CC BY
229
УДК 517.8
НЕКОТОРЫЕ МЫСЛИ О ТЕОРИИ РАСПИСАНИЙ В.И. Левин
Пензенская государственная технологическая академия Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: математическое программирование; матричные методы; методы ветвей и границ; непрерывно-логические методы; оптимизация; перестановочный прием; расписания; статистическое моделирование.
Аннотация. Дан краткий обзор развития теории расписаний. Изложен взгляд автора на перспективные направления этой теории.
Недавно вышла в свет новая монография по теории расписаний [8]. В ней изложены результаты докторской диссертации ее автора. Обстоятельные книги в этой области появляются редко [1 - 7], поэтому выход в свет каждой новой книги становится определенным событием. Мы решили воспользоваться этим поводом и обсудить теперешнее положение дел в теории расписаний и ее возможные перспективы.
Т еория расписаний, как известно, занимается изучением порядка выполнения совокупностей работ в тех или иных системах, с целью его оптимизации. Методически эта теория является частью дискретной математики со всеми вытекающими из этого проблемами, в первую очередь - необычайной сложностью решения даже очень просто формулируемых задач.
Т еория расписаний как наука стала формироваться в середине 1950-х годов, после работ Беллмана и Джонсона, рассмотревших простейшую задачу теории -задачу двух станков [9, 10], и сформулировавших основы математического аппарата, лежащего в основе решения этой и других подобных задач [11]. Затем в течение 30 лет, вплоть до середины 1980-х годов, развитие теории шло в рамках нескольких конкретных научных направлений.
Первое направление - использование для анализа и синтеза расписаний комбинаторных методов (Артханари [12], Белов [13], Беленький [14], Бурдюк [15], Бэкер [16], Гупта [17], Джонсон [10], Данильченко, Левченко [18], Дудек [19], Иг-нал [20], Конвей [1], Кукса, Михалевич [21], Левин [5, 22 - 25], Левнер [26], Лен-стра [27], Мак-Магон [28], Шварц [29 - 32], Танаев, Шкурба [2]). В рамках этого направления был получен ряд важных теоретических результатов: разработан перестановочный прием, позволивший находить аналитические условия локальной оптимальности расписания малой размерности [2], разработан непрерывнологический аппарат (включая теорию логических определителей), позволивший получить аналитические условия локальной оптимальности расписаний произвольно высокой размерности [24, 25], развит матричный метод синтеза расписаний, использующий специфику матрицы времен выполнения работ в блоках системы [29], выделены случаи сводимости составления расписания высокой размерности к составлению расписаний малой размерности [15, 33], найдены случаи и условия
доминирования расписаний, позволяющие исключать из рассмотрения неперспективные расписания [13, 17].
Второе направление исследований было связано с использованием для построения оптимальных расписаний методов ветвей и границ [20, 34, 35 и др.]. Эти исследования подтвердили, что методы ветвей и границ позволяют находить оптимальные расписания точно, подобно тому, как они позволяют находить точные оптимальные решения в других областях. При этом, однако, не было получено каких-либо достаточно общих теоретических результатов. Было только выяснено, что использование локальных условий оптимальности расписания приводит к более эффективному варианту алгоритма - так называемому методу ветвей, границ и условий [5].
Третье направление - применение для анализа и синтеза расписаний методов статистического моделирования [36, 38 и др.]. Эти методы основаны на случайном последовательном улучшении имеющегося расписания, путем выбора в каждом из последовательно разыгрываемых множеств возможных расписаний лучшего расписания и запоминания рекордного из них. При этом должно быть сформулировано определенное правило остановки процесса. Было выяснено, что данные методы позволяют получать приближенно оптимальные расписания, однако оценить точность полученного решения проблематично. Как и во втором направлении исследований, здесь не удалось получить каких-нибудь достаточно общих теоретических результатов.
Четвертое направление примечательно тем, что для синтеза оптимальных расписаний здесь пытались использовать методы математического программирования [4, 39 - 42 и др.]. При этом было установлено, что любую задачу синтеза оптимального расписания можно сформулировать как некоторую задачу математического программирования. Однако размерность последней обычно оказывается слишком большой. В связи с этим практическое применение методов математического программирования для отыскания оптимальных расписаний оказывается проблематичным.
