CC BY
32
17. Pedrycz, W. Fuzzy Multicriteria Decision-Making: Models, Methods, and Applications [Text] / W. Pedrycz, P. Ekel, R. Parreiras. -New York : John Wiley & Sons, 2011. - 338 p.
18. Bellman, R. E. Decision-making in a fuzzy environment [Text] / R. E. Bellman, L. A. Zadeh // Management Science. - 1970. -№ 17. - P. 141-164.
19. Zimmermann, H. J. Fussy set theory and its application [Text] / H. J. Zimmermann. - Boston : Kluwer Academic, 1990. - 400 p.
20. Beliakov, G. Appropriate choise of aggregation operators in fuzzy decision support systems [Text] / G. Beliakov, J. Warren // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 2001. - № 9. - P. 773-784.
21. Bellman, R. On the analytic formalism of the theory of fuzzy sets [Text] / R. Bellman, V. Giertz // Information Science. - 1974. -№ 5. - Р. 149-157.
22. Жаркин, А. Ф. Функциональное эквивалентирование электрических сетей при оценке влияния источников распределенной
генерации на их режимы [Текст] / А. Ф. Жаркин, В. А. Попов, В. В. Ткаченко, С. Банузаде Сахрагард // Электронное модели-
рование / Наук.-теор. журнал. - 2013. - Т. 35, № 3. - C. 99-111.
23. Раскин, Л. Г. Анализ сложных систем и элементы теории оптимального управления [Текст] / Л. Г. Раскин. - М. : Советское радио, 1976. - 344 с.
24. Гельфанд, I. М. О некоторых способах управления сложными системами [Текст] / I. М. Гельфанл, М. Л. Цетлин // Успехи математических наук. - 1962. - Т. 17, № 1 (103). - С. 3-25.
25. Ekel, P. Ya. Fuzzy set based multiobjective allocation of resources and its application [Text] / P. Ya. Ekel, C. A. P. S. Martins,
J. G. Pereira Jr. // Computers and Mathematics with Applications. - 2006. - № 52. - Р. 197-210
--------------------□ □------------------------
Наведено результати синтезу модального управління багатомірним процесом вирощування великогабаритних монокристалів. Оптимізація системи управління проведена шляхом параме-тризації, на основі узагальненого підходу Ван дер Воуда. Отримано стабілізуючий регулятор по виходу, який забезпечує в замкнутій системі високу динамічну якість управління для інерційних об'єктів, яким є процес вирощування
Ключові слова: оптимізація, модальне управління, монокристал, кристалізація, параметри-зація, синтез регуляторів, багатозв'язний процес
□---------------------------------□
Приведены результаты синтеза модального управления многомерным процессом выращивания крупногабаритных монокристаллов. Оптимизация системы управления проведена путем параметризации, на основе обобщенного подхода Ван дер Воуда. Получен стабилизирующий регулятор по выходу, который обеспечивает в замкнутой системе высокое динамическое качество управления для инерционных объектов, каким является процесс выращивания
Ключевые слова: оптимизация, модальное управление, монокристалл, кристаллизация, параметризация, синтез регуляторов, многосвязный процесс
--------------------□ □------------------------
УДК 621.3.078.3
СИНТЕЗ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПО ВАН ДЕР ВОУДУ МНОГОМЕРНЫМ ПРОЦЕССОМ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ
Ю. С. Козьмин
Кандидат технических наук, научный сотрудник Лаборатория систем управления Институт сцинтилляционных материалов
НАН Украины
пр. Ленина, 60, г. Харьков, Украина, 61001 E-mail: [email protected]
1. Введение
Современные системы выращивания монокристаллов представляют собой сочетание односвязных и многосвязных, стационарных и нестационарных динамических систем. Для решения задач управления и обеспечения отказоустойчивости в таких системах
широко используются компьютерные технологии. Эти технологии позволяют реализовать сложные и разветвленные алгоритмы управления. К таким алгоритмам относятся алгоритмы, реализующие модальные законы управления.
Характер переходных процессов в системе определяется расположением корней ее характеристического
3
©
полинома. Поэтому обеспечение заданных переходных процессов в системе может быть достигнуто, если характеристический полином имеет заданные корни. Это непосредственно приводит к условию получения заданных коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы с помощью модального управления, которое обычно определяется как управление, решающее задачу управления спектром матрицы или размещения собственных чисел (значений) для достижения поставленных целей управления.
