Параметризация аналитических законов управления боковым движением летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВИАЦИОННАЯ

И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА

DOI: 10.18698/0236-3933-2016-2-3-17 УДК 621

ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ БОКОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА*

Н.Е. Зубов1,2, Е.А. Микрин1,2, В.Н. Рябченко1,2, М.Н. Поклад1

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: [email protected]

2Ракетно-космическая корпорация “Энергия” им. С.П. Королёва,

Королёв, Московская обл., Российская Федерация e-mail: [email protected]

Для линеаризованной модели бокового движения летательного аппарата самолетного типа получены аналитические выражения законов управления и впервые в аналитическом виде построена их параметризация на основе невырожденного преобразования подобия. В основу синтеза положена оригинальная декомпозиция объекта управления и ранее разработанный авторами на ее основе метод модального управления ММО-системой. Приведены результаты моделирования управления боковым движением летательного аппарата с использованием аналитически синтезированных непараметризованного и параметризованного законов управления, обеспечивающих минимум суммы всех взятых по модулю элементов матрицы коэффициентов обратной связи. Показаны преимущества использования параметризованного закона управления в условиях примерного равенства времени переходного процесса как для первого, так и для второго случаев.

Ключевые слова: декомпозиция, модальный синтез, М1МО-система, боковое движение летательного аппарата, полюс динамической системы, параметризация.

PARAMETERIZATION OF ANALYTIC CONTROL LAWS FOR AIRCRAFT LATERAL MOTION

N.E. Zubov1,2, E.A. Mikrin1,2, V.N. Ryabchenko1,2, M.N. Poklad1

1 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]

2S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia,

Korolev, Moscow Region, Russian Federation e-mail: [email protected]

In this study we test a linearized model of the aircraft lateral motion and obtain analytic expressions of control laws. As a result, we are the first to build their parameterization, making use of the non-degenerate similarity transformation. The original decomposition of control object and the MIMO-system’s modal control

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00046).

method, developed by the authors earlier, are in the basis of synthesis. Moreover, we describe the results of modelling the control for aircraft lateral motion, using analitically synthesized non-parametrized and parametrized control laws. The laws provide the minimum of a sum of all feedback factors taken by the module of matrix elements. Thus, we consider the advantages on costs for a parametrized control law, with the assumption of approximate equality of transient process time both for the first case, and the second one.

Keywords: decomposition, modal synthesis, MIMO-system, aircraft lateral motion, dynamical system pole, parameterization.

Математическая модель бокового движения летательного аппарата. Будем рассматривать боковое (крен-рыскание) движение летательного аппарата (ЛА) в форме “вход-состояние” [1,2]

x = Ax + Bu (1)

с матрицами коэффициентов

/ ав sin а0 COs а0 a'l \ / 0 0 \

A = ав mx П^х mx Шу аmx 0 , в = а5н mx a5M mx

аР ^Пу Q^x ^Пу л^у аПу 0 а5н ^Пу a5M u,m.y

1 0 1 -tgu0 0 ) 1 0 0 )

элементы которых являются кусочно-постоянными величинами, и векторами

x=

Здесь а<1, a'l, afmx, <£, а

( в \

Шх ( Ьн

ШУ ’ u V Ьэ

V Y )

ШУ ав mx*> amy awx а^у а ’ ату ’ ату > а

а5э

а5н

mx mv ’

all — ко-

эффициенты линеаризации; а0 — угол атаки; и0 — угол тангажа; в — угол скольжения; шх — угловая скорость крена; шу — угловая скорость рыскания; y — угол крена; Ьн — угол отклонения рулей направления; 8э — угол отклонения элеронов [1].

