CC BY
65
£1— УДК 681.51
ИТЕРАЦИОННЫЙ СИНТЕЗ РОБАСТНОГО МНОГОМЕРНОГО ПИД-РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ РЕАКЦИОННО-РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННОЙ
А. Ю. Торгашов
Предложен метод синтеза робастных многомерных регуляторов, имеющих ПИД-струк-туру, на основе оценки взаимного влияния контуров регулирования в виде мультипликативной формы представления неопределенности модели объекта управления. На каждой итерации корректируются критерии робастного качества связанных одноконтурных систем управления. Приведены результаты промышленных испытаний робастного многомерного ПИД-регулятора для управления режимами реакционно-ректификационной колонны.
ВВЕДЕНИЕ
Для улучшения качества регулирования многомерных химико-технологических объектов довольно широко применяются пакеты программ, реализующие прогнозирующее управление (RMPCT “Honeywell”, DMC “Aspen” и др.) [1]. Однако их применение требует осуществления режима непосредственного цифрового управления исполнительными механизмами, для чего необходимо определенное коммутационное оборудование, которое не всегда доступно в производственных условиях. В связи с этим возникает задача определения оптимальных параметров локальных регуляторов, часто имеющих ПИД-структуру.
В работах [2—4] предложено рассматривать задачу синтеза робастного многомерного ПИД-регу-лятора как оптимизационную и применять для ее решения метод последовательного квадратичного программирования или линейные матричные неравенства. Такие пути решения характеризуются высокой размерностью вектора оптимизируемых параметров и ведут к усложнению анализа, если учитывать неопределеность или транспортные запаздывания моделей перекрестных каналов. Альтернативный итерационный подход более практичен [5], так как требует меньших вычислительных затрат благодаря независимому расчету одноконтурных систем управления. Он базируется на оценке частотного диапазона полос пропускания каждого контура и нахождении таких значений параметров регуляторов, при которых структуриро-
ванное сингулярное число системы управления меньше единицы. Недостатком исследований, посвященных итерационному методу, является отсутствие оценок взаимного влияния контуров регулирования, из которых бы исходили требования к робастной устойчивости и качеству для отдельно взятых одноконтурных систем управления, а также эвристическое руководство по выбору диапазонов частот полос пропускания контуров.
В настоящей работе развивается итерационный метод параметрического синтеза робастных многомерных ПИД-регуляторов, гарантирующих устойчивость и заданное качество функционирования системы управления в условиях взаимного влияния контуров регулирования, неточности и нелинейности модели управляемого процесса на примере производственной реакционно-ректификационной колонны.
1. МОДЕЛЬ РЕАКЦИОННО-РЕКТИФИКАЦИОННОЙ КОЛОННЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
В промышленности все больше появляется так называемых совмещенных химико-технологических процессов. Их преимущество состоит в низких энергопотреблении и капитальных затратах благодаря организации одновременного протекания нескольких физико-химических процессов в одном аппарате. Например, совмещение химического преобразования веществ и их ректификации осуществляется в реакционно-ректификационных колоннах [6]. Такие химико-технологические
26
CONTROL SCIENCES № 4 • 200В
объекты существенно нелинейны и нестационарны в силу своей природы (дрейф скоростей химических реакций при колебаниях температуры и давления, изменение активности катализаторов, непостоянство гидродинамического режима и др.), что является мотивацией синтеза робастного управления. Кроме этого, аналитическое конструирование нелинейного регулятора ограничено высокой размерностью динамической модели процесса ректификации, которая может описываться системой из нескольких сотен нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений [7]. Поэтому в условиях производства для синтеза систем управления применяют эмпирические динамические модели [8].
