Синтез корректирующего звена следящего электропривода подачи координатно-расточного станка для компенсации нелинейности типа «Люфт» в кинематической цепи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.92

СИНТЕЗ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО ЗВЕНА СЛЕДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА ПОДАЧИ КООРДИНАТНО-РАСТОЧНОГО СТАНКА ДЛЯ КОМПЕНСАЦИИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ТИПА «ЛЮФТ»

В КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

В.Е. Лысое, С.С. Саранцев

Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Рассмотрена проблема повышения точности позиционно-следящих систем автоматического управления, содержащих в кинематической цепи нелинейность типа «люфт». Предложена методика синтеза корректирующего звена компенсирующего действие люфта.

Ключевые слова: компенсация, корректирующее звено, люфт, нелинейность, система автоматического управления, точность позиционирования, электропривод.

Позиционно-следящими электроприводами подач станка оснащаются высокоточные координатно-расточные станки (КРС), координатно-измерительные машины (КИМ) и т. д.

Однако точность воспроизведения заданной траектории движения и точность позиционирования подвижных узлов станка определяются динамическими показателями качества управления замкнутой системы, в структуре которой находится нелинейность типа «люфт». Упомянутая нелинейность определяется кинематической цепью передачи движения от электродвигателя к подвижным органам станка.

В этой связи проблема повышения точности КРС, КИМ прямо связана с решением задачи компенсации люфта. Применяются различные способы компенсации люфта [1, 2], но наиболее эффективным из них является система компенсации на основе синтеза соответствующего корректирующего звена в системе управления.

До настоящего времени в литературе отсутствуют методики синтеза таких звеньев. Это связано с громоздкими вычислениями коэффициентов гармонической линеаризации петлевых (неоднозначных) характеристик и тем более при вариации сигнала задания по амплитуде и частоте. Ситуация существенно меняется при использовании компьютерного моделирования, а поэтому становится доступной для анализа и практической реализации таких звеньев.

Для решения задачи синтеза корректирующего звена необходимо определить значения амплитуд сигнала задания и частоты на входе следящего электропривода, необходимых при реализации технологического процесса и пропускаемых замкнутой системой автоматического управления привода подачи (САУ). При этом считаем, что в общем случае обрабатывается сложная поверхность, аппроксимируемая участками окружностей различного радиуса, поэтому требуется задание на каждый следящий привод гармонического сигнала. Это, в свою очередь, требует определения области захвата гармонического задающего воздействия, т. е. области воспроизведения одночастотных вынужденных колебаний от задающего сигнала [1, 3]. Полученная область должна перекрывать диапазон изменения задающего сигнала. Если

Владимир Ефимович Лысов (д.т.н., проф.), профессор каф. электропривода и промышленной автоматики.

Станислав Сергеевич Саранцев, аспирант.

этого не происходит, то необходимо изменять параметры линейной части. Зона нечувствительности люфта не меняется, она определяется температурными деформациями и конструируется минимально возможной величиной.

Рассмотрим этапы синтеза корректирующего звена в цепи привода подачи прецизионного станка, например координатно-расточного 2440СМФ4. На станке возможна обработка деталей сложной формы, в частности, цилиндрических, конических с радиусом от 0,25 до 60 см. Линейная скорость, обеспечивающая технологический процесс (V), - в диапазоне 2 ^ 0,5 м/мин (3,33 ^ 0,83 см/с). Типовая структурная схема следящего электропривода подачи показана на рис. 1 основными линиями.

Рис. 1. Структурная схема замкнутой САУ, содержащей нелинейность типа «люфт»

На рисунке введены следующие обозначения: X зд (p),X(p) - сигнал задания и выходной сигнал системы, пропорциональные заданному перемещению подвижного органа; W3Kc (Р) = 1/(Kдс ' (4Т^пР +1)) - передаточная функция замкнутого контура по частоте вращения электродвигателя, настроенного на технический оптимум. Здесь Kдс - коэффициент передачи датчика скорости; ТСП - постоянная

времени силового преобразователя; Kp / p - переход от линейной скорости узла к его перемещению.

Связь между всеми параметрами системы при заданном гармоническом сигнале задания устанавливается следующими соотношениями: Х3д (t) = Лзд sin ®зд^

Vsó = dXsó /dt = сздЛзд cos®^; юзд = 2ж- fad; Т = 1/f3Ó. Здесь: Азд - максимальное значение сигнала задания; соЗд - угловая скорость входного воздействия; f Зд - частота сигнала задания.

Связь между V3Ó, ЛЗд и ссзд определяется выражением

сзд = V3Ó / ЛЗД. (1)

V3Ó - заданная линейная скорость подвижного узла в процессе выполнения технологической операции.

Для УЗд = 0,5 м/мин = 0,83 см/сек составлена таблица значений угловых скоростей ®зд , рассчитанных для различных величин сигнала задания Лд (табл. 1).

