Научная статья на тему 'О двух вариантах метода ветвей и границ для решения задачи минимизации суммарного взвешенного запаздывания в конвейерных системах'

О двух вариантах метода ветвей и границ для решения задачи минимизации суммарного взвешенного запаздывания в конвейерных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
313
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КОНВЕЙЕРНЫЕ СИСТЕМЫ / МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ / МИНИМИЗАЦИЯ СУММАРНОГО ВЗВЕШЕННОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ / FLOW SHOP / BRANCH AND BOUND METHOD / TOTAL WEIGHTED TARDINESS MINIMIZATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Агапеевич Ильвина Константиновна, Фазылов Валерий Рауфович

В статье предложены два варианта метода ветвей и границ для задачи минимизации суммарного взвешенного запаздывания в конвейерных системах, различающиеся тем, что в одном из них расписание строится в естественном порядке (сначала выбирается первая работа в расписании, затем вторая и т. д.), а в другом – в обратном порядке (сначала выбирается последняя работа в расписании, затем предпоследняя и т. д.). С помощью численного эксперимента показано, что эффективность методов существенно зависит от параметров задачи, легко вычисляемых по исходным данным, и предлагается критерий выбора для любой конкретной задачи более эффективного метода (из двух предложенных).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Two schemes of the branch and bound method for a flow shop total weighted tardiness minimization problem are suggested in this paper. The first scheme consists in the construction of the schedule in the common order (at the beginning the first work in the schedule is chosen, then the second work, etc.) and the second scheme presupposes the construction of the schedule in the inverse order (at the beginning the last work in the schedule is chosen, then the penultimate work, etc.). It is shown by numerical experiments that the efficiency of the methods strongly depends on the problem's parameters, which can be easily calculated from the initial data. Criteria for choosing the most efficient method for any particular problem are proposed.

Текст научной работы на тему «О двух вариантах метода ветвей и границ для решения задачи минимизации суммарного взвешенного запаздывания в конвейерных системах»

Том 154, кн. 3

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2012

УДК 519.854.2

О ДВУХ ВАРИАНТАХ МЕТОДА ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ СУММАРНОГО ВЗВЕШЕННОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ В КОНВЕЙЕРНЫХ СИСТЕМАХ

II. К. Агапеевич, В. Р. Фазылов

Аннотация

В статье предложены два варианта метода ветвей и границ для задачи минимизации суммарного взвешенного запаздывания в конвейерных системах, различающиеся тем. что в одном из них расписание строится в естественном порядке (сначала выбирается первая работа в расписании, затем вторая и т. д.). а в другом в обратном порядке (сначала выбирается последняя работа в расписании, затем предпоследняя и т. д.). С помощью численного эксперимента показано, что эффективность методов существенно зависит от параметров задачи, легко вычисляемых по исходным данным, и предлагается критерий выбора для любой конкретной задачи более эффективного метода (из двух предложенных) .

Ключевые слова: конвейерные системы, метод ветвей и границ, минимизация суммарного взвешенного запаздывания.

Введение

Рассматривается простая конвейерная система из т машин (см. [1, с. 136]). Требуется выполнить п работ, каждая их которых представляет собой цепочку т

дой работы г заданы директивный срок окончания выполнения ] и вес т, а для каждой операции ] работы г - длительность выполнения р^. Допустимое расписание определяется следующими условиями:

1) каждая машина в любой момент времени может выполнять не более одной операции:

2) любая операция любой работы не может начаться ранее момента окончания предыдущей операции той же работы:

3) операции выполняются без прерываний и порядок прохождения работ по всем машинам одинаковый.

Пусть С - момент завершения выполнения работы г и Т = тах{0, С — с]} -г

п

печивающее минимум суммарного взвешенного запаздывания ^ т^Т^.