2. Анализ исследований и публикаций
Происхождение термина «модальное управление» объясняется тем, что собственным значениям матрицы соответствуют составляющие свободного движения системы, называемые модами. У.М. Уонем (Wonham) был первым, кто сформулировал задачу размещения собственных чисел матрицы линейной управляемой системы с полным выходом. Им же и была решена эта задача в работе [1]. В [2] возможность произвольного размещения собственных значений матрицы замкнутой системы управления, с помощью полной обратной связи была названа модальной управляемостью. Для анализа управляемости и наблюдаемости динамической системы широко используются ранговые критерии Калмана, играющие фундаментальную роль в анализе свойств линейных управляемых систем [3]. Одними из наиболее известных явных расчетных формул, применяемых для модального синтеза регуляторов и наблюдателей в динамических системах с представлением в пространстве состояний, являются формулы Аккермана (Ackermann) [4] и Ван дер Воуда (Van der Woude) [5]. Решение матричных уравнений методом канонизации, используемых при синтезе модального управления, представлено в [6]. В [7] описаны ленточные матрицы и критерии управляемости и наблюдаемости, которые широко используются для синтеза управления многомерными системами [8]. В [9] проведено обобщение теоремы Ван дер Воуда на MIMO-системы, которое использовано для синтеза модального управления многомерным процессом выращивания монокристаллов [10].
Для достижения поставленной цели необходимо на основе обобщенной теоремы Ван дер Воуда определить такой подход к синтезу управления, который позволит обеспечить высокое динамическое качество управления процессом кристаллизации.
4. Объект управления
Сцинтилляционные монокристаллы (СМК) выращивают в промышленности методом Чохральского на установках типа «РОСТ» [10]. Известно, что качество СМК во многом определяется стабильностью скорости кристаллизации, о которой судят по стабильности диаметра выращиваемого монокристалла. Диаметром растущего кристалла управляют, изменяя тепловые условия выращивания.
Идентификация процесса выращивания, как объекта управления (ОУ), проводилось на примере получения активированных монокристаллов CsI(Tl) методом Чохральского.
Процесс выращивания рассматривался как двумерный ЦП-объект управления с двумя входными величинами - температура основного Td и температура дополнительного нагревателя ТЬ и двумя выходами -диаметр кристалла Ds и температура подпиточного расплава Тр . В пространстве состояний ОУ имеет следующие матрицы
A=
B =
C=
x1 x2 x3
x1 -6.0220 0.1731 -0.5535
x2 0 -0.9404 0.3666
x3 0 0 -0.1145
u1 u2
x1 0.7571 4.6809
x2 -1.0644 0.9886 ’
x3 0.1932 -0.3923_
x1 x2 x3
y1 4.7817 0.8531 -0.2111
y2 -0.0823 -0.5344 0.4253
3. Формирование целей и задач
Известно, что использование ранговых критериев, только за счет их вычислительных особенностей, а не самих свойств системы в некоторых случаях приводит к ложным выводам о неуправляемости (ненаблюда-емости) этой системы вследствие увеличения числа обусловленности анализируемой матрицы. Поэтому, в зависимости от цели исследования динамической системы, а, именно, для области модального управления рассматривается такая форма критериев управляемости и наблюдаемости, которая была бы лишена указанных недостатков.
Целью настоящей работы является решение задачи синтеза модального управления многомерным процессом выращивания сцинтилляционных монокристаллов
Объект управления полностью управляем и наблюдаем.
Собственные значения матрицы А : -6.02, -0.94, -0.11.
5. Модальный синтез системы и результаты
Синтез модального управления [1, 2] основан на исследовании свойств управляемости и наблюдаемости М1МО-системы [3].
Пусть задана линейная динамическая система
х = Ах + Ьи , х(^) = х0, х є Я", и є Я", (1)
у = Сх, у є Ят ,
Е
где х - вектор состояния, у - выходной вектор, и - вектор управления, подаваемого на вход ОУ х0 - начальные условия, т.е. состояние ОУ в начальный момент времени ^ . А,В,С - постоянные матрицы соответствующих размеров.
Если С єЯшхп,ш < п тогда и = -Ку = -КСх ,
(2)
где К е Я5Хт - матрица регулятора по выходу.
Ленточная (прямоугольная) матрица управляемости [7] для многомерной системы [8] вида
А = (А +^ + ь2£,т + — + К-^),
det (ХІп - А) = Хп + ап-1Хп-1 +------------------+а4Х + а0.
(6)
(7)
Теорема 1. (обобщение теоремы Ван дер Воуда [9]). Для полностью управляемой линейной МІМО-систе-мы (1) существует такой вектор к єЯш, что обеспечивается полином
det (ХІп - А + ВКС) = Г + ап-1Г-1 + — + а1Х + а0, (8)
если и только если
-ььа 0 0— 0 0
1-0 - ЬА 0— 0 0
0 Ьь -ЬЕ — 0 0
0 0 ЬЬ • . -ЬьА 0
|0 0 0— • Ьь - ЬЬА
и1=
К Лак -
— К
С = 0,
(9)
є К
(п2-1)хп2
(3)
где 0 - нулевая матрица подходящего размера, символ () - левый делитель нуля максимального ранга за-
данной матрицы (вектора). Левый Мь (правый Ма ) делитель нуля характеризует [6] все линейно-зависимые комбинации строк (столбцов) некоторой действительной матрицы М е Я"Хт ранга г в соответствии с тождеством:
М"М = 0ш-гп (ММК = 0ш,п-г ) .
