CC BY
40
4. Hirth J.P., Lothe J.Theory of dislocationws // A Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1982. 320p.
5. Chaboche J.L. Constitutive-Equations for Cyclic Plasticity and Cyclic Viscoplasticity // International Journal of Plasticity, №5. 1989. P. 247-302.
6. Фалалеев А.П. Моделирование поведения двухфазных сталей на операциях холодной ремонтной вытяжки кузовов автомобилей // Мiжву-зiвський 36ipnHK «НАУКОВ1 НОТАТКИ». Луцьк, Випуск №37. 2012. C. 336-340.
7. Eggertsen P.A., Mattiassou K. On the modeling of the bending-un bending behavior for accurate springback predictions // International Journal of Mechanical Sciences, №51. 2009. P. 547-563.
A.P. Falaleev
NONLINEAR BEHAVIOUR OF DUAL PHASE STEELS IN ELASTIC DOMAIN
Model of dual phase steel DP780 load-unload behavior was developed. Model based on the two surface theory of plasticity and describes kinematic and isotropic hardening, nonlinear steel behavior in the region of elastic deformation.
Key words: dual phase steel, kinematical hardening, isotropic hardening, nonlinear deformation.
Получено 25.11.12
УДК 211.334
Ю.Н. Журавлёв, д-р техн. наук, проф., +7 (911) 8881896, [email protected] (Россия, Псков, ПсковГУ), М.А. Донченко, канд. техн. наук, доц., +7 (921) 2172979, [email protected] (Россия, Псков, ПсковГУ), М.С. Шерстюков, программист II категории, +7 (981) 3509213, [email protected] (Россия, Псков, ПсковГУ)
СИНТЕЗ ПРОФИЛЯ КУЛАЧКА РЫЧАЖНО-КУЛАЧКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ДВИЖЕНИЯ РОТОРНО-ЛОПАСТНОГО ДВИГАТЕЛЯ С ВНЕШНИМ ПОДВОДОМ ТЕПЛОТЫ
Выполнен математический анализ функции, задающей теоретический профиль кулачка для роторно-лопастного двигателя с внешним подводом теплоты и ры-чажно-кулачковым преобразователем движения. Дан ответ на вопрос - какая функция будет наиболее предпочтительной.
Ключевые слова: внешний подвод теплоты, математический анализ, рычаж-но-кулачковый преобразователь.
В настоящее время в Псковском государственном университете проводятся научно-исследовательские работы по созданию нового тепло-
вого двигателя - роторно-лопастного с внешним подводом теплоты [1].
Одним из ответственных узлов двигателя является рычажно-кулачковый преобразователь движения, преобразующий вращательно-колебательное движение лопастей в однонаправленное равномерное вращение выходного вала. От надёжности работы этого узла зависит надёжность всего двигателя. Основным элементом преобразователя движения является ромбоид, вершины которого A, B, C, D обкатывают кулачок (рис. 1). В работе [2] запатентована следующая формула, описывающая профиль кулачка в полярных координатах р и а.
где 2/ - длина звена ромбоида; - минимальное значение угла
у = Ф1 -ф 2 между осями лопаток С2С 4 и С1С3.
Кинематический анализ преобразователя движения, выполненный в работах [3], [4], [5], базировался именно на формуле (1). Вполне очевидно, что этот профиль не является единственно возможным - могут существовать и другие. Целью настоящей статьи является выявить преимущества (или недостатки) этого профиля по сравнению с другими возможными вариантами.
При заданной длине сторон ромба 2/, этот четырёхзвенник имеет две кинематические степени свободы. Его конфигурация полностью определяется значениями углов ф1 и ф 2 осей лопаток С2С4 и С1С3 с осью х. Эти углы являются входными переменными четырёхзвенника. За выходные переменные принимаем длину полудиагонали р = ОА (полярный радиус) и угол а между ОА и осью х, при этом функция р(а) задаёт теоретический профиль кулачка.
Угол у = ф1 — ф 2 раствора между лопатками может изменяться в заданных пределах
(1)
Рис. 1. Кинематическая схема ромбоида
Утп ^ V ^ Vтах, Vтах =п — Vтт. 335
Опустим из точки С4перпендикуляр С^К на полудиагональ ОА. Имеем р = pj = OA = 2 OK = 2/cos((ti - у)/2), откуда
р = рА = 21 cos(\|//2). (3)
Аналогично, опуская перпендикуляр из точки С2 на полудиагональ 05, получаем
рв = ОВ = 21 cos (ц//2). (4)
Чтобы получить уравнение профиля кулачка р(ос), нужно задать за-висимость\|/(а) и подставить её в (3).
