CC BY
37
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА БИЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ СИНТЕЗА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
DOI 10.24411/2072-8735-2018-10207
Крейнделин Виталий Борисович,
Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия, vitkrend@gmail.com
Григорьева Елена Дмитриевна,
Московский технический университет связи и информатики, Москва, Россия, ed.grigorieva@yandex.ru
Ключевые слова: метод билинейного преобразования, синтез фильтров с бесконечной импульсной характеристикой, предыскажение шкалы частот, расширенное билинейное преобразование, прецизионные фильтры.
Рассматривается обобщение известного метода билинейного преобразования для синтеза цифровых фильтров с бесконечной импульсной характеристикой. Применение этого обобщения позволяет избежать введения предыскажений. Цифровая фильтрация нашла широкое применение при разработке различных устройств и систем передачи информации. Часто к цифровым фильтрам предъявляются весьма жёсткие требования относительно точности реализации требуемой амплитудно-частотной характеристики. При синтезе цифровых фильтров с бесконечной импульсной характеристикой используется известное билинейное преобразование [1], [2]. Однако, при использовании билинейного преобразования, амплитудно-частотная характеристика синтезированного цифрового фильтра не совпадает с характеристикой аналогового фильтра-прототипа. Традиционно, для достижения приемлемого соответствия между характеристиками фильтра-прототипа и синтезированного на его основе цифрового фильтра используется метод предыскажений [2], [6]. К сожалению, введение предыскажений в ряде случаев не позволяет добиться требуемой степени соответствия между частотными характеристиками фильтра-прототипа и цифрового фильтра. Предлагается подход к синтезу цифровых фильтров, позволяющий избежать использования предыскажений, что позволяет реализовать прецизионные фильтры с требуемой частотной характеристикой. Данный подход основан на обобщении известного билинейного преобразования.
Информация об авторах:
Крейнделин Виталий Борисович, Московский технический университет связи и информатики, заведующий кафедрой ТЭЦ, профессор, д.т.н., Москва, Россия
Григорьева Елена Дмитриевна, Московский технический университет связи и информатики, доцент кафедры ТЭЦ, к.т.н., Москва, Россия
Для цитирования:
Крейнделин В.Б., Григорьева Е.Д. Модификация метода билинейного преобразования для синтеза цифровых фильтров // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2019. Том 13. №1. С. 4-9.
For citation:
Kreyndelin V.B., Grigorieva E.D. (2019). Modification of bilinear transformation method and its application to digital filters synthesis. T-Comm, vol. 13, no.1, pр. 4-9. (in Russian)
7TT
Введение
При исследовании дискретных сигналов и линейных дискретных систем вместо дискретного преобразования Лапласа используется г-преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа при замене переменных [1], [2]:
2=ерТ (I)
где Т - период дискретизации.
Для синтеза цифровых фильтров широкое распрос гранение получил метод преобразования передаточной функции аналогового фильтра-прототипа //„(/>) 15 системную
функцию цифрового фильтра И (г) при соответствующем
отображении комплексной переменной р на комплексную
переменную г. Суть этого метода заключается в следующем [1], [4].
Из соотношения (1) следует выражение переменной р через переменную 2:
Р=тНг)
(2)
(3)
Обычно в разложении (3) берётся только первый член, отбрасывая при этом члены более высоких порядков. В результате, с учётом (2) имеем следующее приближение: 2 2-1
Р =
(4)
Т 2 + 1
Из выражения (4) нетрудно получить известное билинейное г-преобразованис [I], [4], [5], [6]: 2 1-2"'
Р =
<5)
Т 1 + 2 '
Системную функцию Н (2) цифрового фильтра получают из передаточной функции Наналогового фильтра-прототипа, применяя замену (5):
р_2 Ьг"'
На(р) -Т Я(*) (6)
Преобразование (5) представляет собой дробно-рациональную функцию первого порядка от . Это преобразование обеспечивает однозначное отображение р-плоскоети на ¿-плоскость. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип. В г-области сохраняются свойства оптимальности аналогового прототипа вследствие однозначности отображения частотной оси jQ. в единичную окружность е'я7.
