CC BY
18
ВестникРГУИТ, № 3, 2012
УДК 681.5
Профессор В.С. Кудряшов, доцент С.В. Рязанцев, доцент А.В. Иванов, аспирант Д.А. Свиридов
(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра информационных и управляющих систем, тел. (473) 255-38-75
Синтез корректирующего контура цифровой системы регулирования низкой чувствительности
Рассмотрена реализация и исследование работоспособности алгоритма синтеза корректирующего контура цифровой системы регулирования низкой чувствительности, позволяющего уменьшить дополнительное движение, возникающее вследствие наличия у объекта регулирования нестационарных свойств.
In this article considers implementation and research working capacity of the synthesis algorithm of correction contour of digital control system of low sensitivity, allowing to reduce the additional motion that arises due to the presence at the object of regulation non-stationary properties.
Ключевые слова: корректирующий контур, цифровая система регулирования, модель чувствительности.
Одноконтурные системы автоматического регулирования (САР) широко используются в процессах пищевой и химической технологии.
Улучшить качество переходных процессов в таких системах позволяет оптимизация настроек регуляторов, однако наличие у большинства объектов нестационарных свойств приводит к ухудшению динамики САР со временем их эксплуатации.
К решению данной задачи есть несколько подходов. Первый заключается в проведении повторной идентификации модели объекта управления с последующей перенастройкой регулятора, что не всегда технологически осуществимо. Кроме того, немаловажным является определение момента перенастройки в таких системах.
Второй подход связан с синтезом и реализацией адаптивных САР. Среди недостатков данного подхода можно выделить длительность процедуры текущей идентификации и перенастройки регулятора, что затрудняет использование данных систем, например, для малоинерционных процессов.
Рассматриваемый в данной статье третий подход, заключающийся в применении одного из методов теории чувствительности при проектировании САР, в отличие от приведённых выше обеспечивает требуемые динамические свойства систем в процессе их функционирования.
© Кудряшов В.С., Рязанцев С.В., Иванов А.В., Свиридов Д.А., 2012
Однако долгое время он не имел практического применения по причине наличия большого числа сложных математических преобразований и вычислений, ограниченных возможностей цифровой вычислительной техники. Современные вычислительные средства, обладая высокой производительностью, дают широкие возможности практического использования методов, основанных на теории чувствительности.
Поэтому актуальной становится задача разработки алгоритма синтеза цифровой САР с применением методов теории чувствительности.
Алгоритм синтеза корректирующего контура. Будем считать, что задана исходная САР, для которой известны передаточная функция (ПФ) замкнутой системы Ф(5) (рис. 1) и максимально возможные вариации параметров в течение заданного интервала времени эксплуатации:
А * * 0 ■ 1
Аа* =а* - а, з=18,
где а°о - номинальное значение у-го параметра ПФ объекта; а* - допустимое значение у-го параметра; 8 - общее число варьируемых параметров.
Низкая чувствительность САР к проявлению нестационарных свойств объекта регулирования достигается путём введения в замкнутую систему дополнительного внешнего кор-
ректирующего контура (рис. 1), в котором реализуется компенсация дополнительного движения системы за счёт использования функций чувствительности [1].
Рис. 1. Структурная схема одноконтурной САР низкой чувствительности: I - основной контур; II -корректирующий контур; ^(У), ^(У), ^(у) - ПФ регулятора, объекта и корректирующего звена (КЗ); Ф(У) - ПФ замкнутой системы; Ф(5) - ПФ замкнутой системы с КЗ; у3 - задающее воздействие; ег, е2 -величины рассогласований; и - управляющее воздействие; У - выход САР; к - коррекция задающего воздействия
ПФ замкнутой системы с КЗ имеет вид
О \з) =-, °, ч . (1)
'' 1 + О (у) • ^ ( У )
Отклонения параметров ПФ объекта в исходной системе приводят к вариации АФ(я), что влечёт за собой изменение ПФ (1):
О0) + ДО0)
(2)
Определим ПФ КЗ, используя условие компенсации дополнительного движения САР:
Фч*)=ад. (3)
Подставив условие (3) в уравнение (2), получим:
О (у) =
О (у) + ДО (У)
1 + (О (У) + ДО (*))^9 (У)
Из уравнения (4) выразим ПФ КЗ: ^ (, ) = ,
О (у) •(О (У) + ДО (У) ) или в следующей форме:
1 ДО (у)/ О (У)
(4)
^ ( у ) = -
(5)
О (у) 1 + ДО (У)/О (У)
С точки зрения теории чувствительности вариацию АФ(у) можно расписать следующим образом [1]:
я дФ ( 5 ) ДФ(5) = ^ ^ > •Да,
]=1
да.