г=1

Задача построения расписания, минимизирующего суммарное взвешенное запаздывание в конвейерной системе, представляет большой интерес для практики. Однако количество публикаций, посвященных этой теме, невелико (см.. например. [2 7]). Известно, что задача минимизации суммарного взвсшсннного запаздывания даже для одного исполнителя является ХР-трудной [8]. Поэтому внимание исследователей преимущественно направлено на разработку различных эвристических методов, как. например, метод отжига [о], метод муравьиных колоний [9].

метод птичьих стай [6] и др. Тем не менее разработка точных методов решения рассматриваемой задачи представляет интерес, так как они дают возможность получить оптимальное решение задач небольших размерностей, оценить эффективность эвристических методов, а также классифицировать задачи по трудоемкости получения решения.

В статье предложены два варианта метода ветвей и границ, отличающихся порядком построения расписания: с начала (Forward) и с конца (Backward), и приведены результаты численного сравнения этих методов на задачах, полученных с помощью генератора задач из [10]. Результаты экспериментов показали, что трудоемкость получения решения любым вариантом метода ветвей и границ существенно зависит от параметров задачи, легко вычисляемых по исходным данным. Более того, на большинстве классов задач варианты метода ветвей и границ ведут себя разнонаправленно, и поэтому для конкретной задачи можно выбрать более эффективный вариант.

В теории расписаний большую роль играют регулярные критерии качества расписаний.

Определение 1. Критерий f : Rn ^ R будем называть регулярным, если для любых двух наборов |С)П=1, {C'}n=i, удовлетворяющих условию: C < Cj, i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство f (Ci,..., Cn) < f (CJ,..., СП).

Приведенное понятие регулярного критерия является многомерным обобщением понятия неубывающей функции, и оно фактически эквивалентно определению регулярного критерия из [1, с. 13]. Но в [11. с. 24] регулярный критерий представлен как обобщение понятия возрастающей функции, причем несмотря на то что определение дано с ошибками, из текста определения следует, что авторы имели ввиду именно обобщение понятия возрастающей функции. Для устранения этой неточности введем понятие строго регулярного критерия, являющееся многомерным обобщением понятия возрастающей функции.

Определение 2. Критерий f : Rn ^ R будем называть строго регулярным, если для любых двух наборов {Cj}n=i, {Cj}n=1, удовлетворяющих условиям: Cj < Cj i = 1, 2,..., n и существует к: Ck < C'k , выполняется неравенство f (Ci,..., Cn) <

<f (Ci,...,Cn).

Напомним, что простой машины называется искусственным, если для этой машины есть работа, ожидающая выполнения (см. [11, с. 38]).

Теорема. Любая задача теории расписаний с регулярным, критерием, имеет оптимальное решение без искусственных простоев.

Доказательство теоремы очевидно.

n

Так как критерий оптимальности расписания WjTj является регулярным (но

i=1

не строго регулярным), то на основании теоремы и условия 3) допустимости расписания оптимальное расписание для рассматриваемой в работе задачи можно искать в классе перестановочных расписаний [11, с. 109].

1. Метод ветвей и границ

Как известно, метод ветвей и границ это класс алгоритмов для решения различных задач дискретной оптимизации, имеющих, как правило, конечное множество допустимых решений. Общая схема метода включает четыре компонента (см. [13, с. 33]):

• конечное множество, охватывающее множество допустимых решений;

вплоть до одноэлементных подмножеств, описываемый деревом перебора решений,

и правило обхода этого дерева:

максимизации) оценки целевой функции для подмножества решений, определенного любым узлом дерева перебора решений: •

корда).

Суть метода ветвей и границ заключается в последовательном улучшении рекорда (наилучшего допустимого решения задачи на текущем этапе вычислений) путем обхода дерева перебора решений. Ключевым элементом метода является пренебрежение обходом поддеревьев, растущих из узлов дерева, в которых оценка целевой функции не лучше рекордного значения целевой функции. Заметим, что эффективность метода зависит от количества оптимальных или близких к оптимальным решений, способа разбиения множества, способа вычисления оценки целевой функции и качества начального рекорда. Заметим также, что в качестве начального рекорда можно выбрать любое допустимое решение, либо фиктивный рекорд произвольное формальное решение со значением целевой функции, заведомо хуже оптимального.