(4)
На основе обобщения теоремы Ван дер Воуда для М1МО-системы [9] с управлением (2) для модального синтеза в этой системе регуляторов и наблюдателей с представлением в пространстве состояний [4, 5], проведем доказательство нескольких лемм и теорем.
Лемма 1. Для любой матрицы А є Япхп всегда найдется такая последовательность векторов
1 єЯп, Ь2 єЯп, ..., 1 єЯп, где г<п, что пара матриц
(А + + Ь2^Т + — + Ьг-1^-1,Ьг )
является управляемой и в которой
(5)
flT = ©ТЬ1(Ш1ІП - А), ^Т = ©ТЬ^(ю2Іп - А),
: £ = 0Т-1Ьг-1(®г-1Іп - А).
произвольный ненулевой вектор,
здесь ©Т є Яп-1 ю; - произвольный скаляр, Ьі - левый делитель нуля максимального ранга вектора Ь;, і = 1,(г-1) , при этом использовано разбиение матрицы входа на столбцы В = (Ь1 Ь2| — Ьг-1| Ьг).
Введем обозначения:
где
К= [? f2T — £ ]Т
ЛаТ = [а0 -
(10)
-а0 а1 — а1 — ап-2 1 п з а -ап-
-ЬгА 0 0— 0
Ь, - -Ьг А 0— 0 - 1 - 2
0 Ьь —ь --Ьг А — 0 - 3
0 0 ьь
т-ь--Ьг А - п-
0 0 0— Ьь . п
.(13)
4 = [у п V п-1 — V 2 ¥1].
(12)
Теорема 2. Если для полностью управляемой линейной М1МО-системы (1) существует такой вектор к еЯ1” ,что обеспечивается полином (8), то
К =
К Лак -
(14)
где С+ - псевдообратная матрица.
Параметризация всех регуляторов (14), обеспечивающих характеристический полином (8), осуществляется путем замены в расчетных соотношениях вектора Ьг на любой другой вектор Ь из разбиения матрицы входа В на столбцы, а также путем варьирования элементов векторов 0Т и скаляров ю( в (5), удовлетворяющих условию
КС = [? f2T — £]ТС = 0.
(15)
Теорема 3. Если для полностью управляемой линейной М1МО-системы (1) выполняется условие (9), то могут быть реализованы только следующие векторы разности коэффициентов (11)
С
лент
С =
лент
+
С
3
(16)
при условии, что выполняется (15). При этом параметризация всех векторов Дат осуществляется путем замены в расчетных соотношениях вектора Ьг на любой другой вектор Ь из разбиения матрицы входа В на столбцы, а также путем варьирования элементов векторов цт,0т и скаляров ю( в (5), удовлетворяющих условию (15).
Таким образом, алгоритм нахождения модального управления для М1МО-системы обобщенным методом Ван дер Воуда, следующий:
1. Проверяем управляемость пары матриц (5) -лемма 1;
2. Проверяем условие (9). Параметризацией добиваемся выполнения этого условия;
3. Вычисляем регулятор К - выражение (14);
4. Оптимизируем систему управления параметризацией - выражение (16).
В практических приложениях проведем синтез системы управления для ОУ - процесса выращивания монокристалла Сз1(Т1).
Матрица входа В для этого ОУ имеет два столбца
ЬТ = [0.7571 -1.0644 0.1932],
ЬТ = [4.6809 0.9886 -0.3923].
Соответственно, левый делитель нуля Ы вектора Ь1, правый делитель нуля С и псевдообратная матрица С+ матрицы С, следующие:
кР =
ьь =
—К
С =
С+ =
1.4059 1 0
-0.2553 0 1
-0.1006 0.8114 1
0.2121 0.2470
-0.0095 -1.1481
0.0291 0.9565
По лемме 1 проверяем управляемость пары матриц (А + Ь^^):
£Т = [58.7122 14.9810 1.8309],
при 0Т = [5 -0.1], ю1 = 2.3.
Рассматриваемая пара матриц управляема. Проверяем условие (9):
А = (А + Ь^Т) =
615.0183 38.7855 30.6085
-873.1231 -55.2258 -43.4442 158.5263 9.8562 7.8399
3.9176 -5.5077 1
2.6258 -33.4316 6.9624
-0.1445 -1.5891 5.6633
Выберем вектор разности (11) в виде ЛаТ = [-1.055 -10 0.1]
и
К = £
тогда и1 = [0.0000 -0.0012], т. е. существует такой вектор к єЯш, что обеспечивается полином (8). Условие (9) выполняется.
