Пластические деформации в тонких сферических оболочках Текст научной статьи по специальности «Физика»

4/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ В ТОНКИХ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ

THE PLASTIC DEFORMATIONS IN THE THIN ROTATION

SHELLS

А.Я. Астахова, А.И. Леонтьев

A.Ya. Astakhova, A.N. Leontiev

ГОУ ВПО МГСУ

В работе излагается метод расчета оболочек вращения, материал которых работает за пределом упругости. Исследуется сходимость метода упругих решений и области появления пластических деформаций.

This paper presents a method of calculating shells of revolution, the material which is working beyond the elastic limit. We study the convergence of the method of elastic solutions and field occurrence ofplastic deformations.

Работа посвящена расчету тонких изотропных оболочек вращения постоянной толщины при действии симметричных и несимметричных нагрузок, материал которых работает за пределом упругости. Рассматриваются оболочки длинные и короткие, замкнутые и кольцевые с различными условиями опирания по контуру. Вывод основной системы дифференциальных уравнений основан на линейной теории оболочек с учетом гипотез Кирхгофа-Лява и физических соотношений теории малых упругопла-стических деформаций с использованием метода упругих решений [1,2].

Полагается, что срединная поверхность оболочки является поверхностью вращения относительно оси z без особых точек за исключением граничных, где особенность допускается и её образующая является достаточно гладкой кривой, кривизна которой мала по сравнению с 1/h. На рисунке 1 обозначены:

0 - азимутальный угол в горизонтальной плоскости,

S — длина дуги вдоль меридиана, q - расстояние по нормали к срединной поверхности.

На основании линейной теории и гипотез Кирхгофа-Лява деформации представлены в виде первых двух членов разложения по степеням q, т.е. без учета величин выше второго порядка малости.

Напряженно-деформированное состояние рассматриваемых тонких оболочек определяет-

Рис. i

ся с помощью метода упругих решений, основанном на теории малых упругопласти-ческих деформаций. И.С. Цурков разработал предложенный A.A. Ильюшиным метод упругих решений применительно к расчету оболочек. В настоящей работе все обобщенные усилия представлены в виде разности усилий, возникающих в линейно-деформированной конструкции N и добавочных усилий А, учитывающих физическую нелинейность материала:

N = N-д. (1.1)

Разрешающая система дифференциальных уравнений выведена с использованием уравнений равновесия, геометрических соотношений линейной теории [1] и физических соотношений теории малых упругопластических деформаций [2]:

17

<3j = EEj , £; <£.,

CT; = ЕВ,

1

( £0 ^ 1

, о . E - E1 (1.2)

e; > es, А =--.

E

Разложение всех компонентов напряженно-деформированного состояния и перемещений в ряды Фурье, а также введение восьми разрешающих функций позволяет преобразовать первоначальную систему уравнений к системе восьми обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно коэффициентов ряда Фурье разрешающих функций [3]:

№ = А(я) N + ТО) + В(я) Д. (1.3)

Здесь: Л(я) = ау, В(я) = Ьк - постоянные коэффициенты (г,у = 1,2,...,8; I, к = 1,2,...,6), N = (№г, №, &, Мя иг, щ, V, £), у» = (/;,Т2,уз,у4, 0, 0, 0, 0), у = - дг, Т2 = - дг, У3 = - де,

Т4 = - Д = (Д№, Д№в, ДМ„ ДМе, Д&, ДЯ). Разрешающими функциями являются: №г -радиальное усилие, № — усилие вдоль оси г (осевое усилие), & - обобщенное тангенциальное усилие, — меридиональный изгибающий момент, иг — радиальное перемещение, щ — осевое перемещение, V — тангенциальное перемещение, £ - угол поворота сечения. При этом деформации оболочки определяются формулами:

Е = С(х) N + (1.4)

Здесь: С(х) = су, = - постоянные коэффициенты, Е = (еи ее, ехв, к°„ к0е, к%).

