CC BY
27
УДК 519.8
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РАСПИСАНИЙ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОРЯДКОМ РАБОТ. ЧАСТЬ II
В.И. Левин
Пензенская государственная технологическая академия Представлена членом редколлегии профессором Ю.Л. Муромцевым
Ключевые слова и фразы: метод синтеза; оптимальное расписание; последовательная система.
Аннотация: Построены алгоритмы сведения задачи оптимизации расписаний в конвейерных системах с переменным порядком выполнения работ к конечному числу к аналогичных задач с постоянным порядком их выполнения. Оценено число к. Приведены примеры, показывающие целесообразность изменения порядка работ в системах.
Отыскание оптимального порядка Ропт прохождения работ через конвейерную да-ступенчатую систему с переменным порядком Р следования п работ и матрицей времен работ А = ||агу||, I = 1, т, ] = 1, п , с целью минимизации общего
времени выполнения всех работ в системе Т(А, Р), целесообразно проводить на базе изложенного в [1] метода решения аналогичной задачи для конвейерных систем с постоянным порядком работ.
Рассмотрение задачи начнем с простейшего случая, когда переменный порядок Р следования п работ через конвейерную систему реально меняется только один раз - на какой-то одной, г-й ступени. В этом случае переменный порядок Р можно представить в виде
последовательности двух постоянных порядков: порядка Р1г следования работ через первые г ступеней, с 1-й по г-ю, и порядка Рг+1 т следования работ через
все дальнейшие ступени, с (г + 1)-й по т-ю. Общее время выполнения всех работ в системе с переменным порядком следования работ вида (1) согласно формуле (7) [1] равно (без учета времени Б(') однократного преобразования порядка работ Р1г ® Рг+! т при переходе с г-й ступени на (г + 1)-ю)
1 Оптимизация расписаний при переменном порядке выполнения работ. Случай одного изменения порядка
P = (P1r, Pr+1,m )
(1)
(2)
Сравним общее время выполнения всех работ в системе с переменным порядком работ вида (1) и в системе с некоторым постоянным порядком работ Р на всех ступенях. Первое меньше второго при условии
< T (A, P)
или, ориентируясь на оптимальный порядок работ в обеих системах (системы должны сравниваться по их наилучшим показателям!) и учитывая, что оптимизация порядка работ по группам ступеней с 1-й по г-ю и с (г + 1)-й по т-ю выполняется независимо,
"Г 1 1 " " (r + 11 "
Т A 1P +Т A I I, Pr+1,m
V r J _ V m J _
" Г11 " " Гr+11 "
Т AI I, P1r; опт +Т AI I, Pr+1,m; опт
_ VrJ _ _ V m J _
< Т (Д р0пт) ■
(3)
Неравенство (3) позволяет выделять «подозрительные» переменные последовательности работ вида (1) (с однократным изменением порядка работ на г-й ступени), которые могут уменьшить время выполнения всех работ в системе по сравнению со случаем постоянного порядка работ. Однако реально подозрительные переменные последовательности работ уменьшают время выполнения всех работ в системе только при выполнении более сильного, чем (3), условия, учитывающего время Б(') преобразования порядка работ Р^ ® Рг+1 т . Для получения
этого условия надо прибавить Б(') в правую часть (2) и, соответственно, в левую часть (3). В результате получим
" Г11 " " Г r +11 "
Т AI I, P1r; опт +Т AI I, Pr+1,m; опт
_ VrJ _ _ V m J _
+ В(Pir, pr+l m ) < Т (A, ропт ) ■
(4)
Все переменные последовательности работ вида (1), удовлетворяющие условию (4), обеспечивают действительное уменьшение общего времени выполнения всех работ в системе по сравнению со случаем постоянного порядка работ. Этим они отличаются от подозрительных последовательностей, которые могут уменьшить общее время при определенных условиях (эти условия очевидны - достаточная малость времени Б(') преобразования порядка работ). Переменные последовательности работ вида (1), удовлетворяющие условию (4), естественно назвать допустимыми. Любая допустимая последовательность является подозрительной. Обратное неверно: в общем случае лишь часть (возможно, пустая) подозрительных последовательностей являются допустимыми. Оптимальная переменная последовательность работ вида (1) (с одним изменением порядка работ), обеспечивающая не только минимальное значение общего времени Т выполнения всех работ в системе, но и уменьшение Т по сравнению со случаем постоянного порядка работ, должна искаться среди допустимых последовательностей. Если окажется, что она существует, это означает целесообразность перехода от постоянного порядка выполнения работ в конвейерной системе к переменному (в данном случае - простейшему, вида (1)). В процессе поиска оптимальной переменной последовательности работ должны вычисляться общие времена выполнения всех работ при том или ином оптимальном постоянном порядке их следования, а также сами эти порядки, поскольку все они фигурируют в условиях (3), (4) допустимости и подозрительности переменных последовательностей. Эти времена в соответствии с (4), (8) [1] можно вычислить по формулам:
