Повышение быстродействия определения параметров информативных гармоник методом группового преобразования Фурье Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Квитек Е.В.

(младший научный сотрудник Института физики высоких давлений, г. Троицк),

Кутузов В.И.

(заведующий кафедрой информационного права ОГУ, кандидат технических наук, доцент),

Шевеленко В.Д.

(заведующий кафедрой промышленной электроники и информационно-измерительной техники ОГУ,

доктор технических наук, профессор)

ПОВЫШЕНИЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ИНФОРМАТИВНЫХ ГАРМОНИК МЕТОДОМ ГРУППОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

На основании представления сигналов в виде групп частотных компонентов, сосредоточенных в области низших частот, высших частот и средних частот, получены выражения для соответствующих групповых сигналов, позволяющие изменить характер преобразований в процессе реализации прямого и обратного преобразований Фурье, что позволяет для диапазонов низших и средних частот уменьшить частоту дискретизации по сравнению с частотой Найквиста. Это позволяет сократить количество вычислительных процессов по сравнению с требуемым на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Обработка сигналов в реальных системах передачи информации связана с необходимостью их дискретизации, следствием чего даже в случае идеальной дискретизирующей последовательности

у'2 пяг / Д

(1)

где Д 1

Ся =-

Д

- шаг (интервал) дискретизации, а спектр дискретизированного сигнала

представляет собой сумму бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового сигнала, расположенных на оси частот через одина-2р

ковые интервалы — ,равные значению угловой частоты первой гармоники дискретизирующей импульсной последовательности.

Спектр аналогового сигнала Бх (ю) связан с его совокупностью отсчетов формулой суммирования Пуассона

д£ ^ (ю-2рп / Д) (2)

К=-¥ П=-¥

из которой следует, что однозначное определение Бх (ю) возможно лишь в случае, когда заранее известно, что исходный сигнал Б () имеет спектр низкочастотного вида, удовлетворяющий условию теоремы Котельникова. Тогда

0,

Д£

к=-¥

0,

- ушкД

ю(-я / Д,

,-я / Д < ю< ■ ю>я / Д.

(3)

Принятой мерой ослабления эффекта наложения «копий» спектра исходного сигнала является уменьшение шага дискретизации д , т. е.

Т

увеличение количества отсчетов N = д внутри

периода Т дискретизируемого сигнала Б (г) (т. е. повышение быстродействия вычислительных средств).

Острота проблемы возрастает при необходимости восстанавливать исходный сигнал по результатам расчетов на основе обратного дискретного преобразования Фурье, т. к. при необходимости иметь относительную погрешность наиболее применяемой кусочно-линейной аппроксимации восстановленного сигнала порядка 1% частота дискретизации должна в 22 раза превышать определяемую теоремой Котельникова [1].

А так как для реализации дискретного преобразования Фурье (ДПФ) требуется выполнять N2 операций с комплексными числами, то ввиду недостаточного быстродействия ЭВМ в большинстве интересующих практику случаев даже переход к быстрому преобразованию Фурье (БПФ) не обеспечивает работы анализирующих вычислительных комплексов в реальном (технологическом) времени, т. к. для определения коэффициентов ряда Фурье требует одновременного участия всех отсчетов сигнала (не только предшествуюших текущему моменту времени, но и всех последующих).

Задача усложняется, если возникает необходимость отслеживать в динамике поведение коэффициентов ряда Фурье [2].

Однако любому технологическому процессу как реальному проявлению периодичности свойственно только ему присущее сочетание гармоник, обладающих экстремальными чувствительностями к вариациям параметров вследствие воздействия дестабилизирующих

факторов. Это является основанием для развития методов аппаратурного спектрального анализа технологических процессов, но не решает проблемы ускорения определения изменений параметров информативных гармоник.

Так как число коэффициентов ряда Фурье равно количеству отсчетов на периоде дискретизируемого процесса, то поиск преобразований, обеспечивающих одновременную обработку отсчетов с большим шагом дискретизации, а следовательно, и сокращение общего времени обработки сигнала, является актуальным.

Ниже излагается подход, основанный на возможности представления периодических сигналов в виде нескольких групп частотных компонентов и использования связанных с этим проявлений групповых свойств сигналов.

Представление Б (г) в виде трех групповых сигналов (нижних частот, промежуточных и высших частот)

- ¥

Б (г ) = — |Б (ю>*“ =

- ¥

= [ (ю)+ Бич (ю)+ Бвч (ю)]е]ю =

= Бнч (г)+ Бпч (г)+ (г)

(4)

открывает возможность для определения принадлежащих каждой из частотных групп коэффициента СП, не требующего использования Б (г) в исходном виде.