1.1. Дерево перебора решений и порядок его обхода. Как было отмечено выше, класс перестановочных расписаний содержит оптимальное решение рассматриваемой задачи, поэтому его и выберем в качестве множества допустимых решений. В предлагаемых ниже вариантах метода ветвей и границ множество, охватывающее множество допустимых решений, совпадает с множеством перестановочных расписаний. Варианты метода ветвей и границ отличаются порядком построения расписания: вариант Forward строит расписание с начала (на первом уровне дерева определяется первая работа в расписании, на втором вторая и т. д.), а вариант Backward с конца (на первом уровне дерева определяется последняя работа в расписании, на втором предпоследняя и т. д.).

Дерево перебора решений строится следующим образом. Множество всех перестановочных расписаний, соответствующее корню (узлу нулевого уровня) дерева, разбивается на n подмножеств. Каждое из подмножеств характеризуется тем, что входящие в него расписания имеют одну и ту же работу на первом (Forward)

n

первого уровня. Далее каждое из множеств расписаний, соответствующих узлам первого уровня, разбивается аналогичным образом на n — 1 подмножеств расписаний, соответствующих узлам второго уровня, и т. д.

Очевидно, что узел дерева перебора решений уровня k соответствует кортежу пк , представляющему тобой список индексов k первых или последних работ расписания. Корню дерева соответствует пустой кортеж п0, а листу дерева - некоторый 1

кортеж п' , однозначно определяющий перестановочное расписание.

В обоих вариантах метода ветвей и границ узлы, полученные при очередном ветвлении, сортируются по неубыванию нижних оценок целевой функции для соответствующих подмножеств расписаний, а обход дерева осуществляется по правилу левостороннего обхода.

1.2. Вычисление нижних оценок целевой функции при построении

пк k

I - множество индексов работ, не включенных в список пк. Ниже предлагается

пк

Метод Forward

1. Построим расписание согласно списку пк и получим моменты завершения работ Cj, i = nf,...,

2. Вычислим нижние оценки моментов завершения работ C', i G I при условии постановки каждой из пепоставлеппых в расписание работ на (k + 1)-е место.

3. Вычислим нижнюю оценку целевой функции:

к

F(пк) = ^^ wnk max{0, Cnk — dn k} + ^^ Wj max{0, Cj — d}.

i=i ¿e/

1.3. Вычисление нижних оценок целевой функции при построении расписания с конца. Пусть теперь пк - список индексов k последних работ расписания, I - множество индексов работ, не включенных в список пк. Ниже предлагается алгоритм вычисления нижней оценки целевой функции для заданного пк.

Метод Backward

1. Вычислим нижние оценки моментов начала работы машин:

hi = 0, hj = hj_i + minPj-i, j = 2, . .., m.

¿e/

2. Вычислим нижние оценки моментов освобождения машин после выполнения

I

1) простейший способ:

= hj + ЕPij> j = 1,...,m;

¿e/

2) так как момент освобождения машины j при j > 1 не может быть меньше,

чем fj-i + minpij , то предыдущие оценки можно усилить: je /

fi = hi + ^ Pii, fj = max{hj + ^ Pij ; fj-i + minpjj}, j = 2,..., m;

je/ je/ je/

3) обозначим через Sjjk нижнюю оценку сдвига момента окончания работы i на машине k относительно момента окончания работы i та машине j (j < k), вы-

k

числяемую по формуле Sjj k = ^ рц , а так как момент освобождения машины j

l=j+i

не может быть меньше, чем f + min Sjj для любо го l (/ < j), то получим оценки:

je/

fi = hi + ^ pii, fj = max{hj + Pij; max {f +min Sjj }}, j = 2, ...,m.