Для унификации записи введем обозначения ац = ав, а12 = sin а0,

а13 = COS а14 = а1, а21 = <, а22 = атх, а23 = атХ, а31 = аП

5э

а32 = ату, а33 = агп!у,

mx

а43 = tg ио, 821 = аПн , 622 = аПx, 631 = а,

b32 = ап , тогда объект управления (1) в развернутом виде запишется так:

5

н

x

5

н

У

( в \ / а11 а12 а13 а14 \ в / 0 0 \

Ш х а21 а22 а23 0 Шх + b21 b22

Ш у а31 а32 а33 0 ШУ b31 b32

VY / 1 0 1 а43 0 \ Y ) 1 0 0 /

(2)

Считая все компоненты вектора состояния полностью наблюдаемыми, будем искать управление для модели (2) в виде закона обратной

связи вида

u = - Kx

(3)

где K — искомая матрица коэффициентов (матрица регулятора).

Задача полного размещения полюсов. Как уже отмечалось [3], задача размещения полюсов или задача назначения собственных значений (eigenvalue assignment) в линейных динамических системах в той или иной постановке рассматривалась в многочисленных работах. В общем случае вместо системы (1) рассмотрим линейную многомерную динамическую систему с многими входами и многими выходами (MIMO — Multi Inputs Multi Outputs):

Dx(t) = Ax(t) + Bu(t), (4)

где x £ Rn — вектор состояния, а u £ Rr — вектор управляющих воздействий; D — оператор дифференцирования по времени: Dx(t) = x(t), либо оператор сдвига во времени: Dx(t) = x(t +1).

Аналогично (3) считаем, что для MIMO-системы (4) рассматривается управление с обратной связью

u(t) = -Kx(t) (5)

где K £ Rrxn — постоянная матрица регулятора. Кроме того, предполагается, что матрица B £ Rnxr в (4) имеет полный ранг по столбцам, а матрица A £ Rnxn имеет множество собственных значений (спектр), определенное следующим образом:

eig (A) = {Хг £ C : det (ЛДП - A) = 0, i = 1,...,n} .

Здесь In — единичная матрица размера nxn; C — множество комплексных чисел; Cstab в зависимости от типа Dx(t) обозначает левую полуплоскость C- плоскости C, т.е. Cstab = C-, либо область внутри круга единичного радиуса с центром в нуле, т.е. Cstab = C|a|<i. Здесь |Л| — модуль собственного значения Л.

Управление системой (4) с помощью закона (5) является классической задачей, когда необходимо найти матрицу K, обеспечивающую некоторые заданные требования к процессу управления. Эти требования условно можно разделить на три группы [3]: 1) требования на размещение полюсов замкнутой системы (собственных значений матриц A - BK) в заданных точках Cstab или в заданной области Cstab (заданной областью, например, может быть вся левая полуплоскость C); 2) требования на размещение полюсов и нулей (тех или иных нулей передаточной матрицы MIMO-системы замкнутой системы в заданных точках Cstab или заданных областях Cstab; 3) требования к переходным процессам в замкнутой системе в смысле минимума заданного функционала.

В [3, 4] предложен эффективный метод решения задачи полного размещения полюсов MIMO-системы (4). Метод не требует реше-

ния специальных матричных уравнений (типа уравнения Сильвестра), имеет один и тот же вид для непрерывного и дискретного случаев задания модели системы, не имеет ограничений по алгебраической и геометрической кратностям задаваемых полюсов, легко реализуется в среде MATLAB.

Пусть BOT = null (BT) — ортогональный делитель нуля, т.е. матрица, удовлетворяющая следующим условиям [3]:

B B 0(n_r)xr . (6)

dIb^T t . B B Tn_r. (7)

B+ — псевдообратная матрица Мура - Пенроуза, т.е.

BB+B = B, B+BB+ = B+, (B+B)T = B+B, (BB+)T = BB+.

Здесь null( •) — оператор вычисления базиса нуль-пространства [3]; 0(n-r)xr — нулевая матрица размера (n — г) х г.

