Синтез программного управления причаливания ракеты к астероиду с учетом инерционности тяги двигателя Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 681.5.01: 658.5

В. А. Афанасьев, Г. Л. Дегтярев, А. С. Мещанов, Э. А. Туктаров

СИНТЕЗ ПРОГРАММНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРИЧАЛИВАНИЯ РАКЕТЫ К АСТЕРОИДУ

С УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННОСТИ ТЯГИ ДВИГАТЕЛЯ

Ключевые слова: ракета, двигатель, сила тяги, пуск, останов, закон управления, дифференциальные уравнения, аналитические решения, управляющие параметры, разгон, торможение, назначенное время.

Исследуется задача причаливания к астероиду ракеты с помощью двигателя, у которого сила тяги при пуске и останове описывается экспоненциальными зависимостями с соответствующими постоянными времени. Задача решается методом аналитического конструирования составной траектории сближения из типовых отрезков с нахождением аналитического решения дифференциальных уравнений движения. Решение состоит в вычислении по простым формулам двух управляющих параметров закона управления силой тяги, которыми являются момент начала останова двигателя и момент выхода на установившийся режим двигателя при вырабатывании силы тяги противоположного направления. Результаты применимы в проектировании ракет для доставки зондирующей аппаратуры на потенциально опасные астероиды и их систем управления.

Keywords: rocket, engine, traction force, start, stop, control law, differential equations, analytical solutions, control parameters, acceleration, deceleration, assigned time.

The problem of mooring to an asteroid of a rocket with the help of an engine in which the thrust at start-up and stopping is described by exponential dependences with corresponding time constants is investigated. The problem is solved by the method of analytical construction of a composite trajectory of convergence from typical segments with finding an analytic solution of differential equations of motion. The solution consists in calculating, by simple formulas, the two control parameters of the thrust control law, which are the start stop time of the engine and the instant of reaching the steady state of the engine when the thrust force of the opposite direction is produced. The results are applicable in the design of missiles for the delivery of probing equipment to potentially dangerous asteroids and their control systems.

Введение

В космических условиях причаливания к астероиду ракеты, которой может быть как зондирующая с измерительной аппаратурой, так и ударная с ядерным зарядом на борту, основными факторами, влияющими на точность причаливания, являются изменение массы ракеты от выгорания топлива в двигателе и динамика изменения силы тяги ракетного двигателя в переходных процессах пуска и останова при разгоне и торможении. Влияние учёта расхода топлива оказывает заметное влияние на построение закона управления поступательным движением, если масса топлива занимает значительную часть исходной массы ракеты в начале причаливания, например, если ракета специально разработана только для причаливания и не содержит предыдущей ступени, используемой для выведения на орбиту астероида. С другой стороны, существенное влияние на управление причаливанием может оказывать динамика нарастания и убывания силы тяги ракетного двигателя, которая в реальных двигателях описывается экспоненциальными зависимостями с соответствующими постоянными времени при пуске и останове [1]. В работе исследуется один из возможных законов управления силой тяги ракетного двигателя при причаливании ракеты к астероиду.

Математическая модель

Поступательное движение ракеты в условиях отсутствия аэродинамического сопротивления и гравитационного притяжения сравнительно малого астероида описывается следующими дифференциальными уравнениями:

m(t) = m0 -1ml (t - to),

h = -V

(1)

где V - относительная поступательная скорость ракеты, h - расстояние между ракетой и астероидом, т - масса ракеты (корпус, двигатель, топливо, аппаратура или заряд), Р = P(t) - сила тяги, постоянная в установившемся режиме работы маршевого двигателя и переменная в переходных режимах пуска и останова, положительная при разгоне и отрицательная при торможении.

Пуск двигателя в момент t0, сопровождается экспоненциальным нарастанием силы тяги P(t) :

Psiart(t) = P( 1 - e T1 )

(2)

где Т - постоянная времени двигателя при пуске до выхода на установившийся режим в момент ^ - ^ = 3Т. Если установившийся режим работы двигателя сохраняется до момента t2, когда начинается останов двигателя, то сила тяги убывает до момента tk по соответствующему экспоненциальному закону:

Р^) = Ре 72 , (3)

где Т2 - постоянная времени двигателя при останове, tk - t2 = 3 Т2.