Действительно, при выполнении требования, что области существования Бяч (ю), Бич (ю) и Бвч (ю) не пересекаются, на основании обобщенной формулы Рэлея

і | Б«ч И • б* =2р (И Б«ч(ю))=

2-

= ( (г) Бич (г ))= 0,

1 г ^ич Ы • (®У® = 2і- (ч (ю) Бч (ю)) =

Т“ і 22- - = (ч (г)(г))= 0, (5)

откуда следует, что для проявления групповых свойств колебаниями указанных частотных диапазонов кроме обеспечения их ортогональности необходимо подвергнуть Б (г) таким преобразованиям, которые обеспечили бы раздельное воспроизведение групповых сигналов Бяч (г), Бич (г), Бвч (г) без изменения соотношений между амплитудами и фазами частотных компонентов, характерных для исходного сигнала Б (г), т. е. их фильтрацию.

Формальную основу фильтрации периодических сигналов составляет аппарат представления усеченных рядов в виде определенных интегралов [3], когда усеченный ряд может быть истолкован как результат низкочастотной фильтрации сигнала, представленного рядом Фурье в ортонормированном базисе.

Действительно, пусть

N

^ (г )=£Ля фя (г)

А я = Т } б()фя

і Т

(6)

(7)

где т - период сигнала Б (г), а БN (г) - «№>-я частичная сумма бесконечного ряда

Б (г )=£а я ф я (г)

(8)

Тогда

N 1 2

() = £ фя (О- }Бя

я=0 Т т

а?Х-

(9)

Представление частичной суммы БN (г) в виде правой части (9) притягательно не только возможностью уменьшения требуемого количества функциональных элементов схемотехники при реализации соответствующего фильтра по сравнению с вариантом его реализации на основании левой части (9), но и возможностью создания условий для проявления групповых свойств сигналов Бвч (г), Бич (г) и Бвч (г), входящих в состав Б (г), путем надлежащего выбора базисных функций.

С целью выявления принципиальной возможности разделения частотных компонентов для получения Бяч (г), Бич (г )и Бвч (г) подлежащий фильтрации сигнал Б (г) представим обобщенным рядом Фурье

Б (г )=£стБт (г)

(10)

в базисе тригонометрических или экспоненциальных функций, как не подвергающихся изменениям формы в процессе преобразования их линейными системами.

Умножение обеих частей Б (г) на базисную функцию Бк (г) с произвольным номером « к » с последующим интегрированием по времени

т

} Б(г)Бк (г = £ Ст } Бт (г) Бк (г >?г = Ск (11)

0 т=0 0

вследствие ортонормированности базиса создает условия для появления в качестве выходного эффекта частотного компонента входного сигнала СкБк (і).

Использование в качестве управляющего сигнала суммы из N +1 элементов ортонорми-рованного базиса

()=£ (г)

(12)

обеспечивает выходной эффект в виде ограниченной суммы членов ряда (10). Действительно,

N Т

Бдак (г )=£ Бк (г )}б (ХБ (Х)Х =

к=0 0

N Т ¥

= £ Бк (г )£ СтБт ()4 =

к=0 о т=0

N

= £ СтБт (г )=^ (г) (13)

что одновременно означает ортогонализацию (т. е. обращение в ноль) всех членов ряда (10) с номерами т) N (т. е. полиномиальную ортого-нализацию как целенаправленный эффект фильтрации).

Для тригонометрического ряда Фурье входного сигнала (6) «К»- я частичная сумма в комплексной форме

N

М)= £си

(14)

2-

где Ю1 = — , а ряд Фурье имеет вид:

,()= £с„

Ітю^

где

Ст = Т | і -^ -

т -г

(15)

(16)

При подстановке (16) в (14) имеем:

т

N

г()= £

т К - 4

т -г

£ е

т=-N

(-Х)

1 2 N

о?Х = Т К (Х)£е^4, (17)

где х = ю1 (-£)• Но

N

(х )= £

еі(N+1) - е-

-1

72 -72

е 2 - е 2

(18)

поэтому

“да!х () = () == Т 1'[ю1 ( - , (19)

Т-т

2

а функция ^ (х) - «№>-е ядро Дирихле, позволяющее представить частичную сумму мв^ () в интегральной форме, являющейся основой для реализации фильтрующего свойства ортонор-мированного базиса.

Реализация фильтрующего свойства орто-нормированного базиса определяется возможностями синтеза ядра Дирихле (18) или возможностями синтеза равноамплитудного полинома на основании соотношения

sin(N + 1) 2sinf

(20)

Для реализации правой части (20) необходимо синхронизировать работу «№> генераторов гармонических колебаний кратных частот в процессе суммирования этих колебаний с равными амплитудами и строгими фазовыми соотношениями, а следовательно, и с необходимостью стабилизации амплитуд и фаз суммируемых колебаний, что является сложной технической проблемой.