¿e/ ¿e/ i<l<j-i ¿e/

Заметим, что третий способ вычисления нижних оценок моментов освобожде-

I

щеиием второго способа и идейно близок способу вычисления нижней оценки максимального момента окончания работ из [12]. Заметим также, что значения {{{Sjk}™=i}k=i }m=2 зависят лишь от исходных данных задачи, и их можно вычислить перед началом работы метода.

3. Начиная с моментов освобождения машин {fj }!=, построим расписание согласно списку пк = (пк,...,пк), в результате чего получим нижние оценки моментов завершения работ Cj, i = пк,..., . Вычислим нижнюю оценку целевой функции для множества расписаний, соответствующих списку пк, одним из двух способов:

k

1) F(пк) w^k max{0, C^k — d^k};

¿= i " Ъ Ъ

k

2) F(пк) = 5^ wnk max{0, Cnk — dnk} + min{wj max{0, fm — dj}}.

¿= i Ъ Ъ Ъ ¿e/

Фактически описано шесть алгоритмов метода Backward, отличающихся способами вычисления нижних оценок моментов освобождения машин и нижних оценок целевой функции. Очевидно, что каждый следующий способ вычисления {fj }m=1 на шаге 2 метода дает результаты не хуже предыдущего, но является более трудоемким. Аналогичное замечание справедливо и относительно способов вычисления F(nk)•

2. Численные эксперименты

2.1. Генерация исходных данных задачи. Для проведения численных экспериментов использовался генератор исходных данных задач [10], дающий задачи с заранее заданными значениями двух параметров - TF (tardiness factor) и RDD (range of due dates), - вычисляемых по формулам:

1 n m_1 n m

- E di —:— E E Pij

TF = 1 n"i=1 nm »=lJ=l Rnn= max ~ min

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 ^ 1 1 n m ' ltLJLJ ^ n m ;

— EE Pij —EE Pij

m i= 1 j=1 m i= 1 j=1

где dmax = max di и dmin = min di.

1<i<n 1<i<n

Поскольку далее параметры TF, RDD будут использоваться и как параметры генератора, и как параметры задачи, для того чтобы различать их, будем обозначать параметры генератора как TFgen, RDDgen, а параметры сгенерированной TF , RDD

Будем говорить, что сгенерированная задача принадлежит классу, определенному параметрами генератора TFgen, RDDgen, с точноетыо Д, если ее параметры TF , RDD

TFPI е [TFgen _ Д, TFgen + Д], RDDpr е [RDDgen _ Д, RDDgen + Д].

Алгоритм генерации исходных данных задачи

1. Выберем значения n, m, параметры TFgen, RDDgen из интервала [0, 1] и параметр Д > 0.

2. Из целых чисел интервала [1, 10] случайно по равномерному закону выберем значения {wi}n=1-

3. Из целых чисел интервала [1, 100] случайно по равномерному закону выберем

n m

значения {{pij}т=1}П=1 > вычнелим P = Е Е Pj ■

i= 1 j= 1

4. Из целых чисел интервала P(m-l) , Р (х Тр ДДДУ P(m-l) | Р / Тр | ЕРР\

2 J ' nm m у 2 /

nm m

1

случайно по равномерному закону выберем значения {¿г}П

т

5. Положим ¿г = Шах{с1г, Е Рг] К ' = 1, ■ ■ ■ ,П.

3=1

6. Вычислим параметры задачи ТРрг, ЕВВр?. Если окажется, что ТРрг (/ [Т^е„ - А, Т^п + д^и ЕРРрт / [ЕРР&еп - А, ЕРР&еп + Д], то перейдем к п. 2, иначе останов: исходные данные задачи сгенерированы.

