CC BY
15
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИМ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИИ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ март-апрель 2017 Том 17 № 2 ISSN 2226-1494 http://ntv.i1mo.ru/
SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS March-April 2017 Vol. 17 No 2 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/en
УДК 621.8
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНО УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ КОНУСНОГО ЭЛЕМЕНТА АМОРТИЗИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
К.С. Малых3, Г.И. Мельников3
a Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация Адрес для переписки: Malykh-konstantin@yandex.ru Информация о статье
Поступила в редакцию 20.10.16, принята к печати 01.03.17 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-2-354-358 Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Малых К.С., Мельников Г.И. Моделирование напряженно-деформированного состояния линейно упрочняющегося конусного элемента амортизирующего устройства // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2017. Т. 17. № 2. С. 354-358. doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-2-354-358
Аннотация
Предмет исследования. Исследована система амортизации с элементами, способными линейно упрочняться -упрочняющимися элементами. Система такого типа трансформирует кинетическую энергию движущегося поступательно прямолинейно технического объекта в энергию деформации и работу силы трения. Рассмотрен пример с линейно упрочняющимся элементом в виде конической оболочки из жесткопластического материала. Метод. Теоретическое исследование выполнено на основе теории тонкостенных оболочек и гипотез Кирхгофа-Лява. В дополнение использованы закон Кулона, моделирующий трение в контактирующих поверхностях, и условие текучести материала Сен-Венана. Основные результаты. Разработана методика определения напряженно-деформированного состояния в конической оболочке, деформируемой жестким конусом с учетом силы трения. Практическая значимость. Результаты исследования позволяют проводить расчеты напряженно-деформированного состояния конической оболочки при вдавливании в нее жесткого конуса. Также эти результаты открывают возможность дальнейшего исследования систем амортизации с линейно упрочняющимся элементом в виде конической оболочки. Ключевые слова
система амортизации, коническая оболочка, жесткопластический материал, теория тонкостенных оболочек Благодарности
Работа поддержана грантом РФФИ № 16-08-00997.
MODELING OF STRESS-STRAIN STATE OF LINEAR WORK-HARDENING CONICAL ELEMENT OF DAMPING SYSTEM K.S. Malykh3, G.I. Melnikov3
aITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation Corresponding author: konstantin@yandex.ru Article info
Received 20.10.16, accepted 01.03.17 doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-2-354-358 Article in Russian
For citation: Malykh K.S., Melnikov G.I. Modeling of stress-strain state of linear work-hardening conical element of damping system.
Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2017, vol. 17, no. 2, pp. 354-358 (in Russian). doi: 10.17586/2226-1494-2017-17-2-354-358
Abstract
Subject of Research. The paper deals with research of a damping system with elements having an ability to be linear work-hardening - work-hardening elements. This system transforms kinetic energy of moving progressively straightforward technical object into deformation energy and work of friction force. Example with element in the form of rigid-plastic conical shell is analyzed. Method. Research was carried out theoretically and was based on theory of thin shells and hypothesis of Kirchhoff-Love. In addition, Coulomb law modeling friction between both contact surfaces and Saint-Venant yield criterion are used. Main Results. Technique of strain-stress state examination in conical shell being deformed by rigid cone in view of friction force was generated. Practical Relevance. Results of research give the possibility to calculate strain-stress state of conical shell at indentation of rigid cone into it. These results open the door for future research of damping systems with plastic element in the form of a conical shell.
Keywords
damping system, conical shell, linear work-hurdling material, thin shell theory Acknowledgements
This work was supported by the RFBR grant No. 16-08-00997
Введение
Для обеспечения работоспособности и прочности технического объекта с большой массой расположенной в ней аппаратуры, подвергаемого динамической нагрузке, обычно используется система амортизации с элементом, способным деформироваться пластически - пластическим элементом. Особенностью подобных конструкций является преобразование кинетической энергии объекта в энергию деформации пластического элемента и в работу сил трения и нагрева материала. Вопросы, связанные с проектированием и практическим применением таких систем, исследуются в ряде работ [1-4]. Известны кон -структивные решения с пластическим элементом в виде трубы, прямолинейного и криволинейного стержня, кольцевых цилиндрических втулок, лент, кольцевых шайб1. Пластический элемент должен быть спроектирован таким образом, чтобы обеспечить необходимую податливость, с одной стороны, и быть достаточно прочным и жестким, с другой стороны.