К середине 1980-х годов произошло некоторое «насыщение» числа полученных научно-практических результатов, касающихся теории расписаний. С другой стороны, выяснилось, что задача составления оптимального расписания в общем случае является ^^-трудной, т.е. не разрешимой алгоритмами с полиномиальной сложностью [43]. В связи с этим интерес исследователей стал все больше перемещаться на новые постановки задач теории расписаний, а также на новые методы решения различных постановок указанных задач. Так, стали изучаться задачи составления оптимальных расписаний при поступлении работ на вход системы в режиме реального времени [44, 45], а также при заданных ограничениях на допустимый порядок выполнения работ [46, 47], появились исследования по приближенным алгоритмам поиска оптимальных расписаний с гарантированной точностью [48, 49] и алгоритмам локального поиска [50, 51]. Значительный интерес приобрели задачи синтеза оптимальных расписаний выполнения работ, при допустимости изменения порядка следования работ через систему [52], а также задачи построения оптимальных расписаний в системах с неточно известными временами выполнения работ [53 - 55]. Во всех указанных направлениях работало немало ученых и были получены интересные научные результаты (см., например, обзор [56]). Однако направление «Системы с переменным порядком следования работ» явно отставало от других направлений. Поэтому появление монографии [8], в которой систематически рассматривается указанный класс систем, вызывает интерес.
В [8] изучается так называемая конвейерная задача теории расписаний. В ней рассматривается последовательность из т блоков, в которой надо выполнить п работ, включающих каждая т операций. При этом каждая работа проходит сначала блок 1, где выполняется 1-я операция, затем блок 2, где выполняется 2-я операция и т.д. Работа поступает на очередной блок, как только он освободится от выполнения предыдущей работы. Известны времена йу выполнения всех работ у на всех
блоках /'. Требуется найти оптимальный порядок прохождения работ через систему, для которого суммарное время выполнения всех работ Т минимально. Причем возможен как постоянный порядок прохождения работ через все блоки системы, так и переменный, зависящий от номера блока. Последнее означает изменение порядка следования работ при переходе от одного блока системы к следующему.
Впервые эффект изменения порядка следования работ при их прохождении через конвейерную систему обнаружил еще Джонсон [10], установивший, что при т < 3 оптимальным всегда является постоянный порядок следования работ, а при т > 4 - вообще говоря, переменный. К сожалению, в работе [10] было допущено ряд существенных ошибок. Так, приведенное в [1] условие оптимальности для случая т = 2 оказалось, вообще говоря, неверным [57, 58]. Однако самым большим упущением было то, что Джонсон не учел следующего существенного факта: изменение порядка работ есть особая операция, требующая (как и основные операции) конечного времени и потому влияющая на математическую модель и решение задачи выбора оптимального расписания выполнения работ в системе. Например, перестановка местами изделий на конвейере, поскольку они закреплены, требует значительного времени, которое может даже превосходить время основных, технологических операций. Так что модель Джонсона конвейерной системы с переменным порядком работ оказывается неадекватной действительности. Однако эта неадекватность не была замечена учеными, и во всех последующих публикациях модель и примеры из [10] постоянно приводились как иллюстрация того, что в общем случае (при т > 4 ) оптимальный порядок следования работ через конвейерную систему необходимо искать в классе переменных порядков. В книге же [8] эта неадекватная модель взята за основу при изучении конвейерных систем.
Реальная проблема, связанная с возможной полезностью переменного порядка работ, заключается в следующем: может ли изменение порядка следования работ при их прохождении через конвейерную систему уменьшить суммарное время выполнения всех работ Т, несмотря на дополнительное время г, необходимое для указанного изменения? Исследования в рамках модели с конечным временем г показывают, что для уменьшения времени Т необходимо жесткое ограничение сверху времени г; однако этого не всегда достаточно, так как даже при г = 0 желаемое уменьшение Т может оказаться невозможным [59, 60]. Таким образом, для реалистического выбора оптимального порядка следования работ через конвейерную систему нельзя рекомендовать расчеты, предложенные в [8] в рамках неадекватной модели Джонсона [10]. Для этого следует использовать какую-либо другую, адекватную модель, учитывающую конечность времени г. Простейшая такая модель предложена в [59 - 61].