T(A, Ропт ) = AV (Ропт ),
"Г 11 " = AV "Г 11 " "Г r + 11 " = AV "Г r + 11 "
T ^ I I, P1r ; опт I I, P1r ; опт ,T AI I, p'+1,m; опт I I Pr+1,m; опт
_ VrJ _ _Vr J _ _ V m J _V m J _
(5)
где различные оптимальные постоянные порядки следования работ Ропт, Ррд. опт находятся с помощью процедуры § 4 [1].
2 Оптимизация расписаний при переменном порядке выполнения работ. Случай двух и большего числа изменений порядка
Рассмотрим теперь более сложный, чем в п. 1, случай отыскания оптимального переменного порядка Р следования п работ через конвейерную систему с
матрицей времен работ А = ||агу||, I = 1,да, ] = 1, п . А именно, будем считать, что
порядок Р реально меняется только два раза - на каких-то двух ступенях, г-й и д-й. Тогда переменный порядок Р можно представить в виде
Р = (Р1г, Рг+1,д, Рд+1,да ) (6)
последовательности трех постоянных порядков: порядка Р1г следования работ
через первые г ступеней, с 1-й по г-ю; порядка Рг+1 д следования работ через
следующие ступени, с (г + 1)-й по д-ю; порядка Рд+\т следования работ через
последние ступени, с (д + 1)-й по да-ю. Общее время выполнения всех работ в системе с переменным порядком работ (6), если не учитывать времена преобразования порядков работ Р^ ® Рг+1 д ® Рд+1 да , равно по формуле (7) [1]
Т "A,(P1r , Pr+1,q, Pq+1,m )] = T A ^J
, P
1r
+T
A
r +1
q
P
r+1,q
+ T
A
q +1
P
q+1,m
(7)
Сравнив это время с аналогичным временем в системе с постоянным порядком работ Р на всех ступенях и полагая, что в обеих системах порядки работ оптимизированы, получим следующее условие, при котором первое время меньше второго
" г 11 " " Г r +11 " " Г q+11 "
T A I I, P1r; опт _ Vr J _ + T AI I, Pr+1,q; опт _ V q J _ + T AI I, Pq+1,m; опт V m J < T Ропт )
(8)
Условие (8) аналогично условию (3) и также позволяет выделять подозрительные переменные последовательности работ - на этот раз вида (6) (с двукратным изменением порядка работ - на г-й и д-й ступенях), которые могут уменьшить общее время выполнения всех работ сравнительно со случаем постоянного порядка работ. Аналогично предыдущему (см. п. 1, формула (4)) находим более сильное, чем (8) условие
+
m
T
'г и " 'Гr+11 " 'Г q +11 '
AI I, P1r; опт T + A I I, Pr+1,q; опт +T I I, Pq+1,m; опт
_ VrJ _ _ V q J _ V m J _
+вр, Рг+1,д) + В(Рг+1,д, V,™) < Т(А
, Ропт ),
которое учитывает времена В(') преобразования порядков работ Р1Г ® Рг+1 д и Рг+1 д ® Рд+1 т и благодаря этому позволяет выделять из подозрительных переменных последовательностей работ вида (6) допустимые переменные последовательности, обеспечивающие действительное уменьшение общего времени выполнения всех работ по сравнению со случаем постоянного порядка работ. Далее процедура оптимизации переменной последовательности работ вида (6) (с двумя изменениями порядка работ) осуществляется как для переменной последовательности работ вида (1). То есть такая последовательность ищется среди допустимых последовательностей, с тем чтобы обеспечить не только минимум общего времени т выполнения всех работ в системе, но и уменьшение т сравнительно со случаем постоянного порядка работ. Если она существует, то целесообразно перейти от постоянного порядка работ в системе к переменному вида (6). Требуемые в процессе поиска оптимальной переменной последовательности вида (6) общие времена выполнения всех работ при различных оптимальных постоянных порядках их следования, а также сами эти порядки, входящие в условия (8), (9), находятся по установленным в п. 1 процедурам. Именно, времена выполнения работ вычисляются по формулам вида (5), а оптимальные постоянные порядки работ, входящие в эти формулы, находятся с помощью процедуры [1].
