Синтез полосных фильтров с неравноволновыми амплитудно-частотными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Радиотехнические средства передачи,

приема и обработки сигналов

_Radio Eifctronic Facii itifs for Signai

Transmission, Reception and Processing

-о

https://doi.org/10.32603/1993-8985-2019-22-3-5-23 УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский3

ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург) Малый пр. П. С., д. 4. Санкт-Петербург, Россия, 197110

синтез полосных фильтров с неравноволновыми амплитудно-частотными характеристиками

Аннотация.

Введение. При расчете полосных фильтров элементы цепи могут быть определены посредством преобразования параметров фильтра нижних частот (ФНЧ), являющегося прототипом синтезируемого фильтра. Проблема может возникнуть в случае, если в результате преобразования номиналы синтезированных элементов (резисторов и конденсаторов) выпадают из шкал значений, определенных межгосударственным стандартом. Очевидно, что при замене расчетных значений стандартными частотные характеристики полосных фильтров искажаются. Число компонентов, расчетные номиналы которых не соответствуют стандартному ряду, может быть сведено к нулю решением дополнительной системы уравнений, связывающей параметры синтезированной и вновь вводимой неравноволновой амплитудно-частотных характеристик (АЧХ). Цель работы. Разработка методики расчета полосных фильтров лестничной структуры с элементами, соответствующими стандартным значениям.

Материалы и методы. Процесс синтеза включает 2 этапа. На первом этапе рассчитываются параметры полиномиального ФНЧ-прототипа. Расчетные параметры определяются в результате решения системы уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях переменной в выражениях реализуемой передаточной функции (ПФ) и ПФ синтезируемого фильтра. Исходными характеристиками являются порядок фильтра и неравномерность передачи цепи. Переход к номинальным значениям всех элементов выполнен при решении еще одной системы уравнений, связывающих преобразованные параметры ФНЧ с неизвестными (искомыми) параметрами вновь вводимой неравноволновой АЧХ. Результаты. Представлены ПФ ФНЧ-прототипов до пятого порядка и АЧХ полосно-пропускающих фильтров (ППФ) и полосно-заграждающих фильтров до десятого порядка. Аналитические выражения неравноволновой и равноволновой АЧХ применены для оценки искажений последней при изменении центральной частоты настройки полосных фильтров с помощью переменных индуктивностей или конденсаторов. В качестве меры искажений реальной частотной характеристики принята интегральная квадратичная функция переменной величины. Приведен пример расчета ППФ десятого порядка.

Заключение. Представленные методики расчета полосных фильтров и приведенный пример наглядно демонстрируют возможности метода синтеза фильтров, основанного на решении систем нелинейных уравнений. В отличие от методов аппроксимации идеальной характеристики фильтра в частотной области с помощью специальных функций и табличного проектирования фильтров рассмотренный метод позволяет рассчитать фильтр высокого порядка для любых исходных требований, не прибегая к справочным данным.

Ключевые слова: передаточная функция, фильтр нижних частот, преобразование частоты, полосно-пропускающий фильтр, полосно-заграждающий фильтр, перестраиваемый фильтр Для цитирования: Червинский Е. Н. Синтез полосных фильтров с неравноволновыми амплитудно-частотными характеристиками // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2019. Т. 22, № 3. С. 5-23. с1о1: 10.32603/1993-8985-2019-22-3-5-23

© Червинский Е. Н., 2019

@ ©

Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License

Источник финансирования. Инициативная работа.

Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила в редакцию 27.03.2019; принята к публикации 20.05.2019; опубликована онлайн 27.06.2019

Evgeniy N. Chervinskiy3

Closed JSC ''SIMETA'' (Saint Petersburg) 4, Maly pr. P. S., St. Petersburg, 197110, Russia

design of band-pass filters with non-equiripple frequency responses

Abstract.

Introduction. Band-pass filters circuit elements can be calculated by converting low-pass filter (LPF) parameters, which is the prototype of the designed band-pass filter. The conversion causes problems in case calculated values of circuit elements (resistors and capacitors) are out of standard values determined by the GOST standard. Obviously, frequency characteristics of band-pass filters are distorted when replacing the calculated values of circuit elements by the standard ones. The number of circuit elements with values different from standard can be reduced to zero by solving an additional system of equations that connects parameters of designed and reintroduced non-equiripple frequency responses.

Objective. The objective of this work is to develop a calculation method of band-pass ladder filters with values of circuit elements corresponding to standard ones.

Materials and methods. The filter design process includes two stages. The first stage is a parameters calculation of a polynomial LPF prototype. The calculated parameters are determined as a system of equations solution set. The equations are formed by equating coefficients of variables raised to the same powers in transfer function (TF) expressions of designed and realized filters. Initial characteristics are the filter order and frequency response unevenness. The transition to the standard values of circuit elements can be done when solving another system of equations that connects LPF converted parameters with unknown parameters of reintroduced non-equiripple frequency response. Results. TF of LPF prototypes up to the fifth order and frequency responses of band-pass filters (BPF) and band-rejection filters up to the tenth order are presented. Analytical expressions of non-equiripple and equiripple frequency responses are used to estimate distortions of the latter when a band-pass filter center frequency is tuned by using variable inductors or capacitors. The integral quadratic function of a variable is taken as a measure of real frequency response distortions. The tenth order BPF calculation example is given.

Conclusion. The presented calculation methods of band-pass filters and given example demonstrate possibilities of the filter design method based on the systems of non-linear equations solution. In contrast to approximation methods of ideal filter frequency response by using special functions and tabular filters design, the presented method allows high-order filter calculation for any initial requirements without using reference data.

Key words: transfer function, low-pass filter, frequency transformation, band-pass filter, band-rejection filter, tunable filter

For citation: Chervinskiy E. N. Design of Band-Pass Filters with Non-Equiripple Frequency Responses. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2019, vol. 22, no. 3, pp. 5-23. doi: 10.32603/1993-8985-2019-22-3-5-23

Acknowledgements. Initiative work.

Conflict of interest. Author declares no conflict of interest.

Submitted 27.03.2019; accepted 20.05.2019; published online 27.06.2019

Введение. Как известно [1]-[3], расчет любого полосного фильтра - полосно-пропускающего фильтра (ППФ) (band pass filter - BPF) или по-лосно-заграждающего фильтра (ПЗФ) (band rejection filter - BRF) - может быть сведен к расчету фильтра нижних частот (ФНЧ) (low pass filter -LPF) с определенными параметрами. Последняя задача решается различными методами (см., на-

пример, [4], [5]). Для расчета ФНЧ порядка больше двух с заданными значениями частоты среза и резистивных элементов на входе и выходе четырехполюсника широко применяется метод проектирования, основанный на использовании табличных параметров так называемых нормированных фильтров [6], [7]. В [8] подробно исследован способ определения параметров цепи в результа-

те решения системы нелинейных уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях переменной в выражениях реализуемой передаточной функции (ПФ) и ПФ фильтра. Переход от параметров ФНЧ, являющегося низкочастотным аналогом синтезируемого полосного фильтра, осуществляется методом преобразования частоты. Суть метода заключается в копировании в определенном масштабе характеристик электрической цепи на всей оси переменной ю в положительную полуось новой переменной ш' и соответствующем изменении схемы и параметров ФНЧ. Проблема может возникнуть в случае, если полученные в рамках этого метода номиналы элементов синтезированного фильтра (резисторов и конденсаторов) выпадают из шкал значений, определенных межгосударственным стандартом [9], имеющих обозначения Е6, Е12, Е24 и т. д. Очевидно, что при замене расчетных значений стандартными частотные характеристики полосных фильтров искажаются. Число компонентов, расчетные номиналы которых не соответствуют стандартному ряду, может быть сведено к нулю решением дополнительной системы уравнений, связывающей параметры синтезированной и вновь вводимой неравноволновой амплитудно-частотных характеристик (АЧХ).

Цель настоящей статьи - разработка методики расчета полосных фильтров лестничной структуры с элементами, имеющими стандартные значения (далее - стандартизованные элементы).

На рис. 1, 2 приведены схемы ФНЧ, составленные из Г-, Т- и П-образных звеньев. На схемах обозначены: ивх и ивых - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений соответственно; г - активное сопротивление, включающее сопротивление источника сигнала; Сг-, Ь^,

/, к = 1, п - емкости и индуктивности в поперечных и продольных ветвях соответственно (п - порядок фильтра); Я - сопротивление нагрузки, Ку - коэффициент усиления усилителя.

0-

Ub

r

¿2

Ci

Сз

С5

XL

>

Г

ку

¡—0

UBbIX -0

Рис. 1. Функциональная схема ФНЧ с емкостью в поперечной ветви на входе Fig. 1. Schematic diagram of LPF with the capacitor in the transverse branch at the input

В общем случае ПФ фильтра Н(п) (р) = ивьк (р)/иВх (р), р = ст +

ПФ фильтров (рис. 1, 2) являются дробно-рациональными функциями переменной 5 = ]ш, имеющими в числителе постоянную величину, а в знаменателе полином степени п (полиномиальные ФНЧ). Разделив числитель и знаменатель дробно-

рациональной функции на шп, где шс - угловая

частота среза, перейдем к выражению Н(п) (н) как функции нормированной мнимой частоты % = ] ш/®С = ]Щ>н.