В работах [5-7] представлен метод исследования системы амортизации с пластическим элементом на основе системы дифференциальных уравнений движения массы после динамического воздействия с задаваемыми заранее параметрами жесткости. Авторы настоящей работы ставят перед собой задачу определения параметров прочности и жесткости пластического элемента. Дальнейшие исследования связаны с изучением движения исследуемого тела при заданном нелинейном сопротивлении, данная задача будет решена методом Пуанкаре-Дюлака [8-12].
В работе рассматривается система амортизации с линейно упрочняющимся элементом в виде трубы переменного диаметра - конической оболочки. Система состоит из двух тел: линейно упрочняющегося элемента в виде оболочки и объекта, связанного с конусом. Усеченная, изотропная, тонкостенная коническая оболочка из жесткопластического материала закреплена по грани с большим радиусом. Абсолютно жесткий круговой конус двигается поступательно прямолинейно, деформируя оболочку. Задачей данной работы является определение напряженно-деформированного состояния конической оболочки.
Напряженно-деформированное состояние конической оболочки для упругого материала
Рассмотрим усеченную коническую оболочку 1 высоты H и толщины a с радиусами на торцах R1 и R2 с образующей, наклоненной к оси на малый угол а/2 (рис. 1, а). Материал оболочки жесткопластиче-ский. Верхний торец оболочки ограничен от перемещений вдоль образующей. В оболочку помещен абсолютно жесткий конус 2 с малым углом раствора а и максимальным радиусом R3, перемещенный на расстояние y0, что привело к радиальной деформации. Требуется определить напряженно-деформированное состояние оболочки.
Рассмотрим полосу конической оболочки (рис. 1, б) большого и малого радиусов R, R+dR, ширины Rdф и высоты dl, нагруженную внутренним, равномерным, нормальным давлением Q. Здесь R, R+dR -текущие радиусы после деформирования; dф - малый угол, характеризующий размеры полосы: Q - давление от конуса. Обозначим S3 - площадь боковых поверхностей полосы, перпендикулярных оси ф, S1 и S2 - площади боковых поверхностей, перпендикулярных оси z, S4 - площадь фронтальной поверхности. Запишем значения S1, S2, S3, S4 с точностью до малых величин:
S1 =(R + dR)adф , S2 = aRdф , S3 = adl, S4 = (R + dR/2)dldy. (1)
На боковых поверхностях с площадями S1 и S2 действуют нормальные напряжения oz и oz + doz, на боковых поверхностях с площадью S3 действуют нормальные напряжения oф, на фронтальную поверхность с площадью S4 действует давление от конуса Q по нормали и напряжение т вдоль поверхности, характеризующее силу трения. Составим уравнения равновесия полосы в проекциях на оси z и ф с учетом касательного напряжения, вызванного силой трения:
(oz + doz)S1 - ozS2 - tS4 - 2офS3 sin(d0 /2) = 0;
(2)
QS4 - 2o^3 /2) = 0.
В частном случае (т = 0) уравнения равновесия (2) представлены в [13, 14]. Примем, что касательные напряжения т пропорциональны нормальному давлению Q:
т = fQ, (3)
где f - коэффициент трения.
1 ОСТ 92-1312-87. Амортизаторы упруго-пластические для защиты аппаратуры. Конструкция. Введ. 01.07.88. 50 с., ОСТ 92-9011-78. Элементы упруго-пластические амортизаторов пластического типа. Методика расчета. Введ. 01.07.79. 234 с.
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ...
R
H
ф
z
a7+da7
б
Рис. 1. Система упругая оболочка - жесткий конус (а); элемент конической оболочки (б)
Таким образом, имеем наклоненный на угол а /2 к вертикали элемент, нагруженный по нормали и касательной и перемещающийся по горизонтали. Из принципа виртуальных перемещений видно, что коэффициент трения / не может быть выбран произвольно, а зависит от угла наклона элемента:
/ = 18(а/2).
Подставим выражения для площадей поверхностей полосы (1) в уравнения равновесия полосы (2), учитывая выражение для касательного напряжения (3), после элементарных преобразований получим следующие соотношения:
„ da 1 dl dl 1 . (d9 ',
R—- + a--fQR--2a--sin I — 1 = 0;
dR z a dR Ф dR dф l 2 1
QRdф-2афa sin
d ф
(4)
= 0.
Принимая, что ив = Rd ф, легко получим геометрические соотношения с точностью до малых ве-
личин:
d¡_
dR
1
de
= sin (а /2) ,
sin (а /2) dф
тогда, полагая приближенно sin(de/2) = de/2, sin(dф/2) = dф/2 , подставим эти соотношения в (4):
d_
~dR
(R • az)-Aaф = 0, при A = (sin(a/2) + f )/sin(a/2);
Q = a -
^ ф D
(5)
Соотношения (5) являются дифференциальными уравнениями напряженно-деформированного состояния тонкостенной оболочки при внутреннем давлении и силой трения. В частном случае (/ = 0) уравнения, представленные в [13, 14], совпадают с уравнениями (5).
