Оптимизация работы системы последовательного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПТИМИЗАЦИЯ РАБОТЫ СИСТЕМЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ТИПА

Мирецкий И.Ю.

(Волжский гуманитарный институт (филиал) Волгоградского государственного университета, Волжский) miretsky@vgi .volsu.ru

Рассматривается конвейерная задача теории расписаний. На множестве перестановочных расписаний вводится метрика. Вводятся понятия s-окрестности и s-оптимальности расписания. Разработан подход к построению расписаний, оптимальных в s-окрестности. Подход основан на проведении преобразований расписания. Определены условия эффективности композиций преобразований.

Ключевые слова: конвейерная задача, расписание, поиск в локальной окрестности

Введение

При планировании работы ряда дискретных систем эффективными оказываются модели и методы теории расписаний. Частным случаем общей задачи теории расписаний является конвейерная задача Fm | perm | Cmax, или задача об оптимальном перестановочном расписании [1]. Ее решают с целью оптимизации функционирования систем последовательной обработки (конвейерных систем).

Задача Fm | perm | Cmax ^-трудна [4]. Для ее решения предлагались различные эвристики [5]. Их сравнительный анализ показывает, что метод поиска в локальной окрестности позволяет довольно быстро находить приемлемые по качеству решения [2]. Традиционно при реализации метода локального поиска

используются техники одиночной вставки, транспозиций и блочного перемещения работ. Окрестность расписания определяется возможными вставками, транспозициями и блочными перемещениями. В настоящей работе предлагается окрестность рассматривать более широко. Для формального описания окрестности на множестве перестановочных расписаний вводится метрика; для отыскания приближенно-оптимальных расписаний предлагается использовать направленный поиск. Введение метрики позволяет при решении задачи рассматривать различные по мощности окрестности (s-окрестности), что, в свою очередь, дает возможность строить приближенно оптимальные расписания различного качества (s-оптимальные расписания) посредством эффективных (полиномиально сложных) алгоритмов.

1. Формализация задачи

Рассмотрим задачу Fm | perm | Cmax об оптимальном перестановочном расписании, состоящую в минимизации длительности производственного цикла в системе конвейерного типа. Система состоит из m последовательно работающих машин М1, ...,Мп, на которых требуется выполнить n заданий-работ t1, ..., tn. Работа tj, j = 1,n, состоит из m операций Oy, ..., OmJ, причем каждая операция O. выполняется соответствующей машиной Mi, i = 1, m, за время alj. Очередность выполнения работ на всех машинах одна и та же. Требуется определить оптимальную последовательность обработки (расписание) работ, для которой общее время выполнения всех работ на всех машинах (длина расписания Cmax, или просто С) минимально.

Пусть Pn множество всех перестановок из n элементов

1, 2, ..., n; p(r) - r-й элемент перестановкиp е Pn. Перестановкеp соответствует расписание p(p) = (tp(1), ..., tp(n)) е P. Если p(r) = к, то работа tk в расписании p(p) занимает r-е место. Известно, что

r ___ i

Cp(r)(p, 1) = X a1,p( s )> r = 1n , Cp(1)(p, l) = Z as, pd). 1 = 1m , s=1 s=1

Cp(r)(p, 0 max{Cp(r)(p i 1), Cp(r-1)(p i)} + ai, pir')?

i = 2, m, r = 2,n.

Здесь Cp(r)(p, i) - момент завершения выполнения i-й операции работы, занимающей в расписании pp) r-е место. Длина расписания p(p) есть C(p) = Cp(n)(p, m). Задача состоит в нахождении расписания popt. C(popt) = min С(р).

PGP

Работу tj, j = 1, n, будем описывать вектором

Aj [a 1 j, •••, amj] ,

а расписание p(p) - матрицей времен выполнения работ A(p(p)) = [Ap(1), ..., Ap(n)].

Задача сводится к нахождению экстремальной перестановки столбцов в матрице A(p).