Постановка задачи причаливания

Требуется установить закон управления работой маршевого ракетного двигателя такой, чтобы ракета из начального состояния:

t = ^ = 0, V(t0) = V = 0 , ) = ^, (4)

-t

перешла в заданное конечное состояние:

V(tJ = Vk = 0 , h(tj = hk = 0,

за назначенное время t = tk.

(5)

Рис.1 - Закон управления силой тяги ракетного двигателя

Структура закона управления причаливанием определяется разгоном t е , ^ ] и торможением t е [^, t7 ], которые разделены паузой t е , 14 ], в течение которой двигатель выключен. Разгон и торможение ракеты выполняется одним и тем же маршевым ракетным двигателем, что достигается разворотом ракеты в направление противоположного действия силы тяги двигателя в течение указанной паузы для последующего торможения (с помощью, например, рулевых двигателей, используемых для управления угловым движением ракеты). Пуск двигателя на разгон и торможение сопровождается соответствующими переходными режимами на временных отрезках t е [^, ^ ] и t е [^, ^ ], а останов двигателя сопровождается переходными режимами на временных отрезках t е [^, ^ ] и t е [^, ^ ].

Решение задачи причаливания

Предлагаемая траектория причаливания ракеты к астероиду состоит из 7 типовых отрезков, на каждом из которых дифференциальные уравнения имеют аналитические решения, а в качестве начальных условий на каждом отрезке принимаются значения параметров движения в конце предыдущего отрезка [2]. Установление закона управления причаливанием заключается в определении двух управляющих моментов в структуре закона управления: момента окончания установившейся работы двигателя при разгона ^ и момента начала установившейся работы двигателя при торможении ^. Для их определения получим два алгебраических уравнения из последовательного решения дифференциальных уравнений для скорости и расстояния.

1. Первый отрезок, t е [^, ^ ]. Поступательное движение при пуске двигателя описывается уравнением:

V = n(1 - e Ti ), h = -V

(6)

где n = P / m - линейное ускорение, создаваемое силой тяги двигателя в установившемся режиме, m = const, с начальными условиями (4).

Интегрирование первого уравнения в системе (6) даёт зависимость изменения текущей скорости от времени:

В конце первого отрезка завершается пуск двигателя, и скорость определяется выражением:

_ ^

V = V + _ ^)+лТ/е т _ 1).

Строго говоря, по окончании переходного процесса пуска двигателя значение экспоненты должно быть равно нулю, но это возможно только при t ^ ж . Поэтому, принимая длительность пуска двигателя равной ^ _ ^ = 3Т,, в экспоненте сделаем предельный переход ^ = ж , в результате чего получим:

VI = V + _ ^) + лТ/е Т1 _ 1) =.

= Ц, + _ to)_ лТ С учётом соотношения t1 _ t0 = 3Т1 получаем выражение для скорости разгона по окончании разгона:

V = V, + 3Т1л _ лТ1 = V, + 2лТ1. (8) Второе уравнение системы (1) с учётом (7) принимает вид:

— = _^0 __ to)_ лТ/е т _ 1) .

Интегрирование последнего уравнения даёт выражение для текущего расстояния между ракетой и астероидом:

h = ho - Vo(t - 10)-n(t - 10)

2

+

+ nTJT/e Ti -1) + (t -10)]

В конце первого отрезка расстояние определяется выражением:

hi = h0 - V0 (ti - 10 )-2 (ti - 10 )2 +

-¡He.

+ nTi2 (e Tl -1) + nTi (ti -10)

(9)

С учётом предельного перехода в экспоненте приходим к выражению:

5 2

hi = h - ЗЦ^ - 2nTi2.

(10)

2. Второй отрезок, t е ^ ]. Двигатель работает в установившемся режиме на разгон поступательной скорости, движение ракеты описывается уравнениями:

V/ = n

h = -V,

(11)

с начальными условиями (8), (10).

Интегрирование первого уравнения системы (11) даёт выражение для текущей скорости: V = V + л^ _ t,).

Подстановка (8) при нулевых начальных условиях (4) приводит к выражению:

V = 2лТ1 + л^ _ t1).

С учётом соотношения ^ = 3Т1 получаем зависимость текущей скорости разгона при работе двигателя в установившемся режиме:

V = V0 + n(t -10) + nT/e Ti -1).

(7)

V = -nT1 + nt.

(12)

2

M

t-t

t-t

В конце второго отрезка скорость определяется

выражением:

V2 = V + n(t2 -11).

С учётом выражения (8) получаем:

V2 = - Т1) . (13)

Получили уравнение с двумя неизвестными '2,

V2 .