Определим L = floor(n/r), где floor(*) — операция округления числа * в сторону ближайшего большего целого, например, floor(0,1) = 1, floor(1,4) = 2, floor(2,99) = 3 и т.д. Введем в рассмотрение многоуровневую декомпозицию MIMO-системы (4) аналогично тому, как это сделано в [4]. Для представляемой парой матриц (A, B) MIMO-системы имеем:

нулевой (исходный) уровень декомпозиции

Ao = A, Bo = Bo, (8)

первый уровень декомпозиции

А1 = ^o^ Bi = ^0^ (9)

k-й (промежуточный) уровень декомпозиции

Ак = B^-iAk-iB^+i, Bk = Bj|r_iAfc_iBfc_i, (10)

L-й (конечный) уровень декомпозиции

Al = Bf_iAL_iBf+i, Bl = B^_iAl_iBl_i. (11)

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Если MIMO-система (4) с парой матриц (A, B) полностью управляемая, то полностью управляемы все пары матриц

(Ai, Bi) (8)--(11), где i е {0,..., L} [4, 5].

Без ограничения общности в дальнейшем будем считать, что все матрицы Bi в (8)-(11) являются матрицами полного ранга по столбцам. В противном случае можно воспользоваться подходом, изложенным в работе [5]. Тогда справедливо утверждение.

Теорема 2. Пусть MIMO-система (4) полностью управляемая и матрица K е Rrxm удовлетворяет формулам [4, 5]

К = Ko = B0 A — Фо^ , Bo = KiBo~ + B+; (12)

тогда

Ki — В- Ai — ф1В_ , В- — К2В1~ + В+,...;

Кк — Вк Ak — ФкВ- , В- — Кк+1Вк + В+ , . . . ; KL — В- AL — ФLB_,

L+1

eig (A - ВК) — у eig^_i).

(13)

(14)

(15)

(16)

Из теоремы 2 следует, что закон управления (5) с матрицей К £ Rrxn, удовлетворяющей соотношениям (12)-(15), обеспечивает выполнение условия (16), т.е. заданного размещения полюсов.

Аналитический синтез законов управления и их параметризация. В соответствии со сказанным введем в рассмотрение двухуровневую декомпозицию системы (2), поскольку L — floor(n/r) — 2, учитывая, что в нашем случае ранг каждой вводимой матрицы В0 и В1 совпадает с соответствующим числом столбцов, получаем: нулевой уровень

f ап а12 а13 а14 \ f 0 0 \

Ao — A — а21 а22 а23 0 ffl О ffl b21 b22

a31 а32 а33 0 b31 b32

{ 0 1 а43 0 J { 0 0 /

(17)

первый уровень

A1 — Во" A0 В°+ В1 — Bo"A0B0. (18)

В°+ — псевдообратная матрица Мура-Пенроуза для В° [3-7].

Зададим матрицы Ф — Ф0, Ф1 таким образом, чтобы множе-

2

ство У eig^ik1) состояло из корней характеристического полинома

i=1

det (AI4 — A + ВК), например,

Ф — Ф0 —

s1 0

0 S2

Ф1

S3 0

0 s4

(19)

Тогда требуемая матрица коэффициентов в законе управления, согласно (12), определится выражением

К — Фо (В+ + К1ВО) — (В+ + К1ВО) Ao, (20)

где

В0+, В+ [4-7].

К1 — Ф1В+ — В+A1,

(21)

соответствующие псевдообратные матрицы Мура - Пенроуза

Для матрицы B вида (3) Bq и B+определяются так:

) b+2 b+3 0

BQ =

где

10 0 0 0 0 0 1

— b22

B+ =

13

b+2 b+3 0

7+ b32 7 + b22 7 + b31 7 + b32 7 + hi* h h

b12 — 1+, b13 — i,+ , b22 — — , b23 — 1+, b — b21b32 — b22b31.

b32

6+

b+ ’ 13 6+

При этом матрицы Ab B1 в соответствии с (9) определены как

A — ( а11 а14 b — ( a12b21 + a13b31 a12b22 + a13b32

1 \ 0 0 / 1 \ b21 + a43b31 b22 + a43b32

Вычисляя B+ для первого уровня декомпозиции, имеем

(23)

B+ —

/ b22 + a43b32 a12b22 + a13b32 \

b+b1+ b+b+

b21 + a43b33 a12 b21 + a13b31

V b+b+ b+b!+ /

(24)

где

b+b1+ b+b1+

b1+ — a13 — a12^43.