Методы расчета полосно-пропускающих фильтров. Для перехода от ФНЧ к ППФ с центральной частотой гад = шс заменим переменную [2]:

5Н ^©(+1/4), (1)

где 0 - положительное число; ^н = ]ш'н - преобразованная мнимая часть нормированной комплексной частоты, причем шн = ш/шд - угловая частота, нормированная относительно центральной частоты шд. Значения переменной шн, соответствующие значению нормированной частоты шн, определяются как корни уравнения

шн2 -(шн/©)шн -1 = 0:

юн1,2 =

+ Юн/(4©2 ) + (20).

Среднее геометрическое частот ю^ 2 дает нормированную центральную частоту ППФ: •х/ю^ю^ = 1. Разность частот ю^ _®ii1 = юн/0, откуда 0 = юн/(rajj2 — ). При юн = 1 0 определяется как величина, обратная разности нормированных частот ППФ, полученных преобразованием частоты среза ФНЧ. Таким образом, 0 является мерой избирательности ППФ.

Значения АЧХ ППФ Я^р") (юн) в точках ю^2 равны значению АЧХ ФНЧ-прототипа

XI

R

Г

Рис. 2. Функциональная схема ФНЧ с индуктивностью в продольной ветви на входе Fig. 2. Schematic diagram of LPF with the inductor in the longitudinal branch at the input

Kу

1-0

UBbK -0

L

4

Н(п}( ган) в соответствующей точке ган. Например, при преобразовании ФНЧ Чебышева значение

АЧХ ППФ H

(2n)

ш

BP Ч (®H) в граничных точках

+ V (4©2 ) + V (2©)

i/^i + s

2

н.гр - V* 1 ч V— / равно

где е - постоянное число, и только при е= 1, соответствующем неравномерности передачи 3 дБ,

H

(2n) BP Ч

(шн.гр ) = VV2.

Если H(n)(1) = VV2, то

H

(2n) BP

1 + -

4©2

1

2©

Л

= H

(2n) BP

1 + -

4©2

1

2©

Л

1

а 0 = У(®н2 _™н1) в рассматриваемом случае есть добротность ППФ Q, определяемая как величина, обратная нормированной полосе пропускания ППФ на уровне АЧХ 1/72.

После перехода к угловым частотам выражение (1) принимает вид

■ ™ ^

J-->©

шс

■ ш + 1 I ■ ш

ш0 I ш0

(2)

Умножим левую и правую части (2) на га (С:

угаС ^ уга0С + га^0С/(/га). (3)

Поскольку га С и 1/(гаЬ) есть емкостная и индуктивная проводимости соответственно, из (3) следует, что при преобразовании (1) емкость С заменяется параллельным колебательным конту-

ром с параметрами Спр =0С и = ]/ (га|)0С).

Заменив в (3) С на Ь, убедимся, что при переходе к ППФ индуктивность Ь преобразуется в последовательный колебательный контур с параметрами Ьпс =0Ь, Спс = 1 (га20Ь). Полученные контуры настроены на частоту гад. Номиналы резисторов г и Я и коэффициент усиления Ку при

преобразовании частоты не меняются.

На рис. 3, 4 представлены схемы ППФ порядков 2п с элементами С^, Ьпрг, Спск, Ьпс^., г, к = 1, п,

полученные преобразованием звеньев на рис. 1, 2 соответственно.

С учетом выполненных преобразований выразим емкости и индуктивности ФНЧ-прототипа через емкости контуров ППФ:

Сг = Спрг/0; Ьк = 1 (га20Спск ).

В табл. 1 приведены ПФ ФНЧ-прототипов ППФ порядков п = 1, 5 с емкостью в поперечной

ветви на входе (рис. 1) Н^С (н) и с индуктивностью в продольной ветви на входе (рис. 2) НЬпЬ (^н) с элементами Спр г, Спс к и параметром

0 в качестве коэффициентов при переменной 5н. Для записи ПФ ФНЧ через элементы схем на рис. 1, 2 следует использовать подстановки Спр г =0 Сг,

Спс к = 1 (ш2 0Ьк) и заменить шд на шс.

Рис. 3. Функциональная схема ППФ порядка 2n с параллельным контуром в поперечной ветви на входе Fig 3. Schematic diagram of the 2nth-order BPF with the parallel resonant circuit in the transverse branch at the input

вых -0

0-

Рис. 4. Функциональная схема ППФ порядка 2n с последовательным контуром в продольной ветви на входе Fig. 4. Schematic diagram of the 2nth-order BPF with the series resonant circuit in the longitudinal branch at the input

Таблица 1. Передаточные функции ФНЧ-прототипов ППФ Table 1. Transfer functions of LPF prototypes of BPF

n = 1

Я bC(sH ) = -

Kу0 ю0гСпр1 I

(r + R )0

ю0гСпр^

; Hbi («н) = KуЮoRCпcl0/[sн +Ю0 (r + R)Спс10]

n = 2

„(2)/ )= КуRCncO0

Hb С («н j=-С-

гСпр 1

2

s2 , 1 +ю2гСпр^п2 0s + (r + R)СПС2 02

ю0гСпр1

rC

пр1

яЬ21(*н ) =

КуСп£10

2

С,

пр2

+ 1 + ^1^2 0^н + (П^02

ю0 RCпр2

RC,

пр2

n = 3

Я Ь3С(*н )=-

KуСж203^(ю0гСпр1СпрЗ )

гСпр1 + ^пр3 0s2 + 1 + Ю0г (Спр1 + Спр3 )RCпc2 ^ + (r + R)Cm2 03 '

ю0rCпр1RCпр3

Я b3Lk )=-

ю0 rCпр1RCпр3 KуюORCпc1Cпc30VCпр2

ю 0rCпр1RCпр3

Cnc1 + Cпc3 (1 +ю0rCпc1RCпр2) 02s + Ю0 (r + R)CпclCпc3 03

s3 +ю0 (rCnc1 +RCпc3 )0s0 +

C

пр2

C

пр2

n = 4

Hb4C (н ) = [КуRCпc2Cпc407(rCпрlCпр3 )]/аь

(4) С,

где

(4) 4 1 +ю¡0rCпр1RCпc^ 3 r (Спр1 + Спр3 )Cпc2 +(гСпр1 + ^пр3 )Cпc^0 2

Лb С = «н +-С-0«н + ~- С С--0 «н ■

ю0гСпр1 rC пр1Спр3

+ Cnc2 + Cпc4 +ю0г (Спр1 + Спр3 )RCпc2Cпc4 03« + (r + R )CПc2CПc4 04;

ю0гСпр1СпрЗ

гСпр1СпрЗ

Я b4L («н) = [ КуС^С^4/ (СпроСпр4 )

(4) b L,

где

.(4) = 4 . 1 +ю0гСш;^Спр4 0 3 . (rCnc1 +RCпc3)Спр2 +R(Cпc1 + Cnc3)Спр4 02 2 . Ab L = +--7-0«н +--7-7-0 +

ю0 RCпр4

-^пр2Спр4

Cnc1 + Cnc3 + ^rCnc1R(Спр2 + Спр4)Cnc3 03« + (r + R)Cnc1Cnc3 04

ю0 RCпр2Cпр4

RCпр2Cпр4

n = 5

ЯbC («н ) = [куCпc2Cпc40Y(ЮOrCпр1Cпр3Cпр5 )]/АЪС ,

где

л(5) = s5 + гСпр1 + ^пр5_0s4 +fСпр1Спс4 + Cпc2Cпр5 + Cnc2 + Cnc4 .