Очевидно, что не всякая функция v|/(a) может быть реализована. На эту функцию накладываются следующие ограничения
М/ = М/шах ПРИ ос = 0, v|/ = 1|/11Ш1 при а = ±л/2; (5)
\|/' = d\\f/da = 0 при а = 0 и а = ± л/2; (6)
р^+р|=4/2. (7)
Из соотношения (7) вытекает следующее уравнение
cos(vj/(a + л/2)) = -cos(i|/(a)). (8)
Интересно отметить, что из (8) следует, что не зависящую от a функцию \|/ = const можно реализовать только в виде \|/ = я/2 = const.
При этом рА - рв - 2/(V2/2) -const, ромб имеет форму квадрата, профиль кулачка - окружность радиуса 2/(72/2)
Из физических соображений функция vj/(a)должна быть непрерывной, дважды дифференцируемой и иметь период л. Представим её усечённым рядом Фурье
г
ц/ = Я0+ cos2A:cc ч- ¿»^ siii 2Агос). (9)
k=l
где а о - коэффициенты разложения, г - число гармоник.
Функция (9) должна отвечать ограничениям (5), (6), (7) и (8). Проанализируем ограничение (8). Аргумент ц/(ос + л/2) должен отличаться от аргумента \|/(а) на величину ± л. Кроме того, косинус - функция чётная, поэтому равенство (8) справедливо при \|/( a + л/2) = ±(i|/(a)± л).
Учитывая, что 0 < ц/ < л, из четырёх возможных комбинаций может быть реализована лишь одна
\|/(a + л/2) = л - \|/(а). (10)
Подставим тригонометрический ряд (9) в соотношение (10). Поскольку cos(2A;a + kn)= -cos2&a и sin(2A:a + kn) = -sin 2ka при Лг = 1, 3, 5,..., cos(2£a + kn) = cos2£a и sin(2£a + kn)= sin2A:a при k- 2, 4, 6,..., нечётные гармоники в левой и правой части сокращаются, и остаются лишь чётные гармоники:
г П
а0 + X (а£ сов2£а + Ьк 8т2ка)=—. (11)
к=2, 4, 6... 2
Равенство (11) будет выполняться лишь при условии отсутствия чётных гармоник, т.е. при
а 2 = а4 = аб =... = 0, Ь2 = Ь4 = Ьб =... = 0 и а0 = п/ 2. (12)
Теперь искомая функция у (а) содержит только нечётные гармоники, и принимает следующий вид
П г
у(а) = — + Х(ак сов2ка + Ьк sin2kа). (13)
2 к=1, 3, 5...
Её производная
г
у'(а) = X2к(- ак sin2kа + Ьк cos2kа). (14)
к=1, 3, 5...
Подчиняя функции у(а) и у'(а) ограничениям (5) и (6), получаем, что коэффициенты разложения связаны следующими двумя равенствами
> + а3 + а5 + ... = П/2 шт , (15)
¿1 + 3Ь3 + 5Ь5 +... = 0.
Итак, искомая функция у(а) описывается тригонометрическим рядом (13) при выполнении условий (15).
В простейшем, но практически важном случае, функция у(а) содержит только первую гармонику. В этом случае а3 = а5 =... = 0, ¿3 = ¿5 = ... = 0, а значит и ¿1 = 0. Остаётся лишь а1 = п/2 — упоэтому функция у(а) принимает уже хорошо известный вид
v(a)=2 + 2-уmm cos2a (16)
2 V2
и порождает также хорошо известное уравнение профиля кулачка (1).
Рассмотрим теперь случай, когда функция y(a) содержит первую и третью гармоники, т.е. имеет вид
y(a) = тс/2 + ai cos2a + a3 cos6a + bi sin2a + b3 sin6a. (17)
В этом случае равенства (15) принимают вид ai = тс/ 2 -у min - аз, bi = —3Ьз, а функция y(a) описывается следующим выражением
'тс Л
/ \ П п
y(a)= — +--у min - аз cos2a + a3Cos6a-3b3sin2a + b3sin6a. (18)
'тс Л
2
2 у
Подставив в (18) а + п/2 вместо а, убеждаемся в выполнении условия (10), а также ограничений (5) и (6).
