Синтез и идентификация математических моделей производственно-экономических систем Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Математическое моделирование

УДК 620.9

Н.В. Дилигенский, В.В. Панормов

СИНТЕЗ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассматривается вариант синтеза и идентификации математической модели производственноэкономической системы с использованием класса производственных функций на примере промышленного комплекса Самарской области.

Экономико-математические методы и модели в настоящее время являются распространенным и эффективным средством исследования закономерности протекания экономических процессов и поведения экономических систем.

В качестве объекта исследования выбрана одна из наиболее развитых отраслей промышленности Самарской области - электроэнергетика. Объектом моделирования является процесс преобразования ресурсов в конечный продукт. При этом моделируемый объект рассматривался как единое целое, без учета его организационной структуры.

Целью исследования стало построение математической модели на основе производственной функции (ПФ) Кобба-Дугласа с учетом научно-технического прогресса (НТП) и определение характеристик производственного процесса через соответствующие параметры ПФ. Следует особо подчеркнуть наличие объективной, устойчивой и закономерной связи между входными ресурсами и объемом выпуска продукции относительно экономической системы любого уровня, формы и способа организации производственных отношений, описываемой классом ПФ. Поскольку мы рассматриваем достаточно большую систему, то здесь в большой степени проявляется свойство агрегирования данных, и тогда на основании литературных источников [1] все производственные ресурсы в данном случае можно охарактеризовать двумя макроэкономическими показателями: количеством овеществленного (прошлого) труда - основные производственные фонды или капитал и живого труда (численность трудовых ресурсов) - труд.

В качестве исходной статистической информации возьмем данные о показателях выпуска продукции, капитала и труда за период с 1965 по 1997 годы, приведенные в работе [2]. Обозначим уровни рядов динамики выпуска продукции Qi (тыс. руб.), капитала К1 (тыс. руб.), труда

Ц (десят. чел.) и лет Т1 (четырехзначных чисел, соответствующих номеру года), где 1 = 0, п , п

- количество членов в ряде динамики.

Выберем модель зависимости между выпуском и затратами труда и капитала в виде ПФ Кобба-Дугласа с учетом НТП:

Q = А • К ь • Ьь • е Ьз * • е , (1)

где А - масштабный коэффициент, Ь1 - эластичность выпуска продукции Q по капиталу К, ь2 - эластичность выпуска продукции Q по труду Ь , /З3 - темп прироста выпуска продукции Q под влиянием НТП, е - случайный «остаточный» компонент, обусловленный ошибками спецификации, измерения и пр.

Преобразуем нелинейную модель (1) к линейному виду по параметрам. Для этого прологарифмируем обе части уравнения (1):

1пQ = 1пА + Ь11пК + Ь21пЬ + Ь3 • * + 1пе .

Обозначим для удобства У = 1п Q, Ь0 = 1п А, X0 = 1, Х1 = 1п К , Х2 = 1п Ь , Х3 = *, и = 1п е .

В результате получим линейную модель вида:

Г = ЬоХ0 + АX! + ьХ2 + Ьз • Хз + и , (2)

где Г - отклик; X0, Х1, X2 и Х3 - факторы; и - случайный «остаточный» компонент. Обозначим количество факторов через т (т = 4).

Исследуем тесноту связи, а именно, линейную корреляционную зависимость между откликом и факторами, являющимися случайными величинами. При этом понадобятся динамические ряды лет Т1, а также логарифмированных рядов выпуска продукции , значений капитала К{

и труда :

X,о = 1, хи = 1п кг, х 1,2 = 1п ьг, хг,з = т, г = 1п а.

Найдем выборочное среднее факторов по данным [2] и отклика:

1

1

мх = - 2 хг,]■, где з = 0 т -!; мг = - 2 Гг;

7 П г=1 п г =1

М х о = 1; Мх1 = 7,308; М Хг = 7,001; Мхз = 1981; МГ = 6,278.

Выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратичное отклонение факторов и отклика:

1 п / \ ______ 1 ”

----Г ІХ./ - М^ і2 , где 1 - 0,т -1; 5,2 ---- 1(У, - М, )2 ;

п -1 17 п -11-Г

5Хо2 = 0; 5Х12 = 0,168; 5Хз" = 0,059; 5Х^ = 93,5; 5у = 0,147;

5Хо = 0; 5Х1 = 0,410; 5Х2 = 0,242; 5Хз = 9,67; 5у = 0,384.