ю0rCпр1RCпр5

С С

пр1 пр5

Спр3 юOrCпрlRCпр5

(гСпр1 + ^пр5 ))Cnc2 + Cnc4 ) +(rCnc2 + RCnc4 )СпрЗ 3 2 Cnc2 + Cnc4 +ю2г (Спр1 + Спр3 + Спр5 )RCnc2Cnc4 -----0 +--^---0

(r + R )Cnc2Cnc4 05

ю0rCпр1RCпр3Cпр5

ю0гСпр^СпрЗСпр5 05;

юOrCпр1RCпр3Cпр5

(5) b L,

tfb5L (н ) = [KуЮoRCпclCпcзCпc50V(Cпр2Cпр4)]/A! Ab5L = +Ю0 (rCnc1 + RCnc5 ) +| Спс1 + Спс3 + Cnc3 + Cnc5 + ю0гСпс^СпС5 102«н +

где

C

пр2

C

пр4

Окончание табл. 1 Ending of the table 1

+ Ю0

r R \ (^пр2 + ^пр4 ) Спсз Спс11 ~-+~- IСпс5 +-^-7;-((пс1 + RCnc5 J

Спр4 Спр2

Спр2Спр4

©3sH+

Спс1 (Спс3 + Спс5 ) + Спс3Спс5 + ю2гСпс^(Спр2 + Спр4 ©4^ + Юо (r + R^^3^5 ©5

C C

пр2 пр4

C C

пр2 пр4

-©5

Реализуемую ПФ ФНЧ n-го порядка с равновол-новой АЧХ в полосе пропускания представим в виде*:

H) = */(

s« + ЬП-1*н 1 + +Ь1*н + bo), (4)

где коэффициенты К, Ъг- - вещественные положительные числа. АЧХ полиномиального ФНЧ с коэффициентами К, Ъг равномерно приближает идеальную АЧХ в полосе пропускания и монотонно убывает в полосе задерживания. Методика и примеры расчета коэффициентов К, Ъп_1, Ъп_2, ..., Ъд, а также частот экстремумов АЧХ

шнг (г = 2, п) для различных значений п и 8 приведены в [10]. Граничное условие, накладываемое на АЧХ, Н[пр}(1) = 1Д/2. Приравняв числители и коэффициенты при одинаковых степенях 5н 1, ^ 2, . ., в знаменателях преобразованной ПФ Н(п) (н) (табл. 1) и Н-^Р (н) (4), получим систему п +1 уравнений для определения параметров Ку, г, Спр г, Спс к, Я ППФ с заданной

неравномерностью АЧХ 8 и добротностью Q. Общее число неизвестных равно п + 3, из них стандартизованных элементов - резисторов и конденсаторов - п + 2, поэтому номинальные значения двух элементов задаются произвольно из выбранного ряда.

Из табл. 1 видно, что значение ПФ ФНЧ-про-тотипа при 5н = 0, а следовательно, и значение его АЧХ на нулевой частоте

H(n)(0 ) = K у R/(r + R).

С другой стороны, Н[р (0) = К/Ъо (см. (4)), откуда Ку = К (г + Я)/(Ъ>оЯ). Это соотношение

может быть использовано для проверки решения системы уравнений.

Переход к номинальным значениям остальных элементов выполним, решив систему урав-

Знак тильды указывает на принадлежность параметра к равноволновой АЧХ.

нений, связывающих преобразованные параметры ФНЧ с неизвестными (искомыми) параметрами вновь вводимой неравноволновой АЧХ

г>(п) / \ **

Н (ган) с ц экстремумами, где ц может принимать одно из возможных целых значений на числовом отрезке 1 < ц < п.

Определим неравномерности Н(п)( ган) в

точках экстремумов шн г, г = 1, ц, как

8, = 201в Н(п)(га нг). (6)

Поскольку шн1 = 0, с учетом (5),

1в Н(п }(0) = 1в [ К у Я/(г + Я)].

Введенное определение неравномерности АЧХ отличается от принятого в [10] определения неравномерности равноволновой АЧХ:

8 = 20{Н(п) (0)/[2 _ Н(п) (0)]} ,

характеризующего размах равноволновой АЧХ на отрезке.

Система 2ц +1 уравнений для нахождения п + 2 стандартизованных элементов ППФ, скорректированного коэффициента усиления усилителя Ку и 2ц параметров неравноволновой АЧХ

(5)

H(n)K): §i' ®н2' Юн3' ..., Юнq' Q 201g [ Kу R/(r + R )] = 81; 201gH(n)(caH i ) = 5i, i = ~q;

H( n)(1)= 1/^2;

dH(n }(сйн i)/d Юн i = 0, i = ;

имеет вид

(7)

Ьт-LhLP (юн)-H(n)K)

( n),

d юн = 0,

0 ÖK у

где HL? (ю«) - АЧХ полиномиального ФНЧ n-го порядка. Для n = 1

Знак " " указывает на принадлежность параметра к неравно-волновой АЧХ.

)=KAi

®н+b0O;

для n > 2

Я^К )=К 4p ,

причем для четных n

(8)

(9)

P =

(n/O)—1

n—о

< — I (—i^T^^o j «£j j=0

no n

I (—1)2—jbo j—1 шнj —1 j=1

для нечетных n > 3

(n— 1) O

P =

n—1

2 j—1

н — I (—j— 1юн j=1

(n—1)/O n—1.

I (—1)-—jbj

. j =0

АЧХ Нп)(юн) (см. (7)) определяется соотношениями для Н-^р (юн) (8), (9) с заменой К на выражение, стоящее в числителе ПФ ФНЧ-про-

тотипов Н^С (%) или Н^Ь (н) (см. табл. 1). Коэффициенты ¿2у, ¿2j-l в выражениях для Р заменяются на коэффициенты при переменных 5нУ, ^нУ 1 в знаменателях этих же формул.

Необходимо отметить, что принятое определение неравномерностей АЧХ Н(п) (юн,) (6) как

значений АЧХ в экстремальных точках, выраженных в децибелах, само по себе не гарантирует колебаний передачи в полосе пропускания вокруг единичного значения. Действительно, перепишем

(6) в виде: 8,- = 20^[Н(п) (юн, . При умножении числителя и знаменателя дроби под знаком логарифма на одно и то же число значение логарифма не изменится. Для привязки среднего значения пульсаций к единице в систему (7) введено интегральное уравнение (последнее в системе), обеспечивающее наименьшее квадратическое отклонение

неравноволновой АЧХ Нп)(юн) от реализуемой АЧХ Н[п)(юн) подбором Ку.

r( n),

Общее число неизвестных (n + 2q + 3) , число уравнений (2q +1). Разность (n + 2) равна числу

стандартизованных элементов НПФ. При записи системы уравнений все рассчитанные для реализации равноволновой АЧХ (n + 2) значений элементов ППФ r, С^, Спск, R заменяются на ближайшие стандартные значения, а исходные параметры 5, ш н о, ш н з,.., ев н n, Q и расчетное значение Ку

используются в качестве начального приближения к искомому решению системы.

При переходе к стандартным значениям элементов результирующая АЧХ искажается. Помимо изменения уровня пульсаций может уменьшиться их число. Количество экстремумов для записи системы уравнений (7) определяется из графиков ~ (о )

АЧХ ППФ ЯВ^ (шн) с параметрами Ку и стандартными значениями элементов фильтра как q = (p — 1))2 +1, где p - число экстремумов

~ (о )

функции ЯBP (шн ).

Выражения АЧХ ППФ порядков On = 2, 4, 6, 8,

~ (о )

10 с параллельным ЯвР с (шн) и последователь-

ВрпрС

~ (O )

ным ЯвО" с (шн) контурами на входах (рис. 3, 4

ВрпсС

соответственно) представлены в табл. 2. С учетом соотношений

¿прг'Спрг' = LпскСпск = V ю0

индуктивности выражены через емкости соответствующих контуров, поэтому в формулах табл. 2 фигурируют только обозначения СПр' и Спс к (что подчеркивается нижним индексом С).

Возможные отрицательные значения 5', полученные в результате решения системы (7), соответствуют значениям АЧХ Я(n) (шШ') < 1.

Используем аналитические выражения

(о )

ЯBP (шн) для оценки искажений АЧХ при изменении центральной частоты ППФ. В качестве меры

~ (о )

искажений АЧХ ППФ ЯВр (шн) при отстройке от центральной частоты Ш0 на Д Ш0 примем значение определенного интеграла квадрата разности функций ЯВр"^0^ ) и ЯВОп)[шн, (1 + Д)ш0 ] на отрезке

Таблица 2. Амплитудно-частотные характеристики ППФ Table 2. BPF йедиепсу responses

HBpLc (юн ) = "

K у/(ю0 гСпр1 / юн

2n = 2

HBpLc (юн ) =

(0 -1)2

r + R

ю0 ^пр^

K ую0 RCпсi юн

>/(H -1)2 +[

ю0 (r + R)СпС1 юн]2

2n = 4

и\4! I \ K у RCпс 2 2 HBPmC (юн -Ю2

г(4)

rC,

пр1

Ю4 -

2 +

(r + R )Сп,

rC

пр1

ю2+н +

1 + ю0 ^пр^пс 2

ю0 гСпр1

(юН - юн )

и(4) t \ K у Спс1 2 HBPTTСC (юн )=-С-Юн

пр 2

Ю4 -

2 +

(r + R )С, RC,

пс1

пр 2

Ю° +1

1 + ю2 ^пс^пр2 (ю3 ю0 RCпр 2

(юН - юн )

2n = 6

^SP^C = [ ^Q^H/ (ш0rCпрiCпр3

где

л<6)

¡шН -

3 +

1 + ю°г (( + Спр3 )RCпc2

ш0rCпрiRCпр3

где

(6)

Л

BPтIсC

6

шн -

'пр1 + RC^ ( 5 ) 2 ((пр1 + RCпр3 ) + (r +R/Cпc2 3 —-— (шн + шн<)--*---шн

ш0rCпрiRCпр3 ш0rCпрiRCпр3

^SI^C (Юн) = ((0RCпciCпc3шH/Спр2

Cпci (1 + ю0rCпр2RCпc3 ) + C

(6)

