CC BY
47
УДК 519.8
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РАСПИСАНИЙ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ РАБОТ. ЧАСТЬ I В.И. Левин
Пензенская государственная технологическая академия Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: метод анализа; оптимальное расписание; последовательная система.
Аннотация: Сформулирована задача синтеза оптимального по быстродействию решения для конвейерных систем с переменным, зависящим от номера ступени системы, порядком выполнения работ и конечным временем изменения этого порядка. Построена математическая модель системы. Предложено решение задачи путем ее сведения к конечному числу аналогичных задач с постоянным порядком выполнения работ.
1 Введение
Эффективная работа разнообразных систем - технических, экономических, административных и т.д. - предполагает оптимальное или, по крайней мере, рациональное планирование этой работы. Решением соответствующих задач занимается современная теория расписаний [1 - 6]. Наиболее разработанной ее частью является теория конвейерных систем, занимающаяся анализом и синтезом расписаний в системах последовательной обработки. Однако, несмотря на сравнительную простоту конвейерных систем, целый ряд связанных с ними задач до сих пор не решен. Так, например, почти все результаты для этих систем получены лишь в предположении одного и того же постоянного порядка выполнения имеющихся работ на всех последовательных ступенях системы. В то же время давно известно [1 - 3], что переход к переменному, зависящему от номера ступени, порядку выполнения работ может в некоторых случаях привести к более экономным расписаниям.
Первая причина такого положения состоит в том, что задачи с переменным порядком выполнения работ значительно сложнее задач с постоянным порядком. Вторая причина, по-видимому, связана с сомнениями, что увеличение экономичности расписаний, полученное при переходе к переменному порядку выполнения работ, может быть аннулировано появлением дополнительного времени, требуемого для изменения этого порядка.
Имеющиеся исследования конвейерных систем с переменным порядком выполнения работ содержат, как правило, только примеры, демонстрирующие принципиальную возможность получения более экономичных расписаний путем подходящего изменения указанного порядка [1 - 3], либо отдельные соображения по
анализу и синтезу расписаний в таких системах [7, 8]. Следует отметить работы [9, 10], в которых сделана попытка комплексного исследования проблемы, включающая точную постановку задачи синтеза оптимального расписания для системы с переменным порядком выполнения работ, математическую модель системы и методы анализа и синтеза ее расписаний. К сожалению, в этих работах не учитывается ряд важнейших факторов, что ставит под вопрос использование полученных в них результатов. Прежде всего, в них игнорируется конечное время, необходимое для изменения порядка следования работ при переходе от предыдущей ступени системы к последующей. Это время может оказаться весьма большим, что сделает нецелесообразным указанное изменение порядка работ. Надо также иметь в виду, что даже в системах, где изменение порядка работ дает реальный выигрыш во времени, с учетом времени на перестановку работ, его во многих случаях нельзя реализовать из-за ухудшения другой характеристики системы - времени ожидания выполнения отдельных работ. Таковы, например, системы конвейерного типа в медицине, торговле, обучении, в учреждениях и т.д., где выполнение работ означает обслуживание людей, которые, естественно, не согласны на увеличение времени ожидания своего обслуживания.
В настоящей статье закладывается база построения математической модели конвейерной системы с переменным порядком выполнения работ, полностью основанной на хорошо разработанных моделях и методах исследования аналогичных систем с постоянным порядком работ и учитывающая важные факторы, указанные выше. Будет показано, что в рамках построенной модели решение различных задач исследования системы с переменным порядком работ распадается на несколько аналогичных задач для систем с постоянным порядком работ меньшей размерности. Это и позволит исследовать системы первого типа известными и относительно простыми методами исследования систем второго типа.