Используя (8), получаем вид матрицы коэффициентов

K1—

V

(а11 — s3)(b22+a43b32) a14b22+a14a13b32 +a12b22 s3+a13b32s3^

b+b+ b+b1+

(flu-S4)(b21+a43b33) a14b21+a14a43b31+a12b21S4+a13b31S4

b+b1+

b+b1+

/

(25)

далее, согласно выражениям (20)-(25), общий вид матрицы коэффициентов обратной связей (матрицы регулятора)

K —

k11

k21

k12

k22

k13

k23

k14

k24

(26)

Здесь

k11 —

a21b32 a31b22

b+ b+

a11(a11 — s3)(b22 + a43b32) s1a11(a11 — s3)(b22 + a43b32)

b+b1+

+

b+b1+

(27)

k12 —

014622+011012622 — 013022632 +013032622+014043632 +013632S1 +013632 S3

6+61 +

+

+

0,110,120.43632+0.120.220.43 632-012032043622-012043632 S1- 012043632 S3

6+61+

''«ii «43622 —«i3«23632+«i3«33622+«i4«43 622—«i3b22 si+«13632 si —«13622^3 + \

,+

6+6i+

«i4«43632+«ii«i3«43632+«i2 «23^43632— ai2«33«43622 +«i2«43622 si +«i2«43 622 S3 I

6+6i+ /

(29)

k14 —

s1 (a14622 + a14a43632 + a12 622s3 + a13632s3 6+61+

a14 (a11 — s3)(622 + a43632) 6+6+

(30)

k21

a31621

6+

a21631 + a11(a11 — s4)(621 + a43631) 6+ + 6+6+

s2a11 (a11 — s4)(621 + a43631) ;

6+6+ ’

(31)

«i462i + «ii«i2 62i — «i3«2263i + «i3«3262i + «i4«4363i + «i363iS2 + «i363iS4

&22 —

+

6+6i+

aii«i2«4363i + «i2«22 «43b3i — «i2«32«4362i — «i2«4363iS2 — «i2«4363iS4

6+6i+

+

(32)

^23— I

^«ii«i362i — «i3«2363i + «i3«33 62i + «i4«4362i — «i362iS2 — «i362iS4 + «i4«4363i

6+6i+

aiiai3a4363i + «i2«23«4363i — «i2«33«4362i + «i2«4362iS2 + «i2«4362iS4

6+6i+

+

s2 (a14621 + a14a43631 + a12621s4 + a13631s4 , k24 —-----------------------ГГГГ6---------------------+

6+61+

+

a14 (a11 — s4)(621 + a43631) 6+6+ '

В соответствии с (3) и (5) имеем

u —

k11 k12 k13 k14

k21 k22 k23 k24

f в\

Шx

ШУ

\ Y J

+

(33)

(34)

Таким образом, на основании соотношений (27)-(34) получены аналитические выражения коэффициентов матрицы обратной связи, которые имеют относительно компактный вид и могут быть легко реализованы в реальном масштабе времени.

Осуществим параметризацию синтезированных аналитических законов управления на основе невырожденного преобразования подо-

бия. Для этого на первом уровне декомпозиции для вычисления матрицы Kl воспользуемся следующим выражением:

KP = B+Ai - ТФ^—1В+,

tii t

где Т = ( "ll Р12 ) — матрица невырожденного преобразования по-

\ t2l t22 )

добия, tlltl2t2lt22- произвольные действительные числа, удовлетворяющие условию невырожденности матрицы det Т = 0.