C

пр2

(( -шН)- 1Г

-(шorR / + J(( +Юн )-

2| °'пс1 + Cпс3 J , (r +R^пс^ш^

R

rCпр2R

2n = 8

H(8)BP C (шн) =

[Kу RCпc2Cпc4шH/ (rCпрiCпр3 )/ -^B^

где

= шН - 4

Cпс2 + Cпс4 , rCпс2 + RCпc4

C,

пр3

rC,

пр1

Cпс2Cпс4 + 21 C™2 + Cпс2 + Cпс4 | + | 2 +

CпрiCпр3

C

пр1

C

пр3

(шН +ш°

^^^n J RCп

пс2 1 пс4

Cпр3 ) rCпрi

шН + Н +

I1 +шOrCпрiRCпc^ 7 \

)-TT-(шн -шн )-

I ш0г°пр1

3 + Cпс0 + Cпс0 )т RC + Cпс0 + + Cпc4

CC

ш0rCпрiCпр3 HíзSpШСC (шн) = [KуCпciCпc3ш4/(Cпр0Cпр4)]/^

(шН -шН /

(8)

BPшсC :

где

(8)

Л

= шН - 4

вPшсC YJ н

Cпсi + Cm3 , rCпсi + RCпc3

C,

пр0

RC,

пр4

(шН+ш0

CпсiCпс3

C C пр2 пр4

+ 0

Cпс3 , Cпсi + Cпс3

C

пр4

C

пр0

+ 0 +-

Cпс3 | ^пс!

Cпр0 ) RCпр4

ш4 + Н +

1 +

ш0rCпсiRCпр4 / 7 \

——-(( -шн )-

ш0 ^^4

3 + ^ + |шorCпci +

+ 3Cпр0 + Cпc3 ш0 RCпр0Cпр4

(шН -шН /

Окончание табл. 2 Ending of the table 2

2n = 10

^BPjjPc К) _ [KyCnc2Cnc4IBH/(с°0гСпр1С'пр3Спр5))^ЛВРЩ,(

где

д(10) = („10 _

ВРпрС i н

( C C + C C 5 пс2 i ^-пс2 т ипс4 пс4

Спр1 Спр3 Спр5 ®0^Спр1^Спр5

10 + 3|

пс2 пс2 пс4 пс4

чСпр1

rC пр1 + RC„

C

пр3

C

пр5

пр1 пр3 пр5

C C C

пр1 пр3 пр5

(„н _®н )-

Cnc2 + ЗСпр3 + Cп

Cпс2Cпс4 + 2

пс2 пр3 пс4

^ (юН _юН)_ 1

ю0rCпр1RCпр3Cпр5

пр1 + RCid5 / 9 \ (rCro1 + RCnj5 ) (C^c2 + 4Cm3 + Cпc4) + (rCnc2 + RCnc4 )Crn3 / 7 3\

—-—(Н +юн ))-^--(ю-Н + „Н)

пп \ Н и/ п г^ п \ и и/

ю0rCпр1RCпр5

+ 2 (щр1 + ^пр5 )(Cnc2 + 3Cпр3 + Cnc4 )+ 2 (rCnc2 + RCnc4 )Cпр3 + (r + R )Cnc2Cnc4

ю0rCпр1RCпр3Cпр5

HBBP^icC (юн ) = [Ky„0RCnc1Cnc3Cnc5„H/(Cпр2Cпр4 „0rCnc1RCnc5 |(юН _„2)

(10) BPicC

где

ЛВР0) C = Ц0 _ f5 + Cne + Cnc3 + Cnc3 + Cnc5

BPicC I Н I Cпр2 C,

^пр4

10 + 3

Cnc1 + Cnc3 , Cnc3 + Cnc5

C

Cnc1 (Cnc3 + Cnc5 ) + Cnc3Cnc5 +ю2 f3 + Cnc3 + Cnc3 | rC RC

+ („0rR)2

C C

пр2 пр4

2 If Cnc 1 , Ci

C C

пр2 пр4

пр2 2

C

пр4

пс5

R

(юН +юн )_

4 Cnc3 Cnc3 + Cnc5 I C1

C

пр2 Cпр4 ) R ^ ^^2 ) r

2

( _„4)_1((

C + C

—' TTi1 1 ^ ^ TT,

пс3 + Cnc3 + Cnc5 I Cnc1 + ( 4 + Cnc1 + Cnc3 + Cnc3 | Cnc5

R

Ci

Cn

+ 2

(юН+юН )-

3 +

Cnc3 + Cnc3 + Cnc5 + Cnc3Cnc5 | Cnc1 + | 3 + Cnc1 + Cnc3 + Cnc3 + Cnc1Cnc3 | C

C

пр2

C

пр4

2Cпр2Cпр4 J R

C

пр2

_ -~пс5

Cщр4 2Cпр2Cпр4) r

V1 _ 1 (4Q2 ) _ 1 (2Q), _ 1 (4Q2 ) + 1/(2Q)

>M (4Q2) +1 (2Q) (A)= _f {HHBpn) (®н)-

r(2n)

^1-/ (4б2)-V (26)

2

-НВ2рп)[юн, (1 + Д)юо]} с1 юн,

~ (1 )

где НВп (юн) - модуль ПФ ППФ порядка 2п, полученной преобразованием (1) ПФ Н-р (5н) (4);

42рп) [юн, (1 + Д)юо ] - функция нормированной частоты юн и центральной частоты ППФ (1 + Д)юд, -1 < Д. Аналитические выражения

Н-цр (юн) для 2п = 2, 4, 6, 8, 10 приведены в [10].

Численная оценка искажений АЧХ при перестройке ППФ определяется средним значением

функции I(2п(Д) на отрезке [Дн < Д < Дв ]:

Вопросам перестройки электрических фильтров посвящен ряд работ (см. [11]—[13]). По аналогии с [13], где введен коэффициент перестройки в виде отношения центральных частот в конечном и начальном состояниях, определим коэффициент перестройки % как отношение верхней (1 + Дв ) Ю0 и

нижней (1 + Дн) Ю0 центральных частот ППФ с допустимыми интегральными искажениями АЧХ 1(2п }(Дв ) и I(2п)(Дн ) соответственно:

Х = (1 + Дв ) ю<)/[(1 + Дн ) Ю0 ] = (1 + Дв )/(1 + Дн ).

При условии, что коэффициент усиления усилителя Ку в процессе перестройки не изменяется, параметры 82, 83, ..., 8^, юн2, юн3, . .,

ю,

Н q? f(n)

Q характеристик ФНЧ-щрототипа

5ср _

Дв - Дн д

J I (2п)(Д) d д.

НШ [юн, (1 + Дн )Ю0 ] и Н(п)[юн, (1 + Дв )Ю0 ] являются решениями соответствующих систем 2q -1 уравнений, образованных исключением первого и последнего уравнений системы (7) и

2

+

2

заменой в выражениях Hn) (cc«) центральной частоты Ю0 на (1 + Д)ю0 :

201g H(n) LЮнi,(1 + Дн) Ю0 ] = 8i, i = ;

H(n)L1, (1 + Дн)Ю0] = 1/V0; _

dH(n)LЮн i, (1 + Дн )ю0 ]/d Юнi =0, i =07q~

201g H(nZ LЮнi, (1 + Дв )Ю0 ] = 8i, i =07^; H(n)[1, (1 + Дв)Ю0] = _

Lюнi' ( + Дв )ю0 ]/d Юнi =0, i = 2, qв'

(10)

(11)

dH

( n)

где qн, qв - количество экстремумов функций

H(n)LЮнi,(1 + Дн)Ю0], Lc^,(1 + Дв)Ю0]

(n)f

со-

ответственно.

Управление центральной частотой фильтра при фиксированных стандартных значениях емкостей осуществляется изменением индуктивно-стей контуров, например с помощью вариометров. Коэффициенты перекрытия по индуктивности каждого вариометра составляют

кЬ = Ьпах/Ьтп =(1 + Ав)°/(1 + Ан)2 ,

где ¿тах, ¿тт - максимальная (нижний предел перекрываемого диапазона) и минимальная (верхний предел) индуктивности вариометра.

Для оценки искажений АЧХ при перестройке центральной частоты изменением емкостей контуров выразим Н^рп (шн) через индуктивности контуров Ьпр г и Ьпс к, выполнив в Н^

0n) ( )

Н^с (юн) табл. 2 подстановки:

Спрг = ^(ш0 ЬпргСпск = ^(ш0 Ьпск).

Начальными значениями индуктивностей, соответствующими центральной частоте ¿0, примем значения индуктивностей ППФ с равновол-

~ (2 )

новой АЧХ #врп; ( шн). Коэффициенты перекрытия по емкости каждого конденсатора также равны и определяются отношением:

кС = Стах/Стт =(1 + Ав)°/(1 + Ан)2 , где Стах, Ст^п - максимальная и минимальная емкости контура при центральных частотах фильтра (1 + Ан ) Ш0 и (1 + Ав ) Ш0 соответственно.