2 Постановка задачи
Как известно [1 - 6], задача синтеза оптимального расписания работ в конвейерной системе с постоянным порядком выполнения работ ставится следующим образом:
1) имеется совокупность п работ, которые выполняются в последовательной системе, состоящей из т последовательно соединенных ступеней;
2) каждая работа у, у = 1, п, состоит из т различных операций, выполняемых на соответствующих ступенях системы: сначала 1-я операция на 1-й ступени, далее 2-я операция на 2-й ступени, ... , и, наконец, последняя, т-я операция на т-й ступени;
3) каждая г-я ступень системы в любой данный момент времени выполняет только одну работу (точнее, ее г-ю операцию) либо простаивает;
4) в любой ступени системы начавшаяся операция не прерывается, а продолжается до ее окончания;
5) все имеющиеся работы проходят последовательные ступени системы в одном и том же порядке Р;
6) каждая ступень системы начинает выполнение очередной поступившей на ее вход работы немедленно после поступления (если ступень в этот момент свободна) либо после окончания предыдущей работы (если она занята в этот момент выполнением предыдущей работы);
7) времена выполнения всех работ у на всех ступенях системы г точно известны и заданы матрицей времен работ А = | |агу ||, г = 1, т, у = 1, п;
8) требуется найти единый для всех ступеней порядок Р прохождения работ через все последовательные ступени системы, при котором общее время выполнения всех работ в системе Т (Р) минимально (оптимальный порядок или оптимальная последовательность работ Ропт).
Задача синтеза оптимального расписания работ в конвейерной системе с переменным порядком выполнения работ отличается от изложенной задачи следующим. Во-первых, п. 5 заменяется на п. 5', а п. 8 - на п. 8' согласно следующему:
5') все имеющиеся работы проходят последовательные ступени системы 1,2,...,т в соответствующем порядке р,Р2,...,Рт , где в общем случае Рг Ф Р у,
при г Ф у, т.е. разные ступени проходятся работами в различном порядке;
8') требуется найти набор Р = (р, Р2,..., Рт) порядков прохождения работ через соответствующие последовательные ступени системы 1,2,...,т , при котором общее время выполнения всех работ в системе Т(Р1,Р2,...,Рт) минимально (оптимальный порядок или оптимальная последовательность работ Ропт).
Во вторых, в формулировку новой задачи вводится четыре новых пункта, а именно:
9) между любыми двумя соседними ступенями системы г и г +1 (г = 1, т -1) устанавливается преобразователь, функция которого - преобразование порядка Р , в котором работы должны проходить ступень г, в порядок Р+1, в котором они должны проходить следующую ступень г +1; при этом времена преобразования для всех возможных пар порядков - исходного Р = q и результирующего Р+1 = г точно известны и заданы матрицей времен преобразований
В = |В(Р,Р+1 )||, = 11Вг ||, q,г = 1,2,...,п!;
10) преобразование порядка работ Р в порядок Р+ь г = 1, т -1 начинается немедленно после прохождения всех п работ через ступень г;
11) совокупность работ 1,2,...,п, переставленная после каждой очередной
ступени г в новом порядке Р+1, г = 1, т -1, немедленно подается в этом порядке на следующую ступень г +1 и обрабатывается дальше так, как если бы это была первая ступень, с соблюдением условий пп. 1 - 4, 6, 7;
12) допустимое общее число существенных перестановок порядка работ в системе к ограничено сверху некоторой величиной. Так, к удовлетворяет очевидному неравенству
к < т -1 (1)
(1-я перестановка возможна только после 1-й ступени, 2-я после 2-й, ... , последняя - после (т -1) -й). На самом деле, ограничения на число существенных перестановок еще сильнее, чем это следует из (1). Об этом сказано в конце статьи.
3 Математическая модель системы
Для обозримого описания введенной в п. 2 системы, в условиях ее возможной большой размерности т х п, будем использовать математический аппарат непрерывной логики и логических определителей [5]. Конструкции этого аппарата подобны конструкциям линейной алгебры - матрицам и определителям - и, подобно им, дают возможность блочного представления изучаемых, в данном
случае нелинейных, систем, что и дает возможность обозримого описания высокоразмерной системы.
