CC BY
22
3. Kasik V. FPGA Based Digital Logic Emulator for Educational Purposes [Текст] / Vladimir Kasik, Ibrahim Salem Jahan, Ales Kurecka // 2011 International Conference on Software and Computer Applications. - Singapore: IACSIT Press, 2011. - Vol.9. - PP. 23-27.
4. Маслов А. Комплекс для разработки и отладки проектов автоматизированных систем управления технологическими процессами [Текст] / А. Маслов, А. Висков // Современные технологии автоматизации. - 2001. - №3. - С. 68-76.
5. Сызранцев В. Н. Компьютерные тренажеры для обучения студентов нефтегазового направления [Текст] / В. Н. Сызранцев, М. Д. Гаммер, К. М. Черезов // Бурение и нефть. - 2006. - №10. - С. 34-36.
6. Okolnishnikov V. Development of process control systems with the use of emulation models [Текст] / Victor Okolnishnikov // International journal of mathematics and computers in simulation. - 2011. - Issue 6, Volume 5. - PP. 553-560.
7. Заквасов В. В. Програмно-апаратний комплекс для дослідження дискретних технологічних процесів (конструкція та віртуальна модель) [Текст] / В. В. Заквасов, А. Л. Перекрест, С. О. Горбатко, С. В. Заквасова, Г. В. Замарєв // Вісник КДУ імені Михайла Остроградського. - 2010. - Випуск 4(63). Частина 3. - C. 172-175.
8. Папінов В. М. Гібридні моделі асу тп комп’ютеризованих лабораторних стендів [Текст] / В. М. Папінов // 13-а міжнародна конференція з автоматичного управління - Автоматика-2006, 25 - 28 вер. 2006р. - Вінниця, 2006. - С. 467.
9. Liliana Fernández-Samacá. La emulación y la experimentación remota como recursos de apoyo en un enfoque de aprendizaje basado en proyectos para sistemas de control = Emulation and remote experimentation as support resources in a PBL approach for control systems [Текст] / Liliana Fernández-Samacá, José Miguel Ramírez Scarpetta, Martha Lucia Orozco-Gutiérrez // Rev. Fac. Ing. Univ. Antioquia. - 2010. - № 55 - PP. 194-202.
10. Ramírez J. A platform for signals and systems internet-based education [Текст] / J. Ramirez, E. L. Caicedo, C. Pinedo, E. Bacca, C. Ramos // Inted conference. - Valencia, 2008. - PP. 1-8.
------------------□ □--------------------
Наведено результати оптимізації управління багатомірним процесом вирощування великогабаритних монокристалів на основі оптимального розміщення безлічі власних значень замкнутої системи, декомпозиції моделі вихідної системи й взаємозв’язку модального й оптимального підходів до синтезу зворотного зв’язку з метою забезпечення заданих вимог якості й стійкості перехідних процесів управління
Ключові слова: оптимізація, управління, монокристал, декомпозиція, модель, функціонал, якість, стійкість
□----------------------------------□
Приведены результаты оптимизации управления многомерным процессом выращивания крупногабаритных монокристаллов на основе оптимального размещения множества собственных значений замкнутой системы, декомпозиции модели исходной системы и взаимосвязи модального и оптимального подходов к синтезу обратной связи в целях обеспечения заданных требований качества и устойчивости переходных процессов управления
Ключевые слова: оптимизация, управление, монокристалл, декомпозиция, модель, функционал, качество, устойчивость ------------------□ □--------------------
УДК 621.3.078.3
ОПТИМИЗАЦИЯ
УПРАВЛЕНИЯ
МНОГОМЕРНЫМ
ПРОЦЕССОМ
ВЫРАЩИВАНИЯ
МОНОКРИСТАЛЛОВ
В. С. Суздал ь
Доктор технических наук, старший научный сотрудник,
заведующий лабораторией* E-mail: suzdal @ isma.kharkov.ua Ю. М. Епифанов Кандидат технических наук, старший научный сотрудник* E-mail: epiphanov @ isma.kharkov.ua И. И. Тавровский Кандидат технических наук* E-mail: tawr @ isma.kharkov.ua *Лаборатория систем управления, младший научный сотрудник Институт сцинтилляционных материалов НАН Украины пр. Ленина, 60, г. Харьков, Украина, 61001
1. Введение
Крупногабаритные щелочно-галоидные (ЩГК) монокристаллы выращивают в промышленности методом
Чохральского на установках типа «РОСТ». Качество ЩГК определяется стабильностью массовой скорости его роста. Эта скорость косвенно оценивается по диаметру растущего монокристалла, который и стабили-
Е
© В. С. Суздаль, Ю. М. Епифанов, И. И. Тавровский, 2013
зируется в процессе управления выращиванием. При выращивании крупногабаритных щелочно-галоидных монокристаллов предъявляются жесткие требования к точности стабилизации диаметра монокристалла, устойчивости и качеству управления ростом, поэтому в процессе выполнения этих требований решается основная проблема эффективности кристаллизации. Вопрос о создании эффективных систем оптимального управления промышленными технологиями выращивания ЩГК до настоящего времени по-прежнему стоит остро.