Таким образом, процесс синтеза ППФ порядка 2п с центральной частотой ¿0, добротностью Q и коэффициентом усиления усилителя Ку включает 2 этапа. На первом этапе рассчитываются параметры ФНЧ-прототипа, элементы которого Сг и Ьк выражены через емкости контуров ППФ Спрг и Спск соответственно. Расчетные параметры

определяются в результате решения системы (п + 2) уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях переменной в выражениях ПФ ФНЧ-прототипа Н^С (5н ) и

ПФ ФНЧ с равноволновой АЧХ Н—Р (н ).

Переход к номинальным значениям элементов выполняется при решении еще одной системы уравнений, связывающих (преобразованные) параметры ФНЧ-прототипа с неизвестными параметрами вновь вводимой неравноволновой АЧХ

Н(п^ (юн ). На втором этапе синтеза нестандартные значения элементов ППФ заменяются ближайшими номинальными значениями, а параметры Ку, Q, 8, сон2, шн3, ..., <%п равноволно-

вой АЧХ НН-Р)( ган) служат начальным приближением при расчете неравноволновой АЧХ ФНЧ-прототипа Н(п) (ган ) с параметрами Ку, Q, 81;

J2'

8ц, шн2, шн3, . ., шнц. При замене емкостей номиналы индуктивностей определяются соотношениями:

Апр г = ^(ш0 Спр г), Апс к = ^(ш0 С:пс к ),

где С^р г, Сю к - стандартные значения емкостей.

На заключительной стадии АЧХ синтезированного ППФ может быть откорректирована перестройкой на другую центральную частоту Ш0кор с

помощью всех индуктивностей фильтра с целью достижения наименьшего квадратического отклонения функции Н^р [шн, ю0кор ] от равно-

волновой АЧХ Нцрп^ (юн) = |42п^ (н )|, причем

ННврп) (5н) получена из выражения Н—Р (н) преобразованием нормированной частоты 5н.

Пример. Рассчитаем параметры элементов и характеристику ППФ 10-го порядка с параллель-

ным контуром в поперечной ветви на входе (см. рис. 3), с частотами настройки контуров

гад = 105 рад/c и параметрами АЧХ 8 = 0.1,

Q = 10. Коэффициенты ПФ Н-р^) полиномиального ФНЧ 5-го порядка с неравномерностью 8 = 0.1 равноволновой на отрезке АЧХ, имеющей на частоте среза ган = 1 значение 1/V2, составляют [10]: K = 0.217744, b4 = 1.535234, b3 = 2.147160, b2 = 1.635204, b = 0.862123, ¿»0 = 0.216497; нормированные частоты экстремумов: ган2 = 0.272, <вн3 = 0.517, юн4 = 0.712, ган5 = 0.837. Приравняв коэффициенты

(н) и Н-р (н), получим систему 6 уравнений с 8 неизвестными.

Положим r = 100 Ом, R = 51 Ом. Решение системы уравнений:

Ку = 2.978, Спр1 = 2.99 мкФ, Спс 2 = 10.74 нФ, Спр 3 = 3.78 мкФ, Спс 4 = 12.57 нФ,

пс 4

Спр 5 = 1.63 мкФ.

Проверка решения системы:

Ку = К (г + Я)/((Я) = 2.978.

Ближайшие к полученному значению Спр1 номинальные значения емкостей из ряда Е12 равны 2.7 мкФ и 3.3 мкФ. Для остальных емкостей перейдем к номиналам 2 = 11 нФ, С^3 = 3.9 мкФ,

Спс 4 = 13 нФ, С^р 5 = 1.6 мкФ. Для более точного приближения функции НВР^ с (юн) к Нр^ю)

Врпр С

заменим в схеме ППФ конденсатор Спр1 параллельным соединением двух конденсаторов с номинальными емкостями 1.5 мкФ, получив эквивалентную емкость Сф1 = 3 мкФ.

На рис. 5, а изображены АЧХ ППФ 10-го порядка с емкостями Сф1 = 2.7, 3.0 и 3.3 мкФ. Центральная часть АЧХ в увеличенном масштабе представлена на рис. 5, б. Как видно из рисунка, при Спр1 = 2.7 мкФ число локальных экстремумов АЧХ

низкочастотного прототипа q = 3 , при других значениях емкости их число равно 5. Решения системы

уравнений (7) для трех значений С^р1 и выбранной

частоты настройки контуров ю0 представлены в

табл. 3 (три левых столбца). Для перехода к нормированным частотам экстремумов АЧХ ППФ

НВ10) С (сон) следует воспользоваться формулами:

ВРпрС'

шн

и1, 2

:y¡1 + Щ2 il (4Q2) + Шн 7 (20).

Применим системы уравнений (10), (11) для определения параметров АЧХ НВ0 С (юн ) ППФ

ВрпрС

с набором конденсаторов с номинальными значениями при перестройке центральной частоты фильтра. Схема ППФ 10-го порядка с перестраиваемыми индуктивностями приведена на рис. 6. Положим Ср1 = 3 мкФ. Тогда для центральной

частоты 105 рад/с получим следующие значения индуктивностей:

ьпр1 = 33.3 мкГн, ьпс 2 = 9.1 мГн, ЬЛр 3 = 25.6 мкГн, ьпс 4 = 7.7 мГн, ¿Лр 5 = 62.5 мкГн.

сПр 1. мкФ

0.92

0.96

1.00

1.04

б

Рис. 5. Амплитудно-частотные характеристики ППФ (а); центральная часть АЧХ ППФ (б) Fig. 5. BPF frequency responses (a); central parts of BPF frequency responses (б)

H

СО

H

Таблица 3. Параметры АЧХ ФНЧ-прототипа ППФ 10-го порядка

Table 3. The LPF prototype frequency response parameters of the 10th-order BPF

Параметр Parameter Настройка на/Tuning to

центральную частоту center frequency крайние частоты extreme frequencies

<i>0, рад/с 105 0.8-105 1.2 -105

Д 0 -0.2 0.2

С' ^прЬ мкФ 2.7 3.0 3.3 3.0 3.0

q 3 5 5 4 3

КУ 2.950 2.981 3.019 2.981 2.981

§1 -0.033 0.059 0.169 0.059 0.059

§2 -0.169 -0.104 -0.031 0.422 -0.786

§з 0.258 0.041 0.041 -0.031 0.075

§4 - 0.039 -0.043 0.387 -

§5 - 0.121 -0.040 - -

Q 9.799 9.989 10.175 10.043 10.006

®н2 0.288 0.305 0.327 0.372 0.350

юнз 0.828 0.611 0.543 0.675 0.701

Юн4 - 0.662 0.752 0.852 -

Юн5 - 0.821 0.794 - -

r ff С Спс2

ту перестройки х = (1 + 0.2)/(1 - 0.2) = 1.5, представлены в правых столбцах табл. 3.

Исследуем искажения АЧХ при изменении центральной частоты ППФ с использованием переменных конденсаторов. Индуктивности параллельных и последовательных контуров опреде-

¡прг = 1 (( Спрг )

ляются из соотношении

где С

пр 1

= у (0 Спрij и Спс k - расчет-

¡пск = 1 (ю0 Спск), ные значения исходной системы 6 уравнений:

£пр1 = 33.43 мкГн, ¡пс2 = 9.31 мГн,

£пр 3 = 26.45 мкГн, ^пс4 = 7.95 мГн,

¡пр 5 = 61.25 мкГн.

Схема ППФ 10-го порядка с перестраиваемыми конденсаторами приведена на рис. 8, графики

'(10)

тех же

АЧХ т [®н/(1+ Д), (1 + А)ш0 ] для

значений Д приведены на рис. 9. График для Д = 0 представляет собой равноволновую АЧХ с

0-

U в

С

пр1

0-

?

пс4 j —Гу?Л_

С,

пс4

С

пр3

4

пр3

Спр5

-^¿пр5

Ку

|—0

^вых 1-0

Рис. 6. Функциональная схема ППФ10-го порядка с перестраиваемыми индуктивностями Fig. 6. Schematic diagram of the 10th-order BPF with variable inductors

При перестройке ППФ в диапазоне частот от ю0 = (0.8...1.2)105 рад/с (-0.2 <Д< 0.2) коэффициенты перекрытия по индуктивностям

кт = (1 + 0.2)2/(1 - 0.2)2 = 2.25.

Коэффициент усиления и неравномерность АЧХ на центральной частоте во всем диапазоне перестройки неизменны и равны первоначальным значениям: Ку = 2.981, 81 = 0.059.

Введем в рассмотрение функцию нормированной частоты //[(1 + Д)/ ] = юн/(1 + Д):

#ВР0)[юн/(1 + Д), (1 + Д)ю0 ]. Графики АЧХ

я£р0)с [юн/(1+ Д), (1 + Д)ю0 ] для нескольких

значений Д приведены на рис. 7; решения систем уравнений (10) и (11) для двух крайних значений частот диапазона, соответствующих коэффициен-

параметрами: Ку = 2.978, 81 = 0.059, которые

при перестройке не изменяются.

