CC BY
17
Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 https://naukovedenie.ru/
Том 9, №5 (2017) https ://naukovedenie. ru/vo l9-5.php
URL статьи: https://naukovedenie.ru/PDF/65TVN517.pdf
Статья опубликована 30.10.2017
Ссылка для цитирования этой статьи:
Астахова А.Я. Модель расчета тонких оболочек за пределом упругости // Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9, №5 (2017) https://naukovedenie.ru/PDF/65TVN517.pdf (доступ свободный). Загл. с экрана. Яз. рус., англ.
УДК 539.3
Астахова Августина Яковлевна1
НИУ МГСУ «Национальный исследовательский московский государственный строительный университет»
Россия, Москва Старший преподаватель Кандидат технических наук, доцент E-mail: [email protected] РИНЦ: https://elibrary.ru/author_profile.asp?id=677776
Модель расчета тонких оболочек за пределом упругости
Аннотация. В работе представлена модель расчета тонких изотропных оболочек за пределом упругости. Определение напряженно-деформированного состояния в оболочках основано на теории малых упругопластических деформаций и методе упругих решений. Решение строится на основе уравнений равновесия и геометрических соотношений линейной теории тонких оболочек в криволинейных координатах и соотношений упругости теории малых упругопластических деформаций. Деформации на основании гипотез Кирхгофа-Лява выражаются в виде первых двух членов разложения. Для заданного соотношения между интенсивностью деформаций и интенсивностью напряжений физические соотношения представлены в виде разности упругой составляющей и функций, выражающих физическую нелинейность материала. Эти функции в разрешающих дифференциальных уравнениях являются добавочными слагаемыми к компонентам внешней нагрузки. В первом приближении метода упругих решений добавочные функции полагаются равными нулю и определяются по величинам деформаций для второго приближения, величины деформаций второго приближения служат для определения добавочных функций для третьего приближения и так далее. Представлены функции и зависимости, которые позволяют определить области распространения пластических деформаций по толщине оболочки. Приводится подтверждение сходимости метода упругих решений на примере расчета сферической оболочки под действием кольцевой нагрузки, приложенной в середине меридиана.
Ключевые слова: тонкие оболочки; изотропный материал; теория оболочек; криволинейные координаты; уравнения равновесия; геометрические соотношения; соотношения упругости; упругопластический; оболочка вращения
Введение
Среди пространственных конструкций большое место занимают конструкции в форме оболочек. Теория расчета напряженно-деформированного состояния оболочек представлена в
1 117036, Москва, Проспект 60-лет Октября, дом 10/1, кв. 12
трудах [4], [5], [6] и многих других научных работах. Практическая необходимость расчета за пределом упругой работы материала вызвана тем, что в местах локальных воздействий в тонкостенных конструкциях возникают значительные напряжения, превышающие предел пропорциональности материала.
В настоящей работе рассматривается модель численной реализации расчета тонких изотропных оболочек, материал которых работает за пределом упругости. Определение напряженно-деформированного состояния тонких оболочек основывается на теории малых упругопластических деформаций и методе упругих решений А. А. Ильюшина [6]. В трудах И. С. Цуркова [8], [9] метод получил теоретическое обоснование и развитие для расчета тонких оболочек.
Применение ЭВМ в расчетной практике в дальнейшем [10], [1], [2], [3] позволило получить решения при действии не только распределенных по поверхности нагрузок, а также распределенных вдоль линии или распределенных на весьма малом отрезке, практически сосредоточенной силы и подтвердить теоретические доказательства сходимости метода упругих решений.