Общий случай характеризуется тем, что переменный порядок Р следования
п работ через конвейерную систему с матрицей времен работ А = ||агу||, I = 1, т,
} = 1,п, реально меняется к раз - на каких-то ступенях г_,Г2,...,г , где к - любое натуральное число, удовлетворяющее условию к < т -1. В этом случае оптимизируемый переменный порядок Р представляется в виде
Р = (P1rl, Prl+1,r2,..., Ргк+1,т ) . (Ю)
При этом условия «подозрительности» и допустимости порядка Р получаются как обобщение соответствующих условий для случаев к = 1 (формулы (3), (4)) и к = 2 (формулы (8), (9))
Г11 " Г ?1 + г
T A I, Pin; опт T + A
Vri J 1 _ r2
+T
Г ?к +1
m
?к +1,m; опт
>1+1,72; опт
< T(A, Р0пт ),
(11)
Г11 Г r1 + 1 1
T A ,P ■>1 iri; опт +T A 1 V r2 J
V r1 J
гі+1,Г2'; опт
+B(Pi? , Pr1+1,r2 ) + B(Pr1+1,r2 > Pr2+1,? ) + ••• + B(Pr
+ T
?к +1 m
Pr: +1,m; опт
?к-і? ’P+i,m
) < T(A, PonT).
(12)
Сама процедура поиска с помощью условий (11), (12) оптимальной переменной последовательности работ общего вида (10) с произвольным числом к изменений порядка работ принципиально не отличается от изложенных выше процедур для частных случаев к = 1 и к = 2 .
+
+
3 Допустимое число изменений порядка следования работ
Трудоемкость поиска оптимальной переменной последовательности работ согласно процедуре пп. 1, 2 решающим образом зависит от допустимого общего числа к существенных изменений порядка работ в указанной последовательности. Поэтому важно выявить имеющиеся ограничения сверху на к . Одно такое ограничение указано в [1] (см. формулу (1)). Теперь установим другие, более сильные ограничения.
Теорема 1. В конвейерной т-ступенчатой системе с постоянным порядком
Р выполнения п имеющихся работ и матрицей времен работ А = ||агу||,/ = 1, т,
] = 1, п время Т/ (А, Р) прохождения всех работ через произвольную 1-ю ступень не зависит от порядка Р и равно постоянной величине
п
Т (А, Р) = £ Щ] . (13)
] =1
Доказательство. Обозначим А(/) /-ю строку матрицы А. Ясно, что А(/) есть матрица времен работ -- й ступени системы. Поэтому согласно формуле (4) [1], с учетом определения (2) [1]
п
Т/ (А, Р) = Т[А(/), Р] = Ау [(/), Р] = Ау (/) = £ а,] , (14)
]=1
что и требовалось доказать.
Теорема 2. В конвейерной т-ступенчатой системе с переменным порядком
Р выполнения п имеющихся работ, матрицей времен работ А = ||аг] ||, / = 1, т,
] = 1, п и мгновенными изменениями порядка работ при переходах между группами ступеней выделение в качестве группы любой отдельной /-й ступени со своим собственным порядком прохождения работ Р не может изменить (в частности, уменьшить) общее время выполнения всех работ в системе путем выбора
подходящего Р .
