Метод аппроксимации равноамплитудных полиномов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Фролов С.С., Шевеленко В.Д., Бурькова Е.В.

Оренбургский государственный университет

МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ РАВНОАМПЛИТУДНЫХ ПОЛИНОМОВ

Показана низкая эффективность применения современных измерительных сигналов для измерения частотных характеристик в области инфранизких частот. Предложен новый сигнал - тригонометрический полином с равномерным дискретным спектром и метод его аппроксимации. Получены аналитические выражения дискретного гармонического спектра аппроксимирующей функции. Предложена методика оценки погрешности аппроксимации в виде коэффициента гармоник паразитного спектра и неравномерности амплитудного спектра в рабочей области.

В процессе разработки, производства и эксплуатации отдельных образцов радиоэлектронной аппаратуры остаются востребованными измерение и идентификация их амплитудно-частотных (АЧХ) и фазо-частотных характеристик (ФЧХ) в диапазоне частот от значений, близких к нулю, до нескольких десятков герц.

Ручные высокоточные методы анализа частотных характеристик (ЧХ) малопроизводительны и в указанном диапазоне потребуют значительных трудозатрат - до нескольких десятков человеко-часов.

Самая низкая анализируемая частота современных автоматизированных измерителей АЧХ (ИАЧХ), в которых в качестве источника испытательного сигнала используется генератор качающейся частоты (ГКЧ), ограничена величиной 20 Гц [1]. Ограниченность применения таких устройств на низких частотах связана с тем, что спектр испытательного сигнала на выходе ГКЧ - частотно-модулированного импульса - неравномерен в полосе качания. Известно, что степень неравномерности спектральной плотности одиночного линейно частотно-модулированного (ЛЧМ) импульса напрямую связана с величиной так называемой базы [2]

В = А/-хи, (1)

где А/ - девиация частоты ЛЧМ-импульса или ширина полосы измерения АЧХ; ти - длительность ЛЧМ-импульса.

С увеличением величины базы В спектральная плотность ЛЧМ-импульса становится более равномерной в полосе качания [2]. Из выражения (1) следует, что для улучшения равномерности спектра с той же шириной полосы качания необходимо увеличивать длительность ЛЧМ-импульса. В измерителе АЧХ Х1-41 минимально возможная величина ширины полосы качания - 100 Гц, нижняя граничная частота полосы

- /н =20 Гц, максимальное значение длительности рабочего хода развертки (длительности ЛЧМ-импульса) - 10 с [1]. Соответственно, база

выражения (1) не превысит величины В=1000, при которой обеспечивается паспортная величина неравномерности уровня выходного напряжения ГКЧ 8и =0,5 Дб, или 5,92%. Для измерения ЧХ в более низком частотном диапазоне неизбежно встанет необходимость сужения полосы качания. Иначе измерения станут малоэффективными - получится так, что оператор будет проводить избыточные лишние измерения АЧХ на не интересующих его высоких частотах и получит недостаточную информацию в интересующем его низкочастотном диапазоне. Поэтому для сохранения или улучшения той же равномерности напряжения на выходе ГКЧ при более узкой полосе измерения ЧХ необходимо обеспечить величину базы в > 1000 , то есть в соответствии с (1) - увеличить длительность ЛЧМ-импульса ти. Для измерения ЧХ на частотах / < 20 Гц потребуются величины ти порядка сотен - нескольких тысяч секунд. То есть для измерения потребуется время, соизмеримое с временными затратами в ручных методах, а в конструкции ИАЧХ потребуются дополнительные устройства стабилизации внутренних параметров измерителя для уменьшения влияния внешних дестабилизирующих факторов - колебаний температуры, влажности, напряжения внешней питающей сети и так далее. Кроме того, ЛЧМ-импульсы, другие частотно модулированные сигналы имеют ненулевой нелинейный фазовый спектр, что делает их малопригодными для измерения ФЧХ.

Кроме ЛЧМ-сигналов в современных измерителях ЧХ в качестве источников сигнала воздействия могут применяться генераторы коротких импульсов, многочастотные генераторы и некоторые другие.