Рисунок 1. Положительные направления проекций внешней нагрузки и компонентов внутренних усилий (составлено автором)
При построении решения основными соотношениями являются уравнения равновесия и геометрических соотношения линейной теории тонких оболочек в криволинейной системе координат а и в [7]:
Уравнения равновесия:
Метод
Н
д(Т1В) 1 д(5А2) дВ да А дв да
дВ 2 дА
(1)
д(Т2А) 1 д(БВ2) дА дв +В да ар
др ^ да
дА 2 дВ
Я, да
1
д(М2А)
1 д (1
АВ да [А
дв дв д(М1В)
дА (дНВ\
+ АВЦ2 = 0,
да
1 д (1 + АВ ~др[В
д(М2А) дА
2--Мл +-
дв дв 1 В
дБ 1д(НА2) ~даМ2+~А дв 1д(НВ2)
+
да
Т1 Т2 -Т1-Т2+АВ"3 = 0'
На кромках бесконечно малого элемента срединной поверхности действуют (рис. 1), 71, 72 - продольные усилия, 7Ъ, Т21 - сдвигающие усилия, Ql, Q2 - поперечные силы, М1, М2 -изгибающие моменты, Н - крутящий момент и ^1, q2, qэ - проекции внешней распределенной по поверхности нагрузки на направления единичных векторов п.
При этом поперечные, сдвигающие усилия и крутящий момент связаны следующими зависимостями:
1 д(НА2)'
1
я1 = —
АВ
д(М1В) дВ
V 1ТМ2+~Л-
да да 2 А
1
02 = — В
дв
д(М2А) дА 1д(НВ2)
2--Мл +-----
дв дв 1 В да
Н Н
Т12=$ + —,Т21=5+ — К1 К2
(2)
(3)
Геометрические соотношения:
К1
*2
1 ди 1 дА ю
£1= А да + АВ ~д/3
_1 ду 1 дВ w
£2= В АВ да и + Р2
У12 = * ±(1) +
'12 А да\в) В др\А/
1 д /1 д]^ и\ 1 дА/1 д]^ у\
= -А ~да - Т^- АВ др\В ~д$ - Н^Г
1 д д]к у^ 1 дВ д]к и'
(4)
*12
В др\В др _ 1 ( д2^
И2/ АВ да\А да И 1 дА дw 1 дВ ды\
АВ \дадр -А да - В да ~да) +
1 А д /и\ 1 В д /У\ + В ~дВ\А)+ ~да (яJ,
),
1
^Вдр^А' Я2А да\В>
где: А, В - коэффициенты Ляме, и, и, w - проекции полного вектора перемещений, 81, 82, у 12 - относительные линейные и угловая деформация, Х1, Х2 - изгибные деформации, Х12 -деформация кручения, Я1, Я2 - радиусы главных кривизн.
Полная система уравнений получится с присоединением к системам уравнений (1) и (4) соотношений между деформациями и усилиями.
Деформации изотропной оболочки 8а, 8р, уар, в слое, расположенном на расстоянии г от срединной поверхности, на основании гипотезы Кирхгофа-Лява могут быть представлены в виде первых двух членов разложения по степеням г:
£а=£1+
Ер = £2+ К2г
(5)
Тар = У12 + 2ХХ2^
В теории малых упругопластических деформаций [6] деформации и напряжения связаны следующими соотношениями:
(6)
где: у - соотношение между интенсивностью напряжений ог- и интенсивностью деформаций 8г-:
1 ( 1
Еа=~ф (Оа -
1 ( 1
ЕР=Т
3
Уар = ф тар,
О";
С1
В результате соотношения между напряжениями и деформациями принимают вид:
1
(7)
оп
Оп
4
3 Ф
4
3 ф
£1 + 2£2 + 21
£2 + 2£1 +
{"2+2*1).
(8)
^Ф(е12 + 2x^2)
В уравнениях равновесия теории тонких оболочек (1) вместо напряжений введены их интегральные характеристики: продольные и сдвигающие усилия и изгибающие, крутящие моменты. Соотношения (8) позволяют выразить усилия через деформации в следующем виде:
п
Т1 = = 4 (£1 +1Е2)к + + 2Х2)12
-2 п
Т2 = орйг = 4 {£2 +1Ег)}1 + {я2 +
-2 ' п
Г2 1
Я = \ = — (.¥12^1 + 2К12]2),
-2
п
1 = = -4 {е1+1Е2)12 +
-2 п
^2 = = -4 {£2 +1Ег)}2 +
(9)
н= ¡\харгй1 = -(У12к + 2К12}г)
2
В формулах (9) к обозначена толщина оболочки, г - расстояние от срединной поверхности вдоль нормали к срединной поверхности, функции /1, /2, /з представляют собой переменные вдоль срединной поверхности жесткости оболочки, они определяются по формулам:
Л = ь = ]3 =
(10)
Отметим, что для упругой области функция у представляет модуль упругости материала у = Е и значения жесткостей оболочки равны /1 = Ек, /2 = 0, /3 = Екъ/12. При этом внутренние усилия по соотношениям (9) переходят в соотношения упругости при коэффициенте Пуассона равном которые обозначим 11,1г, Sl, т\, т2, ку.