Второе уравнение системы (11) с учётом выражения для скорости (12) принимает вид:

dh _ . — = пТ - п'. Л 1

Интегрирование последнего уравнения в пределах второго отрезка с переменным верхним пределом с учётом ^ = 3Т, и (10) даёт зависимость:

5 п

h = ^ -2пТ,2 -2nT1(t-3Т,)-2(t-3Т,)2.

В конце второго отрезка расстояние определяется выражением:

5п h2 = ho -^пТ,2 -2пТ,(^2 - 3Т,)-2^ - 3Т,)2.

После несложных преобразований приходим к уравнению:

h2 = ho - nTi2 + nTit2 - -2-t2,

(14)

с двумя неизвестными h2 и t2.

3. Третий отрезок, t е [t2, t3 ]. Он характеризуется спадом силы тяги ракетного двигателя и описывается уравнениями:

V = ne

h = -V,

(15)

с начальными условиями (13), (14). Интегрирование первого уравнения системы (15) даёт зависимость спада силы тяги от времени:

V = V2 - пТ2 (е Т2 -1).

С учётом выражения для скорости (13) получаем:

- Ь12

V = п(Т2 -Т +12)-пТ2 е Т . (16)

В конце третьего отрезка скорость сближения определяется выражением:

- 1з-2

V? = п(Т2 -Т +12)-пТ2 е Т2 .

С учётом предельного перехода получаем следующее выражения для скорости в конце третьего отрезка составной траектории сближения:

V? = п(Т2 - Т1 +12). (17)

Второе уравнение системы (15) с учётом зависимости (16) принимает вид:

— = -п(Т2 - Т1 +12) + пТ2 е Т2 .

Л' 1 2

Его интегрирование приводит к выражению для текущего расстояния между ракетой и астероидом:

-Ь12

h = h2 - п(Т2 -Т1 + '2)(' -'2)-пТ22(е Т2 -1).

В конце третьего отрезка расстояние определяется выражением:

hз = h2 -п(Т2 -Т1 +'2)('з -'2)-ПТ22(е Т2 -1) .

С учётом соотношения '3 - '2 = 3Т2 и выражения для расстояния (14) последнее выражение принимает вид:

hз = ho + п(Т - 3Т2 ) '2 - '2 + (18)

2 . (18)

+ п[зТТ2 - 2Т22 - Т12 ] 4. Четвёртый отрезок, ' е ['34 ]. Двигатель не работает, движение ракеты описывается уравнениями:

= 0, h = -V,

(19)

с начальными условиями по скорости (17) и расстоянию (18).

Скорость полёта сохраняется неизменной:

V = const = V3 = n(T2 - T1 +12). (20)

В конце четвёртого отрезка она определяется выражением:

V4 = n(T2 - Ti +12). (21)

Интегрирование второго уравнения системы (19) с учётом зависимости (20):

= -n(T2 - Ti +12),

даёт выражение для текущего расстояния:

h = h3 - n(T2 - Ti + 12 )(t - t3 ) .

В конце четвёртого отрезка расстояние определяется выражением:

h4 = h3 - П(- Ti + T2 + 12 )(t4 - 13 ) .

С учётом (18) получаем выражение:

h4 = ho + n(Ti - 3T2 ) 12 - П t2 + (22)

+ n(3TiT2 - 2T22 - Ti2 ) - n(T2 - Ti + 12 )(t4 - 13 )

Используя соотношение t3 = 12 + 3T2, вместо неосновной неизвестной t3 введём основную неизвестную 12:

h4 = ho + n(Ti - 3T2) t2 - 212 + n(3T^2 - 2T22 - Ti2)-

- n(T2 - Ti + t2 )(t4 - t2 - 3T2 )

После несложных преобразований приходим к выражению

h4 = ho + nTi 12 - 212 + nT2 - Ti2 )-

(23)

- n(- Ti + T2 + t2 )(t4 - 12 )

Из соотношения '5 - '4 = 3Т1 выразим неосновную неизвестную через вторую основную неизвестную '5: '4 = '5 - 3Т1. С учётом последнего соотношения выражение (23) принимает вид:

h4 = ^ + пТ '2 - 2'2 + пТ2 - Т12 )-

- п(Т2 - Т1 + '2 )('5 - ЗТ1 - '2 )

После несложных преобразований получаем выражение для расстояния в конце четвёртого отрезка составной траектории сближения:

h4 = ho + n(T2 + 3Ti)t2 + nt22 -

2

- n(T2 - Ti +12 )t5 + n(T22 + 3TiT2 - 4Ti2)

-t

T

которое также является уравнением с тремя неизвестными ^, t5, Л4.