Метод упругих решений основан на численном методе последовательных приближений. В первом приближении добавочные усилия Д, учитывающие физическую нелинейность материала, полагаются равными нулю, т.е. решается упругая задача. Для получения п членов разложения ряда Фурье, система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.3) интегрируется методом ортогональной прогонки. Затем по найденным коэффициентам определяются восемь разрешающих функций, на основании которых вычисляются шесть компонентов деформаций (1.4), включающие относительные линейные деформации растяжения (еи ее), сдвига (еяв), деформации изгиба (к°я к°в) и кручения (к%).

При решении краевой задачи Коши необходимо задать по четыре граничных условий на каждом конце образующей:

1) при жестком защемлении: иг = щ = V = 0, £ = 0;

2) при шарнирном опирании на жесткую опору: иг = щ = V = 0, = 0;

3) для свободного края: №г = № = & = = 0.

4/2011 ВЕСТНИК _4/20ТТ_МГСУ

В полюсе сферической оболочки граничные условия могут быть получены из условий симметрии и антисимметрии функций в окрестности точки r = 0, а также из уравнений, которые можно получить с помощью предельного перехода при r ^ 0 в геометрических соотношениях и уравнениях равновесия: ur = v = 0, Л^ = 0, Cs = 0 для n = 0,

ur + v = 0, uz = 0, Ms = 0 для n = 1,

ur = uz = v = 0, С = 0 при четных n,

Ms = 0 при нечетных n для n > 2.

При анализе напряженно-деформированного состояния оболочек во всех уравнениях рассматриваются безразмерные усилия и перемещения:

(P, Nr, N, S) / Eh, (Ms, Me) / Eh2, ( ur, uz, v) / h.

При этом интенсивности деформаций на внешней ей и на внутренней eil поверхностях оболочки отнесены к относительной линейной деформации es0, соответствующей пределу текучести от: (si1, ей) / ss°.

В результате краевых и локальных эффектов, имеющих место в тонких оболочках вращения, решение для искомых усилий обладает большими градиентами. Поэтому для численной реализации поставленной задачи использовался метод прогонки с дискретной ортогонализацией. Интегрирование при прямой прогонке проводилось методом Рунге-Кутта с равномерным шагом интегрирования вдоль образующей оболочки. Поправки А к нагрузке находились лишь в узлах ортогонализации. Результаты расчетов показали, что при 50 точках ортогонализации и 10 точках интегрирования на каждом шаге ортогонализации отличие значений функций составляет 0,5%. При 50 и 25 точках ортогонализации и 250 точках интегрирования результаты совпадают с точностью 0,1%.

В настоящей работе определено напряженно-деформированное состояние в сферической оболочке и проведено исследование сходимости полученных решений. При этом большинство задач решалось при 250 точках интегрирования и 50 точках ортогонализации. В качестве критерия сходимости решения использовался критерий, в котором сравниваются каждые десятые приближения для всех разрешающих функций N по всем точкам ортогонализации. В результате была обнаружена хорошая сходимость данного метода. Можно также отметить, что для диапазона нагрузок, близких к областям, в которых теория малых упругопластических деформаций становится не справедливой, метод упругих решений сходится слишком медленно. Чем более протяженной является область пластических деформаций на поверхности оболочки, тем больше приближений требуется для достижения одинаковой точности решения.

Результаты, представленные на рис. 2 и 3, относятся к сферической оболочке с углом полураствора а = 900 и отношением радиуса к толщине R/h = 100. Используется диаграмма растяжения стали 3, аппроксимированная ломаной линией с модулем упрочнения X = 0,95. Интенсивность деформаций, соответствующая началу текучести, равна es°=0,001. На рис.2 представлена зависимость ей / es - P для кольцевой симметричной нагрузки, приложенной в середине меридиана, из которой следует, что упругое решение пригодно только при действии нагрузки, не превышающей P/Eh= 0,15 10-3. Для достижения точности 0,1% требуется: при P/Eh< 0,25-10"3 - 10 приближений, а при P/Eh> 0,35'10"3 - 100 приближений.

На рис.3 представлена зависимость ей / es - P для кольцевой нагрузки, действующей вдоль дуги параллели, соответствующей углу 0 = 0,04 рад. Угол мал, поэтому нагрузку можно считать сосредоточенной силой. Для достижения точности 0,1% при P/Eh< 0,3-10"3 достаточно 10 приближений, а при P/Eh> 0,45 10-3 - 50 приближений.