В уравнениях (5) не учтено сжимающее напряжение ог, которое много меньше оф и ог.
Вследствие малости угла а выражение для сжимающих напряжений принимаем приближенно из решения задачи для цилиндрической оболочки [13, 14], для использования данного решения введем условие а << R ,
е=2ог,
подставляя его в дифференциальное уравнение (5), получаем уравнение, связывающее сжимающее и радиальное напряжения:
Ог = Оф а ^ . (6)
Напряженно-деформированное состояние конической оболочки для жесткопластического материала
Получим уравнения напряжений с учетом условия упрочнения материала. Рассмотрим диаграмму с-е линейно-упрочняющегося материала без учета упругих деформаций (рис. 2), с пределом текучести от и модулем упрочнения Б = 1д(Р). Запишем функцию напряжений от относительной деформации
а
с = + Ве, при В = 18(р), запишем затем выражение для относительной деформации от радиуса Я:
е = (я - Я0) я0-1,
где Я0 - радиус полосы до деформации.
(7)
(8)
0
Рис. 2. График упрочнения материала
Подставляя в функцию напряжений (7) выражение для относительной деформации (8), получим функцию напряжений от радиуса Я:
с = ст + Ве . (9)
Известно [15], что при сложном напряженном состоянии материал выходит из зоны упругости при условии Сен-Венана с1 - с3 = с, где с1 = сф, с3 = сг - максимальный и минимальный компоненты напряжения. Тогда условие текучести в данной задаче имеет вид
с„- с = с. (10)
Подставим функцию напряжений (9), уравнение (8) и (6) в условие (10) и получим выражение для радиального напряжения от радиуса Я:
(оя + D(R -Ro)V)R
(11)
2Я - а
Подстановкой выражения (11) в дифференциальное уравнение (5) получим дифференциальное уравнение, учитывающее условие текучести материала:
— (R . о) = 2 Л (° т + D( R - Ro) Ro-1) R dR 2R - a
(12)
Радиус полосы Я полосы изменяется от значения Я0 до конечного значения Я^, следовательно, продольные напряжения определяются по формуле, полученной из уравнения (12):
= 2ЛR (оя + D( R - Ro)Ro-1)R R„ J
2R - a
dR, при Rk = R0 + 2>-0tg(a / 2).
Заключение
В результате проведенной работы получена математическая модель напряженно-деформированного состояния в конической оболочке из жесткопластического материала при вдавливании жесткого конуса с учетом силы трения.
Данное решение позволяет определить в дальнейшем жесткость системы и величину поглощаемой энергии для расчета параметров системы амортизации с линейно упрочняющимся элементом.
Литература
Ефремов А.К. Системы защиты от ударных воздействий // Наука и образование. 2015. №11. С. 344-369. doi: 10.7463/1115.0817507
Ефремов А.К., Симоненко Н.Н. Системы защиты конструкций от импульсивных механических воздействий: учеб. пособие. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 52 с. Ефремов А.К. Исследование нелинейного амортизатора для защиты от одиночных ударов // Известия вузов. Машиностроение. 1979. № 1. С. 22-28.
Симоненко H.H. Об оценке эффективности систем амортизации одноразового действия // Труды МВТУ. 1981. № 362. С. 64-71.
Булат П.В., Волков К.Н., Сильников М.В., Чернышов М.В. Анализ разностных схем, основанных на точном и приближенном решении задачи Риманна // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. № 1. С. 139-148. doi: 10.17586/22261494-2015-15-1-139-148
References
Efremov A.K. Systems for the shock isolation of engineering objects. Science & Education, 2015, no. 11, pp. 344-369. doi: 10.7463/1115.0817507 (In Russian)
Efremov A.K., Simonenko N.N. Protection Systems of Constructions from Impulsive Mechanical Impacts. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1997, 52 p. (In Russian). Efremov A.K. Research of nonlinear shock absorber for protection against single impacts. Izvestiia Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Mashinostroenie = Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 1979, no. 1, pp. 2228. (In Russian).
Simonenko N.N. About estimation of efficiency of single action cushioning systems. Trudy MVTU im. N.E. Baumana, 1981, no. 382, pp. 64-71. (In Russian).