Рассмотрим произвольную прямоугольную (т х п) -матрицу Н = ||Нгу || с вещественными элементами Ну . Будем рассматривать в матрице Н всевозможные
ступенчатые пути Sq, q = 1,Q , вдоль клеток (г,у) матрицы, начинающиеся в клетке (1,1) и оканчивающиеся в клетке (т, п). Ступенчатость пути означает чередование в нем участков, направленных вправо и вниз. Будем обозначать через V операцию взятия максимума (дизъюнкция непрерывной логики). Число
Q ^
Н47 Ну (2)
q=1 Sq
назовем логическим определителем матрицы Н . Как следует из (2), логический определитель - это числовая характеристика прямоугольной матрицы, равная максимальной из всех сумм элементов матрицы, взятых вдоль ее ступенчатых путей. По своим свойствам и назначению логический определитель прямоугольной матрицы подобен алгебраическому определителю квадратной матрицы [5]. Разработана простая итеративная процедура вычисления логического определителя Н7 [5]. Для ее описания введем в рассмотрение минор определителя Н7 в виде логического определителя Н7 (г, 5), образованного по правилу (2) из г первых столбцов и 5 первых строк матрицы Н . Названная процедура может быть описана системой уравнений
Н7 (г, 5) = [ Н7 (г -1,5) V Н7 (г, 5 -1)] + Нг5;
5 Г (3)
н7(1,5)=ену, н7(г,1)=ена.
у=1 г=1
Ясно, что Н7 = Н7 (т,п). Поэтому итеративная процедура, основанная на
уравнениях (3), в итоге дает искомый определитель Н . Сложность этой проце-
дуры 0(т, п), что позволяет вычислять определители практически неограниченных размеров т х п .
Рассмотрим конвейерную т-ступенчатую систему с постоянным порядком Р выполнения п имеющихся работ и матрицей времен работ А = ||агу ||,
г = 1, т, у = 1, п. Обозначим А(Р) матрицу А, в которой столбцы следуют в порядке Р (упорядоченная матрица А). Пусть Т(А, Р) - общее время выполнения всех работ в системе с данной матрицей времен работ А, при порядке выполнения работ Р. В [5] доказано, что
Т (А, Р) = А (Р), (4)
т. е. общее время выполнения всех работ в системе с постоянным порядком их выполнения Р равно логическому определителю от упорядоченных в соответствии с Р столбцами матрицы времен работ системы.
Соотношение (4) сводит решение разнообразных задач изучения систем с постоянным порядком выполнения работ к соответствующим действиям с упорядоченными матрицами времен работ этих систем. Прежде всего, вычисление об-
щего времени выполнения всех работ в системе Т(А, Р) сводится к вычислению
определителя А (Р), легко осуществляемому с помощью итеративной процедуры (3). Далее, анализ вариации общего времени Т(А, Р) при различных варьированиях параметров системы А и Р сводится к анализу вариаций определителя Ау (Р) при различных варьированиях значений его элементов а^ и порядка следования столбцов Р . Наконец, решение сформулированной в п. 2 задачи синтеза оптимального порядка Ропт прохождения работ через систему, при котором общее время выполнения всех работ Т(А, Р) минимально, сводится к отысканию
экстремального порядка столбцов Р в определителе Ау (Р), обращающего этот определитель в минимум. Все три названные задачи для логических определителей решаются методами, изложенными в [5].
