Синтез многополосного фильтра с требуемой частотной характеристикой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Intellectual Technologies on Transport. 2015. №1

Синтез многополосного фильтра с требуемой частотной характеристикой

Ходаковский В.А.

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I Санкт-Петербург, Россия, hva1104@mail.ru

Аннотация. В настоящее время используются несколько подходов при синтезе цифровых фильтров. Статья имеет целью обратить внимание на возможности цифровой фильтрации при временной обработке, или при обработке с временным окном. Наиболее часто применяется частотная обработка, когда используется быстрое преобразование Фурье (БПФ), затем выделяются нужные частотные полосы в частотной характеристике фильтра и завершается процесс обратным БПФ. В статье предложен метод синтеза многополосного фильтра по его импульсной переходной характеристике, которая используется в качестве ядра интегрального преобразования. Он позволяет заметно сократить время обработки сигнала в фильтре, поскольку используется только одно дискретное интегральное преобразование. При использовании стандартного подхода с частотной обработкой используются два преобразования: прямое быстрое

преобразование Фурье (БПФ), отбор требуемых гармоник и обратное БПФ.

Ключевые слова: временное окно, временная обработка, импульсная характеристика фильтра, частотная характеристика фильтра.

Введение

Временная обработка при синтезе фильтра выполняется с использованием импульсной характеристики и при этом для получения временного отклика фильтра применяется свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра.

Хорошо проработанной является проблема синтеза фильтра [1-5] с конечным импульсным откликом, который может быть реализован в виде линии задержки с отводами, или на основе регистра сдвига. Появились также публикации о возможности синтеза импульсных характеристик низкочастотного (НЧ), высокочастотного (ВЧ) и полосового (ПФ) фильтров [6].

1. Синтез НЧ и ВЧ фильтров

Наиболее просто задача решается для НЧ фильтра с заданной частотой среза.

Если частотная характеристика НЧ фильтра задана функцией:

11, при m<W,

H (m) = \’ ’

[0, при m>W,

(1)

то импульсную характеристику низкочастотного фильтра с частотой среза Fc можно получить как обратное преобразование Фурье или обратное косинус-преобразование от частотной характеристики:

Ходаковский Т.В ЗАО «Дикси-Юг» Санкт-Петербург, Россия,

W

hH4 (t) = J1 - cos(m * t)dt 0

1

t

- sin(m-t)d(m-t)

W-1

0

sin(W -1) W-t

где W = 2 - n - Fc. (2)

Импульсная характеристика вида (2) приведена на графике Рис. 1. Функция sin(x)/x имеет устранимый разрыв первого рода в точке х = 0.

1

Рис.1. Импульсная характеристика НЧ-фильтра при частоте среза Fc = 6 Гц.

Во многих математических приложениях эта функция является встроенной и определяется так

| sin(x) / x, при |x| Ф 0, sinc(x) = <

[1, при x = 0.

Если задан входной сигнал S(t), то для его низкочастотной фильтрации необходимо выполнить свертку этого сигнала с импульсной характеристикой НЧ-фильтра:

t+д

SH4(t) = JS(т)-ЬНЧ(^ — т)dт, (3)

t-д

где: 2Д = Т - интервал, в котором описана

импульсная характеристика фильтра hHq(t) = sinc(2 -n-Fc -1)

Fc - частота среза фильтра.

Для передачи сигнала без искажений должно выполняться условие нормировки, т.е. интеграл от импульсной характеристики должен быть равен единице

+ю

J sinc(2 - n- Fc-1 )dt = 1. (4)

—<x>

Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №1

38

Intellectual Technologies on Transport. 2015. №1

Известно, что

sin( x)

dx = п, поэтому для выполнения

условия (4) необходимо в формуле (3) добавить коэффициент 2Fc. Действительно

— ад

Откуда

+ад

2 • Fc j

sin(2 • nFc • t) , %

— ------^-d (2^ nFc-t ) = п

!• п • Fc-t ' '

sin(2 • п • Fc-t) j sin(2 • п • Fc ■ t)

!• n Fc-t J t

^-df

(5)

Для того, чтобы в правой части выражения (5) получилась единица необходимо помножить интеграл на коэффициент 1/п и тогда получим

у sin(2 • п • Fc -t)

•п +ад sin(2 • п • F. • t) ,г\

-t) dt = Ь или 2 • Fc dt = 1. (6)

п • t '—ад (2 • п • Fc-t)

С учетом нормировки (6) отклик НЧ-фильтра (3) запишем в виде

t+д

SH4 (t) = 2 • Fc- J S(т) • sin c[2 • п • Fc • t}г.

t—д

Для дискретного случая, когда сигнал {S} и импульсная характеристика фильтра {G} заданы последовательностями линейная свертка примет вид [1]

N—1

Si = Z G—k-Sk, i = 0,..., L + N — 2,

k=0

(7)

x

где L - число отсчетов фильтра, N - число отсчетов сигнала.