Рассмотрим путь S в матрице A = [aj]mxn - последовательность из (и + m - 1) клеток (i, j) матрицы A, начинающуюся клеткой (1, 1), заканчивающуюся клеткой (m, и), и такую, что каждая клетка (i, j) (кроме последней) предшествует одной из клеток (i + 1, j) или (i, j + 1). Примем обозначение. a Scd - сегмент пути S ° nSmn в матрице A = [aj]mxn; клетка (a, b) матрицы -первый элемент сегмента, (c, d) - последний.

Длина расписания p есть C(p) = max X ai, p(r),

kG\l--q\(i, p(r ))GSk

где {Sb ..., Sq} - множество всех путей в матрице A(p). Путь Su называется критическим, если

Z ai,p(r) = C(p).

(i. p( r ))GSu

Множество всех критических путей в матрице A(p) обозначим M; IM = {u | u g {1, ..., q}, Su g M}.

2. Окрестность расписания и субоптимальные решения

Пусть p(p) - произвольное расписание с матрицей времен

выполнения работ Л(п) = [Лр(1), Лр(п)]. Зададим над п оператор

преобразования Цу, к, I е {1, ..., п} [2], который переносит работу (р(к) на позицию I и выполняет преобразование расписания п(р) в расписание п1 = Цк1(п), такое, что:

1) Л(п1) = [Лp(1), Лр(2)? ..., Лр(к-1), Лр(к+1), ..., Лр(г^ Лр(к)5 Лр(1+1), ..., Лр(п)] при к < I,

2) Л(п1) = [Лp(1), Лp(2), ..., Лp(/-1), Лp(k), Лр(г> ..., Лр(к-1>

Лр(к+1), ..., Лр(п)] при к > I,

3) Л(п1) = Л(п) при к = I (пустой оператор).

Композиция операторов преобразования (композиция преобразований)

Ц к3-1, ^(Ц к.-2, г.-2... (Ц к1, г1 (Ц к, г(п (р)))) ... ) есть последовательность

Цк, г(п), Цк1, г1(п1), ..., Ц к.-2, г.-2 (я.-2), ^к.^, г^ (п ^-1) преобразований, где

П1 ° п1(р1) = Цк, г(п) е Р, п2 ° п2(р2) = Цк1, г1(п1) е Р и т. д. Расписание

п.(р.) =Цк.-1, г.-1(Цк.-2, г.-2 к (Цк,, г,(Цк, г(п))) ••• ) е Р однозначно определяется расписанием п и набором индексов к, г и к, ¡], где у = 1,. - 1.

Расписание р, у е {1, ..., . - 1}, называется потомком исходного расписания п.

Число непустых операторов преобразования, входящих в композицию, называется длиной композиции.

Множество расписаний класса Р замкнуто относительно оператора Цкг.

Пусть п, п е Р - два произвольных расписания для системы заданий {¿ь ..., tn}, а Ц(п, п) - множество всех композиций, переводящих расписание п в п (Ц(п, п) Ф 0). Обозначим через /г длину г-й композиции множества Ц(п, П1) и образуем множество I = {/'1, ..., /г, ...}. Из множества Ц(п, П1) выделим компози-

цию минимальной длины s = min ir. Верно неравенство

i'rG I

0 < s < n - 1, причем s = 0 в том и только в том случае, когда

P ° Р\ .

Введем функцию p(p, P1). p(p, p) = s (= min ir).

ir G I

Нетрудно убедиться в том, что функция p(p, p1) обладает следующими свойствами.

1) p, p1 g P. p(p, p1) > 0;

2) p(p, p1) = 0 ^ p = p1;

3) p, p g P: p(p, p) = p(p, p);

4) p, p, p2 g P: p(p, p) + p(p, p2) > p(p, p2).

Таким образом, функция p(p, p1) определяет метрику на множестве P перестановочных расписаний. Используя функцию p(p, p1), введем понятие s-окрестности расписания.

s-окрестностью расписания p называется множество Ps(p) = {pr | pr G P, p(p, p) < s}.