Приведем решения систем уравнений (10), (11) для двух граничных значений Д. При Дн = -0.2,

ц = 3: 82 =-0.869, 83 = 0.007, 0 = 10.006,

H

.(10)

0.55

0

-0.2 -0.1

11 ■ I

11 и

■I

>1 ¡'

j 1

А = 0 0.1 0.2

> V ч

JL

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 юн Рис. 7. Амплитудно-частотные характеристики ППФ 10-го порядка, перестраиваемого индуктивностями,

для различных значений Д Fig. 7. Frequency responses of the 10th-order BPF with variable inductors for various Д

R

Рис. 8. Функциональная схема 1П1Ф 10-го порядка с перестраиваемыми конденсаторами Fig. 8. Schematic diagram of the 10th-order BPF with variable capacitors

(см. табл. 2), и центральной частоты (1 + Д) Ш0;

юн2 = 0.345, юн3 = 0.674. При Дв = 0.2, q = 4: 82 = 0.389, 83 =-0.106, 84 = 0.317, 6 = 10.046, юн2 = 0.374, юн3 = 0.684, юн4 = 0.857. Коэффициент перекрытия по емкостям кс = 2.25.

На рис. 10 приведены графики функций искажения АЧХ ППФ с перестраиваемыми индук- причем тивностями (см. рис. 6):

( ч а/1-1/(462) +1 (26) ( ч

I (10)(Д)= I {<>К )-

^1—1 (4QO) —1 (OQ)

— ЯВР0)С [шн, (1 +

d шн

и с перестраиваемыми емкостями (рис. 8):

V1—V(QO) +1 (OQ) ( )

J {ЯЯВ1р0)(шн) —

J (10)(Д) =

>/1—1 (4QO) —1 (OQ)

— Я

(10)

ВРпр L

[®н, (1

d шн,

где

Я

Вр0)(юн ) = (( Q5 )юн/ТМ^;

ЯВ10) с [шн, (1 + Д)ш0 ] - функция нормирован-

ВРпрС

ной частоты шн, выраженная через СПр i и Спс к

Ял

(10) ВРпр L

[шн, (1 + Д)ш0 ] =

Ку (1 + Д) ш0 ^пр1^пр3^пр5

rLnd Апс4

М

(10)

ММ

(10)

юн0 +

5 +1 К-

Q

ВРпр^ '

о |(юн—юн)+

10+Q3+Q4 (—юн)—1

9 \ I 4b

—(

Q

)-[ Q+fr J(+»3 3+

(

6b4 + ^bo+b.

Q Q3 Q5

л

юн

М

(10) ВРпр L

юн0 —^ +

Lпрi + -^шрЗ ^р3 + ^р5

АпсО

Lпс4

[(1 + Д)ю0] ¿пр1£пр5 U 8 О) -|1юн— юн]"

rR

(

+<¡10 + 3

Атгр1 + Апр3 + Апр3 + Апр5

АпсО

Апс4

+

Я

.(10)

0.55

0

-0.0 -0.1

/

I I ; I

±

11

ii ■I \ к

I•

/ N.

J1

Д = 0 0.1

п

¡! ■ <

■ I • I

0.0

I I

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.О ю Рис. 9. Амплитудно-частотные характеристики ППФ 10-го порядка, перестраиваемого емкостями, для различных значений Д Fig. 9. Frequency responses of the 10th-order BPF with variable capacitors for various Д

,-(10) ,(10)

-0.0 -0.1 0 0.1 Д

Рис. 10. Графики функций искажения АЧХ перестраиваемых ППФ Fig. 10. Frequency response distortions of the tunable BPF

н

Тпр1 ((р3 + Тпр5 ) + -Тпр3-Тпр5

Тпс2 Тпс4 2

[(1 + А)Ю0 ] 1пр1£пр3£пр5

rR

( 1

Тпс2 Тпр3 Тпс4

1с4 )f

!)-1

-[(1 + А)ю0 ]2

|2 ¡Трб+Щр!

rR

(( + юн )"

+ Агр5 Y4 + Lпр3 + Агр3 ^1 +

r R Л ^с2 Lпс4 J

+ т rLпс4 + ^с2 т + ьпр1 „т j ^пр5

rRLпс2 Тпс4

Тпр5 + ^Тпр1 ( 3 + Тпр3 + Тпр3 Тпс2 Тпс4

+2Тпр1

rR 1

1

^Тпс2 гТпс4

(r + R) Тпр1Тпр3Тпр5

Тпр5

г^Ьпс2Ьпс4

Средние значения функций I(10) (Д) и

3(10) (Д) в области изменения аргумента

[-0.2<Д<0.2] равны 54.92-10-6 и 53.51 -10-6

соответственно. Из графика функции I(10) (Д) видно, что АЧХ неперестраиваемого ППФ может быть скорректирована за счет незначительного изменения частоты юд с помощью индуктивностей.

Минимум функции I(10) (Д) наблюдается при Д =-0.0144, что соответствует угловой частоте настройки контуров Ю0кор =(1 - 0.0144 )Ю0 = = 98 560 рад/с. Из сравнения исходной АЧХ Я£р ^ с [юн, юс ] и скорректированной АЧХ

HBP°)C [«н/0.9856, Ш0кор] (рис. 11)

видно, что

скорректированная АЧХ имеет меньшие пульсации в точках минимума при равных с исходной АЧХ значениях неравномерностей в точках максимума.

Полосно-заграждающие фильтры. При переходе от ФНЧ к ПЗФ с центральной частотой режекции Ю0 емкость С заменяется последовательным колебательным контуром с элементами

Спс = С/® и Тпс =©/(/оС), а индуктивность Ь - параллельным колебательным контуром с

H

(10)

H

'(10)

1.00 —

0.98

0.90

0.95

1.00

1.05

б

Рис. 11. Исходная и скорректированная АЧХ ППФ (а); центральная часть АЧХ ППФ (б) Fig. 11. Initial and corrected frequency responses of BPF (a); central parts of BPF frequency responses (б)

элементами Ьщ = L/0 и Спр = 0/(га|)L). При

H(n) (1) = 1/V2 0 есть добротность ПЗФ, равная отношению нормированной центральной частоты режекции к нормированной полосе подавления,

определяемой на уровне 1/V2 модуля ПФ.

На рис. 12, 13 представлены схемы ПЗФ порядков 2n с последовательным контуром на входе в поперечной ветви (рис. 12) и параллельным контуром на входе в продольной ветви (рис. 13) с

элементами СПс i, Ьпс i, Спрк, Ьпр к, i, к =1 n. ПФ ФНЧ-прототипов ПЗФ н(C (н ) (см. рис. 1)

и H(ПЬ (%) (см. рис. 2), n = 1, 5, выраженные через емкости контуров Спс i, Спр к приведены в табл. 4.

АЧХ ПЗФ порядков 2n с последовательным и

(2 )

параллельным контурами на входах HB^ с (сон) и HBRn) C К ) для 2n = 2, 4, 6, 8, 10 (рис. 12 и 13

BR прс

соответственно), выраженные через Спс i, Спр к,

представлены в табл. 5.

На рис. 14, а показаны равноволновые АЧХ

ФНЧ-прототипа 5-го порядка (сон ) (см. рис. 1)

н

а

ю

н

0

Рис. 12. Функциональная схема ПЗФ порядка On с последовательным контуром в поперечной ветви на входе Fig. 12. Schematic diagram of the Onth-order BRF with the series resonant circuit in the transverse branch at the input

0

Рис. 13. Функциональная схема ПЗФ порядка On с параллельным контуром в продольной ветви на входе Fig. 13. Schematic diagram of the Onth-order BRF with the parallel resonant circuit in the longitudinal branch at the input

и ПЗФ 10-го порядка с последовательным контуром в поперечной ветви на входе Н™) C (сон )

(рис. 12) с частотами настройки контуров Ю0 = 105 рад/с и параметрами АЧХ: 8 = 0.1, Q = 10. Центральная часть АЧХ в увеличенном

масштабе представлена на рис. 14, б. При r = 100 Ом, R = 51 Ом элементы ПЗФ имеют следующие нестандартные значения:

Спс1 = 29.92 нФ, Lnc1 = 3.34 мГн, Спр2 = 1.07 мкФ, Lnp2 = 93.12 мкГн,

Спс3 = 37.81 нФ, Lnc3 = 2.65 мГн, Спр4 = 1.26 мкФ, Lnp4 = 79.53 мкГн, Спс5 = 16.33 нФ, Lnc5 = 6.12 мГн. Коэффициент усиления усилителя Ky = 2.978.

Таблица 4. Передаточные функции ФНЧ-прототипов ПЗФ Table 4. Transfer functions of LPF prototypes of BRF

n = 1

H ÍCk ) = -

К y

r + R

ш0 ®гСпс1/ l ш0 ®rCnc1R

HÍLk ) =K УГСпр1/

Ár+R)С,

пр1

©

n = 2

H(2)( ) = KyRCip2

H C( ^ )=—T_-

©2rCT

пс1 .

s2 + 1 + lв0rCпс1RCпp2 s + ( r +R)Cnp2

©®0гСдс1 н ©2rC,

пс1

; híLU )=KC1

©2C,

пс2 /

2 + 1 + ®0rCпp1RCпс2 + ( r +R)Cnp1

©®0RCnc2 ©2RC.