Рассмотрим теперь да-ступенчатую конвейерную систему с переменным порядком Р выполнения п имеющихся работ и матрицей времен работ А = ||ау ||,
I = 1, да, ] = 1, п. Переменный порядок выполнения работ зададим, не ограничивая общности, в виде
Р = (Р1г, РГ+1,к ^.^ Рч+1, *, Р+1,да), (5)
где Р]_г - порядок, в котором все п работ проходят первые г ступеней системы -с 1-й по г-ю; Рг+1 к - порядок, в котором все работы проходят следующую группу ступеней - с (г +1) -й по к-ю, ... ; Р*+1 да - порядок, в котором все работы проходят последнюю группу ступеней системы - с (* +1)-й по да-ю. Таким образом здесь, в развитие изложенного в п. 2, мы учитываем не все, а только существенные (действительные) изменения порядка прохождения работ через ступени. Этот порядок, как показывает выражение (5), изменяется в общем случае не обязательно после каждой ступени, а только после каждой группы из нескольких последовательных ступеней. Общее время Т(А, Р) выполнения всех работ в системе с заданной матрицей времен работ А, при порядке их выполнения Р согласно (5), если не учитывать время на преобразование порядка при переходе от одной группы ступеней к другой, представляет собой сумму
Т (А, Р) = Т(А, Р1г) + Т(А, Рг+1,к) +... + Т(А, Рд+и) + Т(А, Р3+^).
Здесь Т (А, Рдр) - общее время выполнения всех работ в той подсистеме всей
системы с матрицей времен работ А, которая включает только группу последовательных ступеней с q-й по р-ю, причем через эту группу ступеней все работы проходят с постоянным порядком Рдр. Учитывая, что строки в матрице А соответствуют ступеням системы, заключаем, что время Т (А, Р^) фактически зави-
^4
сит не от всей матрицы А, а лишь от ее части АІ I, включающей строки с q -й
IР )
по р-ю. С учетом этого последняя формула конкретизируется в виде
Т (А, Р) = Т
" ( 1 'ï ' " (r +^ "
Л У. Р _ +T Л [ k J ’Р+U
+...
" ( q+іЛі " " ( ^ Л "
+ T A . J • P«+u _ + T A 1 m 1 • ^+1, m
(6)
Добавив еще в правую часть заданные времена преобразования порядка выполнения работ при переходе от одной группы ступеней к другой, получим
" ( Л " r + Л " ( q +1^
T ( A, P) = T А ( r J, P1r + T А [ k J, Pr+U +... + T 1 +
+T
А ( I, Ps+1, m
^ m
+ B(Pir, Pr+1,k ) +... + B(Pq+1,s, Ps+1,m )•
(7)
Поскольку времена выполнения работ Т [•] в правой части (7) относятся к подсистемам с постоянным порядком работ на всех их ступенях, они могут быть вычислены по формуле (4)
T
А iPI,Pqp = А^ И PI • Pqp 1
_ ^ PJ _ Л PJ _
(8)
Т.е. общее время выполнения всех работ в подсистеме, включающей только группу последовательных ступеней с д-й по р-ю, с постоянным порядком РСр) прохождения через нее всех работ, равно логическому определителю от упорядоченной
' д'
в соответствии с Pqp подматрицы А
времен работ, относящейся к этой под-
системе.
В дальнейшем будем использовать упрощенные обозначения А I 1 = А(я),
15 )
Р55 = Р5 .
Соотношения (5) - (8) показывают, что решение разнообразных задач изучения систем с переменным порядком выполнения работ Р, как и в случае их постоянного порядка, может быть сведено к соответствующим действиям с упорядоченными матрицами времен работ этих систем (точнее, с подматрицами указанных матриц). Именно, вычисление общего времени выполнения всех работ в сис-
теме T(A, P) сводится к вычислению определителей Ах
P
qp
легко вы-
полняемому посредством итеративной процедуры (3). Также и анализ вариаций общего времени Т(А, Р) при варьировании параметров системы А и Р сводится к
анализу вариаций определителей А4,
qp
при варьировании значении их
элементов ау и порядка следования столбцов Рдр. Наконец, решение задачи синтеза оптимального порядка Ропт прохождения работ через систему, обеспечивающего минимальность общего времени выполнения всех работ Т(А,Р), сводится, как будет показано ниже, к отысканию экстремального порядка столбцов
V
Pqp в определителе типа А
qp
обращающего этот определитель в ми-
нимум. Две последние задачи для логических определителей, как уже говорилось, решаются методами [5].