(6)
где Да. - текущие вариации параметров САР.
Анализируя функции чувствительности
дФ ( 5 )
да.
7 = 1, я, входящие в состав логарифми-
ческих функций чувствительности: д 1п (Ф ( 5 ))_дФ ( 5 ) а
и ( У
(У), =-
д 1п ( а7) да7 Ф ( 5 )
, 7 = 1, Я, (7)
можно определить степень влияния каждого параметра модели объекта регулирования на динамические свойства САР [2] и включить в закон коррекции только необходимые функции
(7).
Используя приведённую модель чувствительности (МЧ) (7) - совокупность отобранных логарифмических функций чувствительности, преобразуем уравнение (6) к следующему виду:
ДФ(5) = Ф ( 5 )•£
я Да7 д 1п (Ф (5 ))
(8)
7=1 а7 д 1п (а7 )
Подставив уравнение (8) в (5), получим ПФ КЗ со связями по функциям чувствительности:
я Да* д 1п (Ф (5 ))
К3 ( у ) =
=1 а.
д 1п (а7 )
Ф( 5)
я Да* д 1п (Ф (5))
1=1 а■
. (9)
д 1п (а7)
При получении итоговой формулы (9) допущением является замена неизвестных текущих Да- и а- на заданные Да* и а0 при
расчёте МЧ (7) и вариации АФ(У) (8). В противном случае необходима процедура текущей идентификации и дальнейшая постоянная перенастройка коэффициентов ПФ (9).
С учётом формулы (9) полная структурная схема системы с корректирующим контуром со связями по функциям чувствительности примет следующий вид (рис.2) [1].
Рис. 2. Полная структурная схема одноконтурной САР со связями по функциям чувствительности: ^мч(5) - модель чувствительности; иг, ..., ия - выходы МЧ
Дискретное математическое описание алгоритма. Для реализации корректирующего контура САР низкой чувствительности (рис. 2) с помощью средств цифровой вычислительной техники необходимо иметь математическое описание в дискретной форме КЗ, для получения которого необходимо представить ПФ (9) в следующем виде:
Ж (5Ч ап • + ап-1 • ^ +... + «1 • 5 +«0 (10)
" () Рт • +Рт-1 • ^ +...+Р • * + Р0'
Следует отметить, что в формуле (10) а0,..., ап и Р0,..., Рт являются функциями только номинальных значений параметров ПФ объекта а" и их максимальных вариаций
¿я*, ] =1 § .
Воспользовавшись тем, что ПФ КЗ И (,)
(рис. 2) есть отношение
Ук (5 )
дифференциальному уравнению:
перейдем к
4тИ(1) 4т-1И(г)
Рт Рт-1 ^т-1
+Р • ^ +Р0 • ^) =
4пук (1) = а — + а
4п-1 ук (1)
V п—1
+а1 •
4Ук (1) к + • ук (1).
(11)
При малых тактах квантования Т из дифференциального уравнения (11) можно получить разностное путем дискретизации. Приближенно заменим дифференциалы в уравнении (11) правыми разностями [3]:
Ат-1И
Рт ' ~~т + Рт-1
п
т-1
Т
+ Р ^ +Р0 • И
Т
Апук
= а--— + а
А п-1 ук
7тП
П
п-1 /ттп-1 Т0
Аук к
+ а1 •^Т" + а0 • у . Т
(12)
Уменьшим текущий индекс такта квантования на единицу в левой и правой частях уравнения (12) и выразим из него И :
Р ..., Рт, И'-1, ..., Иг-т,
И = /
\а0, ..., «п , У'-1, ..., уг-п у
Исследование работоспособности алгоритма. В качестве объекта для исследования работоспособности алгоритма синтеза корректирующего контура цифровой САР низкой чувствительности примем модель основного канала системы управления процессом синтеза аммиака в четырехполочном реакторе: «расход по байпасу азотоводородной смеси - температура в слое катализатора» [4].