Определять оптимальный порядок выполнения работ в конвейерной системе автор [8] предлагает приближенно, чтобы обойти проблему ^^-полноты (экспоненциальной трудоемкости) данной задачи. Для этого разрабатывается специальный вариант локального поиска, основанный на принципе ^-оптимальности. В нем, исходя из некоторого опорного расписания я, ищут его последовательные
^-улучшения %,...,р,...,яп-1, где р (£ = 1,п -1) - локально оптимальное распи-
сание на множестве всех расписаний, удаленных от я на расстояние < £ . Так что я1 есть минимальное улучшение я, Я2 - следующее по величине улучшение я, ..., яп-1 - максимальное улучшение я, т.е. искомый оптимальный порядок работ в системе (постоянный или переменный). Трудоемкость лучшего из алгоритмов поиска расписания я^ равна 0(п^+1). Таким образом, чтобы обеспечить полиномиальную трудоемкость нахождения приближенно оптимального порядка работ, нужно дополнить этот алгоритм точным правилом остановки процесса последовательного приближения к оптимуму я ® я1 ® я2 ® ... ® я^ ®... на некотором £-м шаге (£ ограничено при п ® ¥), таком, что полученное на нем расписание я^ можно принять за искомое приближенно оптимальное расписание. Этим правилом может быть, например, остановка процесса по достижении требуемой точности решения, основанная на оценке степени приближения к безусловному оптимуму, или какое-нибудь другое правило. Однако в [8] не дано никаких точных правил остановки. Поэтому для решения задачи остается только одно - пройти всю цепочку я ® я1 ® ... ® яп-1 , вплоть до безусловного оптимума яп-1 . Но это уже не приближенное (полученное по упрощенному алгоритму), а точное решение, и трудоемкость его отыскания - 0(пп) - является не полиномиальной, а экспоненциальной. Таким образом, провозглашенный в [8] подход к полиномиальной по трудоемкости приближенной оптимизации расписаний в конвейерных системах на поверку оказывается несостоятельным.
Задача нахождения оптимального порядка выполнения работ в тех или иных системах с приемлемой точностью и трудоемкостью, безусловно, сложна. Для ее эффективного решения наверняка будут предлагаться все новые подходы и методы, соответствующие взглядам различных исследователей. На наш взгляд, наиболее плодотворными здесь, как и во всей дискретной оптимизации, могут быть теоретические методы (вспомним Эйнштейна: «Нет ничего практичнее хорошей теории»), позволяющие представить точное решение задачи структурно, т.е. в виде суперпозиции решений тех или иных подзадач меньшей размерности. Примером таких методов в дискретной математике (в частности, дискретной оптимизации и теории расписаний) являются структурно-логические методы [5]. Основное достоинство структурных (в частности, структурно-логических) методов состоит в том, что в их рамках задачу можно решать как точно (когда трудоемкость решения невелика), так и приближенно (когда она велика). Разница лишь в том, что в первом случае выполняются все вычисления, предусмотренные структурным представлением решения задачи, а во втором часть их, представляющая собой решения отдельных подзадач, заменяется соответствующими оценками, что позволяет уменьшить трудоемкость решения всей задачи до приемлемой величины. Эта гибкость, позволяющая настраиваться на конкретные решаемые задачи и в то же время видеть структуру задачи целиком, даже если она решается приближенно, т.е. не в полном объеме, - важное методическое преимущество структурных методов.
Список литературы
1 Конвей, Р.В. Теория расписаний / Р.В. Конвей, В.Л. Максвелл, Л.В. Миллер. - М.: Наука, 1975.
2 Танаев, В.С. Введение в теорию расписаний / В.С. Танаев, В.В. Шкурба. -М.: Наука, 1975.
3 Подчасова, Т.П. Эвристические методы календарного планирования / Т.П. Подчасова, В.М. Португал, В.А. Татаров, В.В. Шкурба. - Киев: Техника, 1980.
4 Теория расписаний и вычислительные машины / под ред. Э.Г. Коффмана -М.: Наука, 1984.
5 Левин, В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применением ЭВМ / В.И. Левин. - М.: Наука, 1987.
6 Танаев, В.С. Теория расписаний. Одностадийные системы / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков. - М.: Наука, 1987.
7 Танаев, В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич. - М.: Наука, 1989.
8 Мирецкий, И.Ю. Матричные модели и методы в теории расписаний / И.Ю. Мирецкий. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2003.
9 Bellman, R., Gross, O. Some combinatorial problems arising in the theory of multistage processes // Journ. Soc. industr. and appl. mathematics. 1945. Vol. 2. No. 3.
10 Johnson, S.M. Optimal two- and three-stage production schedules with setup times included // Nav. res. log. quart. 1954. Vol. 1. No. 1.
11 Bellman, R. Mathematical aspects of scheduling theory // Journ. Soc. industr. and appl. mathematics. 1956. Vol. 4. No. 3.
12 Arthanari, T.S. Mukhopadhyay, A.C. On some sequencing problems. A note on a paper by W. Szwarc // Nav. res. log. quart. 1971. Vol. 18. No. 1.