Множество Ps(p) состоит из всех расписаний, которые можно получить из p s-кратным применением оператора преобразования Цу.

Расписание п называется оптимальным в окрестности Ps(p) относительно критерия Cmax, если оно принадлежит этой окрестности и Cmax( ~ ) < Cmax(pr) для любого расписания pr из этой окрестности.

Расписание п* называется s-локально оптимальным, или просто s-оптимальным, относительно критерия Cmax, если оно оптимально (относительно Cmax) в своей s-окрестности Ps( п *):

Cmax( П* ) < Cmax(pr), "(pr) G Ps( П* ).

Субоптимальным называется любое s-оптимальное расписание.

s-оптимальное расписание является s1-оптимальным при любом s1 < s. Оптимальное решение является s-оптимальным при любом s. Субоптимальное решение тем точнее (ближе к 62

оптимальному), чем больше значение .; (п - 1)-оптимальное расписание является безусловно оптимальным.

3. Построение субоптимальных расписаний

В матрице Л(п(р)) рассмотрим сегмент г’ гБг г, образованный при пересечении пути Би с г-м столбцом Лр(г), г = 1, п :

(1) Б, П Хг = Ги, Г$г_и, г, Г, < Ги .

Пусть п\(р\) = Цкг(п(р)). Разобьем путь Би на три сегмента:

Б1 = %, к \{(ки,к)},Б2 = ки■ кБк_и, к,Б3 = ки, кБтп \{(к,,к)}.

В матрице Л(п) выделим путь Би* = Б'* и Б2* и Б3*, такой, что

1) Б'* = Б1, Б2* = Б2, Б3* = Б3, если к = г,

2) Б1* = Б1, Б2* = Б2, Б3* = {(., г) | г < г, (., г + 1) е Б3 \ {ки,

к + 1}} и {(¡и, г)} и {(., г) | г > г, (., г) е б3}, если к < г

3) Б2* = Б2, Б3* = Б3, Б1* = {(., г) | г < г, (., г) е Б1} и {(ги, г)}

и {(., г) | г > г, (., г - 1) е Б1 \ { ки, к + 1 }}, если к > г.

Путь Би* в матрице Л(п) называется образом пути Би в матрице Л(р) при преобразовании Цк,г(п).

Определим меру эффективности преобразования Цк,г(п): Акг(п) = шах{С(п) - С(Цкг(п)), 0}.

Преобразование Цк,г(п) называется эффективным, если Ак,г(п) > 0, и неэффективным, если Акг(п) = 0. Аналогичным образом определяется эффективность композиции преобразований.

При анализе эффективности преобразований удобен аппарат образов путей. Это становится очевидным, если учесть возможность сопоставления длины С(п) расписания п и оценки (снизу) длины С(п) его расписания-потомка п.

Для пути Би и индексов к, г е {1, ..., п} определим

ки. р(к ) -и

1=ки

X (аг.р(к) °г,р(к+1}) + (аки, р(к) аг_и, р(к)) , к < г;

(2) г (п ) = <

Лемма 1. Справедливы неравенства

ки

Е(а, к^ - а, к 1)) + (а7 - а ,„) , к > г.

V г, р(к) г, р( к-1)/ V ки, р(к) г„, р(к)/’

:ки +1

Ак,г(п) < шип шах{^г(п), 0}, к, г е {1, ..., п}.

и е I м

Из леммы 1 следует, что величину д,1 (п), и е 1м, можно

рассматривать как прогноз (оценку) эффективности преобразования Ок>г(п). Лемма используется для элиминации неэффективных преобразований.

Теорема 1. Для того чтобы расписание п было 1-опти-мальным, достаточно, чтобы для каждой пары (к, г),

к, г е {1, ..., п}, существовало и е 1м такое, что 3'И1 (п) < 0.