Соотношение между аналоговыми С1 и цифровыми со частотами принципиально нелинейно, т.е. шкала частот деформируется. Найдём это соотношение, используя (5). Оператор р~сг+ /П для частотной оси имеет вид р = /П,
поскольку С-0 и г — е''"7- Поэтому в р-плоскости рассматривается только частотная ось /С1, а в ¿-плоскости еди-
ничная окружность е'
г}тТ -\
г'шТ +1
. 2 соТ
откуда следует, что „ 2 озТ
(7)
Следует заметить, что при непосредственной подстановке (2) в (1) можно получить искомую передаточную функцию цифрового фильтра, но эта функция, к сожалению, будет трансцендентной функцией. В то же время, передаточная функция практически реализуемого цифрового фильтра должна быть представима в виде отношения двух полиномов [5]. Для того чтобы выполнить это условие, выражение (2) нужно заменить его дробно-рациональной аппроксимацией (в виде отношения двух полиномов).
Воспользуемся известным разложением в ряд функции
1п(2) [3]:
„ » 1 Гг-Г2*"'
Связь между шкалой нормированных значений частот аналогового фильтра-прототипа О и шкалой нормированных частот цифрового фильтра со при обычном билинейном ¿-преобразовании с учётом соотношения (7) показана на рис.]. Полученной нелинейностью пренебрегать нельзя, поэтому в процессе синтеза необходимо пересчитывать частоты из цифровой области в аналоговую и из аналоговой области в цифровую для компенсации частотных искажений.
Перейдем теперь к рассмотрению предлагаемого обобщения традиционного билинейного г-преобразования (5).
1. Обобщение билинейного преобразования и его
использование для синтеза цифровых фильтров
С целью уменьшения нелинейности соотношения между шкалой частот цифрового фильтра со и шкалой частот аналогового фильтра-прототипа О предлагается в процессе аппроксимации оператора р комплексной переменной г не ограничиваться только первым членом ряда (3), а учитывать несколько первых членов этого ряда.
Имеем следующее соотношение:
Т V ' Т щ2к-
Введём обозначение [7], [8]:
2-1 I и+1
2£-1
2+1
2к-\
(8)
(9)
Используем подстановку
г = е-т
Тогда получим:
2-1 . СОТ — =
2+1 I
откуда с учётом выражения (8) имеем: „2^1 , ]Уы ( (оТ)2к ]
(10)
(П)
Т и2к-\
Выражение (11) представляет собой соотношение между аналоговыми и цифровыми со частотами при использовании обобщённого билинейного преобразования (8).
С использованием преобразования (9) получаем системную функцию цифрового фильтра:
Щ(р) 4 Н(г) (12)
Порядок системной функции И [г) и порядок цифрового фильтра равны • (2■ Л' — 1). где п - порядок аналогового
7ТЛ
фильтра-прототипа; N - количество членов ряда (3). Для традиционного билинейного г-преобразования (5) имеем ЛГ=1.
Например, для А' = 3 (приближение 3-го порядка) имеем:
JQ = p=rln(z^Y%2ihrljri
2к-1
(13)
2_ т
z + 1 3 U + 1 5 z+1
После подстановки z = e^mT в (13) с учётом соотношения (10) получим:
, (14)
= P =
. . mT\ ( . , coT Ï l . .
r-tg—j
T
(
t œT 1 f coT\J (t COT
l\8~2~) +Г * T
Для N = 2 (приближение 2-го порядка) имеем:
т
соТ 1
р-т)
(15)
(16)
фильтров нижних частот с характеристикой Баттерворта, удовлетворяющих требованиям, представленным в [9]:
• граничная частота полосы пропускания =1 Гц;
• граничная F,op = 2,414 Гц;
частота полосы непропускания
частота дискретизации F.=l Гц; период дискрети-
откуда для N — 3 получаем соотношение между шкалами частот аналогового фильтра-прототипа О и цифрового фильтра &:
зации т = _!_;
К
• неравномерность ослабления в полосе пропускания Д^ =0,5 дБ;
• минимально допустимое ослабление в полосе задерживания -20 дБ.
Сначала выполним расчёт системной функции цифрового фильтра (г) 1!РИ использовании обычного билинейного г-пре образования (5), что соответствует случаю N — 1 а затем расчёт системной функции Я, (г) при использовании
расширенного преобразования, что соответствует случаю Лг= 3. В обоих случаях аналоговый фильтр-прототип один и тот же.
2.1. Применение традиционного /-преобразования
Расчёт с применение традиционного г-преобразования выполнен по следующему алгоритму.
1. Граничные частоты О. аналогового фильтра-
прототипа (без применения предыскажения шкалы частот при переходе от требований к частотной характеристике ЦФ к частотной характеристике аналогового фильтра-прототипа) имеют следующие значения: Орощ
— 1; ^îtcpp — .