В результате вместо (25) будем иметь

Kp =

klp kll ?Г to зз*

klP k2l klp k22

Здесь

к

1 p 11_

к

i p 12

/ 011622*11*22 — 011622*12*21 — 62153*11 *22 + 621 54*11*22 — 62253*11*22 + 62254*12*21 +\

6+61+(*П*22—*12*21)

+ 011043632 *11*22 — 011043632*12*21 — 04363153*11*12 + 04363154*11*12 +

6+61+(*n*22 — *12*21)

+ — 04363253*11*22 + 04363254*12*21

V 6+61+(*11*22 — *12*21) /

/ 014622*11*22 — 014622*12*21 + 014622*12*21 + 014043632*11*22 — 014043632*12*21 + \

6+61+(*11*22 — *12 *21)

+01262153 *11*12—012 b21S4*11*12 +01262253*11*22+01363153*11*12—01262254*12*21 +

b+b1+(*11*22—*12*21)

+ — 01363154*11*12 + 013632 53*11*22 — 01363254*12 *21

V b+b1+ (*11*22 — *12*21) /

к

1p

21

к

1p

22

/ 011^21*11*22 — 011621 *12*21 + ^21^3*12*21 — ^21^4*11*22 + 62253*21*22 — 62254*21*22 +\

b+b1+(*11*22 — *12*21)

+ 011043^31*11*22 — 011043631 *12*21 + 04363153*12*21 — 04363154*11*22 +

6+ b1+ (*11*22 — *12*21) '

+ 043632 53*21*22 — 04363254*21 *22

V b+b1+ (*11 *22 — *12*21) /

/ 014621 *11*22 — 014621*12*21 + 014043631*11*22 — 014043631*12*21 + \

6+61+ (*11*22 — *12*21)

—01262153 *12*21 + 01262154*11*22 — 01262253*21*22 — 01363153*12*21 + 012622 54*21*22 +

6+ 61+ (*11*22 — *12*21)

+ 01363154*11*22 — 01363253*21*22 + 01363254*21*22

V 6+61+(*11*22 — *12*21) /

На нулевом уровне декомпозиции для вычисления параметризованной матрицы Kp воспользуемся следующим выражением:

Kp = (KpBx + В+)Ai - СФоС—l(KpВх + В+), (35)

где G =

, det G = 0 — матрица невырожденного пре-

g11 g12 921 922

образования подобия, и, соответственно, получим

Kp =

к 11 к 11 k?1 kp1

kp1 kp1 k?1 kp1

где

kp1 = ank!i + k1p f9^^ -

V 9+ 9+ /

j 1p f 911g22s1 912921s2^ , a21b32 a31b22

k11 ^ ~^+ 9^ ) + ~1+ h+~

)

b+

b+

kp = k12 =

f 911g22kl2 912921 k12 + a12g11g22 kn a12g12 922kn

7 +

1 +

1 +

+

+

9+ 9+ 9+ 9

b31911912s1 — b31911912s2 + b32911922s1 — b32912921s2 b21b32911922 — b21b32912921 — b22b31911922 + b22b31912921, -a22b32911922 + a22b32912921 + a32b22911922 — a32b22912921^ b21b32911922 — b21b32912921 — b22b31911922 + b22b31912921 /

kp =

k13 =

/" a13911922k11 a13912921k11 + a43911922k12 a43912 922k12

+

+

+

+

9+ 9+ 9+ 9

b21911912s1 — b21911912s2 + b22911922s1 — b22912921s2 \ + b21b32911922 — b21b32912921 — b22b31911922 + b22b31912921 /

/ a23b32911922 — a23b32912921 — a33b22911922 + a33b22912921 \ V b21b32911922 — b21b32912921 — b22b31911922 + b22b31912921 /

^14 =

911912k22 s1

911922k12 s1

911912k22 s2

+

+

+

+ 912921 k12 s2 + a14911922k11

11

a14912921k11

9+ 9

fc1, = a„kg + k.g Г ^ —

, 1p /"921922s! 921921s2^\

1v 9+ 9+ /

+

+

9

a21b31 + a31b21

b+

b+

k1 = k22 =

/" 911922k22 912921 k22 + 012911922 k21 a12912921к21

9

+

9

+

9

+

9

+

+

b3lgl2g2lsl — b3lgllg22s2 + b32g2lg22sl — b32g2lg22s2 \ + b2lb32gllg22 — b2lb32gl2g2l — b22b3lgllg22 + b22b3lgl2g2l /