Доказательство. В условиях теоремы переменный порядок Р выполнения работ в системе имеет вид (5) [1], а общее время выполнения всех работ в системе определяется формулой (6) [1]. В указанной формуле вклад /-й ступени выражается слагаемым Т [А(/), Р ]. Этот вклад, согласно (14), не зависит от Р . Следовательно, его, а вместе с ним и общее время выполнения всех работ в системе, нельзя изменить выбором подходящего Р , что и требовалось доказать.
Следствие 1. Для изменения (в частности, уменьшения) общего времени Т выполнения всех работ в конвейерной системе с переменным порядком Р выполнения всех работ, реализуемым путем изменения порядка работ при переходах между группами последовательных ступеней, в какую-нибудь группу должно входить, по крайней мере, две ступени (здесь имеется в виду, что изменение Т достигается варьированием Р ).
Следствие 2. Для того, чтобы изменение общего времени выполнения всех работ из следствия 1 имело место при варьировании составляющей Р , относящейся к /-й группе ступеней системы, необходимо, чтобы в этой группе имелось хотя бы две ступени.
Следствия 1, 2 справедливы как при неучете, так и при учете конечных времен перестановок порядка работ при переходах между группами последовательных ступеней.
Как показывает следствие 2, если мы хотим эффективного сокращения общего времени выполнения всех работ в конвейерной системе с переменным порядком выполнения работ Р , путем выбора подходящего Р , необходимо в каждую группу последовательных ступеней системы, характеризуемую своим собственным постоянным порядком прохождения работ, включать хотя бы две ступени. Это общее соображение позволяет определить для рассматриваемых систем общее число к и конкретное расположение мест существенных изменений порядка работ, поскольку такие места располагаются на границах соседних ступеней. Эти данные приведены в нижеследующей табл. 1.
Таблица 1
Число ступеней в системе т Общее число допустимых существенных изменений порядка работ к Номера ступеней, на выходах которых допустимы существенные изменения порядка работ
1 0 -
2 0 -
3 0 -
4 1 (2)
5 1 (2) или (3)
6 2 (2,4)
7 2 (2,4) или (2,5) или (3,5)
8 3 (2, 4, 6)
9 3 (2,4,6) или (2,5,7) или (3,5,7)
10 4 (2,4,6,8)
11 4 (2,4,6,8) или (2,5,7,9) или (2,4,7,9) или (2,4,6,9) или (3,5,7,9)
Общее число к допустимых существенных изменений порядка работ, показанное в табл. 1 определяется следующей формулой
К
где ] а [ означает целую часть числа а. Ограничение (15) на число к значительно
сильнее, чем установленное в [1] ограничение к < т -1.
Как показывают табл. 1 и формула (15), в конвейерных системах с числом ступеней т < 3 существенные изменения порядка работ при переходах между ступенями недопустимы. Таким образом, оптимальным для этих систем является постоянный для всех ступеней порядок следования работ. В то же время в системах с числом ступеней т > 4 такие изменения, согласно табл. 1 и формуле (15), допустимы. Это означает, что оптимальным для таких систем в общем случае является переменный порядок следования работ, зависящий от номера ступени. При этом для переменного порядка Р вида (10) общее время Т(А, Р)5 выполнения всех работ в системе с матрицей времен работ А, подлежащее минимизации
0, к = 1;
](m -2)/2[, к > 2,
(15)
T (A, P) = T
+T
A \ , |, P1?\; опт
+ T
A Г1 +1|, P,
r +1,r2; опт
,2
+... +
А \ Гк +1 l P
^ \ Ь1 rk +1,m; опт
i m i k
+ B(P1l1, Pr +1,r2 ) + 06)
+В(р1+1,Г2 , РГ2+1,Г3 ) + + В(рГк-1+1,Гк , РГк+1,т )•
4 Общий алгоритм построения оптимального расписания при допустимости изменения порядка следования работ
На основании изложенного выше, общий алгоритм оптимизации порядка Р следования п работ в конвейерной т-ступенчатой системе с матрицей времен
работ А = ||агу||, I = 1,т, ] = 1, п , с целью минимизации времени выполнения всех
работ в системе Т(А, Р), с учетом того, что Ропт может оказаться в общем случае как постоянным, так и переменным, выглядит так.