4 Оптимизация расписаний при постоянном порядке выполнения работ
Отыскание оптимального порядка Ропт прохождения работ через конвейерную да-ступенчатую систему с постоянным порядком Р следования п работ и матрицей времен работ А = ||агу ||, / = 1, да, у = 1, п, с целью минимизации общего времени выполнения всех работ в системе Т (А, Р), согласно п. 3, равносильно решению следующей оптимизационной задачи для логического определителя А (Р)
extr P = PonT : Av (PonT ) = minAv (P). (9)
P
Т.е. искомый оптимальный порядок работ в системе Ропт есть одновременно оптимальный порядок столбцов Ропт в определителе А (Р) от матрицы времен работ системы А(Р). Это позволяет найти Ропт с помощью следующей эффективной и наглядной процедуры, основанной на аналитических условиях оптимальности порядка столбцов в определителе и графовых алгоритмах [5].
Введем двухстолбцевые логические определители, составленные из всевозможных пар соответственных участков /-го и у-го столбцов матрицы А:
AV (Л j) =
asl aj
ari arj
v
1 < 5 < r < m . (10)
Тогда для оптимальности порядка столбцов Р в матрице А, в смысле (9), достаточно, чтобы каждая пара (/, у) соседних столбцов в Р удовлетворяла системе неравенств [5]
А^+1 (Л у) - А1з+1(у, >1 я = 1, да - 1,
Аы+2_(_у, г1±=1да _-_2, [, (Ц)
А1да ^, у ) - А1да (у,/)
и необходимо, чтобы она удовлетворяла системе неравенств [5]
Аи(/, У) - А^(у,/) или
У) -31(у'А _5_= 1_2]_ ™_ (12)
л™ ^у) - л™(у, /■), я=l, да -11.
Для отыскания оптимального порядка столбцов Ропт в матрице А с помощью достаточных условий оптимальности (11) нужно [5]: 1) для каждой упорядоченной пары (/,у) столбцов матрицы А (всего таких пар п(п -1)/2) проверить выполнение условий (11); 2) построить орграф Г приоритетов работ с вершинами, соответствующими столбцам, и дугами / ^ у между теми вершинами /, у , для
которых упорядоченные пары (/, у) соответствующих столбцов удовлетворяют условиям (11); 3) найти в Г гамильтоновы пути (т.е. пути вдоль дуг, включающие все вершины равно по одному разу); при этом каждый гамильтонов путь в Г определит соответствующий оптимальный, в смысле (9), порядок столбцов Ропт в
определителе А или, что равносильно, оптимальный постоянный порядок Ропт следования работ через систему с матрицей времен работ А. Для отыскания опти-
мального порядка столбцов Ропт в матрице A с помощью необходимых условий оптимальности (12) нужно [5]: 1) для каждой упорядоченной пары (i, j) столбцов матрицы A проверить выполнение условий (12); 2) построить орграф Г приоритетов работ с вершинами, соответствующими столбцам, и дугами i ^ j между
теми вершинами i, j, для которых упорядоченные пары (i, j) соответствующих столбцов удовлетворяют условиям (12); 3) найти в Г все гамильтоновы пути, при этом каждый такой путь определит некоторый порядок столбцов в матрице A; 4) для каждого найденного порядка столбцов P в матрице A вычислить по формулам (3) соответствующий определитель Av (P); 5) найти порядок P, для которого
определитель Av (P) = min. Это и будет оптимальный порядок столбцов P,^ в
определителе Av или, что тоже самое, оптимальный постоянный порядок P,^ следования работ через систему с матрицей времен работ A.
Пример 1. Найдем оптимальный постоянный порядок P,^ прохождения 2 работ через конвейерную 4-ступенчатую систему с матрицей времен работ
A =
10 1
1 10
1 10
10 1
и аналогичные порядки P опт и P2 опт прохождения указанных ра-
бот через первые 2 и последние 2 ступени данной системы.
