вигляді коефіцієнтів асиметрії уз та ексцесу у4 дає можливість підвищити ефективність синтезованих ВП при достатньо простій структурі їх побудови, що дозволяє стверджувати про можливість ефективного практичного застосування синтезованих нелінійних алгоритмів виявлення сигналів на тлі негауссівських завад в системах зв’язку, радіолокації та ін.

Література: 1. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации. М.: Радио и связь, 1992. 304 с. 2. Акимов П.С. Обнаружение радиосигналов. М.: Радио и связь, 1989. 288 с. 3. ЛуценкоВ.И. Обнаружение сигналов на фоне негауссовых помех от моря // Сб. науч. трудов 3го международного радиоэлектронного форума «Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития» МРФ-2008. Том. І. Международная конференция «Современные и перспективные системы радиолокации, радиоастрономии и спутниковой навигаци». Ч. 1. Харьков: АНПРЭ, ХНУРЭ. 2008. С. 113-116. 4. Кунченко Ю.П., Палагин В.В. Проверка статистических гипотез при использовании полиномиальных решающих правил, оптимальных по моментному критерию суммы асимптоти-

РИ, 2008, № 3

13

ческих вероятностей ошибок // Радиоэлектроника и автоматика. 2006. № 3(34). С.4-11. 5. ПалагинВ.В. Построение моментного критерия проверки статистических гипотез при использовании полиномиальных решающих правил. // Электронные моделирования. 2008. Т. 30, № 3. С. 57 - 72.

6. Лега Ю.Г., Палагин В.В., Лелеко С.А. Построение полиномиальных решающих правил по моментному критерию типа Неймана-Пирсона для проверки статистических гипотез // Друга міжнародна наукова конференція “Теорія та методи обробки сигналів”. Київ: КНАУ, 2008. С. 79-80. 7. Палагин В.В, Лелеко С.А. Использование моментного критерия качества проверки статистических гипотез типа Неймана-Пирсона для построения решающих правил // Вісник ЧДТУ. №1. С. 72-77. 8. Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы. Киев: Наук. думка, 2006. 275 с.

Надійшла до редколегії 03.04.2008

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шарапов В.М.

Палагін Володимир Васильович, канд. техн. наук, доцент кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів, виявлення, розпізнавання та оцінка параметрів сигналів. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail:

palahin@yahoo. com.

Лелеко Сегрій Анатолійович, аспірант кафедри радіотехніки Черкаського державного технологічного університету. Наукові інтереси: статистична обробка сигналів, виявлення, розпізнавання та оцінка параметрів сигналів. Адреса: Україна, 18006, Черкаси, бул. Шевченка, 406, тел. (0472)730261, E-mail: [email protected].

14

РИ, 2008, № 3