Шаг 1. Ищем оптимальный постоянный порядок Ропт следования работ в системе на множестве всех постоянных порядков. Для этого используем процедуру оптимизации постоянного порядка следования работ, изложенную в [1].
Шаг 2. Проверяем число ступеней т заданной системы. Если т < 3 , то найденный на шаге 1 постоянный порядок Ропт следования работ в системе объявляется оптимальным порядком следования работ в системе на множестве всех постоянных и переменных порядков, который подлежал определению. Конец алгоритма. Если же т > 4 , то переход к шагу 3.
Шаг 3. Ищем число и расположение мест существенных изменений порядка работ, с целью продолжить оптимизацию постоянного оптимального порядка работ Ропт на множестве переменных порядков работ. Для этого используем табл. 1 и формулу (15). С их помощью система разбивается на группы последовательных ступеней, такие, что каждая группа имеет свой собственный порядок следования работ, а комбинация этих порядков дает необходимый переменный порядок вида (10) следования работ через всю систему.
Шаг 4. Ищем оптимальный постоянный порядок Рг +! г.+1 опт следования работ для каждой группы ступеней г\ +1,...,т}+1, найденной на шаге 3. Для этого используем процедуру оптимизации постоянного порядка следования работ, изложенную в [1]. Для каждой группы ступеней в общем случае находится несколько оптимальных постоянных порядков.
Шаг 5. Подставляя в (10) оптимальные постоянные порядки следования работ через отдельные группы ступеней, найденные на шаге 4, получим псевдооп-тимальный переменный порядок вида (10) следования работ через всю систему. Для каждой системы в общем случае находится несколько псевдооптимальных порядков вида (10).
Шаг 6. Все псевдооптимальные переменные порядки следования работ через систему, выделенные на шаге 5, с помощью условия (11) проверяются на «подозрительность». Если полученное множество подозрительных переменных порядков вида (10) оказывается пустым, это означает, что среди переменных порядков следования работ через систему нет обладающих меньшим временем выполнения всех работ, чем оптимальный постоянный порядок. Поэтому в этом случае оптимальный постоянный порядок Ропт следования работ в системе, найденный на шаге 1, объявляется оптимальным порядком следования работ в системе на множестве всех постоянных и переменных порядков, и конец алгоритма. Если же
множество подозрительных переменных порядков вида (10) непусто, то следует переход к шагу 7.
Шаг 7. Все подозрительные переменные порядки следования работ через систему, выделенные на шаге 6, с помощью условий (12) проверяются на допустимость. Если полученное множество допустимых порядков вида (10) окажется пустым, это означает, что при учете конечного времени преобразования порядка работ среди переменных порядков следования работ через систему нет обладающих меньшим временем выполнения всех работ, чем оптимальный постоянный порядок. В таком случае оптимальный постоянный порядок Ропт следования работ в системе, найденный на шаге 1, объявляется оптимальным порядком следования работ в системе на множестве всех постоянных и переменных порядков, и конец алгоритма. Если же множество допустимых переменных порядков вида (10) непусто, то следует переход к шагу 8.
Шаг 8. Для всех допустимых переменных порядков следования работ через систему Р, выделенных на шаге 7, по формуле (16) определяется общее время Т выполнения всех работ в системе. Порядок Р с минимальным значением Т объявляется оптимальным переменным порядком Ропт следования работ через систему. Конец алгоритма.