Используем необходимые условия оптимальности (12): 1) для обеих упорядоченных пар столбцов (1,2) и (2,1) матрицы А условия (12) выполнены; 2) соответствующий орграф Г приоритетов работ показан на рис. 1, a; 3) в Г есть 2 гамильтонова пути - (1,2) и (2,1), соответственно 2 порядка столбцов Р1 и Р2 в матрице А; 4) для каждого порядка столбцов по формулам (3) вычисляем соответствующий логический определитель А (Р1) = 32, А (Р2) = 32; 5) так как А (Р1) = А (Р2), любой из Р и Р2 можно считать оптимальным порядком
столбцов Ропт в определителе А (Р), т.е. оптимальным порядком Ропт следования работ через заданную систему с матрицей времен работ А. Соответствующее минимальное время выполнения всех работ в системе T (А, Р)пт) = А (Ропт) = 32.
Аналогично находим оптимальные порядки р опт и Р2 опт прохождения работ через первые 2 ступени системы (соответствующая матрица времен работ
A =
10 1
1 10
) и последние 2 ступени (матрица времен работ A2 =
1 10
10 1
). В
первом случае условия (12) выполнены лишь для упорядоченной пары столбцов (2,1), соответствующий орграф Г показан на рис. 1, б - в нем лишь 1 гамильтонов путь Р2 = (2,1), соответственно, 1 оптимальный порядок столбцов Р2 в матрице А1, для которого логический определитель А^ (Р2) = 12; т.е. оптимальный
порядок р опт следования работ через первые 2
1 2 1 _____ 2 1 2 ступени системы есть Р2 = (2,1), соответст-
О Л..............* *...V вующее минимальное время прохождения работ
а) Ь) с) через эти ступени T(Аь Р^дт) = А^ (Р2) = 12.
Рис 1 Во втором случае условия (12) выполнены лишь
для упорядоченной пары столбцов (1,2), соответствующий орграф Г - на рис. 1, с, в нем лишь 1 гамильтонов путь Р1 = (1,2), т.е. 1 порядок столбцов Р1 в матрице А2 и логический определитель А? (Р1) = 12 ; так что оптимальный порядок Р2 опт следования работ через последние 2 ступени системы Р = (1,2), соответствующее минимальное время прохождения работ через эти ступени Т (А2, Р2,опт ) = А2Ч Р) = 12.
Пример 2. Найдем оптимальный постоянный порядок Ропт прохождения 3 работ через конвейерную 4-ступенчатую систему с матрицей времен работ
A =
10 1 2
1 10 1
1 10 1
10 1 2
и аналогичные порядки р,опт и Р2 опт прохождения указанных
работ через первые 2 и последние 2 ступени данной системы.
Действуем аналогично примеру 1. Условия (12) выполнены для всех упорядоченных пар столбцов матрицы А. Соответствующий орграф Г приоритетов работ показан на рис. 2, а. Все 6 путей графа Г - гамильтоновы: Р = (1,2,3), Р2 = (2,3,1), Р3 = (3,1,2), Р4 = (1,3,2), Р5 = (3,2,1), Р6 = (2,1,3), им соответствует 6
возможных порядков столбцов матрицы А. По формуле (3) находим А (Р) = 34, I = 1,6 , т.е. любой из 6 порядков можно считать оптимальным порядком столбцов Ропт в определителе А (Р) и оптимальным порядком Ропт следования работ через систему с матрицей времен работ А. При этом минимальное время выполнения всех работ в системе Т(А,Ропт) = А (Ропт) = 34. Аналогично ищем оптимальные порядки р,опт и Р2,опт прохождения работ через первые 2 ступени
10 1 2
1 10 1
(здесь матрица времен работ А1 =
) и последние 2 ступени (матрица
времен работ А2 =
1 10 1
10 1 2
). В первом случае с помощью условий (12) получа-
ем орграф Г, показанный на рис. 2, б. В нем 2 гамильтоновых пути р = (2,3,1), Р2 = (2,1,3), т.е. имеем 2 оптимальных порядка столбцов в матрице А, для которых логические определители А? (р) = А? (Р2) = 14. Так что оптимальный порядок Р1,опт следования работ через первые 2 ступени системы есть Р1 либо Р2 , а соответствующее минимальное время прохождения работ через эти ступени Т(А1, Р1опт) = А? (Р1) = А (Р2) = 14 . Во втором случае получаем орграф Г , показанный на рис. 2, с. В нем 2 гамильтоновых пути Р$ = (1,3,2), Р4 = (3,1,2), соответ-
ствующие определители А^ (Р3) = = А2? (Р4) = 14 , так что Р2,опт есть Р3 или Р4 и минимальное время прохождения работ через ступени Т А, Р2,опт) = А? (Р3) = а? (Р4) = 14.