По этим же причинам необходимость поддерживать строгие связи между амплитудами и фазами первой и « 2N +1 »-й гармоник периодически воспроизводимой функции ^ (х) препятствует высокоточной реализации левой части (20), особенно при изменении частоты повторения подлежащего фильтрации сигнала

“«х ().

Поиск разрешения противоречий приводит к необходимости анализа возможностей, содержащихся в выражении (20).

В случае синтеза равноамплитудного полинома (20) имеем:

N

Я®* ()= Ат £С08(кю1г +ф0 ) =

А т 2

к=1

£ еі (к0¥+Ф0) + £ е - і (ки1г+ф0) к=1 к =1

А т 2

sin

N0)1 г

sin

і (і^01С+ф0) + е -і ( “1(+Ф0)

Г

Nbjt

sin 21

: Am . ^ coS(( Ю1t + ФО ) =

sin 21

K(t)-Am cos(JN2t1 юlt + Ф0 )

(21)

откуда следует возможность воспроизведения равноамплитудного полинома амплитудно-модулированным колебанием, закон изменения огибающей которого

A(t )=A,

sin

No^t

©it

Sin^-

(22)

где A m - амплитуда колебаний несущей часто-N+1

ты

-fl.

Одновременно в выражении (22) содержится информация о необходимости реализации параметрического преобразователя с системным оператором К (г). При синтезе устройства для воспроизведения амплитудно-модулиро-ванного колебания (12) главным требованием является поддержание жесткой связи между параметрами несущего колебания и модулирующего процесса, что может быть обеспечено резистивной параметрической цепью, периодическое изменение коэффициента передачи К (г)

4-

которой внутри интервала г = 27] = — осуще-

®1

ствляется переключением резисторов в моменты прохождения нулевых мгновенных значений колебаниями несущей частоты [4].

Точность задания коэффициента передачи К (г) масштабного преобразователя определяется стабильностью резисторного делителя, т. е. достижимым технологическим уровнем долговременной стабильности резисторов, что позволяет на порядок повысить точность воспроизведения равноамплитудных полиномов, а следовательно, и процедуры фильтрации измерительных сигналов. Воспроизведение функции мшх (г) может быть обеспечено устройством, структурная схема которого приведена ниже

Здесь:

1 - перемножитель;

2 - формирователь периодически повторяемого ядра Дирихле;

3 - интегратор.

Формирование ядра Дирихле изменением N в широких пределах обеспечивает фильтрацию сигнала м«х (г).

Действительно, формирование ^ тах( х) выбором N = обеспечивает получение (г) = м«х^ах (г) с ограниченным количеством членов равноамплитудного полинома, образующего ядро Дирихле, и вызывает обращение в ноль членов бесконечного ряда Фурье (10) с номерами т, превышающими N = , т. е. по-

давление высокочастотной части спектра м«х (г) или его низкочастотную фильтрацию.

Существенно при этом, что в полосе пропускания такого фильтра низких частот (ФНЧ) соотношение между соответствующими частотными компонентами м«х (г) и “«х^.. () сохраняется с той степенью точности, с какой удается формировать ядро Дирихле и интегрировать результат его перемножения с фильтруемым сигналом м«х (г).

Формирование “«х^,(г) при N = обес-

печивает получение мШх«ч (г) = и«х(г) - u«^гхNmin (г) с подавленной низкочастотной частью спектра

“«х(г).

Для обеспечения эффекта полосовой фильтрации необходимо получить

М«мхя$ (г) = М«ых«ч (г) - ^«х (г) - и«ьо^тах (г)],

т. е. сформировать базисную функцию

(х) = Атах (Х) - Атт (Х) =

^П((тах + 2Iх - ^П((тт + ТIх

2sin-|

sin

(NmaI Ni

(n + N • + l)

- cos maI + N min +1 , (23)

которая в рассматриваемом случае наделяет (г) свойствами осциллирующей функции. Из (23) следует, в частности, что при

N = N • +1

max min

Sin

(x) = —~ cos(Nmin + 1)x =

coS NmaIX = coS NmaI ^ -£) =

(24)

а потому в предельном случае полосой фильтрации выходной сигнал представляет собой гармоническое колебание частоты = ^ах /.

При осуществлении фильтрации (методом ортогонализации) можно обеспечить Бич (ю)= 0 и Б«ч (ю)=0, а потому Б (ю)= Бвч (ю) и /(г )= /вч (г).

Аналогично при Бяч (ю)= 0 и Se4 (ю)= 0 имеем /(г )= /ич (г )-

В этом случае при периодизации / (г) выходными эффектами соответствующих фильтров являются /вч (г), /ич (г) и /от (г), одновременная дискретизация которых требует своего шага дискретизации в каждом канале.