/a22b3lgllg22 — a22b3lgl2g2l — a32b2lgllg22 + a32b2lgl2g2l \ V b2lb32gllg22 — b2lb32gl2g2l — b22b3lgllg22 + b22b3lgl2g2l /

kp -

k23 —

^al3gllg22k

lp

2l

al3gl2g2lk2l + a43gllg22k22

lp

g

a43gl2 #2lk22

g

+

g

+

g

+

+

+ . b2l gl2g2lsl — b2lgllg22s2 + b22g2lg22sl — b22g2lg22 s2 \ +

,b2lb32gllg22 — b2lb32gl2g2l — b22b3lgllg22 + b22b3lgl2g2l /

+ . — a23b3lgllg22 + a23b3lgl2g2l + a33b2lgllg22 — a33b2lgl2g2l \ b2lb32gllg22 — b2lb32gl2g2l — b22b3lgllg22 + b22b3lgl2g2l /

kP —

k24 —

^gl2g2lk22 S1

g2l g22kl2 sl

gllg22k22 s2

7 +

+

g+

g2lg22kl2 s2

+

+

g+

al4gllg22klp

21

al4gl2g2lk2l

+

+

g — gllg22 — gl2g2l — 0.

Численное моделирование. Воспользуемся для моделирования бокового движения ЛА числовыми значениями матриц коэффициентов из [2]. Имеем

A

B

/ —0, 152 0, 4226 0, 9063 0, 096

—18, 643 — 1, 06 — 1, 6 0

—1,757 —0,153 —0,136 0

V 0 1 —0, 4663 0

/ 0 0 ^

— 1,874 —8, 966

— 1, 46 0.304

V 0 0

(36)

Для указанных числовых значений объекта управления имеет место следующее множество собственных значений (множество полюсов):

{—0,6381 ± 3,0086i; —0,0359 ± 0,0244i}.

Структура полюсов модели не позволяет ввести для них известную классификацию форм бокового движения: боковое колебательное движение рыскания, быстрое апериодическое движение крена, медленное спиральное движение крена. Рассматриваемая числовая модель, как указано в [2], представляет собой устойчивый процесс, однако в силу малости модуля действительной части одного из корней модели можно

говорить о практической колебательной нейтральности рассматриваемого взаимосвязанного бокового движения.

Пусть задачей синтеза является формирование алгоритмов функционирования системы управления, которая осуществит перемещение полюсов для модели из точек множества {-0,6381 ± 3,0086i; —0,0359 ± 0,0244i} в точки множества

{-3,5; —0,95; —1,9; —1,9} (37)

с помощью аналитически синтезированного закона управления (20) и параметризированного закона (35), который подбором матриц T и G обеспечивает минимум суммы всех элементов, взятых по модулю матрицы коэффициентов обратной связи Kp.

Для желаемого множества полюсов (37) выражения (19) можно записать в виде

Фо =

3,5 0

0 —0,95

Ф1 =

1,9 0

0 —1,9

Тогда, используя (4)-(13) и матрицу (36), получаем

K

и

Kp

k11 ?r to k13 k14 '

k21 k22 k23 ^24 у /

= —1

kpi A?1 kp1 kp1

kp1 k?1 kp1 kp 1

0,0736

0,00009

0,0154 —3,3092 1,2458 \

0,2098 0,5289 —0,2328

0,0164 —1,9599 0,4259 0,4473 —0,0036 0,1386

При этом матрицы собственной динамики в замкнутом контуре “ЛА-система управления” принимают вид

A -BK

—0,1520 0,4226 0,9063 0,0960

—5,6372 —2,9698 —3,0594 0,2473 ;

—5,1968 —0,1116 —5,1282 1,8896 ;