Расчетные значения С0Зд для различных величин АЗд при УЗд = 0,5 м/мин

АЗД,см 2 5 10 20 30

®ЗД, сек-1 0,415 0,166 0,083 0,0415 0,028

Аналогично по зависимости (1) для технологических операций с требуемыми скоростями перемещения УЗд определяем необходимые значения (Озд1. На рис. 2

представлен график а>зд = f (АЗд) при УЗд 1= 0,5 м/мин (0,83 см/сек), УЗд2 =

1 м/мин (1,66 см/сек) и УЗд 3 = 2 м/мин (3,33 см/сек) для упомянутых выше значений

АЗд . Из графика по заданному УЗд и АЗд определяется требуемое значение частоты

сигнала задания (Озд .

'ЗД‘

м

Рис. 2. График зависимости ®зд = / (Азд )

Полученное значение (дзМ проверяется на возможность прохождения через систему, содержащую в своей структуре люфт (рис. 1).

Определим пороговое значение АЗдпор амплитуды сигнала задания, ниже которого система не захватывается частотой (ОВ = (Озд1. Если АЗд, будет меньше А

ЗД ПОР

то

система не переходит на одночастотные колебания с частотой сов = ®зді, а будет совершать более сложные движения при комбинации ®В и собственной частоты [1].

Найдем амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) замкнутой САУ:

АВ (]®) = WЛ (7®) • WН (А; 7®) = К • (д + ]Ь)

Wз (]®) =

азд (1®) 1 + Wл(1®) • ^(А; 1®) (т'® +1)і® + К • (д + іЬ)

(2)

В (2) введены обозначения:

д =

Ь = -

1 п Г 2С Л + 2 Г 2С Л С Ґ 2С ^

— 1 + а г о 5 1 - 1 - 1 -

п 2 V V Азд V 01 А

4КС

пАзд

- коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейности

типа «люфт», где С - величина полузоны нечувствительности люфта;

Т = 4ТСП; К = КРП —1— КР - постоянная времени и коэффициент передачи

Кдс

линейной части системы соответственно.

Зависимость (2) может быть представлена в виде

Азд (7©) • sm(ю • г) = АВ (у'ю) • sm(ю • г + ф) 1 + 7‘ю(Т‘ю +1) . (3)

V

К(Ш+/Ь)

Преобразуем (3) к виду

Ф(Ав ) = Ав (/®) • | (Г/® + 1)(ш + ]Ь) /(ш 2 + Ь2) +1

(4)

В (4) обозначено Азд (]®) • е~7 = Ф(АВ ).

Уравнение (4) содержит две неизвестных: максимальное значение выходного сигнала системы (Ав ) и фазовый сдвиг выходного сигнала относительно сигнала задания (^). Решение (4) целесообразно вести графически. Левая часть (4) изображается в виде окружности с радиусом АЗд, а правая строится как кривая по точкам с переменным параметром Ав . Точки пересечения окружности с кривой, построенной по правой части (4), дают решение. Величина амплитуды АВ определяется в точке пересечения по отметкам правой части Ф(АВ), а <р - по величине угла. Построения показаны на рис. 3, данные приведены в табл. 2. Графики получены при моделирования в среде МаЛаЬ (с. рис. 3).

Таблица 2

Исходные данные для построения рис. 3 и 4

® АЗД 2 5 10 20 30

6,64 рад/с А АВЫХ 1,5 3,75 7,5 15,02 22,52

-25,46 -25,45 -25,45 -25,45 -25,45

3,32 рад/с А АВЫХ 1,95 4,87 9,75 19,47 29,2

-12,13 -12,13 12,13 -12,13 12,13

1,66 рад/с А АВЫХ 2 5 10 20 30

-5,8 -5,8 -5,8 -5,8 -5,8

0,83 рад/с А АВЫХ 2 5 10 20 30

-2,86 -2,86 -2,86 -2,86 -2,86

0,415 рад/с А АВЫХ 2 5 10 20 30

-1,43 -1,43 -1,43 -1,43 -1,43

0,166 рад/с А АВЫХ 2 5 10 20 30

-0,57 -0,57 -0,57 -0,57 -0,57

Анализ полученных графических зависимостей, представленных на рис. 3, 4,

показывает на то, что формально при синусоидальном входном сигнале характер выходных сигналов у апериодического звена и гистерезисного звена, например типа «люфт», совпадает. Это дает основание искать передаточную функцию гармонически линеаризованного звена в виде эквивалентного апериодического звена [2]. Таким образом, основная гармоника на выходе нелинейного звена ищется в виде решения дифференциального уравнения:

Рис. 3. Определение зависимости порогового значения амплитуды сигнала задания от его частоты Азд п0р (©) в нескорректированной системе

Рис. 4. Зависимость амплитуды АВ и фазы выходного сигнала р нескорректированной системы от частоты сигнала задания

т ^ + 7 = Кх; ах

(5)

К] и Т[ - искомые параметры - эквивалентный коэффициент передачи и постоянная времени соответственно. Уравнение нелинейного звена:

b(A) dx

y = q( A) x +--------------------------------------------------------—; (6)