что в данном конкретном случае совпадает с нормированными относительно граничной частоты значениями
частот:
Q Q
pas s
Q = Q >"°p =3 4 • 3 Q
pass
фн/ъгрл-леонр***- n
Рис, 1, Зависимости между шкалами частот цифрового фильтра со и аналогового фильтра-прототипа О при N = 1, N-2 и N -3
Па рисунке 1 проиллюстрировано сравнение аппроксимирующих функций по степени близости к идеальной линейной зависимости между частотами цифрового фильтра со и аналогового фильтра-прототипа О при N — 1 (обычное билинейное г-преобразование), N = 2 и Л' = 3.
Из рисунка 1 видно, что при большем значении N соотношение между шкалами частот аналогового и цифрового фильтра стремится к линейной зависимости в диапазоне нормированных значений частот, соответствующих полосе пропускания фильтра.
2. Примерь! синтеза цифрового фильтра
Для сравнения предложенного метода с обычным билинейным 7-преобразованием был проведён синтез двух цифровых
2. Определение порядка аналогового фильтра-прототипа по известной формуле [2], [6J:
lg
10'
0.1-Л.
1
10'
-1
п
-2,453.
шщ
С учётом того, что порядок фильтра должен быть целочисленным, то принимаем
3. Рассчитываются полюсы р[к} аналогового фильтра-
прототипа, к — \,...п', п — количество полюсов фильтра-прототипа, которое совпадает с его порядком [2], [10], [11]:
т 1 Г . М2*-1)"! ■ (17)
Па основе выражения (17) получены следующие значения полюсов аналогового фильтра-прототипа: p(l) = -0,71+jH,23l р(2) = —1.42 :
/?{3) = —0,71 — у-1,23 ■
4, Рабочая передаточная функция аналогового фильтра-прототипа выражается следующим образом:
К(р)=- 1
= 2,863-
(р +1,42) |р2 + 1,419-р + 2,01б)
(18)
Частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа:
/
Яа(/) =2,863
I
f
J parts
]
/
+1,419-
5£
V J pi* y
+2,016
(19)
5. В случае использования обычного билинейного г-преобразования выполняется подстановка (5) в (18) и после проведения несложных алгебраических преобразований получаем системную функцию цифрового фильтра:
/ л, ч
На(р) Я,(2).
Я, (z) = 0,095
z +1 z-0,17
z2 + 2z + 1
z -0,448z + 0,359
(20)
Частотная характеристика цифрового фильтра, полученного с применением обычного билинейного г-преобразования, имеет вид:
#,(/)= 0,095
ej-2*/T +
eJ** f-T - 0,17
' eJ-2xf-T-2 + g J-2x-f-T + ]
(21)
гг Î \ г, z^ + 5z4 + 10z^ + 10z^-l-5z-»-l tfJz =0,033--=-j-=--—■
J zb+ 2,25z4 + 4,5z + X 5z + 0,72z - 0,4
(23)
iV0 + ]0z9+45z8+120z7 +2l0z6 + ,+252z5 + 210z4 +120z3 + 45z2 +10z +1 fz10 + 4z9+1328 + 21z7+28,9z6 + + 19,5Z5+15,3z4+5,8Z3 + 3,8Z2+0,8Z + 0,4J
По комплексно-сопряжённым нулям и комплексно-сопряжённым полюсам формируются полиномы второй степени с вещественными коэффициентами, которые затем используются в качестве числителей и знаменателей биквадратных звеньев.
Частотная характеристика цифрового фильтра, полученного с применением модифицированного z-преобразования,
получается путём замены в выражении (23) z —>
3. Анализ частотных характеристик синтезированных цифровых фильтров
Сравним частотные характеристики полученных цифровых фильтров между собой и с частотной характеристикой аналогового фильтра-прототипа 3-го порядка. Например, Fia рис. 2 приведены амплитудно-частотные характеристики аналогового фильтра-прототипа и синтезированных на его основе цифровых фильтров. На рисунке 2 изображены следующие кривые:
• /Л ( /)| — соответствует цифровому фильтру,
полученному с использованием обычного билинейного z-преобразования (5), что соответствует jV = 1;
— соответствует цифровому фильтру, полу-
етшт - 0,448 .eJ-**-f-T + 0,3 59
Выражение (21) получено путём подстановки в (20) соотношения (1) с учётом нормирования относительно частоты дискретизации,
2.2, Применение обобщённого билинейного
z-преобразования
Процедура синтеза цифрового фильтра при использовании обобщённого билинейного z-преобразовании (приближение третьего порядка, /V — 3) на начальном этапе выполняется по такому же алгоритму; в результате выполнения расчётов по пунктам с 1 по 4 получаем точно такую же передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа (18), Следующий этап расчёта различается.