Пример 1. Найдем оптимальный порядок Ропт прохождения двух работ через кон-
10 1
вейерную четырехступенчатую систему с матрицей времен работ А =
и време-
1 10 1 10 10 1
нем преобразования одного порядка работ Р в другой Р^ , равным В = 1 при любых /, / Шаг 1. Оптимальный постоянный порядок прохождения работ в данной системе найден в примере 1 [1]: Ропт есть р = (1,2) или Р = (2,1) . Соответствующее минимальное
время выполнения всех работ в системе Тпо = 32. Шаг 2. Так как число ступеней т = 4, то переходим к шагу 3. Шаг 3. С помощью табл. 1 находим, что система должна быть разбита на 2 подсистемы, включающие соответственно первые 2 и следующие 2 ступени, с возможным изменением порядка работ при переходе от 1-й подсистемы ко 2-й. Шаг 4. Оптимальные постоянные порядки прохождения работ в 1-й и 2-й подсистемах найдены в примере 1 [1]: р опт = Р2 = (2,1), Р2 опт = р= (1,2), соответствующие минимальные
времена выполнения всех работ в подсистемах Т1 = Т2 = 12 . Шаг 5. Подставив порядки Р опт, Р опт в (10) при т = 4, г = 2, г2 = 4 , получим псевдооптимальный переменный порядок следования работ через всю систему Р = [Р2 = (2,1), Р34 = (1,2)], в котором работы следуют через 1-ю подсистему (ступени 1, 2) в порядке (2,1), а через 2-ю подсистему (ступени 3, 4) в порядке (1,2), с изменением порядка (2,1) ® (1,2) при переходе от 1-й подсистемы ко 2-й. Шаг 6. Найденный на шаге 5 порядок Р проверяем на подозрительность с помощью условий (11), имеющих здесь вид Т1 + Т2 < Тпо . Условия выполнены: 12 +12 < 32, поэтому переходим к шагу 7. Шаг 7. Тот же порядок Р проверяем на допустимость с помощью условий (12), имеющих здесь вид Т1 + Т2 + B < Тпо . Условия выполнены: 12 +12 +1 < 32 , так что переходим к шагу 8. Шаг 8. Так как допустимый порядок только один - Р, объявляем его оптимальным переменным порядком Ропт прохождения работ через систему. Итак, оптимальный переменный порядок Ропт выполнения 2 работ в четырехступенчатой конвейерной системе с матрицей времен работ A и временем преобразования одного порядка работ в другой B = 1 есть Ропт = [р2 = (2,1), Р34 = (1,2)]. То
вейерную четырехступенчатую систему с матрицей времен работ А =
есть через первые две ступени - 1-ю и 2-ю работы должны проходить в порядке (2,1), а через следующие две ступени - 3-ю и 4-ю - в противоположном порядке (1, 2) . При этом время выполнения всех работ составит согласно (16) Тпе = Т] + Т2 + В = 12 + 12 + 1 = 25.
Экономия времени, связанная с переходом от оптимизации на множестве постоянных порядков работ к оптимизации на множестве переменных порядков, составляет здесь 32 - 25
(Тпо - Тпе )/Тпо = -32- = 0,219 » » 22 % .
Пример 2. Найдем оптимальный порядок Ропт прохождения трех работ через кон-
10 1 2 1 10 1
и
1 10 1 10 1 2
временем преобразования одного порядка работ Р в другой Ру , равным В = 2 при любых /, у . Действуем аналогично примеру 1.
Шаг 1. Оптимальный постоянный порядок прохождения трех работ в системе (см. пример 2 в [1]) Ропт есть любой из шести возможных порядков: Ц = (1,2,3),
Р2 = (2,3,1), Р3 = (3,1,2), Р4 = (1,3,2), Р5 = (3,2,1), Р6 = (2,1,3) . Соответствующее время выполнения всех работ в системе Тпо = 34 . Шаг 2. Число ступеней т = 4 , поэтому переход к шагу 3. Шаг 3. Согласно табл. 1 разбиваем систему на подсистемы 1 (ступени 1,2) и 2 (ступени 3,4). Шаг 4. Оптимальные постоянные порядки прохождения работ в 1-й и 2-й подсистемах (см. пример 2 в [1]): Р опт есть Р = (2,3,1) или Р2 = (2,1,3) , с соответствующим временем выполнения всех работ в 1-й подсистеме Т1 = 14, Р2 опт есть Р = (1,3,2) или Р4 = (3,1,2) , с соответствующим временем выполнения всех работ во 2-й подсистеме Т2 = 14. Шаг 5. Вставляем порядки Р опт, Р2 опт в (10), получаем псевдооптимальный переменный порядок выполнения работ в системе Р = [Р12 = = (2,3,1) и (2,1,3); Р34 = (1,3,2) и (3,1,2)] , в котором работы следуют через 1-ю подсистему в порядке (2,3,1) или (2,1,3), а через 2-ю подсистему в порядке (1,3,2) или (3,1,2), с изменением порядка при переходе из 1-й подсистемы во 2-ю. Шаг 6. Проверка порядка Р на подозрительность по условию (11) Т1 + Т2 < Тпо , имеем 14 +14 < 34 , т.е. условие выполнено. Переход к шагу 7. Шаг 7. Проверка порядка Р на допустимость по условию (12) Т1 + Т2 + В < Тпо , имеем 14 +14 + 2 < 34 , т.е. условие выполнено. Переход