Функция у (а) по (18) порождает следующее уравнение профиля кулачка
р(а)= 21 sin
У(а)
2
21 sin
П
— +
4
П
4
у
Ш1И
2
а3 2
cos2а +
а3 3 ¿3
+ — cos6а--Ь3 sm2а + — sm6а
2 2 3 2
(19)
Выражения (18) и (19) содержат два неизвестных пока коэффициента разложения а3 и ¿3. Задачу по их определению сформулируем следующим образом. Требуется подобрать такие значения а3 и ¿3 , при которых индикаторная работа А, совершаемая моментами на лопатках Мл1 и Мл2 на периоде изменения угла а от нуля до П , была бы наибольшей. Зависимость моментов на лопатках Мл1 и М л 2 была установлена в [6]. При выполнении этого требования будет наибольшим и постоянное среднее значение движущего момента на валуМ^в = А/п . Зависимость М^в была также установлена в [6].
Дадим бесконечно малое перемещение 8а углу а. На этом перемещении углы поворота лопаток ф1 и ф2 получают приращения 8ф1 и 8ф2, а моменты на лопатках совершают элементарную работу
8А = Мл18ф1 + Мл 2 8ф 2. (20)
Выражаем углы ф1 и ф2 через а и у :
уП
ф1 = а ъ---ъ —, ф2
^ 2 2
уП а — — + —. 22
(21)
Для приращения углов ф1 и ф2 имеем
(л 1 4 8 аф 2 8
1 + — у 8а, 8ф2 =—-8а = V 2 У
8ф1 = 8а = dа
йа
1 —у 2
8а.
(22)
где у'= йу/йа. Элементарная работа (20) с учётом (22) принимает вид
8А
М
л1
1 +1 у' 2
+М
л2
^ 1 '
1 —у 2
8а
Мл1 + Мл 2 + 2 у'(мл1 — Мл 2 )
(23)
8а.
Очевидно, что в обоих тактах, т.е. как при расширении рабочего тела (газа) в полости между лопатками, так и при сжатии его, моменты на лопатках равны по величине и противоположны по направлению. Поскольку Мл2 = —Мл1 , выражение (23) принимает вид
8А = Мл1у'8а. (24)
Известно, что момент Мл1 является функцией двух аргументов: угла между лопатками у и скорости изменения этого угла во времени. Допустим, что наш двигатель обладает весьма жёсткой скоростной характеристикой. Это означает, что момент Мл1 практически не зависит от
скорости изменения угла у во времени, т.е.
dy dy da . ( 7 , 7\
— =--= у ю, (ю = da/dt). (25)
dt da dt
Тогда на периоде изменения a от нуля до п момент на лопатках совершает работу
п
A = J Мл1 [у (a)]y'(a)da. (26)
0
Теперь задача формируется так: требуется подобрать функцию у (a), реализующую максимум интеграла (26). Поскольку у'da = dy, интеграл (26) может быть представлен в виде суммы двух слагаемых
у min у max
A = J М^(у^у + J Мл1 (y)dy. (27)
у max у min
Здесь учтено различие функцииМл1 (у) при уменьшении угла у (такта сжатия рабочего тела) и при его увеличении (такта расширения рабочего тела). Обозначив момент на лопатках для процесса сжатия Мс (у), а для процесса расширения М р (у) имеем
ymin ymax
A = J Мс (y)dy + J Mp (y)dy, (28)
ymax ymin
где
Мс (у)=- a - ь((у-п12 У(п/2 -у mm ))= -(ky + cc);
Мр (у) = a - Ь((у - V 2)/(п/2 - у min )) = + ср; k = bl((п/2 )- у min X
cc = a - b((V 2 V(V2)- у min l cp = a + b((V 2V(V2)- у min )> a = (М1 -М2)/2, b = (М1 + М2)/2.
Зависимость Мс (у) справедлива при изменении у от уmax до у min , а зависимость М р (у)
от у min до у max .
Рассматривая в качестве у (a) гармоническую функцию (16), находим работу
A=
уу
ymin ymаx
JMс (y)dy+ J Мр (y)dy
Vymax ymin
(3°)
ymin ymax \
J(- ky - cc jdy + J(- ky- Cp jdy
Vy max y min J
Вычисляя интегралы и проведя некоторые сокращения, приходим к решению
A = АМл Ду, (31)
где AMл = М1 -М2; Ау = утах-ут1П.
