CC BY
30
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ КОНТАКТИРУЮЩЕЙ С ОСНОВАНИЕМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
И.Г. Емельянов, В.Ю. Кузнецов
Лаборатория конструкционного материаловедения Институт машиноведения УрО РАН,
620219 Екатеринбург, Комсомольская 34
Задачи контактного взаимодействия тонких цилиндрических оболочек с жесткими или упругими основаниями (например, ложементами, ребрами жесткости, разнообразными опорами), достаточно часто встречаются при расчетах машиностроительных конструкций. В ходе решения задач данного класса определяются область контакта оболочки с основанием, закон распределения контактного давления и напряженно-деформированное состояние оболочки. Большинство задач подобного класса решены в упругой постановке. Контактные задачи с учетом физической нелинейности материала изучены в значительно меньшей степени [1]. Для оболочек вращения из нелинейно-упругого материала предложены только подходы для изучения осесимметричных контактных задач [2,3] и др. В данной работе предложен подход к решению задачи определения напряженного состояния контактирующей с основанием цилиндрической оболочки с учетом пластических деформаций.
Задача решается в геометрически линейной постановке, с учетом гипотез Кирхгофа-Лява. Оболочка принимается достаточно длинной и нагруженной таким образом, чтобы можно было рассматривать ее в виде кольца в условиях плоской деформации. На оболочку действует произвольная поверхностная нагрузка, главный вектор которой равен £? (рис.1). Положение точки срединной поверхности оболочки определим длиной дуги меридиана 5 и
центральным углом в в параллельном круге. Расстояние произвольной точки оболочки от срединой поверхности обозначим через £ Уравнения меридиана срединной поверхности представим в виде г = г(з), 2 = г($) , где г - радиус
параллельного круга, г - расстояние по оси вращения от начальной
плоскости 2 = 20.
Будем считать, что оболочка
находится в упругопластическом напряженном состоянии. Меридиан, окружность и толщина оболочки разбиваются на определенное число интервалов в направлениях 5, в и £ Таким образом, оболочка
оказывается покрытой трехмерной пространственной сеткой.
Связь между усилиями
м5,мв,з, моментами М^ Мв, Н, и деформациями срединной поверхности в
направлении координатных осей л, 0 запишем в виде [4]
^ = А*(*, + Щ + С? <*0), 5 = ~(1 - у)Оы(ех0 + Р)
О)
Ms = Du(x* + Z0v + I*)’ (s^e)> Н = ^(1 - v)DM(Zse +1)
DN=2Gh/(l-v), DM=Gh3/[6(1-v)].
Здесь Guv модуль сдвига и коэффициент Пуассона; Ss, £в, Sse, %s, %в, %,в~ деформации срединной поверхности. Символ (5 <=> в) означает, что остальные выражения получаются круговой перестановкой этих букв. Ps, Рв, Р, Is, 1в, I - интегральные характеристики (интегрирование ведется от — И/2 до+ h/2)
r,=\\W. (*•»«). (2)
',=^1дж (soв),
где Д, Рв, Дв дополнительные члены, использованные в законе Гука, для учета пластических деформаций. Для конкретизации Д, fie, Д0 используются соотношения
теории малых упругопластических деформаций, линеаризованные методом упругих решений.
В качестве разрешающих функций выбирались переменные [4]
У, =rNs, у2 = rQ], у3 =rS\ у4 = rMs, (3)
Уs =м- Уб У7 =v> У8
где Ns и Q*s — Qs +1 / roH / дв - меридиональное и приведенное поперечное усилия;
S* = —S — 2 sin (pH /г - приведенное сдвигающее усилие; u, w, v - компоненты перемещения срединной поверхности в меридиональном поперечном и окружном направлениях, где п — (р- угол, образованный нормалью к срединной поверхности и осью
вращения.
Использование линейных геометрических уравнений, уравнений равновесия в форме В. В. Новожилова и соотношений пластичности (1) позволяет получить для выбранных разрешающих функций (3) систему разрешающих дифференциальных уравнений в частных производных
ЛУ
= P(s, 6)Y + F(s, 0), №
as
где Y - вектор разрешающих функций; P{s, в) - дифференциальный оператор; F(s, в) -вектор правых частей. На торцах оболочки должны выполняться граничные условия, сформулированные для разрешающих функций или их линейных комбинаций: BY = Ъ , где
В - матрица граничных условий на торцах оболочки; Ь - вектор значений разрешающих функций на контурах оболочки.