к шагу 8. Шаг 8. Имеем 4 допустимых порядка р доп = [Р12 = (2,3,1), Р34 = (1,3,2)] , Р2,доп =[Р12 = (2,3,1), Р34 = (3,1,2)], Р3,доп =[Р12 = (2,1,3), Р34 = (1,3,2)] Р34 = (3,1,2)], с одинаковым временем выполнения всех работ Тпе = Т1 +Т2 + В = 14 +14 + 2 = 30 . Поэтому любой из четырех порядков является оптимальным переменным порядком Ропт выполнения трех работ в четрыехступенчатой конвейерной системе с матрицей времен работ А и временем преобразования одного порядка работ в другой В = 2 . При этом выбор в качестве Ропт порядка Р1,доп означает, что через первые две ступени работы
проходят в порядке (2,3,1), а через следующие две ступени - в порядке (1,3,2) . Аналогично интерпретируется выбор в качестве Ропт порядков Р2 доп, Р3 доп, Р доп . Экономия времени благодаря переходу от постоянного порядка работ к переменному 34 - 30
(Тпо - Тпе )/Тпо = -30- » 0,133 = = 13,3 %.
Заключение
Предложенный метод изучения конвейерных систем с переменным порядком выполнения работ позволяет использовать хорошо разработанные методы исследования этих систем в условиях постоянного порядка работ. Это использование базируется на установленных принципах разбиения системы с переменным порядком следования работ на несколько последовательных подсистем с постоянным порядком работ. Такое решение понижает размерность решаемой задачи и упрощает вычисления. Эффективность предложенного подхода в изучении конвейерных систем, основанная на декомпозиции изучаемой системы, делает актуальным его применение к системам более общей структуры.
Список литературы
1 Левин, В.И. Синтез оптимальных расписаний в последовательных системах с переменным порядком работ. Часть I / В.И. Левин // Вестник ТГТУ. - 2006. -Т. 12. - № 2. - С. 312-322.
Synthesis of Optimal Schedules in Sequential Systems with Variable Procedures. Part II
V.I. Levin
Penza State Technological Academy
Key words and phrases: optimal schedule; sequential system; synthesis method.
Abstract: The algorithms of converging the task of schedules optimization in conveyor systems with variable procedures to finite number k of similar tasks with permanent procedures are constructed. Number k is evaluated. The examples proving the necessity of changing the sequence of procedures in the systems are given.
Synthese der optimalen Plane in den aufeinanderfolgenden Systemen mit der variabelen Ordnung der Arbeiten. Teil II
Zusammenfassung: In den zweiten Teil des Artikels sind die Algorithmen der Nachricht der Aufgabe der Optimierung der Plane in den Fliesssystemen mit der variabelen Ordnung der Erfullung der Arbeiten zur endlichen Zahl k der ahnlichen Aufgaben mit der standigen Ordnung ihrer Erfullung gebaut. Es ist die Zahl k bewertet. Es sind die Beispiele, die die Zweckmafligkeit die Veranderungen etwa die Arbeiten in den Systemen aufzeigen, angefuhrt.
Synthese des horaires optimaux dans les systemes successifs avec l’ordre alternatif des travaux
Resume: Dans la deuxieme partie de l’article sont formules les algorithmes du probleme de l’optimatisation des horaires dans les systemes de convoyeur avec l’ordre du fonctionnement alternatif pour le nombre final k des problemes analogues avec l’ordre continu de leur execution. Est evalue le nombre k. Sont cites les exemples indiquant la regularite du changement de l’ordre des travaux dans les systemes.