В генераторах коротких импульсов на выходе стремятся получить периодически повторяющиеся импульсы, по своим свойствам приближающиеся к дельта-импульсам, спектр которых бесконечен и постоянен [2]. Однако ввиду бесконечности амплитуды дельта-импульса

реализовать генератор такого сигнала невозможно, и на практике генерируют прямоугольные импульсы короткой длительности Ти, спектральная плотность одиночной реализации которых уже отличается от прямоугольной формы (рисунок 1). Например, для измерения ЧХ в области низших частот с точностью до 5% допустимо использовать только лишь часть главного лепестка спектра импульса - диапазон частот

1

А/ = 0,...,0.17 •

(2)

при этом энергия испытательного сигнала будет использоваться неэффективно. Для повышения точности измерения ЧХ в том же диапазоне необходимо уменьшить длительность импульса, а соответственно и увеличить скважность импульсного сигнала, что потребует увеличения требований к разрешающей способности задания длительности ти и его долговременной нестабильности.

В некоторых устройствах измерения ЧХ в качестве испытательного сигнала может использоваться сигнал произвольной формы. Но в таком случае при измерениях необходима дополнительная операция нормирования спектра сигнала, принятого с выхода исследуемого объекта, а в конструкции измерителя ЧХ необходимо предусмотреть дополнительное запоминающее устройство с информацией о спектре испытательного сигнала.

Измерители ЧХ, использующие в качестве испытательного сигнала многочастотный сигнал - суммарный сигнал с выходов нескольких синхронизированных генераторов гармонических сигналов разных частот, - пригодны для измерения в ограниченном диапазоне частот. Кроме того, для изготовления одного синусоиде/)

дального генератора инфранизкой частоты требуются реактивные элементы (в основном конденсаторы) с большими значениями параметров, а соответственно и габаритных размеров, а также дополнительное устройство стабилизации частоты и амплитуды. Таким образом, конструкция многочастотного генератора в области инфранизких частот получится очень громоздкой.

Поэтому для усовершенствования измерителей ЧХ в плане снижения трудоемкости, повышения производительности измерений с сохранением приемлемой точности (не меньше 5-10%) предлагается использовать в качестве генераторов испытательных воздействий генераторы равноамплитудных полиномов - функций, разлагающихся в тригонометрический ряд Фурье с одинаковыми амплитудами и нулевыми начальными фазами [3]. При вычислении значений полиномов применяются операции умножения и деления. Но реализация их генераторов на аналоговых схемах умножения и деления невозможна ввиду присутствия в полиномах точек с неопределенностью вида «ноль на ноль».

Один из вариантов решения задачи генерации полиномов - разработка метода аппроксимации равноамплитудного полинома. В настоящей работе предлагается метод аппроксимации функции

этЙр)

^(х) = , N = 3,4, к, (3)

вт'

частично изложенный авторами в работе [4]. Известно, что функция (3) разлагается в равномерный ограниченный косинусоидальный ряд Фурье [3]

(х) =

0.5(И-1)

1 + 2 ^ ео$(и • х) при нечётных И,

П=1

0.5И

2 ^ ео$((2и -1))при чётныхИ.

П=1

(4)

Метод аппроксимации функции (3) или (4) заключается в следующем:

1) главные «лепестки» функции (3) - отрезки кривых на промежутках

хе (- ( + 2р + 2р) ) е г (5)

(рисунок 2) - аппроксимируется полуволной косинусоидальной функции

" ^х - 2щ)

(х) = (- 1)(и+1) • N • еоэ

(6)

Т

с амплитудой N. С помощью множителя (- i)j(w+1) учитывается закономерность изменений «полярности лепестков» для двух интервалов (5) с соседними значениями j при четных и нечетных значениях N. Множество Z в выражении (5) - множество действительных чисел;

2) на остальных промежутках

хе(_ Р+1) + 2п],- ^

+ 2р ]и

-2nj )

(7)

N ■>’ N

1 = 1, к, N - 2; ] е Z

полином (3) аппроксимируется полуволнами синусоидальной функции с величиной частоты в два раза большей, чем у косинусоиды (6):

1(х - 2р'|)

в выражении (6), только для двух интервалов (7) с соседними значениями у. Общее выражение аппроксимирующей функции запишется в следующем виде

(-1 +1).М • )

х е (- (+2р'’ N+2р)

(-1)(+1}|^ (О М^)

ирм | х-2р|е [м,- )

где хО, = р2+) , = 1,...,# - 2-

D1N(x)=

(9)

Dl

f( x) = (- l)j(V+l)Dv (x0 i) sin

(8)

Амплитудные значения полуволн синусоиды в выражении (8) соответствуют значениям функции (х) в точках х01 = ^21+}, а множи-

тель (-1)''(1+1) выполняет ту же функцию, что и

а)

] е 2,2 - множ-во действителныхчисел

По графику относительного, приведенного к N отклонения функции (9) от функции (3), просчитанного в среде МаШСАБ для N=9 (рисунок 3), видим, что максимальное отклонение Л19>тах чуть больше 8%. Эксперимент в той же среде показал, что величина Л11тах не увеличивается и для больших значений N.