(11)
11= 51 + 1^е2),
12= 3Ек{е2+-2е1), 1
= з Ек у 12
Ш2 = - ^К3^*^),
= —Ек3кл?, 1 18 12
Если известна зависимость между интенсивностью напряжений ог- и интенсивностью деформаций 8г-, то согласно [6] интенсивность деформаций определяется по формуле (13):
2
Ъ = Ф(ед,
€>= — VРе + 21Рек + 12Рю,
1
где: РЕ = е^ + е^ + г^+-у^2,
11 Рек = £1*1 + ^2*2 +-(£1*2 + £2*1) +-¥12X12,
2
Рк=х\+ К1К2 +к\+ п222-
(12)
(13)
(14)
При этом жесткости (10) выражаются в виде нелинейных функций от деформаций.
В результате, в методе упругих решений в выражениях внутренних усилий выделены упругая и пластическая составляющие, полученные на основе выражений (9) и (11):
где функции, формулам:
Т1 = 11- АТЪ Т2 = Ъ- 2, 51 = -52 =51- №1, М1=т1- АМ1, М2 = т2- АМ2, н1 = -Н2 = К1- АНЬ
(15)
отражающие физическую нелинейность материала, определяются по
АТ1 = а^1 + а2т1 АТ2 = а^2 + 0-2Ш2 Д51 = а151- а2к1 АМ1 = а3т1 + а411 АМ2 = а3т2 + а412 АН1 = а3к1 + а4з1
12]2 „ 12]3 ]2 где: ал = 1-—,а2=—^, а3 = 1---3, а4= —
М 1 ЕП' 2 ЕП2 ' 3 ЕП2 ' 4 ЕП
(16)
(17)
п
п
Обобщая соотношения (15), получили, что общий тензор внутренних усилий (Т) можно представить в виде разложения его на упругий (1) и тензор дополнительный (ЛТ), отражающий физическую нелинейность задачи:
(Т) = (1) - (ЛТ) (18)
При подстановке разложения (18) в уравнения равновесия, правая часть системы получается состоящей в виде двух слагаемых:
Ь1Ч= -АВЧ1+Ь1(АТ),
12Ч = -АВЧ2 + 12(АТ), (19)
Ь3ч= -АВЧз + Ьз(ЬТ)
где: ql, q2, qз - проекции компонентов внешней распределенной по поверхности нагрузки, Ь1(АТ), Ь2(АТ), Ь3(АТ) - компоненты, отражающие физическую нелинейность.
Таким образом, при решении задачи методом упругих решений полная система уравнений состоит в виде следующей суммы систем уравнений.
При подстановке в уравнения равновесия функций внутренних усилий в форме (15) в правой части системы уравнений равновесия появляются слагаемые, выражающие физическую нелинейность материала тонкой оболочки. В каждом приближении система (1) имеет вид:
д(Т1ПВ) _ 1 д(БпА2) дВ
1
1
да
дШщВ)
+ А
2 дА
дВ /дНпА\
д(Т2ПА) _ 1 д(БпВ2) дА
да
дв даТ2п +Я2двНп +
дНпА\ , Л
= -АВЧ1П+Ь1(АТ)Г
2 дВ
дв д(М2ПА)
+ В
дв
1 д (1 АВ да{А
да
/дНпВ\
+2Ш
д(МщВ)
дА -двМ1П
-~двТ1п+к!~даНп +
дНпВ\ , л
= -АВЧ2П + Ь2(АТ)г
(20)
да
дВ
+
1 д(НпА2)
А дв
+
1 д (1 + АВ др\Й
д(М2ПА) дА 1д(НпВ2) дв дв 1п В да
Т
-1Г-:^=-АВЧзп+13(АП К1 К2
Т-
2п
Геометрические соотношения в каждом приближении определяются по формулам:
1 дип 1 дА
£1п=А ~д^+ АВ др Уп + Т1' 1 дуп 1 дВ
£2п=в ~др + ЛВ да Пп+Т2
П2п= А да(в)+ ВдАл),
А да \ В
1 д ¡1 д^ и
к1п
= -1 ±(1
В др\ А
да И1) АВ др(В др К2У
А да\А да Я
1 д (1 дwn
К2п = - о
АВ др \В др 1 дВ Ц д^
__д£ /1 щл
В др(В др АВ да(А да Я1)'
Я2' я.