В качестве полосовых сигналов /яч (г), /ич (г) и /вч (г), подлежащих одновременной дискретизации, рассмотрим соответствующие равноамплитудные полиномы, являющиеся частным случаем, обеспечивающим эквивалентную оценку шага дискретизации сигналов с одинаковым числом гармоник N„4 = Nmin ; N„4 = 2Nmin и N = 3N •

1 Y вч Y min •

При представлении НЧ сигнала в виде АМ колебания

-1 ■ min -1 ■ шіп

Sнч (t) = I Cnejn“0t = 2Cn I cos ^t =

2C„

sin

Nminm0t

Nm

n=0

+1

rn0t

Sin —20-

-cos-

(25)

с периодом Тм = 2Т0 число требуемых на периоде Тм при дискретизации отсчетов равно

N

Тм

м

Д

Т

= 4 Nm

• N •

При представлении полосового сигнала Бич (г) в виде разности двух НЧ сигналов с различными высшими граничными частотами

ЗД = £Сп^ и б2(0 =£(26)

П=--^» П=-Nmin

т. е.

Бич (г) = Б1 (г) - Б2(г) =

^ ю0г ( + Nт^п + ) _

mot

Sin^p

cos

sin

Nmin ®0t

ffiot

Sin^p

-cos

(3N min + 1>0ot

(27)

т.е. в виде АМ колебания с периодом Тм = 2Т0 число требуемых отсчетов при дискретизации АМ колебания равно

= 2Т0 • 2^0 • N№i = 4^ч .

Представление высокочастотной части равноамплитудного полинома с высшей граничной частотой /« = 3^;п/0 в виде разности двух равноамплитудных полиномов

jnoot

S3 = I Cne^ и Sl(t) = I Cne— (2S)

т. е.

SOT = S3 (t) - Sl(t) = ■

sin

Nmin ю0t

Юot

sin 20

-cos

(29)

с периодом Тм = 2Т0 число требуемых на периоде Тм при дискретизации отсчетов равно N»uкP = 2Т0 • 2^0N«ч = 4N«Ч = 12^

Возможность воспроизведения полосовых сигналов в виде суперпозиций равноамплитудных полиномов создает предпосылку для реализации фильтрующего свойства ортонормирован-ного базиса на основе (19). При этом существенным является то, что сумма гармоник кратных частот и равных амплитуд имеет периодичность, определяемую периодом первой гармоники при N четном, либо половиной периода первой гармоники при N нечетном. Это может быть использовано для управления структурой периодичности АМ колебаний.

Так в области нижних частот периодичность анализируемого АМ колебания целесообразно сохранить в исходном виде, что достигается выбором четного ^1п и сопровождается сокращением в два раза числа отсчетных точек на периоде АМ колебаний.

В области высших частот периодичность анализируемого АМ колебания целесообразно растянуть во времени (замедлить), что достигается выбором нечетного значения для («ч - )= Nт1п и сопровождается значением

числа отсчетных точек К = ^1п.

Локализация гармоник технологических процессов, обусловленных вариациями параметров вследствие воздействия дестабилизирующих факторов (температура, давление, питающее напряжение и т. д.), характеризуется периодичностями по большинству технологических параметров с проявлениями зон экстремальных чувствительностей к названным вариациям, а потому выделение фильтрацией определенных групп гармоник в одной из частотных (НЧ, ПЧ или ВЧ) должно производиться на основе предварительного анализа динамических особенностей спектров процессов [5].

В последующей за этим дискретизации полосовых сигналов шаг дискретизации д привязан к высшей гармонике выбранного для определения ряда Фурье группового сигнала.

В процессе имитационного моделирования в качестве анализируемого процесса синтезирован равноамплитудный полином с N = 3^;п = 123, из которого фильтрацией получены групповые НЧ, ПЧ и ВЧ сигналы с периодом повторения Т0 = 10-3 с , являющиеся равноамплитудными полиномами с N = = 41.

При параллельной обработке этих сигналов количество требуемых операций составляет

10086, что меньше требуемого на основании БПФ числа 10240.

Таким образом, открываемая групповым преобразованием Фурье возможность полосовой фильтрации сигналов создает основу параллельной обработки в темпе поступления отсчетов средствами вычислительной техники меньшего быстродействия, чем в случае БПФ.

Список использованной литературы:

1. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов. Л: Энергоатомиздат, 1990. С. 50.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1981. С. 352-353.

3. Алиев Т.М., Костанян В.Р., Тер-Хачатуров А.А. Современное состояние проблемы автоматизации диагнеостирования штанговых нефтяных установок. Измерения, контроль, автоматизация. М., 1998. С. 32-43.

4. Гутников В.С. Методы реализации специальных весовых функций в измерительных устройствах. Измерения, контроль, автоматизация. М., 1983, №2, С. 3-15.

5. Шевеленко В.Д. Исследование динамических особенностей спектров сигналов // Радиотехника, 1980, №9 С. 41-44.