Для получения 5-оптимальных расписаний используются эффективные преобразования и композиции преобразований. Ключевым при этом является вопрос оценивания длины расписания

(3) п*(р,) = ^к5-1,г,-1(^к,-2, г5-2 к (0к,,г1(^к, г(п))) ••• ) е рДп) по исходному расписанию п при произвольных значениях индексов преобразований к, г, ку, г1- е {1, ..., п}, у = 1,5 -1, то есть вопрос оценки эффективности композиции. Ставится и решается задача: определить значения параметров к, г, ку, /,-, при которых композиция эффективна.

Прежде чем перейти к решению поставленной задачи и формулированию соответствующих утверждений, выполним вспомогательные построения и сделаем ряд замечаний.

Рассмотрим сначала исходное расписание п(р). Для всех

1

1 Доказательства формальных результатов приведены в приложении. 64

г = 1,п и произвольного пути Би в матрице Л(п(р)) в соответствии с (1) определим значения ги, ги и образуем множества

(4) Н(БИ, п) = {р(г) | ги = ги, 1 < г< п}, У(Би, п) = {1, ..., п} \ И(Би, п).

Перейдем теперь к расписанию пДр) (см. формулу (3)). Заметим, что для его получения необходимо построить 5 - 1 промежуточных расписаний-потомков

п1(р1) = ак1 (пХ п2( р2) = &кь11(пl), ...,

(5) 1 1

п5-1(р,-1) = ^-2,^ (п5-2).

Композиции, в которых многократно выполняется перенос одной и той же работы, не рассматриваются: будем считать, что

(6) р(к) Ф р,(к,), г = 1, 5 - 1, р,(кг) Ф ру(ку), г, у = 1,5 - 1, , Ф].

Наконец, в матрицах Л(п1), Л(п2), ..., Л(п5_1), соответствующих расписаниям-потомкам (5), выделим пути: Б1* - образ пути Би в матрице Л(п1), Б'и* - путь в матрице Л(пг), являющийся образом пути Б,-1 в матрице Л(пг-1), г = 2,5 .

Лемма 2. Пусть п ° п(р), Би - путь в матрице Л(п), Н(Би, п)| > 5. Пусть п5(р5) определяется (3) и

(7) р(к) е Н(Би, п), р,(кг) е Н(Б'и*,п,),

Тогда:

1) существует, по крайней мере, (|Н(Би, п)| - 5) > 0 индексов V из множества {1, ..., п}, таких, что 8^(п;1) = 8,^(п), причем между парами (V, w) и (V, W) можно установить соответствие;

2) множество Н(Би, п) инвариантно относительно преобразований Ок>г(п), р(к) £. У(Би, п).

Лемма показывает согласованность оценок. А именно, оценки 8иг (п,) эффективности преобразований расписаний-потом-

ков п, г = 1,5 - 1, содержатся в системе оценок 8, г (п) (2), построенной для исходного расписания п. В то же время, пары индексов преобразований (к, г) и (к, г,), г = 1,5 - 1, однозначно

определяют расписание (композицию) (3). Поэтому при выполнении условий (6) и (7) появляется возможность оценки длины расписания-потомка п по исходному расписанию п. Однако невыясненным пока остается способ конструирования эффективной композиции - вторая (и главная) часть проблемы синтеза 5-оптимальных расписаний: какие работы и на какие позиции следует перенести в расписании п для уменьшения его длины. Перейдем к обсуждению этого вопроса.

Пусть в расписании п(р) определены 5 работ с индексами р(к0), р(к1),...,р(к^), позиции которых следует изменить на г0, г1, ..., г5-1 соответственно. Эти работы и позиции могут быть выделены, например, в результате анализа системы оценок (2), в предположении, что проведение комплекса преобразований - (п), г = 0,5 -1, приведет к расписанию, длина которого

кг, гг

меньше длины С(п) исходного. Суммарная эффективность преобразований О- - (п), г = 0,5 - 1, оценивается как

к г, гг

8 (п) = х;:08", ,(п)

Рассмотрим задачу, обратную той, что решалась в лемме 2: определить композиции

ОК-1, г^Д0К-2, г5-2 ••• (Ок1, г1(Ок0,г0(п))) ■■■ )

и преобразования, их составляющие, для которых справедлива оценка 8 (п). Задача не является тривиальной, поскольку нельзя применить 5 операторов О к1 (п), г = 0,5 -1, к одному и тому же

расписанию п. При решении этой задачи используется свойство инвариантности множества Н(Би, п).