о dt

dJL = q (A) — + (7)

dt dt о dt

Подставив значения y и — из (6) и (7) в (5), получим

dt

. dx b(A) d2x

q(a)~ + v 7

+ q(A)x + = K,x. (8)

о dt

dt о dt2

Переменная x и ее производные имеют вид

Л dx d2 x . 2 .

x = А3д sm ot; — = А3дО cos ot; —— = -АЗдО sin ot.

dt dt

Подставляя x и ее производные в (8), получим

Т1 • q(A)o • cos ot - T • b(A)o • sin ot + q(A)c + b(A) • cos ot = K • sin ot. (9)

Из (9), приравнивая коэффициенты при sin a>t и cos^t, определим искомые параметры эквивалентного линейного звена:

b(A) ~ . -ч b2(A) q2(A) + b2(A)

т=-к = q(a = (A) . (Ю)

®q(A) q(A) q(A)

В силу того, что необходимо отрабатывать гармонический сигнал задания Азд sin(®-1), динамическая погрешность САУ (рис. 1) в воспроизведении траектории определяется выражением

8 = (TiP + 1)(Т> +1) Р (11)

(TiP + 1)(Tp +1)^ + к 1 j

Из (11) следует, что динамическая ошибка является сложной функцией, определяемой постоянными времени нелинейного звена и его эквивалентного коэффициента передачи. Поэтому для эффективного снижения погрешности 8 целесообразно использовать корректирующее звено, рассчитанное из положений теории инвариантности [3]. Структурную схему САУ в этом случае представим в виде рис. 1 (учитывая пунктир), откуда для обеспечения ошибки 8 ^ 0 необходимо обеспечить

К ДС(4ТтпР +1) Р(Тл р +1)

WK3(Р) = ■

КрКл

Очевидно, что точно реализовать дифференциальное звено третьего порядка сложно с позиции возникновения шума. Поэтому принимаем 8 = const ^ 0, в пределах допуска на обработку изделия.

С учетом сделанных замечаний в табл. 3 представлены результаты воспроизведения сигнала задания АЗд. Анализ данных табл. 2 и 3 показывает на возможность компенсации влияния люфта на показатели качества управления.

В силу того, что диапазон значений АЗд и со Зд для всего спектра деталей на

данном типе станка задан, составляется спектр передаточных функций соответствующего эквивалентного нелинейного звена и соответствующий им спектр передаточных функций корректирующего звена WK3 (p). Данные по этим звеньям заносятся в память ЧПУ станка.

Результаты воспроизведения сигнала задания в скорректированной системе

со АЗД 2 5 10 20 30

6,64 рад/с А А'ВЫ1Х 2 5 10 20 30

9° -0,15 -0,15 -0,15 -0,15 -0,15

3,32 рад/с А А'ВЫ1Х 2 5 10 20 30

9° 0 0 0 0 0

1,66 рад/с А А'ВЫ1Х 2 5 10 20 30

9° 0 0 0 0 0

0,83 рад/с А А'ВЫ1Х 2 5 10 20 30

9° 0 0 0 0 0

0,415 рад/с А А'ВЫ1Х 2 5 10 20 30

9° 0 0 0 0 0

0,166 рад/с А А'ВЫ1Х 2 5 10 20 30

9° 0 0 0 0 0

Рис. 5. Графики переходных процессов в системе: а - система без коррекции люфта; б - система с коррекцией

По заданным значениям АЗд и со Зд и алгоритму управления ЧПУ определяется

ЖКЗ (р) корректирующего люфта и подключается к САУ электроприводом.

Эффективность данной методики проверена моделированием позиционно-следящего электропривода стола координатно-расточного станка, имеющего параметры: Т = 0,1 сек; К = 0,83; ^д = 0,83 м/мин; АЗд = 3 рад; соЗд = 6,64 рад/сек. Результаты моделирования показаны на рис. 5.

Анализ результатов моделирования для всего спектра частот показывает возможность достижения требуемой динамической точности в воспроизведении

заданной траектории движения подвижного органа станка, соответствующего классу точности А, С.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1979. - 256 с.

2. Топчеев Ю.И. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Ю.И. Топчеева. - М.: Машиностроение, 1970. - 567 с.

3. Петров Б.Н. Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под общ. ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева. - М.: Машиностроение, 1967. - 703 с.

Статья поступила в редакцию 7 декабря 2011 г.

SYNTHESIS OF THE COMPENSATING ELEMENT OF THE SERVO-AXIS DRIVE SYSTEM OF THE JIG BORING MACHINE FOR COMPENSATION OF BACKLASH NONLINEARITY IN KINEMATIC CHAIN

S.S. Sarantsev, V.E. Lysov

Samara State Technical University

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

The problem of increasing the accuracy of the automatic position control servomechanisms with nonlinearity type backlash in kinematic chain is considered. The method of synthesizing the correcting element of backlash balance is proposed

Keywords: compensation, compensating element, backlash, nonlinearity, automatic control system, accuracy of positioning, electric motor drive.

Stanislav S. Sarantsev, Postgraduate Student. Vladimir E. Lysov (Dr. Sci. (Techn.)), Professor.