2. Анализ исследований и публикаций
На ростовых установках практически реализованы процессы управляемой кристаллизации, с использованием для управления информации о положении уровня расплава, который используется для оценки диаметра растущего кристалла [1]. При выполнении требований к качеству управления объектом, определяющим моментом принята точность стабилизации диаметра, характеризующаяся, в том числе, и качеством переходного процесса на всем интервале времени решения целевой задачи. В практике решения задачи стабилизации (частный случай задачи модального управления - управления спектром) используется ряд методов, которые можно распределить следующим образом:
- критерий управляемости Калмана [2] для формулировки и решения математически строгой задачи модального управления обыкновенными многовходовыми линейными системами [3];
- использование LMI- областей [4 - 6] для выполнения требований на размещение собственных значений матриц замкнутой системы;
- синтез стабилизирующего регулятора Н„ - методом формирования контура [7] (робастное модальное управление) с размещением тех или иных нулей передаточной функции замкнутой системы [8];
- размещение собственных значений матриц замкнутой системы и оптимизация [9].
3. Формирование целей и задач синтеза законов управления процессом
Особое внимание в настоящее время уделяется исследованиям, устанавливающих связь модального и оптимизационного подходов к синтезу обратной связи в целях обеспечения заданных требований качества и устойчивости переходных процессов управления выращиванием ЩГК.
Для линейного стационарного объекта управления эта задача может быть решена методами конструирования системы оптимального квадратичного управления.
Известно, что квадратичная оптимизация в линейных системах определяет матрицу коэффициентов обратной связи К, обеспечивающей устойчивость матрице состояния замкнутой системы А-ВК в случае стабилизируемости пары (А, В). Основная проблема состоит в том, что матрице состояния свойственна недостаточная робастность оптимального управления,
связанная, прежде всего, с размещением собственных значений оптимальной системы.
С другой стороны, известно, что синтез обратной связи с помощью модальных методов осуществить гораздо проще, чем определить оптимальное квадратичное управление путем решения уравнения Лурье-Риккати. Исходя из этого, полученное более простым путем управление, как правило, не будет оптимальным.
Целью настоящей работы является решение задачи синтеза закона стабилизации для многомерного процесса выращивания монокристаллов в области его стационарности.
Для достижения поставленной цели необходимо обеспечить оптимальное, в смысле минимума линейно-квадратичного функционала, размещение собственных значений замкнутой системы для системы управления процессом кристаллизации.
4. Описание объекта управления системы
Задача назначения собственных значений в линейных динамических системах в той или иной постановке рассматривалась в многочисленных работах [3 - 9]. Управление такими системами является классической задачей обеспечения некоторых заданных требований к процессу управления, а, именно: (а) на размещение собственных значений матриц замкнутой системы в заданных точках или областях [4 - 6]; на размещение собственных значений и нулей передаточной матрицы замкнутой М1МО-системы [3, 7, 8]; (с) обеспечение требований к переходным процессам в замкнутой системе и оптимизация, например, в смысле минимума заданного функционала [9]. При выдвижении дополнительных требований полной управляемости и полной наблюдаемости системы [2] требование (а) распространяется на все известные постановки задачи стабилизации и выражается в постановках модального управления [3, 8].