Можно показать, что любая композиция вида (3), удовлетворяющая условиям (6) и (7), может быть описана последовательностью из 5 преобразований Ок,г(п) самого расписания п. Представим эту последовательность в виде схемы

(8) О ~ ~ ~ ~ - - (п).

Ск0,г0), с-1,и с-^,г5-1)у

В записи (8) пары индексов (кг, гг), г = 0,5 - 1, определяют преобразования О - - (п), которые необходимо провести. За-

№, гг)

пись (8) является схемой проведения преобразований. С помощью этой схемы описывается семейство композиций, в котором каждая композиция имеет оценку эффективности 8 (п). Несложно установить состав этого семейства и указать способ доопределения схемы (8) на случай, когда среди индексов ki существуют такие, что р( кг) е У(Би, п). После доопределения любую композицию из 5 преобразований, а значит, и любое расписание из окрестности РДп), можно описать схемой (8). Семейство расписаний, соответствующих схеме (8) при фиксированном наборе к1, гг, г = 0,5 -1, обозначается ПДп):

ПДп) = О - - - - - - (п) с РСп).

' Ск0, ¡с), Ск1, г1), Ск^,г^у ' п

Образуем множества

Н + = { С к, г )|р С к) е Н С Би ,п), г е {1, ..., п}, 8“ г (п) > о},

Н - ={ С к, г )|р С к) е Н С Би ,п), г е {1, ..., п}, 8“ г Сп) < о},

Уи = { Ск, г) | р(к) е УСБи ,п) г е {1, .... п}}.

Очевидно |Н + и Н-и Уи | = п2, так что пара индексов (к, г)

любого преобразования Ок,г(п) принадлежит одному из трех описанных множеств. Пары индексов (к, г) из множества Н + определяют преобразования с «хорошим» прогнозом, а пары из множества Н- - преобразования с «плохим» прогнозом.

Механизм построения эффективной композиции указывает следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Н - произвольное подмножество множества {(к, г) | к е {1, ..., п}, г е {1, ..., п}}, |Н| = 5 > 1. Для того чтобы расписание п е П/п) = О - - - - - - (п), где

К 5 (ко, ¡о), Ск1, и Ск^,г^У

(кг, гг) е Н, г = 0,5 -1, обладало свойством С(п.) < С(п), необхо-

димо, чтобы для каждого и е Im(p) выполнялось либо

1) H n Vu = 0 и X d),, ) (р) + X d),, ) (р) > 0,

(к,, 1, )eHnH+ ‘ ‘ (к,, 1, )eHnH- ‘ ‘

либо

2) H n Vu * 0.

Доказательство теоремы опирается на лемму 2 и приведено в [2].

Следствие теоремы 2. Пусть

1) Зи е Im(p): |H-|> 5 , 2) ", = 0,5-1: (к,, It) е H- .

Тогда "р5 е П5(р) = W _ _ _ _ _ _ (р): С(р5) > С(р).

5 5V ' (ко, ¡о), (к1,U (kj-1,' 5

Следствие теоремы 2 элиминирует неэффективные композиции.

На базе приведенных теоретических положений могут быть построены эффективные алгоритмы синтеза субоптимальных расписаний. Лемма 2, а также теорема 2 и ее следствие позволяют строить алгоритмы локального поиска без «слепого» блуждания по окрестности. Фактически они обеспечивают возможность проведения направленного поиска в схемах последовательного улучшения. Описание 1-оптимальных алгоритмов решения задачи Беллмана-Джонсона (в том числе, алгоритма градиентного типа) приведено в работе [3]. 5-оптимальные (j > 1) алгоритмы позволяют получать приближения более высокого качества. Однако их требования к вычислительным ресурсам более серьезны, в силу чего 5-оптимальные алгоритмы резонно адаптировать к имеющимся ресурсам (настраивать параметр j).