Следует отметить, что если выполнить прямое БПФ от импульсной характеристики вида (2) с учетом нормировки (6), то получим амплитудно-частотную характеристику этого фильтра. На рис. 2. приведена логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)

низкочастотного фильтра с частотой среза Fc = 6 Гц.

Рис.2. График ЛАЧХ НЧ-фильтра

Более сложным является синтез высокочастотного и полосового фильтра. Для реализации высокочастотного фильтра достаточно из входного сигнала вычесть результат низкочастотной фильтрации то есть:

t+д

Se4(t) = S(t) — JS(г) •h(t -r)dT . (8)

t—Д

Хорошо известен способ фильтрации в заданной полосе частот, реализуемый в виде разности результатов

фильтрации ВЧ- и НЧ-фильтром. Данный способ иллюстрируется на рис.3.

Рис.3. Реализация фильтра с полосой [Fc1, Fc2]

Рассмотренный способ обладает тем недостатком, что его нельзя реализовать в одной импульсной характеристике, т.е. требуется дополнительная операция вычитания из исходного сигнала промежуточного сигнала, полученного как результат низкочастотной фильтрации.

Однако, полосовой фильтр можно реализовать как результат последовательной низкочастотной фильтрации двумя НЧ-фильтрами с разными частотами среза. На рис.4. приведено графическое представление такой обработки. Первоначальная обработка выполняется НЧ-фильтром с частотой среза Fc2, а затем фильтром с частотой среза Fc1.

Рис.4. Реализация частотной характеристики полосового фильтра

Отклик полосового фильтра при такой обработке можно получить так

t+Д t+Д

S пф(0 = J S т hmi(t — T)dT— J S т hH4l(t — T)dT. (9)

t—Д t—Д

Поскольку сумма интегралов равна интегралу от суммы, то имеем:

Sпф (t) = J S(т) • ^ (t — т) — hH42 (t — T)]dT

t—Д

(10)

Разность весовых функций в (10) можно выразить отдельной весовой функцией, которая является импульсной характеристикой полосового фильтра Ипф (t) = йНч1 (t — т) — Лнч2 (t — т). (11)

С учетом нормировки (6) импульсная характеристика полосового фильтра (11) примет вид

*пф CFil, Fc2, t) = 2-Fc2 • sinc[2 • ж• FC2-(t-г)]- (12)

— 2 • Fcisinc[2 • п • Fci • (t — г)].

Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №1

39

Intellectual Technologies on Transport. 2015. №1

Тогда отклик полосового фильтра на входной сигнал S(t) примет вид

t +Д

S^(t) = |S(т) • йпф (Fci,Fc2, t)dr, (13)

t —Д

где 2Д = Т - интервал, в котором описана импульсная характеристика фильтра.

На рис. 5. приведен график импульсной характеристики (12) полосового фильтра с частотами среза Fci = 8 Гц. и Fc2 = 14 Гц.

Рис. 5. Импульсная характеристика фильтра

Поскольку импульсная и частотная характеристики фильтра связаны преобразованием Фурье, то выполнив прямое преобразование Фурье от (12), получим частотную характеристику полосового фильтра.

На рис.6. приведен модуль логарифмической амплитудночастотной характеристики (ЛАЧХ) низкочастотного фильтра. При этом интервал, на котором выполнялось преобразование Фурье от импульсной характеристики полосового фильтра взят [± 4 сек.].

Рис.6. Модуль ЛАЧХ полосового фильтра с частотами среза 8 и 14 Гц.

Манипулируя частотами среза полосового фильтра можно задавать полосу прозрачности фильтра. Отдельный интерес представляет вопрос о том, на сколько можно сблизить частоты среза и какая добротность при этом может быть достигнута. На рис.7. приведен график модуля ЛАЧХ полосового фильтра при полосе прозрачности всего 0,3 Гц. при центральной частоте 10 Гц.

характеристику полосового фильтра при различной ширине полосы прозрачности фильтра, но одновременно возникает гипотеза о возможности синтеза многополосного фильтра как суммы импульсных характеристик вида (8).

На рис. 8. приведена программа в среде MathCad, реализующая трехполосный фильтр с обработкой во временной области. Параметры фильтра заданы матрицей в которой первая строка содержит средние частоты полос пропускания фильтра [Гц], вторая строка - значения половин полос пропускания на соответствующей частоте и третья строка - коэффициенты пропускания фильтра в соответствующих полосах.

Ниже приведена программа в среде MathCad, которая рассчитывает импульсную h(t) и частотную Wmn характеристики трехполосного фильтра. N - количество точек дискретизации, Т -временной интервал представления h(t):

На рис. 8 и 9 приведены результаты расчета характеристик трехполосного фильтра по приведенной программе в среде MathCad.

