CC BY
21
AE20 -
32
- 25 f dr1 f dr2f (r2) g (r) \r:
1J2 ^
2 „3
g(r1)/(r2),
>
здесь r< min(r1, r2), r> - max(r1, r2)
2a2 z3/2
2yf2
f(ri) - 2a2 z3/2e zr
g(r) -
W5
aiz7/2r2e
0
0
(11)
Значения AE20 для полупроводников структуры алмаза и цинковой обманки приведены в таблице 1.
Как видно из таблицы величины ДЕ20 для большинства рассматриваемых полупроводников находятся в хорошем согласии с
экспериментом. Однако, в некоторых случаях экспериментальное значение AE20 становится отрицательным, что говорит о том, терм Е0 находится по энергии ниже терма E2. Данное обстоятельство, по-видимому связано с влиянием внутрикристаллического поля на комплекс A0X1, что не учитывалось в расчетах.
Таблица 1 - Значения энергии
^ j расщепления ДЕ20 основного состояния экситона, локализованного на нейтральном акцепторе
Si Ge GaAs CdTe ZnTe GaSb InP
ДЕ20 Мэв (теор.) 0,69 0,18 0,42 1,04 1,02 0,16 0,44
ДЕ20 Мэв (эксп.) -1,4/4/ - 0,43 - - - 0,5/5/
Литература
1. Брандт Н. Б., Кульбачинский В.А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния.-М.:Физматлит, 2005. 631 с.
2. Келдыш Л.В. Глубокие уровни в полупроводниках // ЖЭТФ. 1963. Т. 45. №2. С.364-365.
3. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. - М.: Наука, 1969. 623 с.
4. Бир Г.Л., Пикус Г.Е. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках. - М.: Наука, 1972. 584 с.
5. Venghaus H., Dean P.J. Shallow-acceptor, donor, free-exciton and bound exciton states in high-purity zinc telluride // Phys. Rev. B .1980. V.21. N 4. P.1596-1609.
6. Thewalt M.L.V. Fine structure of the luminescence from exciton and multiexciton complexes bound to acceptors in Si //Phys. Rev. Lett. .1977. V.38. N. 9. P521-524.
References
1. Brandt N. B., Kul'bachinskij V.A. Kvazichasticy v fizike kondensirovannogo sostojanija.-M.:Fizmatlit, 2005. 631 s.
2. Keldysh L.V. Glubokie urovni v poluprovodnikah // ZhJeTF. 1963. T. 45. №2. S.364-365.
3. Ahiezer A. I., Beresteckij V. B. Kvantovaja jelektrodinamika. - M.: Nauka, 1969. 623 s.
4. Bir G.L., Pikus G.E. Simmetrija i deformacionnye jeffekty v poluprovodnikah. - M.: Nauka, 1972. 584 s.
5. Venghaus H., Dean P.J. Shallow-acceptor, donor, free-exciton and bound exciton states in high-purity zinc telluride // Phys. Rev. B .1980. V.21. N 4. P.1596-1609.
6. Thewalt M.L.V. Fine structure of the luminescence from exciton and multiexciton complexes bound to acceptors in Si //Phys. Rev. Lett. .1977. V.38. N. 9. P521-524.
Прохорова О.В.
Доктор технических наук, доцент, Самарский архитектурно - строительный университет.
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАННЫХ ОБЪЕКТОВ
Abstract
В статье рассматриваются два подхода к решению задач оптимального управления: на основе решения уравнения Риккати и на основе моделирования процессов в комплексной области. На примере одного объекта выполнен поиск оптимальных управлений и показаны сильные и слабые стороны рассматриваемых подходов.
Ключевые слова: оптимальное управление, уравнение Риккати, система автоматического регулирования, передаточная функция, характеристическое уравнение.
Prokhorova O.V.
Dr.Sci.Tech, docent, Samara state university of architecture and civil engineering.