Bulat P.V., Volkov K.N., Silnikov M.S., Chernyshev M.V. Analysis of finite-difference schemes based on exact and approximate solution of Riemann problem. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and
a
a
m
о
z
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.
6. Булат П.В., Упырев В.В., Денисенко П.В. Отражение косого скачка уплотнения от стенки // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. № 2. С. 338-345. doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-2-338-345
7. Tornabene F., Fantuzzi N., Viola E., Batra R.C. Stress and strain recovery for functionally graded free-form and doubly-curved sandwich shells using higher-order equvalent single layer theory // Composite Structures. 2015. V. 119. P. 67-89.
8. Мельников Г.И., Иванов С.Е., Мельников В.Г., Малых К.С. Применение модифищированного метода к нелинейной динамической системе // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2015. Т. 15. №1(95). С. 149-154. doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-1-149154
9. Шаховал С.Н. Исследование матричных алгебраических уравнений, определяющих тензор инерции через осевые моменты инерции // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2008. №3(19). С. 196-201.
10. Мельников В.Г. Энергетический метод параметрической идентификации тензоров инерции тел // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2010. №1(65). С. 59-63.
11. Melnikov V.G., Melnikov G.I., Malykh K.S., Dudarenko N.A. Poincare-Dulac method with Chebyshev economization in autonomous mechanical system simulation problem // Proc. 2015 Int. Conf. on Mechanics - 7th Polyakov's Reading. St. Petersburg, Russia, 2015. Art. 7106757.
12. Chistiakov V.V., Malykh K.S. A precise parametric equlation for the trajectory of a point projectile in the air with quadratic drag and longitudial or side wind // Proc. 2015 Int. Conf. on Mechanics - 7th Polyakov' s Reading. St. Petersburg, Russia, 2015. Art. 7106721.
13. Амсонов А.А. Техническая теория тонких упругих оболочек. М.: АСВ, 2009. 303 с.
14. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. СПб.: СПбГУ, 2010.
15. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Ленанд, 2015. 272 с.
Optics, 2015, vol. 15, no. 1, pp. 139-148. doi: 10.17586/22261494-2015-15-1-139-148 (In Russian).
6. Bulat P.V., Upyrev V.V., Denisenko P.V. Oblique shock wave reflection from the wall. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2015, vol.15, no. 2, pp. 338-345. doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-2-338345 (In Russian).
7. Tornabene F., Fantuzzi N., Viola E., Batra R.C. Stress and strain recovery for functionally graded free-form and doubly-curved sandwich shells using higher-order equvalent single layer theory. Composite Structures, 2015, vol. 119, pp. 67-89.
8. Melnikov G.I., Ivanov S.E., Melnikov V. G., Malykh K.S. Application of modified conversion method to a nonlinear dynamical system. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2015, vol. 15, no. 1, pp. 149-154. doi: 10.17586/2226-1494-2015-15-1-149154 (In Russian)
9. Shahoval S.N. Study of matrix algebraic equations determining the inertia tensor in axial moments. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2008, no. 3, pp. 196-201. (In Russian)
10. Melnikov V.G. An energy method for parametrical identification of object inertia tensors. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, 2010, no. 1, pp. 59-63. (In Russian)
11. Melnikov V.G., Melnikov G.I., Malykh K.S., Dudarenko N.A. Poincare-Dulac method with Chebyshev economization in autonomous mechanical system simulation problem. Proc. 2015 Int. Conf. on Mechanics — 7th Polyakov's Reading. St. Petersburg, Russia, 2015, art. 7106757.
12. Chistiakov V.V., Malykh K.S. A precise parametric equlation for the trajectory of a point projectile in the air with quadratic drag and longitudial or side wind. Proc. 2015 Int. Conf. on Mechanics — 7th Polyakov's Reading. St. Petersburg, Russia, 2015, art. 7106721.
13. Amsonov A.A. Technical Theory of Thin Elastic Shells. Moscow, ASV Publ., 2009, 303 p.
14. Novozhilov V.V. Theory of Thin Shells. St. Petersburg, SPbSU, 2010.
15. Il'yushin A.A. Plasticity. Fundamentals of General Mathematical Theory. Moscow, Lenand Publ., 2015, 272 p.
Авторы
Малых Константин Сергеевич - аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Ма1у№-konstantin@yandex.ru
Мельников Геннадий Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация,
Me1nikov.ifmo@yandex.ru
Authors
Konstantin S. Malykh - postgraduate, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, Malykh-konstantin@yandex.ru
Gennadiy I. Melnikov - D.Sc., Full Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, Melnikov.ifmo@yandex.ru