1 1 1 Д2А2 3^
а)
b)
Рис. 2
с)
2
3
1 Johnson, S.M. Optimal two- and three stage production schedules with set-up times included // Nav. Res. Log. Quart. - 1954. - V. 1. - № 1. - Pp. 61-68.
2 Танаев, В.С. Введение в теорию расписаний / В.С. Танаев, В.В. Шкурба. -М.: Наука, 1975.
3 Конвей, Р.В. Теория расписаний / Р.В. Конвей, В.Л. Максвелл, Л.В. Миллер. - М.: Наука, 1975.
4 Теория расписаний и вычислительные машины / Под ред. Э.Г. Коффмана. - М.: Наука, 1984.
5 Левин, В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем / В.И. Левин. - М.: Наука, 1987.
6 Танаев, В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич. - М.: Наука, 1989.
7 Левин, В.И. Оптимальное планирование работ в конвейерных системах / В.И. Левин, И.Ю. Мирецкий // АиТ. 1996. № 6. С. 3-30.
8 Shakhlevich N.V., Sotskov Y.N., Werner F. Complexity of mixed shop scheduling problems: a Survey // Prepr. № 43. Otto von Guericke - Universität Magdeburg. 1997.
9 Мирецкий, И.Ю. Оптимизация работы систем последовательного типа // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001., № 6. С. 70-76.
10 Мирецкий, И. Ю. Синтез субоптимальных расписаний для систем последовательного типа // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. №1. С. 77-85.
Synthesis of Optimal Schedules in Sequential Systems with Changeable
Work Order. Part I
V.I. Levin
Penza State Technological Academy
Key words and phrases: analysis method; optimal schedule; sequential system.
Abstract: The task of synthesizing optimal quick decision for conveyor systems with changeable work order dependent on the number of system step and finite time of changing this order is formulated. Mathematic model of the system is made. The solution to the task by reducing it to the finite number of similar tasks with permanent work order is proposed.
Synthese der optimalen Pläne in den aufeinanderfolgenden Systemen mit der variablen Arbeitsordnung. Teil I
Zusammenfassung: Es ist die Aufgabe der Synthese der nach der Schnelligkeit optimalen Lösung für die Fliesssysteme mit der von der Nummer der Systemstufe abhängigen Variable, mit der Ordnung der Arbeitausführung und der endlichen Zeit der Veränderung dieser Ordnung formuliert. Es ist das matematische Modell des Systems gebaut. Es wird die Lösung der Aufgabe mittels ihrer Nachricht zur endlichen Zahl der ähnlichen Aufgaben mit der ständigen Ordnung der Arbeitausführung vorgeschlagen.
Synthèse des horaires optimaux dans les systèmes continus avec l’ordre alternatif des travaux. Première partie
Résumé: Est formulé le problème de la synthèse optimale par la rapidité de la solution pour les systèmes de convoyeur avec l’ordre du fonctionnement variable, dépendant du numéro du degré du système, et avec le temps fini du changement de cet ordre. Est construit le modèle de ce système. Est proposée la solution du problème par la voie de l’aboutissement au nombre fini des problèmes analogiques avec l’ordre continu de la réalisation des travaux.