Система уравнений (4) решается методом последовательных приближений, в каждом из которых интегральные характеристики Ps> Рв, Р, ls, 1в, I известны из предыдущего
приближения. После разложения интегральных характеристик, нагрузок и искомых функций в ряды Фурье по окружной координате и разделения переменных, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для каждой гармоники тригонометрических рядов. Решение полученной системы разыскивается в виде суммы общего решения системы
однородных дифференциальных уравнений и частного решения системы неоднородных дифференциальных уравнений. Уравнения интегрируется методом Рунге-Кутта с дискретной ортогонализацией и нормализацией по С.К.Годунову.
Для нахождения радиальных контактных усилий использован смешанный метод строительной механики [5]. Предполагаемая область контакта разбивалась на прямоугольные контактные элементы и считается, что на каждом элементе, ввиду его малости, взаимодействие между оболочкой и основанием осуществляется через неизвестные, но равномерно распределенные на всем элементе контактные усилия Х1. Таким образом, взаимодействие между слоями представляется определенным количеством неизвестных связей. Система уравнений сопряжения оболочки с основанием при учете радиальных усилий, для выделенного из оболочки кольца, с учетом симметрии задачи относительно сечения в-0 (рис.1), имеет вид [6]
[\¥]Х-г + А = 0
м
2^созвІхі = б,
І-1
КА ПК*
м = —-
2аа
(5)
Здесь X = I X/ х2 .....хм | - вектор неизвестных радиальных усилий взаимодействия
I \Т
оболочки; 2 — г \ со$д1 СО$в2.......со$0м | - перемещения в основной системе по
направлению отброшенной /-ой связи, происходящие от единичного перемещения по направлению введенной связи, где г - вертикальное смещение оболочки как жесткого целого, д1 - значение центрального угла для /-го элемента, / =1, 2, ................. М;
| ,т
л = 14 4..........4,1 - вектор зазоров между оболочкой и основанием; ав- длина
контактного элемента в тангенциальном направлении; [Щ - матрица радиальных смещений оболочки относительно основании
М =
М>, + Ч/2 + И
м>2 + м>3
+ №м+/
м?2 + м/} м?,+м>4 + £>
+ ™М+, + *'м+2
(6)
где - радиальное перемещение /-го элемента. Оператор Б связывает реактивное усилие Х1 возникшее на /-ом элементе и его радиальное перемещение
Г) = Е)] + Е)2,
где В1 - оператор, характеризующий изменение толщины оболочки за счет обжатия, а оператор В2- характеризует упругие свойства основания. Для описания упругих свойств основания использована модель Винклера.
о2={сґ)
-/
где С - коэффициент постели; Б - площадь контактного элемента.
Единичные усилия, для определения податливости оболочки в радиальном направлении, распределены на каждом контактном элементе и представлены в виде ряда [5]
Яы ~
7іЯ2а3 I 2
1 А2ят{кАв/2) ,, Л
+ Е-----77^----~со^кв)\,
к=1
Ыв
где as - длина контактного элемента по меридиану, к - количество удерживаемых гармоник.
Поскольку использован смешанный метод, то в системе (5) заложен принцип суперпозиции, который применим только к линейным задачам. Поэтому единичные усилия будем определять для физически линейной оболочки. Использование физически нелинейной модели оболочки приводит к необходимости определять реальную нагрузку, от которой будет строиться матрица (6). Данное допущение означает, что перемещения срединных поверхностей оболочки в упругой и упругопластической постановке эквивалентны.
Исходя из предположения о непрерывности зоны контакта по окружности, методом последовательных приближений, система (5) приводится к виду, удовлетворяющему условию Xt >0 .