SYNTHESIS OF OPTIMAL CONTROLS FOR GIVEN OBJECTS
Abstract
The article describes two approaches of the optimal control tasks solution. First of that is based on the solution of the Rikkati equation. Second one is based on the processes modelling in the complex field. The optimal control by two methods was determined for the one object. Powerful and inefficient sides of both approaches were shown.
Keywords: optimal control, Rikkati’s equation, automatic control system, transfer function, characteristic equation.
Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого, описывается в первом приближении уравнением [1]:
x(t) = A * x(t) + B *u(t), x(t0) = x(0), t0 = 0. (1)
Здесь А и В - заданные матрицы чисел размеров n*n и n*m соответственно; x(t) - вектор состояния (вектор фазовых координат) размерности n*1; u(t) - вектор управления размерности m*1. Рассмотрим критерий:
J = f [xT (t)* R * x(t) + uT (t)* R2 * u (t)]dt. (2)
0
14
где R1 и R2 - положительно определенные симметрические матрицы размеров n х n и m х m соответственно. Тогда задача определения u(t), t0 < t < да , при котором критерий минимален, называется задачей детерминированного линейного оптимального управления для регулятора с постоянными параметрами.
Закон управления определяется соотношениями:
u(t) = -F * x(t), F = -R-1* BT * P (3)
Установившееся решение Р является решением алгебраического уравнения Риккати:
0 = r-P * B * R-1 * BT * P + AT * P + P * A (4)
Рассмотрим применение выше изложенного для решения задачи стабилизации угловой скорости.
Пусть объект состоит из двигателя постоянного тока, управляемого входным напряжением p(t) с угловой скоростью вала ад. Система описывается скалярным дифференциальным уравнением состояния [2]:
l(t) = -a*£(t) + (* p(t), £(Х) = ®i -fflo, £(w) = 0,
a, (- const.
В качестве критерия оптимальности будем рассматривать критерий вида:
J = |[xT (t)*1* x(t) + р * p2(t)]dt
?0
Проведем параллель в обозначениях (1) - (6) и (5) - (6), получим: x(t) = ад; u(t) = ад ; A = -a; B = ( ; R1 = 1; R2 = р.
(5)
(6) (7)
Подставим (7) в (4), получим:
0 = 1
(2
* р2
Р
2a* P
Из (8) определим Р, как корень квадратного уравнения. Будем иметь:
P = —
1,2 (2
(
V
-a±la + —
(8)
(9)
Для дальнейших расчетов возьмем один из корней:
P = —
Г l 2 + (
-a +
1 i р)
Определим матрицу F из (3). Будем иметь:
1-. р(
F = -- (*-Ц-
Р (
(
2 (
-a + A a2 + —
2
V
—
F = -—
(
2 (
-a + A a2 + —
2
—
Таким образом,
K) = - F ) = (
(
2 (
-a + A a2 + —
2
—
Подставим (12), (11) в (5). Будем иметь:
• 1 ^ Г" f(t) =-a* £(t) + (* -(
2 (
a- a + —
V Р
).
:^(t),
Ь) =-2* Ja2 + — 4(f).
(13)
(10)
(11)
(12)
Система, поведение которой описывается уравнением (13), является асимптотически устойчивой, т.к. получена с учетом минимума функционала (2).
Рассмотрим другую методику решения задачи синтеза оптимального управления для заданного объекта на основе моделирования процессов в комплексной области, предложенную автором [3] и сравним оба подхода между собой. Запишем уравнения (5), (12) в стандартном виде:
x(t) = -a * x(t) + ( * u(t),
u(t) = - F *(x(t) - g(t)),
где g(t) - задающее воздействие для управляемого параметра. Обозначим разность g(t) - x(t) через еД), что
15
представляет собой ошибку в работе устройства, которую необходимо компенсировать вырабатываемым управляющим воздействием. Применим к функциям преобразование Лапласа, получим:
5 * X(s) = -а * X(s) + Р * U(s), (15)
U (s) = - F *( E (s)).