В основе метода стабилизации состояния объекта путем обеспечения выполнения требований (а), (с), лежит специфическая декомпозиция модели системы
[10].
Пусть задана математическая модель объекта управления (ОУ) в пространстве состояний в виде линейной стационарной системы
х^) = Ах^) + Ви^),х(0) = х0, (1)
УОО = СхОО, (2)
где х^) є Я" - п-мерный вектор состояния сис-
темы, х0 - его начальное состояние; и^) єЯт -т-мерный вектор управления и у^) є Я4 - д-мер-ный вектор контролируемых координат. Реализацию в пространстве состояний (1), (2) обозначим тройкой матриц (А, В, С). Управление в системе с обратной связью вида
и = Кх^), (3)
где К - постоянная матрица коэффициентов усиления.
3
Моделирование процесса выращивания как объекта управления, проводилось на примере получения крупногабаритных монокристаллов CsJ методом Чохральского.
Процесс выращивания рассматривался как двумерный линейный стационарный объект управления с двумя входными величинами - температура основного Td и температура дополнительного нагревателя ТЬ и двумя выходами - диаметр кристалла Ds и температура подпиточного расплава Тр
[11]. Матричная передаточная функция этого ОУ -Ж
В пространстве состояний ОУ имеет следующие матрицы
А =
—L
В =
В =
х1 х2 х3 х4
х1 0 -1.548 0 0
х2 1 -5.453 0 0
х3 00 0 -0.4322
х4 00 0.5 -3.124
и1 и2
х1 -0.5019 2.142
х2 0.2637 5.573 ,
х3 0.2915 - 0.3939
х4 1.699 - 0.8284
с=
х1 х2 х3 х4
у1 0 4 0 0
у2 0 0 2 0
5. Синтез системы и результаты обеспечения заданных требований
В основе оптимального размещения собственных значений замкнутой системы лежит предложенный в [10] метод декомпозиции модели исходной системы и установленная взаимосвязь модального и оптимального подходов к синтезу обратной связи в целях обеспечения заданных требований качества в виде функционала Летова-Калмана и устойчивости переходных процессов управления.
Декомпозиция многомерной системы, представляемой парой матриц А и В, содержит L = сеП(п / т) -1 уровней декомпозиции, где сеП(*) - операция округления числа * в сторону большего значения. Для рассматриваемого ОУ 1=1.
Обозначим для матрицы М: М+ - псевдообратная
--L
матрица Мура-Пенроуза; М - левый делитель нуля; —п
М - ортогональный делитель нуля. Причем матри-
L L П
цЫ та^ что М -М = °(п_т)хт , М 'М = 1п-т.
Уровни декомпозиции:
- нулевой: А и В;
—L — ТЪ —L
- первый: А1 = В АВ , В1 = В АВ .
В рассматриваемой системе, согласно принятым обозначениям, имеем:
для матрицы В (нулевой уровень декомпозиции) -
—ТЪ
В =
0.5142 -0.1269 1 0 2.8810 -0.9587 0 1
7.5366 -0.9979
22.6480 -4.0418
для первого уровня декомпозиции
А1 =
-3.3096 0.5466 ' , В1 = -0.6979 -0.4928"
10.1454 -2.1433 -4.4782 4.6117
В [10] показано, что для полностью управляемой рассматриваемой многомерной системы (1) и матрицах коэффициентов усиления
К = В-А - Р0В- , В- = К1В + В+ , К1 = В1-А1 - ВД , В- = В+ ,
(4)
(5)
справедливо утверждение относительно множества собственных значений (спектра) матриц замкнутой системы:
eig(A - ВК) = eig(F0) и е^),
(6)
т. е. регулятор, заданный матричными соотношениями (4), (5) обеспечивает выполнение условия заданного размещения собственных значений (6).