Рис. 3

На рис.4 показано изменение функций радиального перемещения ur/h и меридионального изгибающего момента Ms / Eh2 в точке приложения нагрузки в зависимости от числа приближений n при действии нагрузки P/Eh = 0,2862-10"3. Сплошная линия -изменение меридионального изгибающего момента, пунктир - изменение радиального перемещения. На основании приведенных исследований можно видеть, что при P/Eh = 0,2862-10-3 более быстро сходящейся функцией является радиальное перемещение ur, для которого отличие в решении составляет 0,1% при n = 10-20 итераций, и более

4/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

медленно сходящейся функцией является меридиональный изгибающий момент Ms, который достигает такой же точности при n = 80-90 приближений.

Исследования показали, что с ростом коэффициента линейного упрочнения X, т.е. при приближении к диаграмме для идеально пластического материала Л.Прандтля сходимость метода упругих решений замедляется. На примере изменения функций радиального перемещения ur/ h и меридионального изгибающего момента Ms / Eh2 в точке приложения нагрузки (рис.5) для P/Eh = 0,2862-10-3 при X = 0,95 - необходимо 40 итераций, при X = 0,992 - 100 итераций, при X = 1 - 150 итераций.

-0,25

1 / 1 / \ м,

[ / 1 / \! А / \ /

ur J~

М: 10-:

-0,5

-0,4

0 50 100 n

Рис. 4

u

0

На рисунке 6 показаны области пластических деформаций в оболочках разной толщины с отношением радиуса к толщине R/h= 200, 100, 50, 25 при кольцевой нагрузке P/Eh = 0,2862-10-3. Области пластических деформаций располагаются вблизи

точки приложения силы. По результатам расчета построены зависимости (рис. 7) изменения осевого перемещения щ от величины нагрузки для оболочек с отношением радиуса к толщине Я/к= 200, 100, 50, 25. Здесь прямые - упругое решение, остальные линии - расчет с учетом пластической работы материала. Построенные графики позволяют определить нагрузку, до которой справедливо упругое решение.

Рис. 6

1. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.-Л., Гостехиздат, 1949.

2. Цурков И.С. К вопросу об интегрировании уравнений теории неупругих тонких оболочек. Сборник трудов МИСИ им. В.В.Куйбышева, №47, М., 1965.

4/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ

3. Григоренко Я.М., Василенко Ф.Т. Несимметричная деформация изотропных и анизотропных оболочек вращения. Прикладная механика, вып.3, 1968.

4. Астахова А.Я. Расчет упругопластических оболочек вращения при действии упруго-пластических нагрузок. МТТ, 4, М., 1985.

Literature

1. Vlasov V.Z. Obshaya teoria obolochek i yeyo prilojenie v tehnike. M.-L., Gostehizdat, 1949.

2. Tsurkov I.S. K voprosu ob integrirovanii uravneniy teorii neuprugih tonkih obolochek. Sbor-nik trudov MISI im. V.V.Kuybysheva, №47, M., 1965.

3. Grigorenko Y.M., Vasilenko F.T. Nesimmetrichnaya deformatsia izotropnyh i anizotropnyh obolochek vrashenia. Prikladnaya mehanika, vyp.3, 1968.

4. Astahova A.Y. Raschet uprugoplasticheskih obolochek vrashenia pri deistvii uprugoplasti-cheskih nagruzok. MTT, 4, M., 1985.

Ключевые слова: тонкая оболочка вращения, теория малых упругопластических деформаций, предел упругости, метод упругих решений, ортогональная прогонка, упругопластические деформации, граничные условия

Key words: Thin shell of revolution, the theory of small elastoplastic strains, the limit of elasticity, the method of elastic solutions, orthogonal sweep, the elastoplastic deformation, the boundary conditions

Тел.: 8-916-337-24-36; 8-903-727-61-28.

E-mail авторов: ast965@yandex.ru, an_leontiev@mail.ru.

Рецензент: Смирнов B.A., доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительной механики и высшей математики МАРХИ