Из первого уравнения выразим X(s). Будем иметь:
X (s) = .
s + а
Представим схему системы автоматического регулирования (САР) в виде:
Передаточная функция объекта регулирования имеет вид:
OP Р W (s) = ^—. s + а
В качестве регулятора возьмем безынерционное звено с передаточной функцией:
РГ
W (s) = kv
Задача синтеза стабилизирующего управления предполагает определение значения k1, при котором выполняется первая теорема Ляпунова. На этом и будет строиться решение. Для этого найдем передаточную функцию САР, получим:
САР В
Wg-x (s) = k) * ~~
1 +
К* Р
s + а
К* Р
s + а |_ s + а J s+а+ k1*Р
Для асимптотической устойчивости САР необходимо, чтобы корень характеристического уравнения:
s + а + k1* Р = 0
был отрицательным. Это выполнимо, если
а + kj * Р > 0,
, а
k >------,
Р
а, Р > 0. а, Р- const. (16)
Поскольку по характеристическому уравнению уже было принято решение для обеспечения устойчивости САР воспользуемся
а
им и подставим вместо к1 величину - — в U(t), будем иметь:
а
U (t) = -kj* e(t) = - Р e(t).
Подставим (17) в (15), получим:
(17)
x(t) = -а * x(t) + Р * u(t),
u(t)=- аe(t).
(18)
Откуда следует, что для стабилизации управления заданным объектом достаточно, применив схему управления (Рис.1) с регулятором в виде безынерционного звена с коэффициентом передачи k1, обеспечивать уравнение динамики вида:
x(t) = -а * x(t) - а * e(t) = -а *(2* x(t) - g(t)). (19)
Система, поведение которой описывается уравнением (19), является асимптотически устойчивой, т.к. уравнение получено с учетом выводов первой теоремы Ляпунова. Сравнение результатов двух независимых методик синтеза оптимального управления на данном примере показало, что методика на основе моделирования процессов в s - области не требует алгебраических операций с матрицами и векторами, что является трудоемким процессом, кроме того расчеты выглядят наглядными и простыми.
Литература
1. Файзрахманов Р.А., Липатов И.Н. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Теоретические основы автоматизированного управления». Пермь : Перм. гос. ун-т, 2006.
2. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989, с. 388-393.
3. Прохорова О.В. Оптимизация и синтез многомерных САУ на основе моделирования процессов в s - области. Монография. -М.: АПКиППРО, 2010. - 158 с.
References
1. Fajzrahmanov R.A., Lipatov I.N. Metodicheskie ukazanija k prakticheskim zanjatijam po kursu «Teoreticheskie osnovy avtomatizirovannogo upravlenija». Perm' : Perm. gos. un-t, 2006.
16
2. Afanas'ev V.N., Kolmanovskij V.V., Nosov V.R. Matematicheskaja teorija konstruirovanija sistem upravlenija. M.: Vysshaja shkola, 1989, s. 388-393.
3. Prohorova O.V. Optimizacija i sintez mnogomernyh SAU na osnove modelirovanija processov v s - oblasti. Monografija. - M.: APKiPPRO, 2010. - 158 s.
Старожилова О.В.
Кандидат технических наук, доцент, Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ГИБКИХ МНОГОСЛОЙНЫХ
ОБОЛОЧЕК
Аннотация
Исследуется математическая модель деформирования многослойных оболочек при простом и сложном нагружении, позволяющая единообразно представлять на основе деформационной теории А.А.Ильюшина напряженно- деформированное состояние. Модель учитывает реальный вид диаграммы и позволяет исследовать деформирование гибких неоднородных оболочек переменной жесткости при поперечном, продольном и комбинированном нагружении. Разработаны методы решения больших систем нелинейных уравнений, основанные на процедуре общей итерации, построены алгоритмы, использующие комбинации различных методов.
Ключевые слова: математическое моделирование, упруго- пластическое деформирование оболочек, вторично пластические деформации, напряженно-деформированное состояние гибких оболочек.
