CC BY
37
В.Д.Шевеленко, Д.В.Шевеленко, Е.В.Квитек
ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИГНАЛОВ ФОРМИРОВАНИЕМ ЧАСТНЫХ СУММ РЯДОВ ФУРЬЕ
В работе рассматривается спектральный метод фильтрации измерительных сигналов, основанный на возможности сокращения объема преобразований над сигналом путем перехода от базиса гармонических функций к базису в виде ядра Дирихле.
Получены соотношения, обеспечивающие реализацию фильтрующего свойства ортонормированного базиса путем воспроизведения ядра Дирихле в виде амплитудно-модулированного колебания. Показана возможность практической реализации фильтрующего устройства и дана оценка ее погрешности.
Поскольку фильтрация измерительных сигналов заключается в целенаправленном изменении соотношения между различными компонентами спектра сигнала [I], то, с учетом легко осуществляемой в измерительной технике периодизации однократных реализаций сигнала, представляет значительный интерес поиск новык возможностей, заключенных в ор-тонормированности базиса гармонических функций при переходе к представлению усеченных рядов Фурье в виде определенных интегралов.
Для периодического сигнала e(t) считаем известной сумму ряда Фурье
8 х
e(t) =-! + ^ ' cos(2%kft) + i sin(2%kft)] (I)
2 k=i
и поставим перед собой задачу найти выражение суммы усеченного ряда
8 n
SJt) =-! + £ ' cos(2nkft) + bk sin(2nkft) ] (2)
2 k=i
в котором коэффициенты ak и bk определяются формулами
h = — Ie(t) cos(2nkft)dt (3)
І = — Ie(t) sin(2—kft) dt (4)
где
T = —
f
период повторения сигнала e(t).
Так как интегралы (3) и (4) являются определенными, то символ переменной под знаком интеграла может быть выбран произвольно, а потому, подставив значения коэффициентов ак и Ьк в выражение полинома, получим:
SN( t) = —-+ ^ соз(2жк/е) — [af z) coskzdz + 2 k.l 71 0
N j 2л
+ '^^sin(2nkft) — Je(z) sinkzdz
(5)
интегралов как постоянные множители и переписать выражение (5) в виде:
2
=^r+-’^fez)cosk(z-2T^)dz 2 п tfl
fez) coskz-cos(2iikfl)dz+ fez) sinkz-sin(2xkfl)dz
(6)
Выражению (6) можно придать следующий вид:
. ¿71
SN(t) = - Ie(z)
7T ^
1 N
—c ^ cos k(z - 2—ft) —
dz
(U)
Сумма, стоящая в квадратных скобках, может быть представлена в замкнутом виде [2]:
sin\ N + — |а
1 +^г' x 1 2 J
— + У cos к а = -
2 f-1, . I а 2 sin\ 2
(8)
Вводя (8) в выражение SN(t) полуаем:
S _ і2} / >sinК1+'Xz-2%ft)]]
Sn( ) _ я je(z) 2sm[1-2nft)] ]
(9)
Для удобства вычислений целесообразно ввести новую переменную:
г - 2%А = и; г = и + 2%А; ёг = ёи;
тогда окончательно получим:
1"} , „ , sin(N +4)и
SN(t) =- fe(u + 2—ft)--
2 sin
du
(10)
Выражение (10), называемое интегралом Дирихле, представляет основу для реализации фильтрующего свойства ортонормиро-ванного базиса. Действительно, результат интег-
cos( 2%kft) и sin(2%kft) можно внести под знаки
74 ВЕСТНИК ОГУ I '99
рирования (10) дает функцию, зависящую от 1 как аргумента и N как параметра, а потому форма базисную функцию Бк(^ определяется полосой частот, требуемой для воспроизведения в реальном масштабе времени 1 А/ = Ы/ , либо количеством гармоник N. укладывающихся в выделенной для воспроизве-
(t)=e (t)~[e(t) -SNmJt)", т.е. сформировать
DsJU)=Dmm(U)-DmJv)
■ (N.™-N„to)U
+j)U - sin(N+j)U
7sin(^)
(Nm + Nmin + 1)U
дения функции SA{t) полосе частот
N =
hL s .