Таким образом, задача стабилизации МІМО-си-стемы обратной связью по выходу (2) с обеспечением заданного характеристического полинома (8) разрешима, а ее решение, в соответствии с формулировкой теоремы 2, находится по выражению (14).
Проведем параметризацию вектора разности коэффициентов характеристических полиномов (11) по выражению (16) выбором вектора цТ , что дает возможность оптимизировать систему управления.
Выберем цТ = [15 -0.1], тогда
ЛаТ = [315.2263 -819.5766 143.0293].
- —Я
В этом случае КС С = 0.2451е - 004, а
К0 =
12.36 -0.94 15 -0.10
Собственные значения замкнутой системы управления с регулятором К0:
-388.74, -0.48, -0.07.
На рис. 1 приведены переходные характеристики ОУ и замкнутой системы (ЗС) с регулятором К0 по каналу: температура основного нагревателя - диаметр монокристалла.
Сформируем ленточную матрицу (13) размером 8 х 9 из элементов Ь , -ЫА . Найдем правый делитель нуля максимального ранга этой матрицы и получаем
Рис. 1. Переходные характеристики ОУ и замкнутой системы: изменение амплитуды (в относительных единицах) реакции системы на входное воздействие, в зависимости от времени (сек) переходного процесса
Е
Из рис. 1 следует, что синтезированная система модального управления обеспечивает высокое качество регулирования диаметра в процессе выра-
Т
щивания за счет параметризации вектора ц путем выбора только двух целочисленных значений этих параметров.
6. Выводы
На основе обобщенного подхода Ван дер Воуда для многосвязного процесса кристаллизации проведен синтез модального управления. Получен стабилизирующий регулятор по выходу, который обеспечивает в замкнутой системе высокое динамическое качество управления для инерционных объектов, каким является процесс выращивания. Длительность переходно-
го процесса для объекта управления составляет 25 с, для замкнутой системы - менее 0,2 с.
В производственных условиях тепловые режимы процесса выращивания часто подвергается воздействию кратковременных возмущений, что может привести к неравномерному распределению активатора по длине кристалла. Это ухудшает качество конечной продукции. Замкнутая система с синтезированным регулятором имеет в канале управления диаметром монокристалла собственное значение, равное -388,74, которое позволяет системе оперативно среагировать на такое возмущение и уменьшить его влияние на качество монокристалла.
Таким образом, синтезированный регулятор может быть успешно использован для управления выращиванием крупногабаритных сцинтилляционных монокристаллов.
Литература
1. Wonham, W. M. On Pole Assignment in Multi-Input Controllable Linear Systems [Text] / W. M. Wonham // IEEE Trans. Automat. Control. - 1967. - Vol. AC-12, № 6. - P. 660-667.
2. Simon, D. D. A Theory of Modal Control [Text] / D. D. Simon, S. K. Mitter // Inform. Contr. - 1968. - Vol. 13. - P. 316-353.
3. Kalman, R. E. Controllability of linear dynamical systems [Text] / R. E. Kalman, Y. C. Ho, K. S. Narendra // Contrib. Differ. Equations. - 1962. - Vol. 1(2). - P. 189-213.
4. Ackermann, J. Der Entwurf Linearer Regelungssysteme im Zustandsraum [Text] / J. Ackermann // Regelungestechnik und Prozes-sedaten verarbeitung. - 1972. - Vol. 7. - P. 297-300.
5. Van der Woude, J. W. A note on pole placement by static output feedback for single input systems [Text] / J. W. Van der Woude // Systems & Control Letters. - 1988. - Vol. 11. - P. 285-287.
6. Буков, В. Н. Решение матричных уравнений методом канонизации [Текст] / В. Н. Буков, В. Н. Рябченко, В. В. Косъянчук, Е. Ю. Зыбин // Вестник Киевского ун-та. Сер. Физ.-матем. Науки. - 2002. - Вып. 1. - С. 19-28.
7. Мисриханов, М. Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости линейных динамических систем [Текст] / М. Ш. Мисриханов // А и Т. - 2005. - № 2. - С. 93-104.
8. Мисриханов, М. Ш. Анализ и синтез линейных динамических систем на основе ленточных формул [Текст] / М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко // Вестник ИГЭУ. - 2009. - № 2. - С. 81-84.
9. Мисриханов, М. Ш. Метод синтеза стабилизирующего управления динамической системой на основе развития идеи Ван дер Воуда [Текст] / М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко // Повышение эффективности работы энергосистем. Труды ИГЭУ. Системы управления и автоматизации. - 2009. - Вып. IX. - C. 383-399.
10. Горилецкий, В. И. Рост кристаллов [Текст]: монография / В. И. Горилецкий, Б. В. Гринев, Б. Г. Заславский и др. - Х.: АКТА, 2002. - 535 с.
3