D :=

512 i :

(х) := if V

' 4 7.5

1 0.5

V 1 0.75

g, t) = 2 •

i := 0....N-1 T := 8

щ-9 Sin( Х) 1

10 ^ 1

m := cols(D)

— 2 • f • sin c(2 •n f • t)

hm(t) := ^ [A,k • h(A,k — D1,k , D0,k + D1,k , t)]

Hw, := hml T •

i — 0.5•N

N

Wmn := fft(Hw)

Рис.8. Импульсная (слева) и амплитудночастотная (справа) характеристики

4 6 S 10 12 14 16 IS

Рис. 9. Фазочастотная характеристика

x

k=1

Рис.7. Модуль ЛАЧХ полосового фильтра

Анализ графиков на рис.5, 6, 7 показывает, что приведенный подход позволяет синтезировать импульсную

На рис.10. приведены результаты расчета восьмиполосного фильтра, заданного следующей матрицей коэффициентов:

Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №1

40

Intellectual Technologies on Transport. 2015. №1

( 4

D =

0.2 v 01

6 8 10 12 14 16 18''

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 .

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 ,

Рис.10. Импульсная (слева) и частотная (справа) характеристики

Выводы:

1. Анализ результатов моделирования фильтров различной сложности показал, что приведенный подход позволяет синтезировать импульсные характеристики достаточно точно.

2. Фазовые характеристики фильтров в полосе пропускания обладают интересным свойством: совершаются скачки фазы на 180о, количество которых на интервале 1 Гц. равно длине (Т) временного интервала представления h(t). При единичной длине интервала четные гармоники передаются в полосе пропускания без изменения фазы, а нечетные - поворачиваются по фазе на 180о.

3. Предложенный подход к синтезу многополосных фильтров позволяет заметно повысить скорость обработки сигнала в фильтре. Для осуществления фильтрации используется только одна свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра, т.е. используется одно интегральное преобразование, а не два, как в методе фильтрации с обработкой в частотной области с использованием быстрых прямого и обратного преобразований Фурье.

Литература

1. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: пер. с англ. - М.: Мир, 1989. -448 с., ил.

2. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов: пер. с англ. -М.: Мир, 1988. - 448 с., ил.

3. Нуссбауэр Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток: пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1985. - 248 с., ил.

4. Л. Рабинер, Б. Гоулд Теория и применение цифровой обработки сигналов: пер. с англ. - М.: Мир, 1978. - 848 с.

5. EUROPEAN PATENT. Kohei Asada. Sony Corporation. Digital filter circuit, digital filter program and noise canceling system. number: US 11/875,374 publication: US 8452022 B2, 28.05.2013

6. Ходаковский В.А., Марков Д.С., Соколов М.Б. / Имитационное моделирование рельсовых цепей. Методы и инструментальные средства.

// Бюллетень результатов научных исследований -СПб.: ФГБОУ ВПО ПГУПС, 2014. № 2 (11). С. 3044.

Synthesis of multy band digital filter with demand of frequency characteristic

Khodakovskiy V.A.

Petersburg State Transport University Saint-Petersburg, Russia hva1104@mail.ru

Abstract. Several approaches are known in the construction of digital filters. The most commonly used frequency processing. We propose a method of synthesis multiband filter on its impulse response characteristic, which allows to significantly reducing the time signal processing in the filter, because it uses only one integral

Khodakovskiy T.V.

ZAO «Diksi-Yug»

Saint-Petersburg, Russia,

transformation. When using the standard approach to treatment using two frequency conversion: direct Fourier transform, the selection of the desired harmonics and inverse transformation.

Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №1

41

Intellectual Technologies on Transport. 2015. №1

Keywords: the time window, the processing time of the filter impulse response, the frequency response of the filter.

References

1. Blahut R. Bystrye algiritmy obrabotki signalov [Fast algorithms for digital signal processing] : Per. from English. - M.: Mir, 1989. - 448 p.

2. Dadzhion D., Mersereau R. Tsyfrovaya obrabotka mnogomernykh signalov [Digital processing of multidimensional signals]: Per. from English. - M .: Mir, 1988. - 448 p.

3. Nussbauer G. Bystroe preobrazovanie Furye [Fast Fourier Transform algorithms and computation of

convolutions]: Per. from English. - M.: Radio and Communications, 1985. - 248 p.

4. Rabiner L., Gould B. Teoriya i primenenie tsifrovoy obrabotki signalov [Theory and Application of Digital Signal Processing]: Per. from English. - M.: Mir, 1978. -848 p.

5. EUROPEAN PATENT. Kohei Asada. Sony Corporation. Digital filter circuit, digital filter program and noise canceling system. number: US 11 / 875,374 publication: US 8,452,022 B2, 28.05.2013.

6. Khodakovsky V.A., Markov D.S., Sokolov M.B. / Simulation modeling of track circuits. Methods and tools. [Immitatsionnoe modelirovanie relsovykh tsepey. Mrtody i instrumentalnye sredstva] // Bulletin of scientific studies. -SPb .: VPO PGUPS, 2014. № 2 (11). pp. 30-44.

Интеллектуальные технологии на транспорте. 2015. №1

42