С другой стороны, для замкнутой непрерывной многомерной системы матрица регулятора К* является оптимальной в смысле минимума квадратичного функционала качества Летова-Калмана:
J =1Ї(хТЦх + иТЯи^ ,
(7)
где ЦТ = Q > 0, ЯТ = Я > 0, т.е. удовлетворяет алгебраическому уравнению Риккати:
АТР+РА - РВЯ-1ВТР + Q = 0 ,
и Р - (строго) положительно-определенная симметрическая матрица, если и только:
1. eig(A - ВК*) < 0 , т. е. замкнутая многомерная система является асимптотически устойчивой;
2. К*В > 0, т.е. матрица К*В является (строго) положительно-определенной симметрической матрицей.
Оптимальный регулятор в смысле минимума функционала (7) имеет вид
Кор1 = (К1В + В+ )А - Р^В + В+),
^ = (К1В + В+ )АВ -а1т,
(8)
(9)
Е
где матрица Рор1 удовлетворяет линейному матричному уравнению (неравенству) Рор -(К1В + В+ )АВ < 0 и условию eig(Fopt) с С*ьЬ, СЛЬ - левая полуплоскость комплексной плоскости, а> Яе(Хтах(К1В + В+ )АВ) . Здесь Яе(Хтах(К1В + В+ )АВ) - действительная часть максимально удаленного от мнимой оси вправо собственного значения матрицы (К1В + В+ )АВ єЯтхт, в которой псевдообратные матрицы Мура-Пенроуза для уровней декомпозиции представлены следующим образом:
В+ =
В+ =
-0.1338 0.1338 0.0858 0.5136
0.0546 0.1569 -0.0081 -0.0068
-0.8500 -0.0908 -0.8254 0.1286
Кор1 =
Р =
opt
0.4537 0.0256 -0.2427 1.4608 0.4691 0.2268 -0.0275 0.1081
0.1594 -3.4939 0.2115 -3.3693
Wopt(1,1) =
1.055р3 + 3.597р2 + 12.08р + 0.8305
о,Л р4 + 12.96р343.36р2 + 14.65р + 0.8344 ’
(1 2) = 22.29р3 + 127р2 + 34.81р +1.838
opt( , ) = р4 + 12.96р343.36р2 + 14.65р + 0.8344 ,
(2 1) = 3.398р3 + 26.26р2 + 11.45р + 0.4208 opt( , ) = р4 + 12.96р343.36р2 + 14.65р + 0.8344 ,
(2 2) = -1.657р3 - 13.06р2 - 8.588р -0.7838 opt( , ) = р4 + 12.96р343.36р2 + 14.65р + 0.8344 .
На рис. 1 приведена переходная характеристика замкнутой системы для канала управления ^,р|.(1,1) «диаметр монокристалла - температура основного нагревателя».
На рис. 2 для этого же канала показаны функции чувствительности S и дополнительной чувствительности Т (сплошная линия).
Согласно описанию в пространстве состояний ОУ, задаем:
р = [-1 -0.05; -0.059 -4.7034],
еій(Р1) = [-0.9992; -4.7042].
Тогда матрицы коэффициентов обратной связи и регулятора, обеспечивающие оптимальное размещение собственных значений в задаче стабилизации объекта, запишутся следующим образом:
К1 = [1.0003 -0.3543; 0.1044 -0.1272],
150
200
250
Т, мс
Рис. 1. Переходная характеристика замкнутой системы: изменение амплитуды А (в относительных единицах) реакции системы на входное воздействие, в зависимости от времени Т (мс) переходного процесса
eig(Fopt) = [-0.0641; -3.1458].
Замкнутая система с регулятором Кор|.
Wopt = с (рІ4 - А + ВКо^ )-1В.
Компоненты матричной передаточной функции W по каналам управления:
Ю0 частота (рад/с)
Рис. 2. Результаты оценки качества управления системой по функциям Т и S: значения сингулярных чисел о, дБ, в зависимости от частоты (рад/с); наклон функций — в децибелах на декаду (дБ/дек)
Результаты синтеза, согласно рис. 1 характеризуют удовлетворительную оценку совместимости требований между качеством переходных процессов и робастной устойчивостью замкнутой системы: А=1 о.е., Т = (150-200) мс.