В заключение отметим, что задача Fm | perm | Cmax - не единственная, где можно использовать представленный подход к получению приближенно оптимальных решений. Аналоги приведенных лемм и теорем можно получить для задач с директивными сроками, с повторным обслуживанием и др. Введенные в работе определение 5-окрестности и понятие 5-оптимальности допускают широкое использование и применимы к решению класса задач, которые можно поставить на множестве перестановок.

Приложение

Доказательство леммы 1.

1. При к = l, очевидно, Akl(p) = &h(p) = 0.

2. Пусть к < l. Выберем произвольно и е IM и рассмотрим критический путь Su матрицы A(p) = [Ap(^, ...,AP(n)]. Разобьем

путь Su на сегменты 11Sku, к \(ки, к), ки ’ kSk^, к и ки ’ kSmn \(ки, к). Длина расписания p есть

ки

С(р) — I _

ai. P( j ) + 1 a. P( к ) + к 1 . P ( j ).

(ЫЛ)еП S-ku ,к\(ки,k) i—ки (г,р(;))еки,кSmn\(ки, к)

Рассмотрим расписание p1(p1)= Qk> l(p), к < l. В матрице A(p1) выделим путь Su*, являющийся образом пути Su. Имеем:

1 _ ai,P1(J) — 1 _ ai,p(j)^

(i,P1( j ))e11S,u, к \( ки ,к) (i,p (j ))е11Sku, к \( ки ,к)

ки ки

1 ai, P1( j) — 1 ai, Р1(к) — 1 ai, P( к+1),

(i-P1( j))ek" •ksk*u, к i—ки i—ки

Z ai,P1(j) = k1 ai,p(j) - aku,P(k+1) + aL,P(k).

(i,P1( j))еки ■ kS'mn \(ки, к) (i,p( ; ))еки ^ kSmn \(ки, к)

В левых частях равенств суммирование выполняется вдоль сегментов пути Su*. Учитывая, что в матрице A(p1) путь Su* не обязательно является критическим, получаем:

C (p1) ^ Iai,P1( j ) = I ai,p( j ) +

Op(J )еи* (i, P (j))e11 Sku, k\(ки ,k)

ки

+ 1 ai, p( k+1) + _ ai, p ( j ) - ak_u, p(k+1) + ^ , P(k ).

i—ки (i^j)^“ ’k Smn\(ки , к)

Оценим теперь величину Ак, l(p).

def

Dk i(p) = max{C(p) - C(P1),0} <

< max

ки i ки ö

I ai,p(k) - I ai, p(k+1) - ak„, p(k+1) + a,

=ки

и \i—ки 0

i,p(k+1) “ки,P(k+1) 1 “L,P(к)

0

= max

= max

ku-1

X ai, p(k) + aku, p(k) i=ku

ku-1/

X ('

( ku -i X

V i=ku

X ai, p( k+1) + aiu, p(k)

'^\ai, p( k) ai, p( k+1) )+(aku, p( k)

=ku

lu.p(k) ] 0

= maxS (р), 0}

Неравенство Dkl (р) < max{SU (р), 0} верно при всех u e IM, откуда следует справедливость леммы для случая k < l.

3. Доказательство для случая k > l проводится аналогично. •

Доказательство теоремы 1.

Если выполняется

Vk, l e {1, ..., n} 3u e IM: Sh(p)< 0, то, в силу леммы 1, не существует ни одного эффективного преобразования Цу(р) расписания р. Следовательно, расписание р является 1-оптимальным. •

Доказательство леммы 2.

Образуем множество L(Su, р) = {i | i = ru, 1 < r < n} u {1}.

1. Пусть 5 = 1.