Табл. 1

n = 12, m = 4, N = 100

TFgen RD Z)ge п 1-1 2-1 3-1

0.1 0.1 1.00 / 101373 1.02 / 95233 1.09 / 90658

0.1 0.3 0.40 / 42830 0.42 / 41328 0.47 / 41169

0.1 0.5 0.24 / 26391 0.25 / 25432 0.27 / 25035

0.1 0.7 0.02 / 2096 0.02 / 1931 0.02 / 1834

0.1 0.9 0.02 / 2607 0.02 / 2389 0.02 / 2117

0.3 0.1 0.24 / 23285 0.25 / 22225 0.27 / 20768

0.3 0.3 0.13 / 12533 0.13 / 11670 0.15 / 11281

0.3 0.5 0.07 / 7260 0.07 / 6519 0.08 / 6072

0.3 0.7 0.06 / 5710 0.06 / 5313 0.07 / 4986

0.3 0.9 0.09 / 7886 0.09 / 7565 0.10 / 7027

0.5 0.1 0.17 / 14277 0.18 / 13423 0.20 / 12592

0.5 0.3 0.17 / 14459 0.18 / 13129 0.20 / 12351

0.5 0.5 0.15 / 12067 0.16 / 11346 0.18 / 10885

0.5 0.7 0.28 / 22875 0.30 / 21835 0.34 / 20841

0.5 0.9 0.34 / 27110 0.37 / 26023 0.42 / 25297

0.7 0.1 1.14 / 86267 1.23 / 81081 1.38 / 76292

0.7 0.3 1.16 / 87211 1.26 / 82886 1.45 / 79868

0.7 0.5 1.54 / 116679 1.67 / 111409 1.92 / 107235

0.7 0.7 1.45 / 107690 1.58 / 103133 1.82 / 100499

0.9 0.1 6.33 / 479005 6.94 / 464290 7.97 / 450690

0.9 0.3 4.11 / 300035 4.51 / 291930 5.22 / 284208

2.2. Описание экспериментов. Эксперименты проводились по следующей схеме:

- T-Fgen, RDDgen табулировались от 0.1 до 0.9 с шагом h, равным 0.2, но на основании численных экспериментов, описанных в [10], генерация задач производилась лишь для пар TFgen, RDDgen, удовлетворяющих условию:

RDDgen < min{1; 2.3 - 2 • TFgen};

- для каждой пары TFgen, RDDgen было сгенерировано N задач с размерностями n х m ( n - количество работ, m - количество машин).

Результаты экспериментов представлены в табл. 1 6. Значения в таблицах приведены в формате A/ B, где A - среднее время решения задачи (в секундах), B -среднее количество просмотренных узлов.

Вычисления проводились на PowerBook G4 (1.67 GHz, 512 MB).

Эксперимент 1

Целыо первого эксперимента являлось сравнение предложенных в статье способов вычисления нижних оценок в методе Backward. Каждая задача была решена всеми шестью алгоритмами, отличающимися способами вычисления нижних оценок моментов освобождения машин и целевой функции. Алгоритмы метода Backward обозначены как "X-Y", где X - номер способа вычисления нижней оценки моментов освобождения машин (см. п. 2 метода Backward), Y - номер способа вычисления нижней оценки целевой функции (см. п. 3 метода Backward).

Из табл. 1 (в ней представлены алгоритмы, в которых нижняя оценка целевой функции вычислялась способом 1) видно, что алгоритм 1-1 для всех классов задач дает наилучший результат в смысле среднего времени решения задачи, тогда как алгоритм 3-1 наилучший результат в смысле среднего количества просмотренных узлов.