Starozhilova O.V.
PhD Sciences, assistant professor, Povolzhskiy state University teleclmmunications and Informatics MODELING OF THE STRESS-STRAIN STATE OF THE FLEXIBLE MULTILAYER MEMBRANES
Abstract
Paper, the mathematical model of deformation of laminated shells under simple and complex loading, allowing uniformly present on the basis of the deformation theory A. A. Ilyushin stress - strain state. The model takes into account the real appearance of the chart and allows you to explore the deformation of a flexible heterogeneous membranes of variable rigidity, longitudinal and combined loading. Developed methods for solving large systems of nonlinear equations based on the General procedure iteration algorithms were constructed using combinations of different methods.
Keywords: mathematical modeling, elastic - plastic deformation of shells, recycled plastic deformation flexible membranes.
Математическая модель решения дважды нелинейных задач деформирования гибких неоднородных оболочек использует пятимерное девиаторное пространство с последующим итерационным процессом. Рассматриваются неоднородные многослойные оболочки переменной толщины и кривизны, удовлетворяющие условиям текучести Мизеса в каждом из слоев модели. Процесс нагружения реализован компонентами в девиаторных пространствах А.А.Ильюшина: пространства напряжений О , деформаций
Э , деформаций срединной поверхности Э , изменений кривизн срединной поверхности % . Напряженно-деформированное
состояние определяется симметричными тензорами напряжений.
Связь между векторами напряжений и деформаций для применяемой теории пластичности имеет вид О = NФ + q, где
_ _ e
N = 2G, q = 0 или N = 2G , q = 0 - соотношения теории малых упруго-пластических деформаций, G = —-------------- -
2 (1 + ц)
модуль сдвига, E - модуль упругости, Gs - секущий модуль к диаграмме деформирования.
В теории тонких оболочек напряжения, действующие в нормальном сечении, заменяются статически эквивалентной системой усилий и моментов, приложенных к сpединной повеpхности.
Расчет упруго-пластических деформаций в оболочках выполняется последовательными приближениями по вычисляемым в сечениях перемещениям и усилиям. Силовые факторы: усилия и моменты, - определяются интегрированием напряжений по толщине.
С учетом принятой схемы дискретизации по пространственным переменным система pазностных уравнений представим в виде:
Lh U h f h
где Lh = L1h + L2h , L1h , L2h
матрицы - pазностный аналог линейных и нелинейных членов уравнения равновесия,
u h = k >x i g Qh } - вектсф pазмеpности 3Nh, Nh - число узлов сеточной области Qh , f - известный векк^.
Процесс нахождения решения сводится к двухступенчатому итеpационному методу, разработанному автором:
B, (un+' - uh) = -r. (L„ un- f,,)
1 Jxj 1 1 JS 1
Bhu = B2 u2
i wfco 1 u3
гдев,=Л, ( E - Тщ) , B2
Л, (E - Tm2)"‘, B3
Л3 (E - T„ )
1
, E - тождественный опеpатоp, Tm - опеpатоp
сокращения погpешности за mk шпаций в методе пеpеменных набавлений би pешении уpавнения Лk hZk = qk, k = 1, 2, 3 .
В двухступенчатом методе используется оптимизация итерационного процесса, основанная на спектральных свойствах одномерных разностных операторов. Границы спектра находятся по специальному алгоритму [1,с.368].
Выявлены особенности упруго-пластического поведения оболочек, связанные с несимметрией нагрузки, граничных условий, распределением толщин. Построенная математическая модель учитывает сжимаемость материала и реальный вид диаграммы деформирования. Дано решение широкого класса несимметричных задач упруго-пластического изгиба неоднородных оболочек переменной жесткости.
Исследовано влияние на напряженно-деформированное состояние оболочек параметров геометрии, переменности толщины, граничных условий, характера нагружения, свойств материала, механических свойств слоев в многослойных оболочках.
17