(21)
к12п
= -и
д2ж„ 1 дА 1 дВ д^п
АВ\дадр А др да В да да
+
+
1 А О Мп\ 10 0 /Уп\
Т1 В ~др (Т) + Т2~А да (~В)
Физические соотношения принимают вид:
(22)
Tin — tin — ATin, Т2п — 12п — К!2п,
Sin — —S2n — sin — ASin, Mm — min - kMin, M2П — m2n - &M2n, Нщ — ^2n — hin — AHin, где: tin, t2n, sin, min, m2n, hin - представляют собой внутренние усилия и моменты для упругой оболочки, которая имеет те же деформации, что и рассматриваемая упругопластическая оболочка,
4
Ь П I с.
In
tin — 4^h (£in + i £2n^ ^2n — 4^h (£2n + ^^п^
(23)
51п — ^Ек У12п — - \Екъ (к1П + \пп2), ™2п — - \Ек (к2п + \^1т), к1п — —ЕЬ?К12П.
Функции, отражающие физическую нелинейность материала, определяются по формулам:
АТ1П — а1ПгХп-1 + <Х2пт1,п-1
АТ2П — а1п^2,п-1 + а2пт2,п-1 ^1п — а1п51п-1 — а2пк1,п-1 1П — ^3пт1,п-1 + а4п^1,п-1 &М2п — &3пт2,п-1 + а4п^2,п-1 АН1 — <%зк1,п-1 + М4$1,п-1
где: ain — 1-]-^,а2П h
i2hr
, а3п — 1
12}зп _ ]2п
Eh2 ' U4n — Eh
Eh2
_ h h
Jin — Jl^ndz, n — J2^nzdz, J3n — J2^nz2dz
-2 -2 -2 . ai,n-i
Фп —
£i,n-i
2
£i,n-i — ^Pe,n-i + 2zPsx,n-i + z2Px,n-i
Pe,n-i — £l,n-i + £i,n-i£2,n-i + £2,n-i + Yi2,n-ii _ 1 Psx,n-i — £i,n-iKi,n-i + £2,n-iK2,n-i + 2(ei,n-iX2,n-i + £2,n-iKi,n-i) +
+Yi2,n-iKi2,n-i Px,n-i — xl,n-i + Ki,n-iK2,n-i + x2,n-i + x12,n-i
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
Используя метод упругих решений, в первом приближении при п = 1 получаем значения компонентов напряженно-деформированного состояния, соответствующие упругой стадии работы материала, при этом компоненты (24) полагаются равными нулю. Значения деформаций первого приближения позволяет определить значения функций (24) для второго приближения, величины деформаций второго приближения служат для определения добавочных функций для третьего приближения и так далее. Достижение требуемой точности для значений компонентов напряженно-деформированного состояния тонкой изотропной оболочки требует выполнения п числа приближений.
Функции, выражающие физическую нелинейность задачи (22), не равны нулю в точках образования пластических деформаций. Соотношения (28), (29) позволяют определить области распространения пластических деформаций по толщине оболочки.
Например, зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для случая линейного упрочнения выражается следующими линейными функциями:
Рисунок 2. Зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для случая линейного упрочнения материала
(составлено автором)
Обозначены: а, 81 - значения интенсивности напряжений и интенсивности деформаций в произвольной точке, о3 , е3 - интенсивность напряжений и интенсивность деформаций на границе между упругой и пластической областями.