Табл. 2

n = 12, m = 4, N = 100

TFgen RD Z)ge n 1-2 2-2 3-2

0.1 0.1 1.03 / 101125 1.05 / 94989 1.12 / 90301

0.1 0.3 0.42 / 42828 0.43 / 41312 0.48 / 41160

0.1 0.5 0.25 / 26316 0.26 / 25359 0.28 / 24965

0.1 0.7 0.02 / 2096 0.02 / 1931 0.02 / 1834

0.1 0.9 0.02 / 2607 0.02 / 2389 0.02 / 2117

0.3 0.1 0.23 / 21294 0.23 / 19881 0.27 / 19877

0.3 0.3 0.12 / 11460 0.13 / 11168 0.14 / 10907

0.3 0.5 0.08 / 7961 0.08 / 6937 0.09 / 6631

0.3 0.7 0.06 / 5717 0.06 / 5317 0.07 / 4981

0.3 0.9 0.09 / 7828 0.10 / 7383 0.11 / 6842

0.5 0.1 0.18 / 14229 0.18 / 13111 0.20 / 12176

0.5 0.3 0.18 / 13875 0.18 / 12450 0.20 / 11792

0.5 0.5 0.16 / 11951 0.17 / 11188 0.19 / 10740

0.5 0.7 0.29 / 22611 0.31 / 21303 0.34 / 20128

0.5 0.9 0.35 / 26462 0.38 / 25021 0.43 / 24132

0.7 0.1 1.11 / 80006 1.11 / 70862 1.17 / 63598

0.7 0.3 1.17 / 82004 1.20 / 75212 1.33 / 70676

0.7 0.5 1.57 / 110530 1.63 / 101716 1.80 / 95468

0.7 0.7 1.50 / 103482 1.55 / 93958 1.74 / 89508

0.9 0.1 5.43 / 379828 5.30 / 327479 5.74 / 299432

0.9 0.3 3.70 / 252273 3.67 / 221173 4.03 / 205961

Из табл. 2 (в пой представлены алгоритмы, в которых нижняя оценка целевой функции вычислялась способом 2) видно, что алгоритм 1-2 для большинства классов задач дает наилучший результат в смысле среднего времени решения задачи, за исключением классов с TF = 0.9, где лучшим оказался алгоритм 2-2. Наилучший результат в смысле среднего количества просмотренных узлов показал алгоритм 3-2.'

В целом по результатам эксперимента видно, что наиболее простой алгоритм 1-1 для большинства классов задач дает лучшие результаты в смысле среднего времени решения задачи, за исключением следующих случаев:

1) для классов (0.3; 0.1), (0.7; 0.1) лучшими оказались алгоритмы 1-2 и 2-2;

2) для класса (0.3; 0.3) лучшим оказался алгоритм 1-2;

3) для классов (0.9; 0.1), (0.9; 0.3) лучшим оказался алгоритм 2-2.

Видно также, что алгоритм 3-2 просматривает на 10 20% узлов меньше, чем другие алгоритмы.

Эксперимент 2

Второй эксперимент был посвящен выявлению эффективности применения сортировки узлов по неубыванию нижних оценок целевой функции (см. п. 1.1). Обоими методами было решено по 100 задач различных размерностей для каждой пары параметров TF, RDD как без сортировки, так и с предварительной сортировкой узлов. В результате проведенного эксперимента было выявлено, что сортировка узлов сокращает среднее время решения задач не менее чем вдвое.

Эксперимент 3

Третий эксперимент проводился с целыо сравнения методов построения расписания с конца и с начала. Каждая задача была решена двумя методами: Backward (лучшим для соответствующего класса алгоритмом) и Forward.

Табл. 3

n = 12, m = 4, N = 100

TFgen R D Dge n Backward Forward

0.1 0.1 1.00 / 101373 35.59 / 5727497

0.1 0.3 0.40 / 42829 18.78 / 2939693

0.1 0.5 0.24 / 26391 5.21 / 789569

0.1 0.7 0.02 / 2095 0.75 / 102734

0.1 0.9 0.02 / 2606 0.11 / 14694

0.3 0.1 0.23 / 19881 7.46 / 920219

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0.3 0.3 0.12 / 11460 5.12 / 619750