пс2

n = 3

Hг(3)(*н ) = ■

KyCnpV ( ©3^0rCnc1Cnc3 )

,3 + rCnC1 + RCnC3 2 + 1 +®0r( Cnc1 + Cm3 ^2 + ( r +R)C,

np2

©Ю0rCпсlRCпс3

H

*н )

©2®0 ^пс^^ KyM0RCnp1Cnp^ ( ©3cпс0 )

(rCnp1 + RCnp3) 2 Cnp1 + Cnp3 (1 +ю0rCпp1RCпс0) Ю0 (r + R)Cnp1C,

3 w0

пp3

©

©°a

©3Cп,

n = 4

H C (н) = [ KRC^^/(©4rCпс1Cпсз )

(4) г C,

где

.(4) = 4 1 +ю;0rCпсlRCпp4 3 r (Cпс1 +Cпс3 )Cпp2 + (rCra1 +RCпс3 )Cпp4

Vr C = + 5н + --;

Г C н ©»0^1 н ©2rCпсlCпс3

+ Cnp2 + Cпp4 +M2r (Cпс1 + Cm3 )RCпp2Cпp4 , (r + R

© rC№ 1^3

Окончание табл. 4 Ending of the table 4

HrL\sH ) - [ КуСпр1Спрз/(®4Спс2Спс4 )]/Лг

(4) L ,

где

,(4)- 4 1 + roi)rCnp1RCnc4 3 (rCnp1 + RCnp3 ) Спс2 + R (Спр1 + Спр3 ) Спс4 Л r l — SH + SH + ~

Г L H ©»0^4 H ©^сО^

2

Спр1 + Спр3 +ю2гСпр1-^(Спс2 + Спс4)Спр3 (r + R)Спр1Спр3 ;

® ю0-КСпс2Спс4

® ^Спс2Спс4

П — 5

где

,(5) — 5 + rC пс1 + ^пс5 s 4 Г С ~ н н "

©ЮorCпс1RCпс5

HrC(sH ) — [КуСпр2Спр^(©5®0гСпс1Спс3Спс5 )]/ЛГ

Спс1Спр4 + Спр2Спс5 . Спр2 + С]

(5) С,

пр4 пр2 ®2Спс1Сп,

пр2 пр4 + 1

©2Спс3 ©^rC^RC^

(гСпс1 + ^пс5 )(Спр2 + Спр4) ^ (Спр2 + RCпp4)Спс3 2 + Спр2 + Спр4 + «»^ (Спс1 + Спс3 + С^ )RCпp2Cпp4

© ЮогСпс1-КСпс3Спс5

© 4®ОгСпс 1-^Спс3Спс5

(r + R )Спр2Спр4 ©5<a0rCпc1RCпc3Cm

где

Л(5) Л r L S5 I ®0 (гспр1 + RCпp5 )_ 4 +

SH + © sH '

V

+ ®0 ©3 С f r Спр11 С V Спс4 + С-1 Спр5 Спс2 J

нГь (н) — [Ку®^Пр1СПр3СПр7(©5СпсОСпс4)]/лГ

Спр 1 + Спр3 + Спр3 + Спр5 , юОгСпр1-^Спр5 1

(5) L,

©2С,

пс2

©2С,

пс4

©2

-(Спс2 + Спс4)Спр3 (гСпр1 + RCпp5)

С С

^пс2^ пс4

Спр1 (Спр3 + Спр5 )+ Спр3Спр5 [1 + ®0rCпp1R (Спс2 + Спс4 )] «0 (r + R )Спр1Спр3С]

пр5

©4СпсОС

пс2 пс4

©5СпсоС,

пс2 пс4

Таблица 5. Амплитудно-частотные характеристики ПЗФ Table 5. BRF frequency responses

H

(2)

t \ K У R\ 2

(юн ) — —-— юн

BRmCVw H> r + Rl

- 'l/ J(»2 -1)2 ♦( a£RR

2n — 2

2

H(2) (a ) — KуR

HBRпрС (aH )— r+R

^ (( - 1) +

1

a0 (r + R )C.

пр1

2n — 4

H BRПсС к)—K+R (н -1)2

h b4R прС (™н)—Kä (н -1)2

4

Юн -

2 + rC пс1

(r + R )С

пр 2

юО+Н +

Ю0rR (С + 1

пс^ 2 ^ D

Ю0 гСпр 2R

r + R

(H - Юн )

4

Юн -

2 + RCпc 2

(r + R )С

пр1

юН +1

Ю0 rR| С r + RlC

пс 2

ю2 rCip1R

(Н - Юн )

2n — 6

H(6) (ю ) — KуR

BRПСС (ЮН)— r+R

1(0 -1)1/^

где

MB6R псс—iaH

3 + + RC пс 3

(r + R )С

пр 2

(- Ю°)-1

юо rR Y r + R .J

Спс1 + Спс3 + 2 „„- 1(ЮН + Юн ) - 2 ( Спс1 + Спс3 + "

Ю0 rRCпр 2 J f 2Спр 2

пр 2 Ю0 rRCup 2

Продолжение табл. 5 Continued of the table 5

T(6)

K у R

HBRnpC (»н) = r + r

(»2 -)fBRn

где

M(6) I »6

M BRnpC = |»н -

3 +

((pi + RCnp 3 )C ПС 2

(r + R )CnpiCnp3

( - »2 )- U

»0 rR r + R,

2I

C + C \ ^пр1 ^ np3

Cnc2 +" 2

»0 rCnpiRCnp3

(»H+»н)-2

2(Cnpi + Cnp3 ) + Cnc2

Cnc 2 +" 2

2 »0 rCnpiRCnp3

2n = 8

HB1CC (»H )=[K у R/(r + R )](( - \) /М

i(8) BR псС

где

MB8R ncC=I»h -

4 +

rCnci + RCnc3 + r (Cnci + Cnc3 )

(r + R )Cnp 2 (r + R )Cnp 4

(»H + »H )"

rCnci (2Cnp 2 + Cnc3 + 2Cnp 4 )+ 2( rCnp 2 + RCnp 4 )Cnc 3

6 +

Cnci + Cnc3 +"

(r + R )Cnp 2Cnp 4

2

I /.. n\2

4 ,i I »0rR^

»4+n 0 1

C + C \ пр 2 ^ пр 4

-пс1 т пс 3 ' 2 .—i „r

»0 rCпр 2^пр 4

( - »h )- 3

Спс1 + Cпc3 +

I V r + R J X

CmAc3 + 3(Cпp 2 + Спр 4 )+ Спс 3

3C

пр 2

3»0 гСпр 2RCпp 4

( »H - »H )i

H B8R прС (»h )=[K у R (r+R)](»° -1пМ

/8)

где

MB8R пр^ 1»н-

4 +

'Спс 2 + RCпc 4 + R(C пс 2 + Спс 4 ) (r + R ^пр 3 (r + R Юпр!

(»H + »H )"

6 +

2 (гСпр1 + RCпp 3 )Cпc 2 + R (2Cпp1 + Cпc 2 + 2Спр 3 )Cпc 4

(r + R )Cпp1Cпp3

»H+1> +

»0 rR Y

Спс 2 + Спс 4 + 2

C + C \ ^пр1 ^ пр3

»2 rCпp1RCпp3

(»H-»H )-3

Спс 2 + Спс 4 +

r + R J

Спс 2Спс 4 + 3(Спр1 + Спр 3 )+ Cпс 2 3Спр 3 3»2 rCпp1RCпp 3

2n = 10

HBR^C (»H ) = [KуR/(r + R)] (»° -1)51^

i(10) BRrnC

где

(10)

m:

BR^C ^ H

5 +

гСпс1 + R (Cпc3 + Спс5 ) + r (Спс1 + Спс3 )+ RCпc5

(r + R )C

пр 2

(r + R )C,

пр 4

(»H-»° )-

10 + 3 гСпс1 + R (Спс3 + Спс5 ) + 3 r (Спс1 + Спс3 )+ RCx5 , (гСпс1 + ^пс5 )Спс3

(r + R )C

пр 2

(r + R )C,

r + R,

\2 U С + С

- + C + C + пр 2 + пр 4

-пс1 + ^пс 3 ^пс 5 2 ^ т-,^

»0 rCпр 2RCпp4

пр 4

(»H + » н )-

(r + R )Спр 2Спр 4

(»H - »H)-П +

- 4

+ 6

Спс1 + Спс3 + Спс5

Спс1 + Спс3 + Спс5

Спс1 (Спс3 + Спс5 ) , (Спс1 + Спс3 )Спс5 + 4Спр2 + Спс3 + 4Спр4

-пр 2 4Спр4 4 »2 'Спр 2RCпp4

(»H + »H )"