На рис. 1 представлена реакционно-ректификационная колонна производства диметилацета-мида. Она представляет собой объект управления с тремя входами и = (г/1, «2, ^3)0 и тремя выходами
У = (и1, и2, и3)0. Давление , (выход и1) регулируют изменением молярного соотношения (БИС — вход ^1) потоков-реагентов /1 (уксусная кислота) и /2 (диметиламин). Температура 0 (выход у2) поддерживается путем манипуляции расходом греющего водяного пара 2 (вход ^2), используемого для создания паров внутри колонны. Часть этих паров направляют обратно в колонну после конденсации наверху, а оставшейся частью конденсата — потоком В (вход ^3) — контролируют уровень жидкости ( (выход и3) в нижней части аппарата. Внутри колонны на специальных контактных устройствах (тарелках) осуществляются взаимодействие встречно-направленных потоков жидкости пара (ректификация) и химическое преобразование веществ потоков /1 и /2 в диметилацетамид.
После обработки результатов промышленных тестов получена следующая передаточная матрица (ПМ) колонны для номинального режима:
(і)
0,82о + 0,026 -зо 2 А 9,61 о + о
5,8о + 0,14 -2о -3,6о2 - 0,1 о - 0,006 -2о
109 о2 + 20,8 о + 1
-0,17
23,1 о2 + 12,4 о + 1
0,003
30,9 о3 + 11,1 о2 + о
-5о - 3,66о - 0,2 -55
Є ----------------------6
193 о2 + 21,6 о + 1 -6о 0,015 о - 0,0003 -о 6 о + 4 о + 1
116 о + 26,9 о + о
0,207 _а-2 о
37,4 о + 1
- 0,1 о - 0,007 -5о
2 А 40,1 о2 + о
Реализация ПИД-регуляторов осуществлялась на промышленных микропроцессорных контроллерах, поэтому матрица (1) содержит элементы в виде передаточных функций (ПФ) с отмасштаби-рованными коэффициентами усиления для диапазона изменения значений выходов от 0 до 100 %, а постоянные времени указаны в минутах.
Рис. 1. Конфигурация многоконтурной системы управления реакционно-ректификационной колонной
Конфигурация системы управления (см. рис. 1) выбрана, исходя из анализа составляющих матрицы относительных коэффициентов усиления
Л(/ю) = "(ую)-(С(»“У [9]. Модули диагональных элементов матрицы Л( ую) имеют значения в пределах единицы, за исключением диапазона частот от 0,1 до 1,0 рад/мин, в котором проявляется взаимовлияние каналов регулирования, т. е.
модули внедиагональных элементов / ^ ую) приближаются к единице (рис. 2). В том же диапазоне частот число обусловленности матрицы "(ую) возрастает с 15 до 97 (|6,5 раз), а в высокочастотной области колеблется около 55 (рис. 3), что указывает на наличие чувствительности процесса управления к неидеальности модели и обосновывает целесообразность синтеза робастного регулятора для данного примера.
Мультипликативная форма представления не-идеальности (неопределенности) модели является удобным инструментом для вывода условий робастной устойчивости и качества систем управления
Рис. 2. Зависимости элементов матрицы относительных Рис. 3. Зависимость числа обусловленности матрицы (1)
коэффициентов усиления от частоты (I, / = 1, 2, 3) от частоты
[9]. Для диагональных элементов матрицы (1) выбраны следующие весовые ПФ для описания их неопределенности в мультипликативной форме:
3/(о) =
о + 0 , 01 0 , 1 8 о + 0 , 0 2 !
32(о)
о + 0 , 02 .
0 , 2 9 о + 0 , 0 6 ’
0,2о + 0,03 ’
(2)
Выражения (2) получены из условий реальной области параметрической и структурной неопределенности матрицы "(ую); верхний индекс соответствует номеру диагонального элемента матрицы (1).
Задача синтеза робастного $ю-оптимального ПИД-регулятора для /-й одноконтурной системы формулируется следующим образом.