0.3 0.5 0.07 / 7259 2.62 / 321121

0.3 0.7 0.06 / 5709 0.82 / 98397

0.3 0.9 0.09 / 7886 0.25 / 29494

0.5 0.1 0.17 / 14277 1.95 / 212231

0.5 0.3 0.17 / 14459 1.47 / 151503

0.5 0.5 0.15 / 12066 0.94 / 93741

0.5 0.7 0.28 / 22874 0.61 / 62777

0.5 0.9 0.34 / 27110 0.25 / 25541

0.7 0.1 1.11 / 70862 0.66 / 64960

0.7 0.3 1.16 / 87210 0.58 / 56578

0.7 0.5 1.54 / 116679 0.58 / 55622

0.7 0.7 1.45 / 107690 0.42 / 39338

0.9 0.1 5.30 / 327479 0.40 / 37572

0.9 0.3 3.67 / 221173 0.35 / 33790

Табл. 4

n =13, m = 4, N = 40

T Fgen RD Z)ge ii Backward Forward

0.5 0.5 0.66 / 47521 8.77 / 884497

0.5 0.7 1.78 / 132084 2.31 / 201575

0.5 0.9 1.93 / 129900 1.53 / 131280

0.7 0.1 3.24 / 193158 4.52 / 426094

0.7 0.3 5.46 / 354248 3.23 / 278696

0.7 0.5 9.11 / 696781 1.92 / 158464

Табл.

n= 13, m = 9, N = 40

T Fgen R D Dge n Backward Forward

0.1 0.7 2.27 / 87680 7.37 / 424348

0.1 0.9 4.72 / 198159 1.04 / 50518

0.3 0.1 6.78 / 253904 16.16 / 786554

0.3 0.3 19.77 / 772338 15.40 / 778159

0.3 0.5 6.91 / 261586 8.38 / 399909

0.3 0.7 14.22 / 545578 5.56 / 271307

0.3 0.9 8.84 / 324139 1.76 / 86190

0.5 0.1 17.81 / 669627 5.81 / 264634

0.5 0.3 19.18 / 693398 4.40 / 194186

В табл. 3 видна четкая тенденция зависимости трудоемкости решения задач для каждого метода от класса, которая подтверждается результатами экспериментов и на задачах других размерностей. Так, трудоемкость метода Forward падает с ростом TF, а для одинаковых значений TF падает с ростом RDD. Для метода

Табл. 6

m/n (TF; RDD) m/n (TF; RDD)

< 0.20 (0.9: 0.1) 0.42 0.46 (0.5; 0.5)

0.20 0.26 (0.7: 0.7) 0.47 0.52 (0.5; 0.3)

0.27 0.32 (0.7: 0.3) 0.53 0.60 (0.3; 0.9)

0.33 0.37 (0.5; 0.9) 0.61 0.75 (0.3; 0.7)

0.38 0.41 (0.5; 0.7) > 0.75 (0.1; 0.7)

Backward свойственна другая тенденция и наиболее трудоемкими являются задачи классов, для которых TF £ {0.7,0.9}. Более того, видна четкая граница: до класса (0.5; 0.7) включительно более эффективным (в смысле среднего времени решения задачи) является метод Backward, а после метод Forward.

Было проведено большое количество экспериментов с различными значениями m и n, в результате которых выяснилось, что граница эффективности рассматриваемых методов зависит не от самих значений m и n, а от их соотношения.

Следует заметить, что не всегда существует точка переключения с метода Backward на метод Forward. В табл. 4, 5 приведены результаты экспериментов на тех классах, где возникает неопределенность в выборе точки переключения. Из табл. 4 видно, что при m/n, равном 0.23-0.32, на классе (0.5; 0.9) лучшим оказывается метод Forward, в то время как на следующем классе (0.7; 0.1) он

m/n

на классах (0.1; 0.9) и (0.3; 0.3) лучшим оказывается метод Forward, в то время как на классах (0.3; 0.1) и (0.3; 0.5) лучшим является метод Backward.

Мы рекомендуем выбирать метод решения задачи в соответствии с табл. 6. В ней указаны точки переключения с метода Backward на метод Forward в линейном списке классов (TF; RDD), указанном в табл. 3, в зависимости от m/n. В заключение заметим, что поскольку метод Backward невыгодно использо-TF = 0. 9

алгоритма 1-1 (см. обсуждение результатов эксперимента 1).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 10-01-00728).