13 Белов, И.С. Алгоритм в одномаршрутной задаче календарного планирования / И.С. Белов, Я.Н. Столин // Математическая экономика и функциональный анализ. - М.: Наука, 1974.
14 Беленький, А. С. Применение моделей и методов теории расписаний в задачах оптимального планирования на грузовом транспорте / А.С. Беленький, Е.В. Левнер // Автоматика и телемеханика. 1989. № 1.
15 Бурдюк, В.Я. О задаче m станков (m > 2) / В.Я. Бурдюк // Кибернетика. 1969. № 3.
16 Baker, K.P. Scheduling groups of jobs in the two-machine flow-shop // Math. and comput. modell. 1990. Vol. 13. No. 3.
17 Gupt, J.N.D. An improved combinatorial algorithm for the flowshop scheduling problem // Oper. res. 1971. Vol. 19. No. 7.
18 Данильченко, А.М. Приближенный алгоритм решения задачи трех станков / А.М. Данильченко, С.Н. Левченко, А.В. Панишев // Автоматика и телемеханика. 1985. № 7.
19 Dudek, R.A., Teuton, O.F.J. Development of М-stage decision-rule for scheduling n jobs through m machines // Oper. res. 1964. Vol. 12. No. 3.
20 Ignal, E., Schrage, L. Application of the branch and bound technique to some flow shop scheduling problems // Oper. res. 1963. Vol. 17. No. 3.
21 Михалевич, В. С. Методы последовательной оптимизации (в дискретных задачах оптимального распределения ресурсов) / В. С. Михалевич, А.И. Кукса. -М.: Наука, 1983.
22 Левин, В. И. Логический метод оптимизации решения задач в вычислительных системах / В.И. Левин // Автоматика и вычисл. техника. 1982. № 3.
23 Левин, В.И. К оптимизации расписания обработки деталей / В.И. Левин // Math. Operationsforsch. und Statist., Ser. Optimization. 1982. Vol. 13. No. 4.
24 Левин, В.И. К планированию работы вычислительных систем. I. II, III (Математический аппарат, анализ плана, синтез плана) / В. И. Левин // Автоматика и вычисл. техника. 1982. № 5; 1983. №№ 2, 3.
25 Левин, В.И. Оптимизация расписания обработки деталей с помощью смешанных условий оптимальности / В.И. Левин // Math. Operationsforsch. und Statist., Ser. Optimization. 1987. Vol. 18. No. 5.
26 Левнер, Е.В. Задача сетевого планирования в постановке «точно вовремя» и потоковый алгоритм ее решения / Е.В. Левнер, А.С. Немировский // Численные методы оптимизации и анализа. - Новосибирск: Сиб. энерг. ин-т, 1992.
27 Lenstra, J.K. Sequencing by Enumerative Methods // Mathematical Centrum. Amsterdam. 1976. Ch. 12.
28 McMahon, G.B. Optimal Production Schedules for Flow Shop // Canadian Operational Society Journ. 1969. No. 7.
29 Szwarc, W. Elimination Methods in the m X П Sequencing Problem // Nav. Res. Log. Quart. 1971. Vol. 18. No. 3.
30 Szwarc, W. Optimal Elimination Methods in the m X n Flow-Shop Scheduling Problem // Oper. Res. 1973. Vol. 21. No. 6.
31 Szwarc, W. Permutation Flow-Shop Theory Revizited // Nav. Res. Log. Quart. 1978. Vol. 25. No. 3.
32 Szwarc, W. Precedence Relations of the Flow Shop Problem // Oper. Res. 1981. Vol. 29. No. 2.
33 Глебов, Н.И. Некоторые случаи сводимости m-станочной задачи Джонсона к задаче с двумя станками / Н.И. Глебов // Управляемые системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1978. Вып. 17.
34 McMahon, G.B., Burton, P.G. Flow-Shop Scheduling with the Branch-and-Bound Method // Oper. Res. 1967. Vol. 15. No. 3.
35 Lomnicki, Z.A. A «Branch-Bound» Algorithm for the Exact Solution of the Three-Machine Scheduling Problem // Oper. Res. Quart. 1965. Vol. 16. No. 1.
36 Heller, J. Some Numerical Experiments for an M X J Flow Shop and Its Decision-Theoretical Aspects // Oper. Res. 1960. Vol. 8. No. 2.
37 Nugent, C.E. On Sampling Approaches to the Solution of the n-by-m Static Sequencing Problem. Ph. D. thesis. Cornell University. 1964.