Найти
(3)
тах у Е
:1, с2 є к
при ограничениях
1У/3; (о)/;>.(о)цю < 1, || 3(о)Тй(о)|1 < 1,
(4)
(5)
где С1 и С2 — ПФ, описывающие /-й ПИД-регу-лятор для контроллеров типа “Yokogawa” [10]; К— область допустимых значений функций С1 и С2 ; (о) — функция чувствительности /-й однокон-
турной системы, являющаяся элементом матрицы 8 = (I — ОС1)-1; 3 — весовая ПФ, задающая желаемую динамику /-го замкнутого контура; 07 (о) — дополнительная функция чувствительности; Т = = 8"С2; С1 и С2 — диагональные матрицы, элементами которых являются ПФ С | и С2; уЕ — вещественные числа, характеризующие степень приближения к желаемой динамике; / = 1, ..., п; п — размерность вектора управлений и и регулируемых
переменных у; 3 (о) — ПФ, выбираемая на каждой итерации синтеза из условия:
3(о), если |к1 (ую)| > 1, Ую 3(о), если |к1 (/ю) < 1, Ую,
(6)
где | к
і( ; Ч| _ | 31 0‘И
О®)| _ і-----]---- •
132 о )|
Отличие постановки задачи итерационного робастного синтеза (3)—(5) от известных ранее [9] состоит в непосредственном рассмотрении взаимного влияния одноконтурных систем как мультипликативной неопределенности элементов (о)
в виде (6). Это позволяет выполнять расчет параметров /-го регулятора независимо, так как влияние остальных контуров учитывается с помощью ПФ 3 (8). Метод получения ПФ 3 (8) описан в § 2.
28
СОИТШ ШЕИСЕБ № 4 • 2006
2. ОЦЕНКА ВЗАИМНОГО ВЛИЯНИЯ КОНТУРОВ НА ОСНОВЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ МОДЕЛИ
Воздействие многоконтурной системы на /-й разомкнутый контур будем оценивать с помощью
матриц 2, М* и $ размерностью п х п (рис. 4). Значения их элементов зависят от номера выбранного контура и равны нулю, за исключением элементов
Г/1 _ пример,
$
. 1
2
_ 1, )1 _ 1 для /,У _ 1,
і _ 2, то
ґ \ / \
-10 0 1 0 0
0 0 0 ; 22 _ 0 0 0
-100 ) 1 10 0 )
М2
0 0 0 1 0 0 0 0 0
(7)
Матрицы 2, М' и $ выбраны, исходя из возможного наибольшего воздействия на /-ю одноконтурную систему остальными системами в условиях противоположной направленности возмущений и задающих сигналов. Матрицы (7) являются гибким инструментом для исследования динамического поведения системы в условиях реального расположения источников возмущений. Таким образом, робастный регулятор становится менее консервативным по сравнению с настройкой на минимизацию наибольших сингулярных чисел взвешенных матриц 8 и Т [9], учитывающих наихудшую направленность возмущений и задающих сигналов, которая может и не встречаться в условиях функционирования системы управления химико-технологического объекта.
Рис. 4. Многоконтурная система управления для оценки 72 (я); И — вектор внешних входов
2
Рис. 5. Пример получения функции 7И (/ю)
Задавшись начальными значениями элементов матриц С1, С2, 2, Мг и В, найдем ПМ системы (см. рис. 4):
ф г'(о) = у(о) = Т2 + 8СМ; + 8$. (8)
И (о)
Здесь ПФ Ф// (о) есть приведенное взаимное
влияние многоконтурной системы, оказываемое на /-й контур. Для того чтобы выразить ее в виде мультипликативной неопределенности к функции #// (о), выполним следующие вычисления:
З2(о) _
Ф і і (о) - #і і (о) #іі( о)
(9)
Пример получения выражения (6) по формуле (9) для матриц (1) и (7) представлен на рис. 5, из которого следует, что область неопределенности для модели объекта одноконтурной системы расширяется, благодаря воздействию 1-го и 3-го контуров.
3. ИТЕРАЦИОННЫЙ СИНТЕЗ РОБАСТНОГО МНОГОМЕРНОГО ПИД-РЕГУЛЯТОРА
Перед тем, как приступить к синтезу многомерного ПИД-регулятора, необходимо решить задачу ^^-оптимизации для отдельных одноконтурных систем без рассмотрения их взаимовлияния, учи-
тывая только функции 3/ (о) (/ = 1, ..., л). Это позволит получить приемлемые начальные значения элементов матриц С1 и С2 и сформировать желаемую динамику для /-го контура в виде ПФ
о + 1
3 (о) = ——-7, где 7? — постоянная вре-
+ 10-5
мени замкнутого контура.