ад

m

-2ят(; +1) -2 я* L N -2лг 1 N Д 1 2лг \ N 2ій М N 1 +1)

V frZ. l—2ni 1 МУ-і \2я w ж -1? г -о. у ° v N і 5п 5 v v г 1.. 2 г JV ;?Л'д 2 l+2i 1 1 \N+2

Главные 1 _ лепесшкй.

Рисунок 2. Графики функции DN (x) для нечетных (а) и четных (б) значений N

А1д л

Л: Л

/>

Л К \А^ V. ^

-3.2

-2.4

-1.6

-0.8

0

0.8

1.6

2.4

3.2

Рисунок 3

Так как функцию (9) предполагается использовать в качестве испытательного воздействия в устройствах измерения ЧХ, то нас в первую очередь интересуют отличия спектральных свойств и характеристик модели (9) и равноамплитудного полинома (3). Конкретно нас интересует следующее:

1) неравномерность амплитудного дискретного спектра модели (9) в рабочей области, то есть на частотах, на которых определен дискретный спектр полинома (3) или (4);

2) отличие от нуля значений фазового спектра для тех же частот;

3) количественные характеристики новых «паразитных» гармоник.

Для оценки отличий необходимо рассчитать дискретный спектр аппроксимирующей функции (9). Так как полином (3) на промежутках (5) и (7) аппроксимируется функциями разного вида и, кроме того, для каждого /-го интервала в выражении (7) паре полуволн аппроксимирующей синусоиды соответствует свое, отличное от других значение амплитуды, то расчет спектра целесообразно выполнить в следующей последовательности:

- определить выражения спектральных плотностей одиночных аппроксимирующих полуволн для каждого интервала в выражении (9) для х є (-2р,2р) - то есть для полуволн одного периода колебаний функции (9) при четных N и для двух периодов при нечетных N. Обобщение сделано для сокращения расчетов;

- приняв за величину периода повторения одной полуволны выражения (9)

Т = 4р ,

определить выражения для комплексных амплитуд гармоник ее дискретного спектра как выборки из соответствующего выражения спектральной плотности на частотах, кратных частоте первой гармоники [5]

Ц = 2; (Ю)

- воспользовавшись принципом суперпозиции для каждой гармонической составляющей сложить все полученные выражения для ее комплексной амплитуды. Несмотря на то, что для нечетных значений N величина периода Т избыточна - действительный период повторения в этом случае в два раза меньше, величины амплитуд «новых» гармоник с частотами а = а1,а3,а5,... при правильном расчете будут равны нулю, и останутся лишь гармоники с частотами, кратными реальной частоте повторения

со\ =

2п

= 1.

(11)

Итак, определим спектр функции (9).

1) Определение спектра главного лепестка на интервале

хє(- ( + 4Р,2р + 4Р) 1 є г.: (12)

а) спектральная плотность одиночного ле-

пестка определяется как

2р

008

N

2р

N

= 2 N І

008

оо8(ох)х =

8N2 оо8(рю) N2 -16о2 '

(13)

При о® N. выражение (13) примет вид:

/ ч 8N2 008(2ро)

"о (=^ -21. (|4)

4

б) выражение для комплексных амплитуд составляющих дискретного спектра главного лепестка определим, сделав выборки из выражений спектральной плотности (13, 14) [5] для частот, кратных частоте первой гармоники

о = ию1, п = 1,2, к (15)

и для о = 0. Для п-й гармоники это выражение примет вид

4N2 008(—)

A'o,n - TSo (гіа1)- (.т2 Т~р\ ’

T n(N2 - 4n 2)

для n - — при четных N

A'o,n | — - T So (- —)- 1 ,

(1б)

(17)

а для постоянной составляющей для нечетных N

8 N 2 2

A'o,o - ^So(o)-'

Г^' 4лИ2 Р (18)

Для четных значений N постоянную составляющую для каждой полуволны вычислять не имеет смысла, так как функция (9) при этом -нечетная и результирующая постоянная составляющая спектра будет нулевой.