5. Пятый отрезок, t е ^4, t5 ]. Двигатель производит пуск для торможения, движение ракеты описывается уравнениями:

V = _л(1 _ е 7 ), Л = -У

(25)

с начальными условиями (21) и (24). Интегрирование первого уравнения системы (25) даёт выражение для текущей скорости сближения на пятом отрезке:

V = V, _ л^_14)_ лТ/е т _ 1).

С учётом скорости в начале этого отрезка (21) получаем:

_ ^

V = л(Т2 _Т1 +12)_ _14)_ лТ/е 7 _ 1) . (26)

В конце пятого отрезка скорость определяется

выражением:

_ ч^

V = л(Т2 _Т +12)_ л(?5 _t4)_ лТ/е т _ 1).

С учётом предельного перехода и соотношения t5 _ t4 = 3Т1 получаем следующую величину скорости в конце пятого отрезка:

V = л(Т2 _ 3Т1 +12), (27)

которая является начальной для интегрирования уравнений движения на шестом отрезке составной траектории сближения.

Второе уравнение системы (25) с учётом скорости (26) принимает вид:

^= _л(_ Т1 + Т2 +12) + л(t _ 14) + лТ/е т _ 1) .

Интегрирование последнего уравнения даёт:

t2 ^

Л = Л4 _ л(Т2 +12_ t4) + л

' t2

у _ -2 _ 141 + t44

_ лТ12 (е 7 _ 1) В конце пятого отрезка получаем:

Л5 = Л4 _ л(Т2 + 12 )(t5 _ 14 ) + л (t5 _ 14 )2 _

_ лТ12 (е т _ 1)

С учётом ^ _ t4 = 3Т1 и предельного перехода приходим к выражению:

11

Л5 = Л4 _ л(Т2 +12)3Т1 + -лТ12.

Подстановка выражения (24) даёт:

Л5 = Ло + ЛT2t2 + 2122 _

_ л(Т2 _ Т + 12 >5 + л^Т22 + 3Т/

Получили уравнение с тремя искомыми неизвестными ^, ^, Л5, из которых первые две основные управляющие параметры в структуре закона управления.

6. Шестой отрезок, t е [^, t6 ]. Ракетный двигатель работает в установившемся режиме для созда-

(28)

ния торможения, уравнениями:

движение

описывается

V = _л,

Л = _У,

(29)

с начальными условиями (27), (28). Интегрирование первого уравнения системы (29) даёт: V = V _ л^ _ 15 ). С учётом (27) получаем:

V = л(Т2 _3Т1 +12)_ л^_15). (30) В конце шестого отрезка имеем:

V = _ 7 _ 3Т2 _ t5 ),

где ^ = ^ - задано.

Подстановка (27) даёт выражение для скорости в конце шестого отрезка:

V = л(4Т2 _ 3Т + 12 _ ^ + t5 ) . (31) Второе уравнение системы (29) с учётом зависимости (30) принимает вид:

^ = _л(Т2 _ 3Т1 +12) + л(t _ 15 ) .

Интегрирование даёт зависимость текущего расстояния от времени:

Л = Л5 _ л(Т2 _ 3Т + 12 )(t _ 15 ) + 2 (t _ 15 )2 .

В конце шестого отрезка получаем выражение:

Лб = Л5 _ л(Т2 _ 3Т1 + 12 )(t6 _ t5 )+ 2 (t6 _ 15 )2

С учётом соотношения ^ = t7 _ 3Т2 получаем:

Л6 = Л5 _ л(Т2 _ 3Т1 + 12 _ 3Т2 _ 15 ) +

+ 2 (^ _ 3Т2 _ t5 )2 .

После преобразований приходим к выражению:

Л6 = Л5 _ л^2 + 3лT2t2 + л(4Т2 _ 3Т + 12 _ tk ^ +

+ л!1_4ТХ +—Т22 + 3ТЛ _9ТТ2 |+ 2^2 .