При ^ < г5о 07 = Ееь (30)
г, > Ч « = ^ [1 - Я (1 -*)]. где Я = = ^ (3,)
при
Обозначим минимальное значение функции интенсивности деформации £[ по толщине оболочки И - £1 , значение интенсивности деформаций на внутренней поверхности (г = -И/2) - £1 , значение интенсивности деформаций на внешней поверхности (г = И/2) - е^ , эти функции определяются по следующим формулам:
г- = ±1Р-&
4 ^ЗГ к
кРек +^4Рк для 7 = - И / 2
= ^]Р£ + ЬРек+^Рк для г = И / 2
(32)
(33)
(34)
Если минимальное значение функции интенсивности деформаций располагается в пределах толщины пластины И, на расстоянии г0 от срединной поверхности при этом пластические деформации располагаются вблизи внешней и внутренней поверхностей (рис. 3), или со стороны одной из поверхностей, тогда величины жесткостей определяются из следующих соотношений.
£
2
Рисунок 3. Области пластических деформаций, расположенные вблизи внешней и внутренней поверхностей оболочки (составлено автором)
ПРИ *('о —- *
Л
(35)
к —
24К
Л РЕК 3
I _ 3-Гз с+^~з р?к 2 Рк ^Рх
(36)
3 Р
к} I с
В°- 2 ~Р2А°'
где А0 — Г '2 а1йе1,
Во — Г
•о
Ей а1й£1
Ч
1 е2- е10
+ I
е12 а^ь
Е1° 1 е2- 4
(37)
Со— [ °ь]Е1 - £1 й£г + [ ъ]^ - £1 ^
^ ■'Чо ^
Если минимальное значение функции интенсивности деформаций е^ располагается за пределами толщины пластины И, на расстоянии го от срединной поверхности (рис. 4а, б), при этом пластические деформации располагаются вблизи внешней (рис. 4а) или внутренней поверхности оболочки (рис. 4б), тогда величины жесткостей определяются с помощью коэффициентов А\, Б\, С\.
а б
Рисунок 4. Области пластических деформаций при минимальном значении функции интенсивности деформаций е^ расположенном за пределами толщины пластины е^: а - пластические деформации располагаются со стороны внешней поверхности оболочки, б - пластические деформации располагаются со стороны внутренней поверхности оболочки (составлено автором)
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» Том 9, №5 (сентябрь - октябрь 2017)
https://naukovedenie.ru [email protected]
(Р \ h ( Р \ h
z0 =--—) > - или (z0 =--—) <--константы A0, B0, C0 в выражениях (36)
Р%' 2 V Р^ / 2
заменяются на A1, B1, C1:
Г'2
Ai = А0 = I aidEi,
Jeh
% — Eh Г£'2 atdet
-U Zu \ £
£'2 £il]JEh J£i-Eio
(38)
r ^2 - £h Г2 П Tw C = 1-г I ai \ef — £? dei
1 k —ei |Л. 4 i i0
1 i2 ii\ ь11 '
Результаты
Исследование сходимости полученных решений было проведено численным методом [1] при котором сравнивались каждые десятые приближения для всех разрешающих функций.
Р-1(Г3
0.375
0.250
0.125
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Uz
Рисунок 5. Диаграмма нагрузка - вертикальное перемещение P - Uz (составлено автором)
Приведены результаты исследования для сферической оболочки с углом полураствора а0 = 900, отношением радиуса кривизны оболочки R/h = 100, при действии кольцевой нагрузки, приложенной в середине меридиана. На рис. 5 представлена диаграмма P - Uz (нагрузка -вертикальное перемещение) в зависимости от числа приближений. Рассматривается сечение под точкой приложения нагрузки, в области появления пластических деформаций. Материал -сталь, модуль упругости материала E = 2.1-105 МПа, диаграмма с линейным упрочнением при X = 0.95. На основании полученных зависимостей получается, что упругое решение пригодно для нагрузки до P/Eh ~ 0.15-10-3. Для достижения точности ц = 0.1 % при нагрузках до P/Eh ~ 0.2-10-3 требуется 10 приближений, для нагрузок P/Eh ~ 0.25-10-3 - порядка 20-30 приближений, в случае больших нагрузок P/Eh > 0.35^ 10-3 - порядка 100 приближений.