2) Определение спектра половинок лепестков на промежутке

хе (- 2р + 4Р;-2р + N + 4Р)и

и(-( + 4Р;2р + 4Р),)е ). (19)

а) выражение спектральной плотности на промежутке (19) примет вид

50± (о) = -2М-1)^ | ео$(-^(Х-2р))г- °хйх=

-(- 1)N+18N

Ncos(2n®(1 - N))- 4а sin(2n®)

. (20)

N2 - 16о2

б) выражение для составляющих дискретного спектра на интервале (19):

- для постоянной составляющей при нечетных значениях N:

± 1 0±(п) 8 (- 1)іУ+1 N2 2 .,

А 0,° = Т5о(0)= 4^ ~Р~ Л0’0; (21)

- для комплексной амплитуды п-й гармоники:

А ± 2 "±( о ) ( ч)+ П+1 4N2оо8(^ 1

А 0,п = Т"о (п01 )=(-11 / 2 л 2\ =

Т 2 - 4п 2)

-(-1)

- 0,n .

(22)

При n=0.5N для четных значений N выражение (22) примет вид

А°±п|п=„ = Ига ^Т"о±(пО!)= (-О0-5^1 (23)

П 2 п®— Т • V /

2 2

3) Суммарный дискретный спектр лепестков на интервалах (12) и (19):

- выражения для постоянной составляющей:

А0,0 = А0,0 +А0,0 = А0,0 ( - (- I1 1 =

— ,npu нечётных N, n

o, npu чётных N.

(24)

- выражения для комплексной амплитуды п-й гармоники:

Ло,„ = Л'о,„ +Л±„ = Л'о,„ ( -(-1)м+п )=

= ( -(-1)^+« )4)2 С05(п | ; (25)

2 - 4п2)

- для четных N для n=0.5N:

0,n

: (A'o,n +A0,n )

n

- 1 - (-1)0 5N (26) ln-0.5N v-u,« ---u,n/|n-0.5N V ) . (26)

4) Спектральная характеристика i-й полуволны на интервале

xe( + 4nl,- -f + 4nl ]u

+ 4nl)l є Z

+ 4P,^ + 4P)є Z (27)

Jl,..., (o.5N - 1)при чётных N, где [l,..., (o.5(N -1)- 1)при нечётных N.

a) спектральная плотность одной пары полуволн на интервале (2?) для одного из значений i определится как

2(i+l

Si (а)- 2|DN (х°) J sin

2ni

N

ґ Nix' 2

V J

ї(ах)х -

-(-

\i 1 / м cos((2i + l)-nа)cos(Aа)

1)г8Dn(xoі )N VV / N ’ Xn> . (28)

1 N2 - 4а2

При а = o.5N выражение (28) преобразуется к виду

S

а-

N

N а®—

2

2

cos(

u vi / m cos((ii+l^Wn®) /^^4

- lim ї(- i)|Dn (*o,. )8N V_„ N.\ і- o. (29)

N 2 - 4а2

б) выражения для составляющих дискретного спектра на интервале (27):

- для постоянной составляющей:

Ai,0 -

Si (0) _ (-1) 2Dn(x0i )N (-1) 2Dn(x0,)

nN 2

nN

; (30)

- для комплексной амплитуды n-й гармоники: Si (па1)_

T

(- 1)! 4DN (х0г )N cos((2i + 0#)cos (#) • (31)

-------------------------------------; (31)

- для гармоники с номером n=N:

A - 0. (32)

5) По аналогии с выражениями (20)-(26)

- выражение для комплексной амплитуды n-й гармоники:

A ^ -(l -(- 1)N+n )A in -)-1)4 D— (x0,cos((2; +1))—)cos(|—) n(—2 - n2)

;(38)

- выражение для гармоники с номером п=N = 0. (39)

7) Определение спектральной характеристи-выражения для составляющих дискретного ки «хвостов» (рисунок 4) - отрезков кривых фун-

спектра z-x полуволн на интервалах

хе (- 2л + 2Л + 4л/,-2л + 2л ( +1)+ 4л/ ]и

и [л -2лл ( +1)+ 4л/,2л -^ + 4л/), / е Z (33)

примут вид:

- для постоянной составляющей

A*„ --(- 1)N A■-(- 1)N (- 1У ^(X]') ; (34)

pN

- для комплексной амплитуды n-й гармоники

a t =-(- 1Г” a;, „ =

= -(- 1)N+n (-1)4Dn(xOj)Ncos( + рЦ)cos(-fN)

' 1 _/,r2 ^ ;(35)