Используем преобразование
f < , 2 ffz-P I fz-lV_ I (г-lf] (22)
Р = Ш=г [гТГ, J\7TrJ +5\7ТТ}
/
После подстановки (22) в (18) и проведения несложных алгебраических преобразований получаем системную функцию Иъ (z) цифрового фильтра (обобщение 3-го порядка):
На(р) H3(z),
И/)|
ченному с использованием обобщённого билинейного г-преобразования (20), что соответствует приближению 3-го порядка N = 3;
• |//а(У)| - соответствует аналоговому фильтру-
прототипу 3-го порядка.
1.2
0.8
Об
0.4
0.2
|Hito|. ¡Ha(f)|
•Vf |Н 3(f)|
\ * \
Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики фильтров
На рисунке 3 показаны частотные характеристики ослабления для аналогового фильтра-прототип а и синтезированных на его основе цифровых фильтров:
• |Л1(/)| ~ соответствует цифровому фильтру, полученному с использованием обычного билинейного г-преобразования;
30
25
20
15
10
J • • 1 • а ко
A 3(f) 1 ■ Г • Г * 1 • Г •
1 • / 1 • / * ж • / • /
/ >а СО
•7 /
1 1
09
0 Е
0.707
/|Н l(f)|
|На (f)| --|Н 3(f)
•1 • 1
0.5 1
f
1.5
2.5
1.5
0.5
А 1(0- • 1
•I
А 3(0-^. Аа (0 —
0.5
1.5
0 12 3
f
Рис. 3. Характеристики ослабления фильтров
• |ЛЗ(/')| — соответствует цифровому фильтру, полученному с использованием обобщенного билинейного z-преобразования;
• - соответствует аналоговому фильтру-
прототипу 3-го норядка.
• На рисунках 4 и 5 показаны частотные характеристики в диапазоне частот полосы пропускания. Частота среза фильтра, полученного с использованием обычного билинейного z-преобразования. равна Fcut = д частота среза аналогового фильтра-прототипа и фильтра.
Рис, 4. Амшнаудно-частотные характеристики фильтров в полосе пропускания
Рис. 5. Характеристики ослабления фильтров а полосе пропускания
полученного с использованием обобщенного билинейного г-преобразования 3-го порядка, совпадают и равны ^™г = 1,42
Из рисунков 4 и 5 видно, что частотная характеристика цифрового фильтра, полученного с помощью обобщённого билинейного ^-преобразования, оказывается достаточно близкой к характеристике аналогового фильтра-прототипа в рабочей полосе частот. Это позволяет избежать необходимости введения предыскажений и улучшить точность реализации частотной характеристики цифрового фильтра.
Заключение
На основании полученных результатов следует, что применение обобщённого билинейного г-преобразования позволяет получить цифровой фильтр, амплитудно-частотная характеристика которого оказывается весьма близкой к амплитудно-частотной характеристике аналогового фильтра-прототипа, что позволяет избежать применения предыскажений, введение которых обязательно при использовании традиционного билинейного г-преобразования.
Недостатком предложенного метода является увеличение порядка цифрового фильтра и, соответственно, увеличение Сложности его реализации. При практическом использовании предложенного метода синтеза фильтров необходимо находить компромисс между точностью реализации требуемой частотной характеристики и сложностью фильтра.
Литература
1. Оппенгейм А., Шафер Р, Цифровая обработка сигналов. Изд. 2-е, испр. М.: Техносфера, 2007. 856 с,
2. Соболев ВН. Теория электрических цепей, М.; Горячая линия-Телеком, 2014. 502 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Изд. 8-е. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Т.1. 680 с.
4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2000. 462 с.
5. Рабинер Л.Р.. Гоулд В. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 424 с.
6. Стивен Смит. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников. М.: Додэ-ка XXI, 2008. 720 с.
I
T-Comm Том 13. #1-2019
7. Крейнделин В.Б., Григорьева Е.Д. Развитие мегола билинейного преобразования для синтеза цифровых фильтров. Материалы МНТК «]МТЕ(ШАТ1С-2017» Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения. 20-24 ноября 2017 г. Москва. В сборнике: Информационные технологии и телекоммуникации, С.1183-1185.
8. Крейнделин В.Б.. Григорьева Е.Д. Мегодика повышения показателей качества цифровых фильтров в системах связи. Материалы МНТК «Телекоммуникационные и вычислительные системы 2017». Москва, 22 ноября 2017 г. С. 162-166.