Из графиков представленных на рис. 2 следует, что функция чувствительности S имеет наклон примерно 20 дБ/дек на низких частотах ((10-3-210-1) рад/с) и остается с наклоном, меньше 0 дБ для частот около 100 рад/с, без наклона этой функции на более высоких частотах.
Тем самым, обеспечивается удовлетворительное подавление возмущений на низких частотах и низкая колебательность замкнутой системы. Это очень важно, так как в рассматриваемой системе основное возмущение на низких частотах - это колебания уровня расплава с частотой 1.0-5.0 рад/с.
Анализ функции дополнительной чувствительности Т показывает аналогичные результаты: в си-
3
стеме будет обеспечено подавление высокочастотных внешних возмущений (наклон функции, около -20 дБ/дек на высоких частотах), в частности, шумов измерений, высокое демпфирование замкнутой системы.
В целом, анализ с использованием аппарата чувствительности показывает, что оптимальная система обладает робастной устойчивостью и всегда будет асимптотически устойчивой для полученных в результате моделирования параметров этой системы, выбор которых не составляет больших сложностей.
6. Выводы
На основе установленной взаимосвязи модального и оптимального подходов к синтезу управления в целях обеспечения заданных требований качества и устойчивости переходных процессов и декомпозиции модели системы управления выращиванием крупногабаритных щелочно-галоидных монокристаллов, решена задача синтеза системы управления с оптимальным в смысле минимума линейно-квадратического функционала размещением множества собственных значений замкнутой системы.
Литература
1. Рост кристаллов [Текст]: монография / В. И. Горилецкий, Б. В. Гринев, Б. Г. Заславский и др. — Х. : АКТА, 2002. — 535 с.
2. Kalman, R. E. Contributions to the theory of optimal control [Текст] / R. E. Kalman // Bulletin de la Sociedad Matematica Mexi-cana. —1960. — № 5. — P. 102—119.
3. Wonham, W. M. On pole-assignment in multi-input controllable systems [Текст] / Wonham W. M. // IEEE Trans. Automat. Control. -1967. - V. 12, № 6. - P. 660-667.
4. Skelton, R. E. An unified algebraic approach to linear control design [Текст] / R. E. Skelton, T. Iwasaki, K. Grigoriadis. - London : Taylor&Francis Ltd., 1998.
5. Chilali, M. H~ design with pole placement constraints: an LMI approach [Текст] / M. Chilali, P. Gahinet // IEEE Trans. Automat. Control. -1996. - V. 41, № 3. - P. 358-367.
6. Scherer, C. Multiobjective output-feedback control via LMI optimization [Текст] / C. Scherer, P. Gahinet, M. Chilali / / IEEE Trans. Automat. Control. -1997. - V. 42. - P. 896-911.
7. Mcfarlane, D. C. Loop Shaping Design Procedure Using И» Synthesis [Текст] / D. C. Mcfarlane, K. Glover // IEEE Trans. Au-tomat. Control. -1992. - V. 37, № 6. - P. 759-769.
8. Kailath, T. Linear systems. Englewood cliffs [Текст] / T. Kailath. - NJ : Prentice Hall, 1980.
9. Iracleous, D. P. A simple solution to the optimal eigenvalue assignment problem [Текст] / D. P. Iracleous, F. T. Alexandridis //
IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - V. 44, № 9. - P. 1746-1749.
10. Зубов, Н. Е. Оптимизация законов управления орбитальной стабилизации космического аппарата [Текст] / Н. Е. Зубов,
Е. А. Микрин, С. С. Негодяев, В. Н. Рябченко, А. В. Лапин // ТРУДЫ МФТИ. - 2012. - Т. 4, № 2. - С. 164-176.
11. Суздаль, В. С. Параметрическая идентификация VARMAX моделей процесса кристаллизации крупногабаритных монокристаллов [Текст] / В. С. Суздаль, Ю. М. Епифанов, А. В. Соболев, И. И. Тавровский // Нові технології : Науковий вісник Кременчуцького університету економіки, інформаційних технологій і управління. - 2009. - № 4 (26). -С. 23-29.
Е