кции (9) для нечетных значений N на интервалах хє (- л + 4л/ ,-л + ^ + 4л/ ]и р - л + 4л1, л + 4л/) (40) и

хє (-л--N + 4л/,-л + 4л/]и[л + 4л^;л+-N + 4л1)/є г.(41)

а) спектральная плотность одиночной пары «хвостов» на интервале (40)

с, г \ „ n Г Nx

Sk(а)- 2 ■ J sin^—

~jWxdx -

- 4 ■(-

(- 1)0.5(N+!)■ 2аM™)- Ncos(nm-jNS) (42)

N2 - 4а2

г(—2 - n2)

- для n=N:

A i— - 0 5

(36)

6) Суммарный дискретный спектр полуволн на интервалах (27) и (33):

- выражение для постоянной составляющей:

где k - 0.5(N -1)

При а - 0.5N выражение (42) примет вид

а-

N

- lim 4 ■ (-

N а®—

2

1 5(n+i) ^An®)-Ncos(nm-f)] 9

■ N2 - 4а2 I N'( )

A,.0 -(l -(- 1)N )A'o -

i б) определение дискретного спектра «хвос-

4 (- i);|Dn(х0, ) n нечётныхN, (37) тов» на интервале (40):

А ТТТТСГ ТТГїГ’

nN

0, npu чётных N;

- выражение для постоянной составляющей:

Рисунок 4. График «хвостов»

S

k

2

А'к,0 =

0) = —(— і(а5^+1(М = (- і(а5^_і(

лN

лN

; (44)

- выражение для комплексной амплитуды п-й гармоники

2^к (п01 ) =

А'к,г = ■

Т

: 2(_ 1)0.5(ы+1) "М™ (_ (і - Ы1. (45)

л— 2 _ п 2 )

- выражение для гармоники с номером n=N:

1 (46)

А' =

лN'

8) По аналогии с выражениями (20)-(26) выражения для составляющих дискретного спектра «хвостов» на интервале (43) примут следующий вид:

- для постоянной составляющей:

(_ l)0.5(N-l)

1±,0 = _(_ 1)іУ А' к,0 = А' к,0 = '

лN

(47)

- для комплексной амплитуды п-й гармоники:

А ±±п =_2_ 1)Ы+" А'к,п =

= 2. (_ 1)0.5(ы+1)+п . п5Іп(1Т(— Ысо*( (і _ N11 ;(48)

л—2 _ п 2)

- для n=N:

А ±,ы = _(_11

N+N

А'к,Ы = _А к,Ы = _

1

лЫ'

(49)

9) Суммарный дискретный спектр «хвостов» на интервалах (40) и (41):

- выражение для постоянной составляющей:

2(- 1)0-5(ЛЧ)

—-----------' (50)

А к,0 = А' к,0 + А к,0 = 2А' к,0 = '

лN

- выражение для комплексной амплитуды п-й гармоники:

А к,п =(і + (_ 1)п Кп =

22 , 2 1)п ) 1)0.5(ы+1) пМ™)_ ысоз((і _ Ы^(51)

_ 21 + 1 1 А 1 л—2 _ п2 (

- выражение для гармоники с номером n=N:

Ак,N = А'к,N_А'к^ = 0 . (52)

10) Выражения составляющих общего дискретного спектра функции (9):

а) для постоянной составляющей:

0.5(Ы-і(_1

X Аі,0 + Ак,0 =

1+(_ 1( +

_ N і=1 8іп((2г + (

0 и^м чёданых.

(_ l)0.5(N-l) '

А0 = А0,0 '

2 N

ирм нечёданых N, (53)

б) для комплексных амплитуд п-х гармо-

ник:

- для четных значений N при пфН и пф0.5Н

0.5Ы _1

+ = А і,п =

і=1

А п = А0,п

4 N (і _(_ 1(п ( | Ысо^(-Ы7( л [2 2 _ 4п 2 (

Фг'+1(#)

(ы2 _ п2 ( ^ ^ ( ^іп((2і + 1(2Ы([ - для четных значений N при n=0.5N:

(54)

А

=Ы-(- і(

Л 5 N

1+

А

16

0.5 N _1 ^

+ X А і,

і=1

yln=0.5N

л/2 .

0^ _1 X 2-1(

ф-+1(-л( 1 +1}^( Р

- для четных значений N при n=N:

А N = А0^ = 0 ;

(56)

- для нечетных значений N при пфН:

0.5(—_1(_1

0,п

■ А к,п =

4—+(— 1(п (] (2 соя™ + N00^^^ (^(х!)-1

IN2 — 4п2

N2 — п2

(-і)

7(2г'+1)лп

2N

(2і+і)л

ПІ_______

-2—1(

и-т+1( п 8іп л _ N008(т _ л)].