MODIFICATION OF BILINEAR TRANSFORMATION METHOD AND ITS APPLICATION TO DIGITAL FILTERS SYNTHESIS
Vitaly B. Kreyndelin, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, vitkrend@gmail.com Elena D. Grigorieva, Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, ed.grigorieva@yandex.ru
Abstract
A generalization of the known method of bilinear transformation for the synthesis of digital filters with infinite impulse response is considered. The application of this generalization avoids the introduction of the pre-emphasis of the frequency scale. Digital filtering is widely used in the development of various devices and systems of information transmission. Often, digital filters have very strict requirements regarding the accuracy of the implementation of the required amplitude-frequency response. The synthesis of digital filters with infinite impulse response uses the known bilinear transformation [1], [2]. However, when using the bilinear transformation, the amplitude-frequency characteristic of the synthesized digital filter does not coincide with the characteristic of the analog filter prototype. Traditionally, to achieve an acceptable correspondence between the characteristics of the prototype filter and the digital filter synthesized on its basis, the pre-selection method is used [2], [6]. Unfortunately, the introduction of the pre-emphasis of the frequency scale in some cases does not allow to achieve the required degree of correspondence between the frequency characteristics of the prototype filter and the digital filter. In this article, we propose an approach to the synthesis of digital filters to avoid the use of the pre-emphasis of the frequency scale, which allows us to implement precision filters with the required frequency response. This approach is based on an extended bilinear transformation. Application of this extended bilinear transformation allows to implement precision filters with the required frequency response.
Keywords: bilinear transformation method, synthesis of filters with infinite impulse response, the pre-emphasis of the frequency scale, extended bilinear transformation, precision filters.
References
1. Oppenheim A., Schafer R. (2007). Digital signal processing. Moscow: Tehnosphera Publ. (in Russian)
2. Sobolev V.N. (2014). The theory of electric circuits. Moscow: Hotline-Telecom Publ. (in Russian)
3. Fichtenholz G.M. (2003). Course of differential and integral calculus. Moscow: FIZMATLIT Publ. (in Russian)
4. Baskakov S.I. (2000). Radio circuits and signals. Moscow: High school Publ. (in Russian)
5. Rabiner L.R., Gould V. (1978). Theory and application of digital signal processing. Moscow: Mir Publ. (in Russian)
6. Stephen Smith. (2008). Digital signal processing. A practical guide for engineers and scientists. Moscow: Dodeka XXI Publ. (in Russian)
7. Kreyndelin V.B., Grigorieva E.D. Development of a method of bilinear transformation for synthesis of digital filters. Materials of MNTK "INTERMATIC-2017" — Fundamental problems of radio-electronic instrument-making. 20-24 November 2017, Moscow. In the collection: Information technology and telecommunications, pp. 1183-1185.
8. Kreyndelin V.B., Grigorieva E.D. Methods of improvement of quality indicators of digital filters in communication systems. Materials of international science-technical conference "Telecommunication and computing systems - 2017" Moscow, 22 November 2017, pp. 162-166.
9. Kwaha B.J., Kolawole E.A., Batu A.M. The design and implementation of a digital infinite impulse response (IIR) lowpass Butterworth filter - A comparison of Matlab and Bilinear transformation methods. Indian Journal of Science and Technology, Vol. 4, № 4 (April 2011), pp. 451-455.
10. Marchenko A.P. (2017). Frequency filters: passive, active and digital. Moscow: Hotline-Telecom Publ. (in Russian)
11. Smirnov N.I., Frisk V.V. (2017). Theory of electric circuits: lecture notes. Moscow: Hotline-Telecom Publ. (in Russian)
Information about authors:
Vitaly B. Kreyndelin, Moscow Technical University of Communications and Informatics, chief of department, Moscow, Russia, Elena D. Grigorieva, Moscow Technical University of Communications and Informatics, deputy chief of department, Moscow, Russia
T-Comm Vol.13. #1-2019
9. Kwaha B.J., Kolawole E.A.. Batu A.M. The design and implementation of a digital infinite impulse response (IIR) lowpass Butterworth filter — A comparison of Matlab and Bilinear transformation methods // Indian Journal of Science and Technology. Vol. 4. № 4 (April 2011), pp. 451-455.
10. Марченко А.П. Частотные фильтры: пассивные, активные и цифровые. М,: Горячая линия-Телеком, 2017, 166 с,
11. Смирнов Н.И., Фриск В.В. Теория электрических цепей: конспект лекций. М.: Горячая линия-Телеком, 2017. 270 с.