Опишем итерационный синтез по шагам.
[яг 0. Задаются значения элементов матриц С1
и С2, функции 31 (о) и желаемая динамика для каждой /-й одноконтурной системы, * = 1 (* — номер итерации).
[яг 7. Определяется ПМ для системы (см. рис. 4) по выражению (8).
[яг 2 Рассчитывается функция 3Q (о) по формуле (6).
[яг 5. Решается поставленная задача синтеза /-го робастного регулятора (3)—(6).
[яг 4. Одна итерация синтеза считается законченной, если шаги 1—3 выполнены для всех / от
1 до л. Значение * увеличивается на единицу.
[яг 5. Если величины || С*(усо ) — С*-1 (усо )||f и
|| С*(усо ) — С*-1 (усо )||f, Veo меньше заданного малого положительного числа, то итерационный синтез завершается.
Таблица позволяет сравнить результаты применения вышеизложенной процедуры итерационного синтеза. В верхней строке (первый вариант системы) указаны элементы матриц регулятора, полученные на основе метода минимизации структурированного сингулярного числа р [9], которое дает оценку робастного качества функционирования системы управления (см. рис. 1). В ниж-
(Т.) . A ijf Ф
іГЇІ р
Й AJI
т
L L
0,6 і--------1-------1--------1--------1-------1--------1------------------1---------1---------1--------1---------1---------
’о 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 600
Время (1 интервал = 1мин)
Рис. 6. Экспериментальное сравнение характеристик первого (слева) и второго (справа) вариантов системы управления
ней строке отражены результаты применения подхода, предложенного в данной работе. В обоих
случаях значения 7? (/ = 1, ..., п) принималось
равным 120 мин. Как ожидалось, значение р для второго варианта системы (см. нижнюю строку таблицы) оказалось больше ввиду его явного отсутствия в оптимизационной задаче (3)—(6), и это означает, что система управления менее робастна, но обладает более высоким быстродействием. Такой результат получен потому, что не учитывалась реакция системы в случае наихудшей направленности воздействий на значения элементов матриц 8 и Т, традиционно выражаемая через их максимальные сингулярные числа. Была принята во внимание только та направленность, которая имеет место в реальных условиях, посредством матриц
2 и В (см. рис. 4).
В целях проверки результатов вычислений были проведены эксперименты для выяснения характеристик исследуемой системы управления реакционно-ректификационной колонной (см. рис. 1).
Параметры робастных регуляторов
О , 22 о - Q , QQ 1 4
о
О О
1 , 1 1 о + О , Q44
о
Q
3 3 , 3 о + О , 02
о
- о - О,О11
1 , 5 1 6 о + О , 1 О1
о
О О
2 , 22 о + О , О 1 5
о
1 , 1 6 • 1 О о - О,ОО 1 4 о О О
- О , О О О 3 7 о + О , О44 о О
О О
-О , ООО 1 7 о - О , О2
о
9,26 • 1О-5о + О,О11
-О , О ОО 8 о - О , 1 О1
о
О О
-О , ООО 1 3 о - О , О1 5
о
max{p}, V со
1,86
2,36
CONTROL SCIENCES № 4 • 2000
Давление Р в колонне является основным и самым чувствительным к возмущениям параметром, который характеризует массообмен и скорость протекающих химических реакций. Технологи-операторы наиболее часто изменяют задающее воздействие Р. Желаемые значения величин 0 и ( практически не изменяются. На рис. 6 представлены отклики многоконтурной системы управления на ступенчатое изменение задания по выходной переменной Р приблизительно при одинаковых начальных условиях. В обоих случаях наблюдалось успешное подавление взаимного влияния контуров. Высокое быстродействие и одинаковая робастность (по отношению к неточности модели и действующим высокочастотным возмущениям) получены с помощью предложенного второго варианта системы управления.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Найденные значения элементов матриц (см. таблицу) соответствуют структуре ПИ-регулятора. Это связано с тем, что дифференциальная составляющая в алгоритме управления приводит к снижению робастности системы из-за увеличения коэффициентов усиления функций чувствительности (4), (5) в высокочастотной области. Данный факт согласуется с результатами исследований в работе [2].