Summary

I.K. Agapeevich, V.R. Fazylov. Two Schemes of the Branch and Bound Method for a Flow Shop Total Weighted Tardiness Minimization Problem.

Two schemes of the branch and bound method for a flow shop total weighted tardiness minimization problem are suggested in this paper. The first scheme consists in the construction of the schedule in the common order (at the beginning the first work in the schedule is chosen, then the second work, etc.) and the second scheme presupposes the construction of the schedule in the inverse order (at the beginning the last work in the schedule is chosen, then the penultimate work. etc.). It is shown by numerical experiments that the efficiency of the methods strongly depends on the problem's parameters, which can be easily calculated from the initial data. Criteria for choosing the most efficient method for any particular problem are proposed.

Key words: flow shop, branch and bound method, total weighted tardiness minimization.

Литература

1. Baker K.R. Introduction to sequencing and scheduling. N. Y.: Wiley, 1974. 305 p.

2. Bozejko W., Uchrunski M., Wodecki M. Scatter search for a weighted tardiness flow shop problem // Mult.idisciplinary Int. Scheduling Conf. MISTA 2009, Dublin, Ireland,

10 12 August 2009. URL: http://st.Eitf.iiEir.pwr.wroc.pl/wojciccli.bozcjko/papcrs/2009/ MIS ТА _ 4pagcs. р df, свободный.

3. Buzejku W., Wudecki M. Population-Based Heuristics for Hard Permutational Optimization Problems // Int.. J. Comput. Iiitell. Res. 2006. V. 2, No 2. P. 151 158.

4. Bulbul K., Kaminsky Ph., Yano C. Flow Shop Scheduling with Earliness, Tardiness, and Intermediate Inventory Holding Costs // Nav. Res. Legist.. 2004. V. 51, No 3. P. 407 445.

5. Cicirellu V.A. On the Design of an Adaptive Simulated Annealing Algorithm // First. Workshop on Autonomous Search. Rhode Island, USA, 23 September 2007. URL: http://www.forevermar.com/SimA.pdf; свободный.

6. Rahimi-Vahed A.R., Mirghorbani S.M. A multi-objective particle swarm for a flow shop scheduling problem // J. Combin. Opt.im. 2007. V. 13, No 1. P. 79 102.

7. Sen Т., Sulek J.M., Dileepan P. Static scheduling research to minimize total weighted and unweighted tardiness: A st.at.e-of-t.he-art. survey // Int.. J. Prod. Econ. 2003. V. 3, No 1. P. 1 12.

8. Lenstra J.K., Rinnooy Kan A.E.G. Complexity results for scheduling chains on a single machine // Eur. J. Oper. Res. 1980. V. 96. P. 270 275.

9. Engin O., Doyen A. A new approach to solve flowsliop scheduling problems by artificial immune systems // Future Gener. Сотр. Sy. 2004. V. 20, No 6. P. 1083 1095.

10. Ага,пеевич И.К., Фазы,лов В.Р. Генератор исходных данных для задачи минимизации суммарного взвешенного запаздывания в конвейерных системах // Исслед. по приклад, матем. иипформат. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 2011. Вып. 27. С. 3 7.

11. Копией Р.В., Максвелл В.Л., Миллер Л.В. Теория расписаний. М.: Наука, 1975. 359 с.

12. Ignall Е., Shrage L. Application of the Branch-and-Bound Technique to Some Flow-Shop Scheduling Problems // Oper. Res. 1965. V. 13, No 3. P. 400 412.

13. Фазылов В.P. Задача манипулятора гальванической липли. Казань: Казап. матем. о-во, 2000. 79 с.

Поступила в редакцию 20.02.12

Агапеевич Ильвина Константиновна соискатель кафедры экономической кибернетики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: AgapeevichIKeiive.ru

Фазылов Валерий Рауфович доктор физико-математических паук, профессор кафедры экономической кибернетики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаП: vfazyluvegm.aU.сит

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.