0 1 —0,4663 0

A - BKp

—0,1520 0,4226 0,9063 0,0960

— 18,5052 —5,1011 —5,3054 2,0408

— 1,6496 —0,0409 —2,9964 0,5797

0 1 —0,4663 0

Для начальных значений вектора состояния ЛА в системе единиц СИ ( в шх шу у )Т = ( 0,158 0,04638 0,0493 0,189 )Т на

Рис. 1. Графики переходных процессов по компонентам вектора состояния и затраты на управление для непараметризованного закона управления

рис. 1 и 2 приведены графики переходных процессов по компонентам вектора состояния и затраты на управление. Видно, что для параметризованного закона управления, обеспечивающего минимум суммы всех элементов, взятых по модулю матрицы коэффициентов обратной связи Kp, затраты на управление существенно меньше, чем для непараметризованного закона. При этом время переходного процесса в первом и во втором случаях приблизительно одинаково.

Заключение. Для линеаризованной модели бокового движения летательного аппарата получены аналитические выражения законов управления и построена полная их параметризация. В основу синтеза положена оригинальная декомпозиция объекта управления и метод модального управления МИМО-системой. Приведены результаты моделирования управления боковым движением летательного аппарата с использованием аналитически синтезированных обычного и параметризованного законов управления, обеспечивающих минимум нормы матрицы коэффициентов обратной связи. Показаны преимущества в затратах на управление для параметризованного закона управления, обеспечивающих минимум суммы всех элементов, взятых по модулю матрицы коэффициентов обратной связи. Соответственно, как сами законы управления, так и их параметризацию для бокового движения ЛА можно получить как с использованием обобщенной формулы

Рис. 2. Графики переходных процессов по компонентам вектора состояния и затраты на управление для параметризованного закона управления

Аккермана [8], так и с использованием ленточной формулы синтеза [9, 10], однако этот процесс поиска более сложен и аналитический вид выражений законов управления существенно более громоздок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987.

2. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Изд-во Н.Ф. Бочкаревой, 2006.

3. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Синтез развязывающих законов стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. 2012. № 1. С. 92-108.

4. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Модификация метода точного размещения полюсов и его применение в задачах управления движением космического аппарата // Изв. РАН. ТиСУ. 2013. № 2. С. 118-132.

5. Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko VN. Pole placement for controlling a large scale power system // Automation and Remote Control. 2011. Vol. 72:10. P. 2123-2146.

6. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Синтез законов управления космическим аппаратом, обеспечивающих оптимальное размещение полюсов замкнутой системой управления // Изв. РАН. ТиСУ. 2012. № 3. С. 98-111.

7. Применение алгоритма точного размещения полюсов при решении задач наблюдения и идентификации в процессе управления движением космического аппарата / Н.Е. Зубов, Е.А. Микрин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко, С.Н. Тимаков // Изв. РАН. ТиСУ. 2013. № 1. С. 135-151.

8. Синтез стабилизирующего управления космическим аппаратом на основе обобщенной формулы Аккермана / Е.А. Воробьева, Н.Е. Зубов, Е.А. Микрин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко, С.Н. Тимаков // Изв. РАН. ТиСУ. 2011. № 1. С. 96-106.

9. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Ленточные формулы анализа и синтеза управляемых динамических MIMO-систем // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2014. № 3. С. 3-15.

10. Разгрузка кинетического момента инерционных исполнительных органов космического аппарата в канале тангажа / А.В. Богачев, Е.А. Воробьева, Н.Е. Зубов, Е.А. Микрин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко, С.Н. Тимаков // Изв. РАН. ТиСУ 2011. № 3. С. 132-139.

REFERENCES

[1] Bukov V.N. Adaptivnye prognoziruyushchie sistemy upravleniya poletom [Adaptive predictive flight control systems]. Moscow, Nauka Publ., 1987.

[2] Bukov V.N. Vlozhenie sistem. Analiticheskiy podkhod k analizu i sintezu matrichnykh sistem [Inclusion of systems. Analytical approach to analysis and synthesis of matrix systems]. Kaluga, N.F. Bochkareva’s Publ., 2006.