ПФ объекта и ПИ-регулятора соответственно равны:
^(5 )=ТТ+Г • ^(5 )=кр + 7
ПФ замкнутой системы:
к •к • 5 +к •к
Ф ( s ) =-0—Р--.
Т • +(к0 • кр + 1)-5 + ка • к,
Для получения параметров дискретных моделей [3] примем такт квантования Тэ=2 с и воспользуемся формулами перехода (13):
Т - Т
а = -
ъ = ко'Т
(13)
Тх Тх
40 = кр, = к1 • Т0 - кр ^ где а , ъ - параметры дискретной модели объекта; д0, 41 - настроечные параметры цифрового регулятора.
Настройки 40, 41 рассчитаны из условия минимума интегральной квадратичной ошибки.
Численные значения номинальных и возможно допустимых значений параметров модели объекта регулирования, а также их максимальные вариации приведены в табл. 1.
Таблица 1 Параметры модели объекта
Параметры Номинальные значения параметров ПФ объекта Максимальные значения вариаций параметров ПФ объекта Допустимые значения параметров ПФ объекта
Аналоговые К 3,4°С/% -20% 2,72
Т 102 с +15% 117,3
Дискретные а 0,98 +0,003 0,983
ъ 0,067°С/% -0,021 0,046
Неизменные при моделировании оптимальные настройки аналогового и дискретного регулятора:
кр = 1,34; к, = 0,044; д0 = 1,34; д =-1,251.
Далее составим МЧ, для чего определим функции (7), которые будут входить в закон коррекции:
51п (О (5 ))
51п ( ко)
(Т • 5 + 1)-5
Т - 52 +(ко - кр + 1)-5 + ко - кг'
„ (5 )2 =5пШ
^ '2 51п (Т)
-Т • 5 2
Т • 52 +(к0 • кр + 1)-5 + ко • К
(14)
Подставив МЧ (14) в формулу (9), выведем ПФ КЗ:
М* , АТ1* , , 1 •и ( 5 )1 + ■и ( 5 )2 ^ (5) = Т^ ~Ъ-^-. (15>
О (5) Ак* ( ,
1+~кТ •и (5 )1
<( 5 )2
Т - '2
где Ак* и АТ1 - максимальные вариации коэффициента усиления и постоянной времени модели объекта регулирования в течение интервала времени его эксплуатации.
Из (15) получим отношение полиномов
(10):
К, (5 ) = где
4 3 2
а4 • 5 + #3 • 5 + #2 • 5 + # 1 • 5 + #0
Л • 53 + Л • 52 + Л • 5 + &
, (16)
а4 =(АТ; • ка - Ак* • Т)• Т; #3 =(ат; • ко-Ак* • Т)•(ко • кр + 1)-Ак* • Т; #2 =(АТ; • ко-Ак* • Т )• ко • к,. -Ак* •( ко • к р +1); а =-ко •к, •Ак*;
#0 = 0;
Л =(АТ1* • ко-Ак* • Т - ко • Т )• ко • к р; Л =(АТ1* • ко-Ак; • Т - ко • Т )• ко • к, -
-(ко2 • кр + ко +м:)• ко • кр;
Л = -(к2 • кр + ко + Ако )• ко • кр - ко3 • к, • кр;
Л =-ко3 • кг2.
Представим ПФ (16) в форме дифференциального уравнения:
Л. +Л2. +
3 & Л2
+Л • ^+Л • ^) =
Л 4 / (I) &3 Ук (I)
3, .к,
= а
4 • /1 1 #3 • о 1
&2 ук (г) &ук (г) „„
+ #2 •^-Н- + #1 . (17)
Ж2 &
От дифференциального уравнения (17) перейдём к разностному [3]:
Л •
Иг+1 - 3 • кг + 3 • Кх - А--2 Т 3
п
,Й Аг+1 - 2 • Нг + Аг-1
Т2
+Л •
= #4
"г +1 г + Л0 • А, =
Т
Ум - -4 • Уг" + 6 • Угк1
Т 4 Т0
Уг +1 - 3 • уК + 3 • Угк-1
т3
Уг +1 - 2 • 'У^ + Угк-1 ,
+ Угк3
+
+
кк
Т
"2 т2 1 Т0 ^0
В результате получим сложное разностное уравнение третьего порядка относительно Аг:
Л ..., А, ^-1, ..., Аг-3,
а,- = /
..., #4, Уг-1, ..., уг-4 ^
Для оценки работоспособности алгоритма получим отклик цифровой САР на единичное ступенчатое воздействие при номинальных значениях параметров модели объекта регулирования. Для этого рассчитаем переходный процесс по заданию в замкнутых системах: без КЗ (18) и с КЗ (19):
•(у- - у,- ) + д1 •(у- - Уг-\),
I и = и^ 1 + (
Ы+1 = а • Уг + Ь • иг,
г = /
Pз, Иг-1,..., Аг^
_ ; (18)
г = 1, N.