4Спр2 4Сп

Спс1 (Спс3 + Спс5 ) , (Спс1 + Спс3 )Спс5 + Спс 1 Спс3Спс5 + 3(Спр2 + Спр4)+ Спс3

3C

пр 2

3С,

пр 4

6Спр 2Спр 4

3»2 гСпр 2RCпp 4

2

+

Окончание табл. 5 Ending of the table 5

HBr^C (»h) =

[ K у R/(r + R)](( -1)7

где

M(10) =L10 -

BRпрС | Uiн

5 +

rCпс 2 + RCПC 4 (гСпр1 + ^пр5 )(Спс 2 + Спс4 )

(r + R )C

пр 3

(r + R )Спр1Спр 5

(»H - »)"

гСпс2 + RCПC4 + 3 (гСпр1 + RCпp5 )(Спс2 + Спс4) + ('Спр1 + RCпp5)Спс2Спс4

10 + 3 ,пс 2'

(r + R )С

пр3

(r + R )Спр1Спр5

(r + R )Спр1Спр3Спр5

(»H - »H)-1}

»0 rR r + R

Спс 2 + Спс 4 +'

Спр 1 Спр 3

-пр^пр3 ^ (Спр1 + Спр3)Спр5 »0 'Спр 1RCпp 3Спр 5

(»H + »H )-

- 4

+ 6

Спс 2 + Спс 4 +

Спс 2 + Спс 4 +

Спс 2Спс 4 (4Спр1 + Спс 2 )Спр 5 + Спр1Спс 4 +(4Спр1 + Спс 2 + Спс 4 + 4Спр 5 )Спр 3

4C

пр3

4 »0 'Спр 1 RCпp 3Спр 5

(»H+»H)-

Спс 2Спс 4 + 3Спр 3 + Спс 4 + 3Спр 5 + Спс 2 (2Спр 3 + Спс 4+ 2Спр 5 ) +2Спр 3 (Спс 4 + 3Спр 5 )

3C

пр3

3ю0 гСпр 3RCпp 5

6 »0 ГСпр 1RCпp 3Спр 5

2

■(5) г С, (10) BRпcC

0.70

0.35

1

- \

- H (10) BR псС \ 1 ,L \ H(5) \ H г С V ч ^----

■(5) г С, (10)

BR™C

1.00

0.99

0.5

1.0

а

1.5

0.75 б

Рис. 14. Равноволновые АЧХ ФНЧ-прототипа и ПЗФ (а); центральная часть АЧХ ФНЧ и ППФ (б) Fig. 14. Equiripple frequency responses of LPF prototype and BRF (a); central parts of LPF and BRF frequency responses (б)

Дальнейший расчет ПЗФ с неравноволновой АЧХ принципиально не отличается от расчета ППФ при соответствующей замене аналитических выражений и также позволяет свести к нулю число нестандартизованных элементов синтезированного фильтра.

Заключение. Представленные методики расчета полосных фильтров и приведенный пример наглядно демонстрируют возможности метода

синтеза фильтров, основанного на решении систем нелинейных уравнений. В отличие от методов аппроксимации идеальной характеристики фильтра в частотной области с помощью специальных функций [14], [15] и табличного проектирования фильтров [16] рассмотренный метод позволяет рассчитать фильтр высокого порядка для любых исходных требований, не прибегая к справочным данным.

0

ю

0

0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов П. А. Расчет частотных электрических фильтров. М.-Л.: Энергия, 1966. 216 с.

2. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г., Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с.

3. Paarmann L. D. Design and analysis of analog filters: A signal processing perspective. Dordrecht: Springer, 2014. 456 p.

4. Budak A. Passive and active network analysis and synthesis. Atlanta, London: Houghton Mifflin company, 1974. 733 p.

5. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1978. 208 с.

6. Кауфман М., Сидман А. Г. Практическое руководство по расчетам схем в электронике: справ.: в 2 т. Т. 2 / пер. с англ.; под ред. Ф. Н. Покровского. М.: Энергоатомиздат, 1993. 288 с.

7. Winder S. Analog and digital filter design. 2nd ed. New York: Elsevier Science, 2002. 450 р.

8. Червинский Е. Н. Устойчивость частотных характеристик к изменениям параметров электрического фильтра // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2017. № 3. С. 24-38.

9. ГОСТ 28884-90 (МЭК 63-63). Межгосударственный стандарт. Ряды предпочтительных значений для резисторов и конденсаторов. М.: Стандартинформ, 2006. 13 с.

10. Червинский Е. Н. Расчет передаточных функций фильтров с равноволновыми на отрезке и бесконечном полуинтервале амплитудно-частотными характеристиками // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2014. № 4. С. 13-28.

11. Знаменский А. Е., Попов Е. С. Перестраиваемые электрические фильтры. М.: Связь, 1979. 128 с.

12. Унру Н. Э., Григорьев Е. В. Перестраиваемые квазиоптимальные режекторные фильтры третьего

порядка на сосредоточенных элементах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. № 6. С. 37-45.

13. Баскакова А. Э., Тургалиев В. М., Холодняк Д. В. Перестраиваемый полосно-пропускающий фильтр на элементах с сосредоточенными параметрами с независимым непрерывным управлением центральной частотой и шириной полосы пропускания // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2016. № 3. С. 25-32.

14. Роудз Дж. Д. Теория электрических фильтров / пер. с англ.; под ред. А. М. Трахтмана. М.: Сов. радио, 1980. 240 с.

15. Хьюлсман Л. П., Аллен Ф. Е. Введение в теорию и расчет активных фильтров / пер. с англ.; под ред. А. Е. Знаменского. М.: Радио и связь, 1984. 384 с.

16. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров / пер. с нем.; под ред. Н. Н. Слепова. М.: Радио и связь, 1983. 752 с.

Червинский Евгений Наумович - доктор технических наук (2008), старший научный сотрудник (1985), начальник НТО ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург). Автор 87 научных работ. Сфера научных интересов -системы точного времени. E-mail: enchervinsky@simeta.ru

REFERENSES

1. Popov P. A. Raschet chastotnykh elektricheskikh fil'trov [Calculation of Frequency Electric Filters]. Moscow, Leningrad, Energiya, 1966, 216 p. (In Russ.)

2. Jonson D., Jonson J., Moore H. A handbook of active filters. New Jersey, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1980, 128 p.

3. Paarmann L. D. Design and analysis of analog filters: A signal processing perspective. Dordrecht: Springer, 2014, 456 p.

4. Budak A. Passive and active network analysis and synthesis. Atlanta, London: Houghton Mifflin company, 1974, 733 p.

5. Matkhanov P. N. Osnovy sinteza lineinykh elektricheskikh tsepei [Basics of Linear Electrical Circuit Synthesis]. Moscow, Vysshaya shkola, 1978, 208 p. (In Russ.)

6. Kaufman M., Seidman A. Handbook of electronics calculation for engineers and technicians, in 2 vols. Vol. 2, McGraw-Hill, New York, 1988, 288 p.

7. Winder S. Analog and digital filter design. 2nd ed. New York: Elsevier Science, 2002, 450 р.

8. Chervinskiy E. N. Frequency Responses Resistance to Variations of Electric Filter Parameters. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2017, no. 3, pp. 24-38. (in Russ.)

9. GOST Standard 28884-90 (IEC 63-63). Preferred Number Series for Resistors and Capacitors. Moscow, Standardinform, 2006, 13 p. (in Russ.)

10. Chervinskiy E. N. Computation of Transfer Functions of Filters with Equiwave at the Section and Infinite Half-interval Amplitude-Frequency Responses. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2014, no. 4, pp. 13-28. (in Russ.)

11. Znamenskii A. E., Popov E. S. Perestraivaemye elektricheskie fil'try [Tunable Electrical Filters]. Moscow, Svyaz', 1979, 128 p. (In Russ.)

12. Ounrou N. E., Grigoriev E. V. Tuned quasipo-linomial bandstop filters of the third order on the lumped elements. Journal of the Russian Universities. Radioelectronics. 2007, no. 6, pp. 37-45. (in Russ.)

13. Baskakova A. E., Turgaliev V. M., Kholodnyak D. V. A Tunable Lumped-Element Bandpass Filter with Independent Continuous Tuning of Center Frequency and Bandwidth. Journal of the Russian Universities. Radioe-lectronics. 2016, no. 3, pp. 25-32. (in Russ.)

14. Rhodes J. D. Theory of electrical filters, Willey, London, 1977, 224 p.

15. Huelsman Lawrence P., Allen Phillip E. Introduction to the theory and design of active filters, McGraw-Hill. 1980, 384 p.

16. Saal R. Handbuch zum Filterenwuef, AEG - Tele-funken, Berlin, 1979.

Evgeniy N. Chervinskiy - Dr. of Sci. (Engineering) (2008), Senior Researcher (1985 the Head of Department of closed JSC "SIMETA" (Saint Petersburg). The author of 87 scientific publications. Area of expertise: precision time systems. E-mail: enchervinsky@simeta.ru