[3] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Synthesis of decoupling laws for attitude stabilization of a spacecraft. J. Computer and Systems Sciences International, 2012, vol. 51, pp. 80-96.

[4] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Modification the Exact Pole Placement Method and Its Application for the Control of Spacecraft Motion. J. of Computer and Systems Sciences International, 2013, vol. 52, pp. 279292.

[5] Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Pole placement for controlling a large scale power system. Automation and Remote Control, 2011, vol. 72:10, pp. 2123-2146.

[6] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Synthesis of Controls for a Spacecraft that Optimize the Pole Placement of the Closed Loop Control System. J. Computer and Systems Sciences International, 2012, vol. 51, pp. 431-444.

[7] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N., Timakov S.N. The Use of the Exact Pole Placement Algorithm for the Control of Spacecraft Motion. J. Computer and Systems Sciences International, 2013, vol. 52, pp. 129-144.

[8] Zubov N.E., Vorob’eva E.A., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N., Timakov S.N. Synthesis of Stabilizing Spacecraft Control Based on Generalized Ackermann’s Formula. J. Computer and Systems Sciences International, 2011, vol. 50, pp. 93-103.

[9] Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N. Band Formulas for Analysis and Synthesis of Controlled Dynamic MIMO Systems. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2014, no. 3, pp. 3-15 (in Russ.).

[10] Bogachev A.V., Vorob’eva E.A., Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N., Timakov S.N. Unloading Angular Momentum for Inertial Actuators of a Spacecraft in the Pitch Channe. J. Computer and Systems Sciences International, 2011, vol. 50, pp. 483-490.

Статья поступила в редакцию 15.07.2015

Зубов Николай Евгеньевич — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке научно-технического центра РКК “Энергия” им. С.П. Королёва (Российская Федерация, 141070, Московская обл., Королёв, ул. Ленина, д. 4-а), профессор кафедры “Системы автоматического управления” МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).

Zubov N.E. — Dr. Sci. (Eng.), Deputy Director for Science, Research and Development Center, S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (ul. Lenina 4-a, Korolev, Moscow Region, 141070 Russian Federation), Professor of Automatic Control Systems Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).

Микрин Евгений Анатольевич — д-р техн. наук, первый заместитель генерального конструктора РКК “Энергия” им. С.П. Королёва (Российская Федерация, 141070, Московская обл., Королёв, ул. Ленина, д. 4-а), заведующий кафедрой “Системы автоматического управления” МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).

Mikrin E.A. — Dr. Sci. (Eng.), First Deputy of Chief Designer, Research and Development Center, S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (ul. Lenina 4-a, Korolev, Moscow Region, 141070 Russian Federation), Head of Automatic Control Systems Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).

Рябченко Владимир Николаевич — д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник научно-технического центра РКК “Энергия” им. С.П. Королёва (Российская Федерация, 141070, Московская обл., Королёв, ул. Ленина, д. 4-а), профессор кафедры “Системы автоматического управления” МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).

Ryabchenko V.N. — Dr. Sci. (Eng.), Leading Researcher, Research and Development Center, S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (ul. Lenina 4-a, Korolev, Moscow Region, 141070 Russian Federation), Professor of Automatic Control Systems Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).

Поклад Максим Николаевич — канд. тех. наук, доцент кафедры “Системы автоматического управления” МГТУ им. Н.Э. Баумана (Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5).

Poklad M.N. — Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Professor of Automatic Control System Department, Bauman Moscow State Technical University (2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Рябченко В.Н., Поклад М.Н. Параметризация аналитических законов управления боковым движением летательного аппарата // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2016. № 2. C. 3-17.

DOI: 10.18698/0236-3933-2016-2-3-17

Please cite this article in English as:

Zubov N.E., Mikrin E.A., Ryabchenko V.N., Poklad M.N. Parameterization of analytic control laws for aircraft lateral motion. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Priborostr. [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Instrum. Eng.], 2016, no. 2, pp. 3-17. DOI: 10.18698/0236-3933-2016-2-3-17