Из определений оператора преобразования и образа пути при учете того, что p(k) e H(Su, р), следует: L(Su, р) = L( Su*, р1), H(Su, р) = H( Su*, р1). Покажем:

V(v, w): p1(v) e H(S„, р) \{p(k)}, w e {1, ..., n}

3 (v, W): p(v) e H(S„, р) \{p(k)}, W e {1, ..., n}: ö;*w(р1 ) = Su,w(р) .

Для всех пар индексов (k, l), удовлетворяющих условиям p(k) e H(Su, р), l e {1, ..., n}, оценка S^ t(р) имеет вид

k < l;

k , p(k) l , p(k)

Sl l (р) = ■

|ak„, p(k) ^, p( k), . a „) - a7 ..), k > l.

I k„, p(k) Zu, p(k)’

Так как p(k) e H(Su, р), то p1(v) e H( Su*, р1) при всех v, при которых выполнено условиеp1(v) e H(Su, р) \{p(k)}. Поэтому при любом w e {1, ., n} имеет место:

0

Su* ( ) = K. A(v) aWu•, p1( v) , v < w;

Sv,w (р1) = i

K,„ p1(v) - awu., A(v), v > w.

Заметим: wu*, wu* e L( Su*, р1). Определим v из условия p(v) = = p1 (v). Так как p(v) e H(Su, р), то при любом t e {1, ., n}

Su (р) К, p(v) - atu, p( v), v < t; = JaV, A(v) - au, A(v), v < t;

‘П К, p(v) - ^, p(v), v > t iavu„ p1(v) - au, p1(v), v > t,

причем t_u, iu e L( Su, р). В силу того, что L(Su, р) = L( Su*, р1), всегда можно подобрать такое значение w e {1, ..., n}, чтобы

выполнялось Sv“*w (р1 ) = S“ w(р).

2. Пусть 5 > 1 и

(9) p(k) Ф pi(ki), i = 1,5 -1, pi(ki) Ф pj(kj), i, j = 1,5 -1, i Ф j . Положим р ° рг-1, р1 ° р, i = 2, 3, ..., 5. Из п. 1 следует

L( Su-1, р-1) = L( S'u *, р), H( Su-1, р-1) = H( Su *, р), то есть

(10) L(Su, р) = L( Su*, р), H(Su, р) = H( su* , р), i = 15.

Учитывая равенства (10) и рассуждая, как в п. 1, заключаем, что для каждого элемента Sv*wр ) множеств { Sv*w р )|

p (v) e H(su*,рг) \ {p(k), p (k1), K, pt-1 (kt-1)}, w e {1, ..., n}}, i =

= 1, 2, ..., 5, найдется равный ему элемент S^w(р)e{ Suxy(р)|

p(x) e H(Su,р) \{p(k),p 1 (k1), K, p,.-1 (ki-1)}, y e {1, K, n}} (v определяется из условия p(v) = pt(v), w - так же, как в п. 1).

Если условие (9) не выполняется, то |{p(k), p1(k1), ..., p5-1(k5-1)}| < 5, и все сказанное сохраняет силу. •

Литература

1. КОНВЕЙ Р.В., МАКСВЕЛЛ В.Л., МИЛЛЕР Л.В. Теория расписаний. М.: Наука, 1975. - 360 с.

2. МИРЕЦКИЙ И. Ю., ЩЕРБАКОВ М. А. Матричные модели

и методы в теории расписаний: Монография. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003. - 260 с.

3. МИРЕЦКИИ И. Ю. Синтез оптимальных расписаний для систем последовательного типа // Известия РАН. Теория и системы управления, 2002. № 1. С. 77-85.

4. GAREY М. R., JOHNSON R. S., SETHI RAVI. The Complexity of Flow-Shop and Job-Shop Problem // Math. Oper. Res. 1976. № 2. Pp.117-129.

5. TAILLARD E. Some Efficient Heuristic Methods for the Flow-Shop Sequencing Problem // European J. Operational Research. 1990. Vol. 47. № 1. Pp. 65-74.