Предложенная процедура итерационного синтеза позволяет рассчитывать каждую одноконтурную систему независимо, используя формализованную меру воздействия на нее других контуров в виде выражения (9). Проведенные промышленные испытания свидетельствуют об обоснованнос-
ти подхода, при котором исключается из рассмотрения наихудшая комбинация направленности действующих возмущений и задающих сигналов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Q/и /. &., Paagwe// 0 a. A survey of industrial model predictive control technology // Control Eng. Practice. — 2003. — Vol. 11, N 7. — P. 733—764.
2. Pao &., "orées &. "., Mcie/Zan P &. Robust multiloop PID controller design: a successive semidefinite programming approach // Ind. Eng. Chem. Res. — 1999. — Vol. 38, N 9. — P. 3407— 3419.
3. "•, Q-G, (ee 0.$. On the design of multivariable
PID controllers via LMI approach // Automatica. — 2002. — Vol. 38, N 3. — P. 517—526.
4. 4., $иаи£ P. Multi-loop decentralized PID control based on covariance criterion: an LMI approach // ISA Transactions. — 2004. — Vol. 43, N 1. — P. 41—52.
5. $ov@ M., /Goges/arf /. Sequential design of decentralized controllers // Automatica. — 1994. — Vol. 30, N 10. — P. 1601 — 1607.
6. Morfe/-based design, control and optimization of catalytic distillation processes / C. Noeres, K. Dadhe, R. Gesthuisen, et al. // Chemical Engineering and Processing. — 2004. — Vol. 43, N 3. — P. 421—434.
7. S—мвошеев P. Z., Го—гашов d. Ю. Управление процессом ректификации на основе обратной нелинейной модели при воздействии возмущений // Изв. АН ТиСУ. — 2002. — Т. 41, № 5. — С. 127—135.
8. ÆJge// /., "emAofe G. Control of a reactive separation process // Chemical Engineering and Processing. — 2003. — Vol. 42, N 3. — P. 201—210.
9. /Goges/arf /., Pos/fe/Awa/'/e %. Multivariable feedback control — analysis and design. — Chichester: Wiley, 1996.
10. As/rom ". &., $й££/ии@ 0. PID controllers: theory, design and tuning. — North Carolina: Instrument Society of America, Research Triangle Park, 1995.
e (¥252; Л-02-02
e-ma;7: /or£asDov@;'[email protected] □
| Журнал L «Информатика и системы управления»
Приглашаем Вас принять участие в работе журнала «Информатика и системы управления», в котором публикуются новые теоретические и практические результаты ученых высших учебных заведений и научных организаций по следующим тематическим направлениям: организация баз данных; системы передачи данных; моделирование систем; медицинская информатика; геоинформационные системы; управление в социально-экономических системах; надежность и техническая диагностика; интеллектуальные системы; многопроцессорные вычислительные системы; адаптивные и робастные системы; микропроцессорные и цифровые системы; автоматизированные системы.
Единственный на Дальнем Востоке рецензируемый периодический журнал в области информатики, вычислительной техники и управления, зарегистрирован Министерством Российской Федерации по делам печати, телевещания и средств массовой коммуникации (свидетельство ПИ № 77-11796 от 04.02.02), выходит 2 раза в год (1 номер в полугодие), ISSN 1814-2400. В печатном виде он поступает в крупнейшие библиотеки и распространяется только по подписке. Авторы получают бесплатный экземпляр журнала, его подписной индекс в дополнительном каталоге «Роспечати» — 46123.
Наш адрес:
Амурский государственный университет, Игнатьевское шоссе, 21. Благовещенск Амурской обл., 675027.
Электронная версия журнала: http://www.amursu.ru/ics/index_ics.htm.
Справки по телефону (4162)39-46-50; e-mail: [email protected].