38 Elmaghraby, S.E. The One Machine Sequencing Problem with Delay Costs // Journ. Ind. Eng. 1968. Vol. 19. No. 2.
39 Bowman, E.H. The Schedule-Sequencing Problem // Oper. Res. 1959. Vol. 7. No. 5.
40 Giglio, R.J. Wagner H.M. Approximate Solutions to the Three-Machine Scheduling Problems // Oper. Res. 1964. Vol. 12. No. 2.
41 Лурье, А.Л. О некоторых задачах календарного планирования // Сб. на-учн. трудов. М.: Наука. 1962. Вып. 7.
42 Manne, A.S. On the Job-Shop Scheduling Problem // Oper. Res. 1960. Vol. 8. No. 2.
43 Гэри, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон. - М.: Мир, 1982.
44 Левин, В. И. Логические методы исследования вычислительных систем реального времени / В.И. Левин // Автоматика и вычисл. техника. 1985. № 3.
45 Левин, В.И. Задача М станков при поступлении деталей в режиме реального времени / В.И. Левин // Автоматика и телемеханика. 1989. № 1.
46 Серик, А.Е. Использование интервалов очередности для решения задач очередности с ограничениями / А.Е. Серик // Кибернетика. 1980. № 4.
47 Левин, В. И. Задача m станков при ограничениях на порядок следования деталей / В.И. Левин // Автоматика и телемеханика. 1987. № 3.
48 Севастьянов, С.В. Эффективное построение расписаний в системах открытого типа / С.В. Севастьянов // Сиб. журн. исследования операций. 1994. Т. 1. № 1.
49 Севастьянов, С.В. Геометрия в теории расписаний / С.В. Севастьянов // Модели и методы оптимизации. Труды ин-та математики СО АН СССР. - Новосибирск: Наука. 1988. Т. 10.
50 Local Search in Combinatorial Optimization. 1997. Chichester: John Wiley.
51 Glover, F. Tabu search. I, II // ORSA Journ. Comp. 1989. Vol. 1; 1990, Vol. 2.
52 Левин, В.И. К планированию работы конвейерных систем с последовательно-параллельной структурой / В.И. Левин, И.Ю. Мирецкий // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ЭВТ. 1987. Вып. 6.
53 Левин, В.И. Оптимизация расписаний в системах с неопределенными временами обработки. I, II / В.И. Левин // Автоматика и телемеханика. 1995. №№ 2, 3.
54 Левин, В.И. Задача трех станков с неопределенными временами обработки / В.И. Левин // Автоматика и телемеханика. 1996. № 1.
55 Левин, В.И. Оптимизация расписаний в М-стадийной системе с неопределенными временами обработки. I, II / В.И. Левин // Автоматика и телемеханика. 2002. №№ 1, 2.
56 Левин, В.И. Оптимальное планирование работ в конвейерных системах / В.И. Левин, И.Ю. Мирецкий // Автоматика и телемеханика. 1996. № 6.
57 Хоботов, Е.Н. Некоторые замечания к теореме Джонсона / Е.Н. Хоботов // Автоматика и телемеханика, 1995. № 10.
58 Левин, В.И. К задаче Беллмана-Джонсона / В.И. Левин // Изв РАН. Теория и системы управления. 1999. № 1.
59 Левин, В.И. Задача Беллмана-Джонсона для конвейерных систем с переменным порядком работ / В.И. Левин // Вестник ТГТУ. 2003. Т. 9. № 3.
60 Левин, В.И. Уточнение решения задачи Беллмана-Джонсона / В.И. Левин // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 5.
61 Левин, В.И. Оптимизация расписаний в конвейерных системах с переменным порядком выполнения работ / В. И. Левин // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4.
Some Ideas about the Schedule Theory V.I. Levin
Penza State Technological Academy
Key words and phrases: mathematical programming; matrix methods; methods of branches and borders; continuous logical methods; optimization; transposition method; schedule; statistic modeling.
Abstract: Brief review of the development of schedule theory is presented. The author’s view of the long-range trends of this theory is given.
Einige Gedanke über Plantheorie
Zusammenfassung: Es ist die kurze Übersicht der Entwicklung der Plantheorie angegeben. Es ist den Gesichtspunkt des Autors über den perspektiven Richtungen dieser Theorie dargelegt.
Quelques idées sur la théorie des horraires
Résumé: Est donnée la revue du développement de la théorie des horraires. Est exposée la conception de l’auteur sur les orientations perspectives de cette théorie.