2 к 2' А 1 2 к У 2

2

Подстановка (28) даёт окончательное выражение для расстояния в конце шестого отрезка:

Л6 = Л0 + 2^ + "2152 + л7^2 _ ^2 + + л37^2 + л(3Т2 _ 27 _ ^ )?5 + + л| 2_ ^ + 17т22 + 3Т/к _ 9772 + 172

. (32)

7. Седьмой отрезок, t е [^, t7 ]. На заключительном отрезке составной траектории сближения происходит останов двигателя, движение описывается уравнениями:

V = _ле

Л = _У,

(33)

с начальными условиями (31), (32). Интегрирование уравнения (33) на отрезке с переменным верхним пределом, t е ^6, t], даёт зависимость текущей скорости сближения от времени:

_

V = V + лТ2 (е 72 _ 1).

С учётом зависимости для скорости (31) получаем:

_ Ьк

V = л(4Т2 _ 3Т1 +12 _ ^ +15) + лТ2(е 72 _ 1). (34)

t_t

и _г

5 4

т

В конце всей составной траектории выражение для скорости имеет вид:

7

2

V7 = п(4Т2 - 3Т1 +'2 - 'к + '5)+пТ2 (е Т2 -1).

С учётом предельного перехода следует уравнение с двумя основными искомыми неизвестными

' 2, '5:

V* = п(4Т2 - 3Т1 + '2 - 'к +' 5)-пТ2 = 0 , откуда выразим вторую неизвестную через первую: '5 = 'к - '2 + ЗТ1 - ЗТ2. (35)

Второе уравнения системы (33) с учётом зависимости (34) принимает вид:

— = -п(4Т2 - 3Т +'2 - 'к +'5)-пТ2(е 72 -1).

Интегрирование последнего уравнения даёт: Ь = Ь6 - п(4Т2 - 3Т1 +'2 - 'к +)(' -) +

'-'а .

+ пТ22 (е Г2 -1) + пТ2 (' - '6) В конце сближения имеем:

Ь = Ьа - п(4Т2 - 3Т1 +'2 - 'к +'5)('7 -'а) +

'7-'а .

+ пТ-22(е 72 -1) + пТ2(17 -'а) С учётом предельного перехода и соотношения '7 - = 3Т2 получаем:

Ьа + п(-10Т22 + 9Т1Т2 - 3Т2'2 + 3Т2'к - 3Т2'5) = 0 . Подстановка начальной величины расстояния на этом отрезке (32) приводит к уравнению с двумя неизвестными:

п 2 п 2 / \

Ь0 + 2 '2 + 2 '5 + пТ2'2 - п'к'2 + п(- 2Т1 - 'к )15 +

+ п^ 2 'к2 - Т2'к - | Т22 + 3ТА + | Т12 ) = 0.

(36)

Подстановка выражения '5 (35) даёт:

Ь0 + I '22 + 2 ('к - '2 + 3Т1 - 3Т2 )2 + п Т2'2 - п'к'2 +

+ п(- 2Т1 - 'к )('к -'2 + 3Т - 3Т2) +

+^2'2 - Т2'к - 2Т22 + 3Т/к + 2т^ | = 0

2

2

После преобразований приходим к квадратному уравнению относительно неизвестной '2:

'22-(Т1 - 472 + 'к)'2 + + Т1'к -

-Т2'к - 3ТТ + 3Т22 = 0 Решение уравнения (37) имеет вид:

'2 = *Л.+Т - 2Т2 + 2 2 2 2

(37)

4'к2 --I 2Т + Т2к +1(7 + 272)

. (38)

Для вычисления второй неизвестной '5 согласно выражениям (35), (38) получаем формулу:

' 5

'5 = — + 5 7 - Т2 + 5 2 2 1 2

+

+

1

4 (7 + 272)

4

Ограничение на применимость формул (38), (39) следует из условия положительности подкоренного выражения:

ГЬ~

(40)

'к > Т1 + 272 + 2 -0

которое означает, например, что при располагаемом ускорении п = 1 м/с2 время причаливания нельзя

задавать меньше 'к = 0,1 + 2 • 0,2 + 2

100 1

= 20,5 с.

Пример. Пусть ракета при работе двигателя в установившемся режиме получает ускорение п = 1 м/с2. Причаливание начинается с расстояния Ь0 = 100 м при начальной скорости Ц, = 0 . Двигатель имеет постоянные времени: Т1 = 0,1 с, Т2 = 0,2 с. Требуется составить закон управления силой тяги, при котором причаливание ракеты к астероиду произойдёт через 22 с.