Теперь в качестве у(а) используем негармоническую функцию (18). Зависимость момента Мл1 от у с учётом (18) принимает вид
Мс (у) = -[k(ao + ai cos 2a + a3 cos 6a- 3^3 sin 2a + ¿3 sin6a)+ cc ], Mp (y)=-[k(ao + aicos2a + a3Cos6a-3b3sin2a + ¿3sin6a) + Cp ] ( )
Составляем выражение для работы:
f ^
у min у max
A = J Мс (y)dy + J Mp (y)dy
max у min
Л
y min y max \
J(- ky- cc )dy + J(- ky - Cp )dy
Vy max y min
J [(köQ + cc )+ k(ao + a¡ cos 2a + a3 cos 6a - З63 sin 2a + ¿3 sin 6a)]dy +
y min
Ii ka--U c
'C
y max
(33)
+ J [(kao + Cp )+ k(ao + cos 2a + 03 cos 6a - 3¿3 sin 2a + ¿3 sin 6a)]dy.
y min
Вычислив значения интегралов и проведя соответствующие сокращения, приходим к значению работы
A = АМл Ay. (34)
Как видно из полученных выше решений значение работы (31) и (34) для функции (16) и (18) соответственно, абсолютно равны. Это значит, что работа A не зависит от того как организованно изменение угла y в пределах y гаахи ym¿n . Поэтому в качестве функции y(a)может быть выбрана любая функция, удовлетворяющая ограничениям (5), (6) и (8). Иными словами, как бы мы не изменяли профиль кулачка, значение работы остаётся без изменений и определяется по формуле (34).
Известно, что наличие высших гармоник в законе движения всегда ухудшает кинематические и динамические качества системы. Поэтому гармоническая функция (16), которая порождает уравнение профиля кулачка (1), в этом смысле является оптимальной. Функция (16) обеспечивает наилучшие кинематические и динамические качества двигателя и, следовательно, более высокую надёжность. Однако увеличить мощность двигателя путем соответствующего выбора профиля кулачка невозможно.
Список литературы
1. Патент РФ №2387844 МПК F01C 1/077, F02G 1/044. Роторно-лопастной двигатель с внешним подводом тепла / Ю.Н. Лукьянов,
Ю.Н. Журавлев, И.В. Плохов и др. Опубл. 27.04.2010 г. Бюл. №12.
2. Патент РФ №2374526 МПК F16H 25/04. Механизм для преобразования движения / Ю.Н. Лукьянов, Ю.Н. Журавлев, И.В. Плохов и др. Опубл. 27.11.2009г. Бюл. №33.
3. Гринев Д.В., Донченко М.А., Перминов A.JI., Иванов А.Н. Обзор и анализ рычажных механизмов преобразования движения для роторно-лопастных машин // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. В 2-х ч. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. Ч. 1. С. 28-34.
4. Гринев Д.В., Донченко М.А., Журавлев Ю.Н., Перминов A.JI. Синтез и кинематический анализ рычажно-кулачкового механизма преобразования движения роторно-лопастного двигателя с внешним подводом тепла // Справочник. Инженерный журнал. 2008. №12. С. 30-35.
5. Гринев Д.В., Донченко М.А., Журавлев Ю.Н. Кинематический анализ рычажно-кулачкового механизма преобразования движения ротор-но-лопастного двигателя с внешним подводом тепла // Сб. науч. трудов XV междунар. научно-техн. конф. «Машиностроение и техносфера XXI века» в г. Севастополе 15-20 сентября 2008 г. Донецк: ДонНТУ, 2008. Т. 1. С. 264 - 268.
Y.N. Zhuravlev, M.A. Donchenko, M.S. Sherstyukov.
SYNTHESIS OF CAM PROFILE OF THE CAM LEVER-TRFNSBUCER MOVEMENT OF THE ROTARY BLADE-ENGINE WITH AN EXTERNAL HEAT SUPPLU
The mathematical analysis of the function that defines the theoretical cam profile for the rotary blade engine with an external supply of heat and the cam lever movement transducer is described. The most preferable function is determined.
Key words: with an external supply of heat, the mathematical analysis, the cam lever movement transducer.
Получено 20.11.12