Воспроизведение функции ї) может быть обеспечено устройством, структурная схема которого приведена на рис. I.
Здесь:
1- перемножитель;
2- формирователь периодически повторяемого ядра Дирихле;
3- интегратор.
Из сравнения (5) и (10) следует, что сокращение количества процедур (вычислительных или аппаратурных) для определения Бк(/) возможно путем перехода от базиса гармонических функций к базису в виде ядра Дирихле
DN(U) =
sin(N C)U 2 sm(H^)
(II)
формирование которого изменением N в широких пределах обеспечивает фильтрацию сигнала е(і).
Действительно, формирование
,(t)
выбором Ы = Ы аах обеспечивает получение епч(0=3птах (0 с ограниченным количеством членов равноамплитудного полинома, образующего ядро Дирихле, и вызывает обращение в ноль членов бесконечного ряда Фурье (1) с номерами к, превышающими Ы = Ы тах , т.е. подавление высокочастотной части спектра е(1) или его низкочастотную фильтрацию.
Существенно при этом, что в полосе пропускания такого фильтра низких частот (ФНЧ) соотношение между соответствующими частотными компонентами е(1) и $N„01 сохраняется с той степенью точности, с какой удается формировать ядро Дирихле и интегрировать результат его перемножения с фильтруемым сигналом е(1).
Формирование $мтах при Ы = Ытах обеспечивает получение еВч(1) = ГО -0 с подавленной низкочастотной частью спектра е(1).
Для обеспечения эффекта полосовой фильтрации необходимо получить
sin(
(IP)
которая в рассматриваемом случае наделяет едф(1) свойствами осциллирующей функции.
Из (12) следует, в частности, что при
N = N - +1 .
max mm
sin^r
DS(U) = frCos(NMIII +1) = cosN maJJ = cosN maJ z — 2nft).
sink:
а потому
SSmax(t) =7 fe(z) cosNmax(z-2%ft)dz =
0
= cos2%Nmmft ~ fe(z) cosNmavzdz + sin2%Nmaxft x 0
f
0
(13)
Из (13) следует, что в предельном случае полосовой фильтрации выходной сигнал представляет собой гармоническое колебание частоты fn0 =Nrnaxf с амплитудой
:
и начальной фазой
= arctS-
Реализация фильтрующего свойства ор-тонормированного базиса определяется возможностями синтеза ядра Дирихле (11) или возможностями синтеза равноамплитудного полинома на основании (8):
.Л-, хт(Ы +\) — 1
^ стк — =--------------7 (14)
2б1п^ 2 у '
Реализация левой части (14) связана с необходимостью синхронизации работы “X” генераторов гармонических колебаний кратных частот в процессе суммирования этих колебаний с равными амплитудами и строгими фазовыми соотношениями, а следовательно и с необходимостью стабилизации амплитуд и фаз суммируемых колебаний, что является сложной технической проблемой.
Поиск разрешения противоречий приводит к необходимости анализа возможностей, содержащихся в выражении (14).
В случае синтеза равноамплитудного полинома (14) имеем:
ивш( V = Ат со^ / + ц>0) =
~ N
I *
А
2
/V
+ 1е
Ыъ /
А йіп~ о
Ат 2
2 . ъ/
йіп------
2
. ЫъЛ йіп-
к=1
= А,„------2— сой@ ъ/ + %) =
(15)
йіп
ъ/
=К(0 • А„, сой@ ^ I
БіП
(16)
ят-
2
где Аш - амплитуда колебаний несущей час-
N +1
тоты
2
вала * - 2и, -
4 %
м,
осуществляется переключе-
ят-
,ї
т =■
напряжению масштабного усилителя К> „
^ , где где к2-сопротивление, вклю-
ченное между выходным зажимом и суммирующей точкой, а Я1 - сопротивление, включенное между входными зажимами и суммирующей точкой [3].