2—2 — п 2 ( [’

(57)

- для нечетных значений N при n=N:

А А 4(1 + (-1)— )— 2ео$(р) 0

А-=А-4N2) = 0. (58)

При подстановке в выражения (53) - (58) четных значений п при четных N и нечетных п при нечетных значениях N получаются нулевые значения амплитуд - действительно, косинусоиды функции (4) с соответствующими номерами п при соответствующих значениях N отсутствуют. Достоверность выражений (53) - (58) также была проверена в программной среде МаШСЛБ анализом относительного приведенного к N отклонения значений суммы ряда Фурье к— — . .

(х) = А 0 + £ А п ео$(у) от значений функции

И=1

(9) для точек х = -4р,-4р + ,... ,4р (на несколь-

ких периодах повторения) для различных значений N и kN. С помощью параметра kN здесь варьируется количество взятых в сумму гармоник. При ^N=20 отклонение не превышает 0,5% и с увеличением kN уменьшается.

n=0.5N

V

У

Рисунок 5.

По графикам полученного амплитудного (рисунок 5, а, в) и фазового (рисунок 5, б, г, где фп = аг^А п () спектра для четных и нечетных значений N видим:

1) появление в спектре функции (9) паразитных гармоник;

2) искажение равномерности основного амплитудного спектра;

ю-

9■

3) фазовый спектр принимает два значения

- 0 и 180 градусов, причем основной фазовый спектр нулевой.

Вклад паразитных гармоник предлагается оценивать с помощью выражения для коэффициента гармоник

=

^ N

0.5 = Ап2

п=N+1

•100'

(59)

А2 + 0.5= Ап2

^пик. N

Так как в рабочей области значения амплитудного спектра модели (9) колеблется относительно значения Ат = 2 - значения амплитуд косинусоидального спектра полинома (4), то неравномерность предлагается оценивать с помощью выражения

50

100

150

200 ЛГ

Рисунок 6

А

max—

тах

n=2,4,...,N-l'

I А. _ аЦ

Ат

• 100 | и^м нeчёданыxN,

тах

n=1,3,..,N-1l

100^ ирм чёданых —. (60)

По графикам рисунка 6, также просчитанным в среде МаЛСАБ для N=6,...,200, видим, что кг^ < 5%, а неравномерность Р :;< 10%.

Предлагаемая модель (9) по величине неравномерности несколько уступает ЛЧМ-им-пульсу. Но ее использование в качестве функции испытательного сигнала в устройствах измерения ЧХ в указанном в начале статьи частотном диапазоне позволит значительно снизить время измерения ЧХ по сравнению с ручными методами и методами, основанными на использовании ЛЧМ-импульса, а также даст измерителям ЧХ следующие преимущества:

- генератор функции (9) потребует синхронизации и стабилизации частотно-задающих

цепей генераторов лишь двух гармонических функций выражения (9) в отличие от многочастотных генераторов. Амплитуды этих функций меняются и принимают новые значения соответствующих амплитуд на соответствующих промежутках, указанных в выражении (9), но подобная амплитудная модуляция, а также синхронизация генераторов сегодня осуществима с помощью несложных систем на микропроцессорах или микроконтроллерах;

- не требуется процедура нормирования значений составляющих спектра принятого с испытуемого устройства сигнала в отличие от измерителей, использующих испытательные сигналы произвольной формы;

- по сравнению с импульсными сигналами с короткой длительностью большая часть энергии спектра модели (9) сосредоточена в рабочей области.

Список использованной литературы:

1. Прибор для исследования амплитудно-частотных характеристик Х1-41 / Техническое описание и инструкция по эксплуатации. - 1982.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов по специальности «Радиотехника». - М.: Высшая школа, 2000. - 462 с.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы: Пер. с англ. Н.В. Леви / Под ред. К.А. Семендяева.- М.: Наука, 1977. - 244 с.

4. Фролов С.С. Способы реализации равноамплитудных полиномов. // Материалы всероссийской научно-практической конференции «Современные информационные технологии в науке, образовании и практике». - Оренбург, 2004. - С.166-175.

5. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1. Сигналы. Линейные системы с постоянными и переменными параметрами. - М.: «Советское радио», 1966. - 439 с.