Решение. Закон управления считается установленным, если определены моменты времени '2 и '5. По формуле (38) получаем:

' 2 = 22 + 01 - 2 • 0,2 ± 2 2 2

+ /—222 -100 - — 0,1 + 0,2122 +1 (0,1 + 2 • 0,2)2 '

1 ^ 2 ) 4

'2 = 11 + 0,05 - 0,4 +

+ .,/121 - Ж - 5,5 + 0,0а25 = Ю,65 + 3,945 с '

Из физических соображений следует, что для вычисления момента '2 необходимо выбрать знак минус. Тогда получаем значение первого управляющего параметра '2 = а,705 с. При вычислении момента '5 по формуле (39) знак принимается положительным: '5 = 14,995 с . Легко вычисляются остальные моменты в законе управления:

'3 = '2 + 3Т2 = а,705 + 0,а = 7,305 с, '4 = '5 -3Т1 = 14,995-0,3 = 14,а95 с.

Пауза между разгоном и торможением равна: '4 - '3 = 7,390 с .

Максимальная скорость достигается в момент '3 и равна:

V = п(Т2 -Т + '2) = 1(0,2-0,1+ а,705) = а,805 м/с.

Поскольку постоянные времени характеризуют неуправляемые отрезки времени работы двигателя, которые отрицательно воздействуют на процесс управления ракетой, то лучшими двигателями считаются такие, у которых эти постоянные времени меньше. В данной работе представлена методика формирования закона управления поступательным движением ракеты с учётом динамики переходных процессов в ракетном двигателе, которая позволяет упростить разработку зондирующих ракет за счёт

2

формирования программных траекторий движения, учитывающих постоянные времени двигателя при пуске и останове.

Выводы

В работе представлены результаты исследования задачи причаливания ракеты к астероиду с помощью двигателя, изменение силы тяги которого в переходных процессах происходит по экспоненциальным зависимостям, характеризуемым соответствующими постоянными времени при пуске и останове. Решение задачи причаливания состоит в установлении закона управления работой двигателя, при котором ракета причаливает к астероиду с нулевой скоростью за назначенное время. Для решения задачи используется метод аналитического конструирования составной траектории причаливания из семи типовых отрезков, на которых дифференциальные уравнения поступательного движения имеют аналитические решения, а в качестве начальных условий на текущем отрезке принимаются параметры движения в конце предыдущего отрезка. Закон управления состоит из разгона и торможения, разделённых паузой, в течение которой ракета разворачивается на 180 вокруг одной из поперечных осей так, что для торможения используется сила тяги одного и того же маршевого ракетного двигателя.

Получены простые формулы для вычисления значений двух управляющих параметров, однозначно определяющих структуру закона управления. Результаты применимы в проектировании ракет для доставки на астероид как зондирующей аппаратуры для прогнозирования его движения, так и ядерного заряда для его разрушения, а также в разработке их бортовых систем управления. Практическое значение имеет методика формирования в полёте программной траектории причаливания с учётом динамики переходных процессов в силе тяги при включении и выключении ракетного двигателя, в том числе разработка методики параметрической идентификации характеристик двигателя [3].

Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта № 15-48-02101.

Литература

1. Беляев Н. М., Уваров Е. И., Расчёт и проектирование реактивных систем управления космических летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1974. 200 с.

2. Афанасьев В. А., Мещанов А. С., Хайруллин В. Р., Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 4, 161-170 (2010).

3. Афанасьев В. А., Дегтярев Г. Л., Мещанов А. С., Си-разетдинов Т. К., Вестник КГТУ, 1, 136-145 (2012).

© В. А. Афанасьев - кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и ракетодинамика» филиала Южно-Уральского научно-исследовательского университета в г. Миасс, Челябинская область. [email protected]; Г. Л. Дегтярев -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой автоматики и управления Казанского национального исследовательского технического университета им. А.Н. Туполева-КАИ. [email protected]; А. С. Мещанов - кандидат технических наук, профессор кафедры автоматики и управления, старший научный сотрудник, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева - КАИ, e-mail: [email protected]; Э. А. Туктаров - аспирант кафедры автоматики и управления, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева - КАИ, e-mail: [email protected].

© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation. [email protected]; G. L. Degtyarev, Doctor of Science, professor, manager of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, city of Kazan. [email protected]; A. S. Meshchanov, candidate of engineering sciences, professor, Associate Professor of department of Automation and Control, senior research scientist, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: [email protected]; E. A. Tuktarov, post-graduate student of department of Automation and Control, Kazan National Research Technical University named after A.N.Tupolev, e-mail: [email protected].