л,
откуда следует возможность воспроизведения равноамплидутного полинома амплитуд-но-модулированным колебанием, закон изменения огибающей которого
Для установления закона изменения
Я =У(0 , требуемого для реализации К(1)
будем исходить из технической возможности скачкообразного изменения Я1/Я2 в моменты времени, когда подводимое ко входу масштабного усилителя гармоническое напря-
N +1
жение несущей частоты мн --------м,
N +1
2
+ фв
проходит через
нулевые значения, что обеспечивает неизменность Ки внутри каждого полупериода иН(1).
Тогда из К(0 - Кц(*) -
следует:
Одновременно в выражении (15) содержится информация о необходимости реализации параметрического преобразователя с системным оператором К(1). При синтезе устройства для воспроизведения амплитуд-но-модулированного колебания (15) главным требованием является поддержание жесткой связи между параметрами несущего колебания и модулирующего процесса, что может быть обеспечено резистивной параметрической цепью, периодическое изменение коэффициента передачи К(1) которой внутри интер-
ми
w1t
(17)
обеспечить
откуда очевидно, что для выполнения требования К(^\ = Ы(достаточно при 1=0
=Ы
^ (о) и повторение или ин-
вертирование выходного сигнала масштабным усилителем с модулем коэффициента
передачи по напряжению \ки | = 1.
2Т, Т,
При t = -#- = — имеем:
нием резисторов в моменты прохождения нулевых мгновенных значений колебаниями несущей частоты.
Формальную основу для реализации функционального преобразования
к2(г)
- яіпИ -І
БіП^
(18)
откуда следует, что соотношение между ча-
м
стотой несущих колебаний (Ы +и частотой повторения модулирующего процесса
— должно выбирать исходя из желания обес-
ят----
2
составляет известное положение теории операционных усилителей, охваченных параллельной отрицательной обратной связью, согласно которому коэффициент передачи по
печить
при Х-нечетном
ИЛИ
sin
Nw ,t
sin
R
R,
2
= 0
при N ■
четном.
Так как при t=0 \F(f)\ _ s^(Q) _1
тому изменения Я1(0) и ^(0) вследствие воздействия дестабилизирующих факторов вызывают изменения коэффициента передачи
8 F(t;| 8R
AR, R,(0)ARj
R/0) R(0)
И
h\K(t)\ _ AR} AR, AR,
AR,
(20)
Очевидно, что нау основе (15) можно реализовать периодическое воспроизведение амплитудно-модулированного сигнала путем коммутации сетки резисторов + R,
сначала в прямом направлении (от 0 до Т}/2), а затем в обратном (от Т1/2 до Т1).
Так как условия периодизации воспроизведения амплитудно-модулированных колебаний из колебаний несущей частоты определены, то целесообразно определить аппаратурную погрешность задания коэффициента передачи масштабного преобразователя.
а по-
\К(0\ R/0) 0) R¡(0) NR¡
Отсюда следует, что точность задания коэффициента передачи масштабного преобразователя определяется стабильностью резисторного делителя, т.е. достижимым технологическим уровнем долговременной стабильности резисторов, что позволяет на порядок повысить точность воспроизведения равноамплитудных полиномов, а следовательно и процедуры фильтрации измерительных сигналов.
Проведенное исследование позволяет сделать вывод о принципиальной возможности фильтрации измерительных сигналов переходом к базису в виде ядра Дирихле, реализация которого воспроизведением в виде амплитудно-модулированного колебания позволяет обеспечить высокую точность фильтрации при малом объёме оборудования.
(19)
Список использованной литературы
1. Гутников B.C., Фильтрация измерительных сигналов., Энергоатомиздат, Л., 1990.
2. Двайт Г.Б.,Таблицы интегралов и другие математические формулы., “Наука”, М., 1966.
3. Гутников B.C.,Интегральная электроника в измерительных устройствах., Энергоатомиздат, Л., 1988.
Статья поступила в редакцию 23.07.99.