Л
lal,..., #4, Уi-1, ..., Уг-4 ^
иг = иг-1 + 40 •(Уг - - Уг^ ) +
+ 41 •( Уг-1 - -1 - Уг"-1 ) ,
Ум = а • Ук + Ь • иг, г = .
к
2
ВестникВГУИТ, № 3,
Динамические характеристики в приращениях представлены на рис. 3.
t °г ; Чс' ^
у3= 1 °С /У
о°/ О ЛД Ук
о д û О А А
9.
О А В
О 50 100 150 200 250
Рис. 3. Динамические характеристики цифровой САР при номинальных значениях параметров ПФ объекта: у - замкнутой системы без КЗ; У - замкнутой системы с КЗ
Аналогично осуществим расчёт переходных процессов (рис. 4) замкнутых систем при допустимых значениях параметров ПФ объекта (табл. 1).
t °с 1 £1с ^
у3= 1 °С У
Ж о IT У*
О □ 0 □
<о 1? <ъ
□ а Э
О 5С' 100 150 200 250
Рис. 4. Динамические характеристики цифровой САР при допустимых значениях параметров ПФ объекта: у - замкнутой системы без КЗ; У - замкнутой системы с КЗ
Проведём расчёт переходных процессов замкнутых систем при следующих промежуточных значениях параметров объекта регулирования:
к; = 3,06 °Й/%; Т1 = 109,65 с; или в дискретной форме:
а = 0,982; Ь = 0,056 °Й/%.
По критерию
^ / \2
*] у; -у,)
]=1
осуществим расчёт значений интегрально-квадратичной ошибки для всех рассчитанных вариантов (табл. 2).
Таблица 2
Интегрально-квадратичная ошибка
САР Значения параметров модели объекта регулирования
Номинальные Промежуточные Возможно допустимые
Без КЗ 10,681 12,44 14,56
С КЗ 7,248 9,021 11,24
Переходный процесс системы с КЗ при возможно допустимых параметрах объекта практически полностью совпадает с переходным процессом системы без КЗ при номинальных параметрах объекта. Отсутствие полного совпадения объясняется наличием допущений при синтезе КЗ.
Алгоритм синтеза корректирующего контура цифровой системы регулирования низкой чувствительности работоспособен и обеспечивает требуемые динамические свойства. При увеличении вариации параметров динамическая характеристика системы с КЗ обладает свойством приближения к динамической характеристике системы без КЗ при номинальных параметрах модели объекта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ермаченко, А.И. Методы синтеза линейных систем управления низкой чувствительности [Текст] / А.И. Ермаченко. - М.: «Радио и связь», 1981. - 105 с.
2. Применение одного из методов теории чувствительности для идентификации нестационарного объекта управления [Текст] / В.С. Кудряшов, С.В. Рязанцев, О.В. Тарабрина, Д.А. Свиридов// Вестник ВГТА. Серия: информационные технологии, моделирование и управление. 2011. - № 2. - С. 52 - 56.
3. Синтез цифровых систем управления технологическими объектами [Текст] учеб. пособие / В.С. Кудряшов, В.К. Битюков, М.В. Алексеев, С.В. Рязанцев. - Воронеж, 2005.
- 336 с.
4. Идентификация каналов многосвязного нестационарного объекта [Текст] / В.С. Кудряшов, С.В. Рязанцев, А.В. Иванов // Мехатро-ника, автоматизация, управление. -2007. -№ 7.
- С. 16-21.