Расчеты показали, что с ростом нагрузки необходимое число приближений для достижения требуемой точности возрастает. Для диапазона нагрузок, при которых теория малых упруго пластических деформаций становится не справедливой, метод упругих решений сходится слишком медленно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Астахова А. Я. Расчет упругопластических оболочек вращения при действии упругопластических нагрузок, МТТ. 1985. №4. С. 147-152.
2. Астахова А. Я., Леонтьев А. Н. Пластические деформаций в тонких замкнутых и кольцевых сферических оболочках. М.: МГСУ, 2000. Ч.1, 141-144 с. Строительные конструкции XXI века: сб. материалов, 21-23 ноября 2000 г., ч. 1,2. М.: Изд-во МГСУ, 2000.
3. Astakhova A., Plastic deformations in thin rotational shells, 01016, Published online, 28 November 2016, Number of page(s) 7. Matec Web Conf. V. 86, 5th International Scientific Conference: "Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education", Section 1 Structural Mechanics. 2016. http://dx.doi .org/10/1051 /Matecconf/20168601016.
4. Власов В. З. Общая теория оболочек, М.: Изд. АН ССР, 1962. 520 с.
5. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек, М.: Наука, 1976. - 512 с.
6. Ильюшин А. А. Труды (1946-1966). В 2-х т. Т.2 Пластичность, М.: Физматлит, 2004. - 3,9 МБ.
7. Основы теории упругих тонких оболочек [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 15.03.03 Прикладная механика, изучающих дисциплину «Теория пластин и оболочек» / Московский государственный строительный университет; А. А. Горшков, А. Я. Астахова, Н. Ю. Цыбин. - Учебное электронное издание. - Электрон. текстовые дан. - Москва: МГСУ, 2016. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM): цв. - ISBN 978-5-72641314-3: Загл. с этикетки диска http://lib-04.gic.mgsu.ru/lib/2017/8.pdf.
8. Цурков, И. С. К вопросу об интегрировании уравнений теории неупругих тонких оболочек Сборник трудов МИСИ им. В. В Куйбышева, №47, М., 1965. С. 3-16.
9. Цурков, И. С. Определение жесткостей упруго-пластической оболочки Сб. трудов МИСИ им. В. В Куйбышева, №47, М.: 1965. С. 17-23.
10. Численное решение краевых задач статики ортотропных слоистых оболочек вращения на ЭВМ типа М-220 / Григоренко Я. М., Беспалова Е. И., Василенко А. Т. и др. // АН УССР Институт механики, метод. пособие, К.: Наукова думка, 1971. 152 с.
Astakhova Avgustina Yakovlevna
Moscow state university of civil engineering, Russia, Moscow
E-mail: [email protected]
The model of calculation of thin shells beyond the elastic limit
Abstract. The paper focuses on the model of calculation of isotopic thin shells beyond the elastic limit. The definition of the stress-strain state in the shells is based on small elastic-plastic deformation theory and the method of elastic decisions. The decision is based on equilibrium equations and geometric relations of the linear theory of shells in curved coordinates and the ratio of the elasticity of small elastic-plastic deformation theory. The deformations based on Hirchhoff-Lave hypothesis is expressed in the form of two first power series expentions. The physical ratios for the specified ratio between the intensities of the deformations and the intensities of the stress are presented in the form of the difference of elastic component and the functions expressing the physical nonlinearity of the material. The functions in resolving differential equations are incremental components to external load components. In the first order of smallness of the method of elastic decisions, incremental functions are concerned to be equal to zero and are determined by means of deformation values for the second order of smallness. Deformation values of the second order of smallness serve to the determination of incremental functions for the third order of smallness etc. The functions and the relations afforded to determine the range of plastic deformations according to the thickness of the shell are presented. The conformation of the convergence of the method of elastic decisions by the example of the spherical shell boundary conditions under the action of the radial loads applied to the middle of the Meridian is provided.
Keywords: thin shells; isotopic material; shells theory; curved coordinates; equilibrium equations; geometric relations; the ratio of the elasticity; elastic-plastic; the shell boundary