Данным методом решена задача контактного взаимодействия цилиндрической оболочки, находящейся под действием локальной нагрузки 0=1000 Н. Оболочка выполнена из стали 12Х18Н10Т, имеет длину L= 1 м, радиус срединной поверхности равен R2= 0,05 м и толщину стенки А=0,001 м. Оболочка контактирует с упругим основанием радиуса Rt =0,0505 м, углом охвата 180° и коэффициентом постели С=1000 Н/м3. Длина основания вдоль меридиана принималась as =0,02 м. Модуль упругости и коэффициент Пуассона для
оболочки: £=2,05x105 МПа, v= 0,3. Граничные условия заданы в виде жесткого закрепления на обоих концах. Предполагалось, что в центральной части оболочки реализуется плоское напряженно-деформированное состояние, а контакт рассматриваем в сечении s=L/2. При расчете напряженного состояния использована кривая деформирования для стали 12Х18Н10Т, полученная в результате опыта на простое одноосное растяжение цилиндрических образцов при температуре 20° С.
Для нахождения распределения контактных усилий центральный угол разбиения АО принимался равным 3°. При суммировании результатов удерживалось 60 гармоник. Распределение нормальных контактных усилий по координате ^показано на рис.2.
Результатом расчета напряженного состояния оболочки в упругопластической постановке стало построение напряжений Мизиса и напряжения <7t на внешней поверхности оболочки в зависимости от угла 0 в сечении s=L/2 (рис.З, кривые 1 и 2).
Таким образом, рассмотренный подход позволяет определять напряженно-деформированное состояние цилиндрических оболочек, находящихся в контактном взаимодействии с жесткими, либо упругими опорами в упругопластической постановке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. - М.: Мир, 1989. - 510 с.
2. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. - Киев: Наук, думка, 1990. - 136 с.
3. Львов Г. И. Об одном классе контактных задач для цилиндрической оболочки // Прикл. механика. - 1983. - 19, №7. - С. 38-42.
4. Мерзляков В.А. Упругопластическое напряженно-деформированное состояние оболочек вращения при действии локальных нагрузок // Механика твердого тела,-1990,-№5.С.120-125.
5. Григоренко Я. М., Василенко А. Т., Емельянов И. Г. и др. Механика композитов: В 12 т. Т8. Статика элементов конструкций. - Киев: А.С.К., 1999. - 379 с.
6. Емельянов И.Г., Кузнецов В.Ю. Решение контактных задач для цилиндрических оболочечных конструкций с учетом тангенциальных усилий // Пробл. машиностроения и надежности машин - 2000. - № 1. С. 59-64.
THE ELASTIC-PLASTIC DEFINITION OF STRESS CONDITION OF THE CYLINDRICAL SHELL
CONTACTING THE FOUNDATION
Emelyanov I.G., Kuznetsov V.U.
Institute of Engineering Science, Russian Academy of Sciences, Ural Branch Laboratory of construction materials 620219 Ecaterinburg, Comsomolskaya 34
Contact problem of a thin-walled cylindrical shell resting on the elastic or rigid base (for example support), which are frequently enough met for machine and building construction. Area of contact, contact pressure distribution and stress condition of the shell is determined as the result of solutions. The majority of the problems of similar class are solved in the elastic statement. With the allowance of physical nonline of material the contact problem are investigated in considerably smaller degree [1]. In this work the approach to a solution of the contact problem of the definition of the stress condition shell contacting with the foundation with allowance for elastic-plastic status in it is offered.
Емельянов Игорь Георгиевич родился в 1953 г., окончил Казанский авиационный институт в 1985 году. Доктор технических наук, зав. кафедрой Детали машин УГТУ-УПИ. Автор 40 научных работ, в том числе 1 книги.
LG.Emelyanov (b. 1953) graduated from Kazan Aviation Institute in 1985. DSc(End). Author of 40 publications, including 1 book.
Кузнецов Виктор Юрьевич родился в 1973 г. Окончил в 1998 г. УГТУ-УПИ. Аспирант Института машиноведения УрО РАН. Автор 4 научных статей.
V.U.Kuznetsov (b. 1973) graduated from Ural Politecnical Institute in 1998. Post-graduated of Institute of Engineering Science, Russian Academy of Sciences, Ural Branch. Author of 3 publications.