Отношение среднего квадратичного отклонения к выборочному среднему характеризуют разброс наблюдаемых значений факторов и отклика вокруг среднего значения:

ЛХ,

Х1

М

Х1

А

Му

/лхо = 0; Цх, = 0,056; /лх2 = 0,035; Цхъ = 4,881 • 10 ; тГ = 0,061.

Видно, что относительный разброс отклика Г превышает разброс всех факторов х0, х1,

Х 2 и Х 3.

Вычислим парные линейные коэффициенты корреляции и ^-статистики по ним:

2 (хи - мх )(г - Мг)

5хА

, 1 = 0, т -1 ;

І (хи - МХ, К - Мх, )

1 - 1, т -1, к - 1, т -1;

, к - гі, к

л/п - 2

1 -(гі, к )

г, 1 - 0, т -1, к - 0, т -1, 1 Ф к .

(3)

Составим матрицу парных линейных коэффициентов корреляции (в скобках - значение t -статистик):

г -

1 0,851 (9,028) 0,439 (2,720) 0,814 (7,791) у

0,851 (9,028) 1 0,780 (6,936) 0,960 (19,184) х 1

0,439 (2,720) 0,780 (6,936) 1 0,849 (8,947) Х 2

,79 7, 1 ,8 0, 0,960 (19,184) 0,849 (8,947) 1 Х 3

у х 1 Х 2 Х 3

,-1

I-1

Коэффициент корреляции является количественным показателем того, насколько сильно зависят между собой факторы и отклик. Если абсолютное значение коэффициента корреляции между двумя случайными величинами равно 1, то они линейно зависимы.

Вывод о статистической значимости коэффициента корреляции г■ к (отвергается гипотеза

Н0 : г. к = 0 ) делается при условии, что tcnf, где tcnf - соответствующее табличное зна-

чение t -распределения Стьюдента с (п - 2) степенями свободы. При уровне доверия р = 0,95 (95 %) и (п - 2) = 31 - степенях свободы, значение t -распределения Стьюдента : tcnf = 2,040.

Коэффициенты корреляции свидетельствуют о сильной прямой статистически значимой связи между натуральным логарифмом выпуска продукции Г и натуральным логарифмом капитала х1, между натуральным логарифмом выпуска продукции Г и годом х3, между логарифмом капитала х1 и логарифмом труда х2, между логарифмом капитала х1 и годом х3, между логарифмом труда х2 и годом х3, а также о слабой статистически значимой связи между натуральным логарифмом выпуска продукции Г и натуральным логарифмом труда х2 .

Коэффициенты регрессионного уравнения (2), найденные с помощью метода наименьших квадратов, имеют значения:

Р0 = - 68,841; Ь] = 0,482; Р2 = - 1,324; Р3 = 0,041.

Таким образом, получаем, что масштабный коэффициент А = е~68,841 ; эластичность выпуска продукции а по капиталу К - Р1 = 0,482; эластичность выпуска продукции а по труду Ь - Р2 = - 1,324; темп прироста выпуска продукции а под влиянием НТП - Р3 = 0,041. Особое внимание следует обратить на значение эластичность производства Р1 + Р2 = - 0,842. Значение этого показателя меньше единицы и свидетельствует об убывающей отдаче на масштаб производства.

О х- / ------\

Стандартизованные коэффициенты регрессии: Ь. = Р. —- (] = 1, т -1), имеющие значе-

о Т

ния Ь1 = 0,515; Ь2 = - 0,837; Ь3 = 1,029, позволяют ранжировать факторы по силе их воздействия на результат, что позволяет произвести отсев факторов - исключить из модели факторы с наименьшими значениями Ь..

Видно, что с ростом года на одну сигму при неизменном натуральном логарифме капитала и натуральном логарифме труда натуральный логарифм выпуска продукции увеличивается в среднем на 1,029 сигмы. Порядок факторов по направлению убывания их воздействия на натуральный логарифм выпуска продукции следующий: год, натуральный логарифм труда, натуральный логарифм капитала.

Мера суммарной погрешности, равная остаточной дисперсии 2, и стандартная ошибка уравнения, равная остаточному среднеквадратичному отклонению , определяется соотношением

1 п ___

2 =---------2 иКг 2 = 0,015; 5^ = 0,122, где иКг = УКг - Г, (г = 0,п) .

п - 41=7 у '

5 /

Относительная погрешность уравнения регрессии = ум = 1,941 %. Если значение

этой величины мало и отсутствует автокорреляция остатков, то прогнозные качества оцененного регрессионного уравнения высоки.

Меры погрешности и стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии

2 _ о 2 ((уТ

'Р;

5Р .2 = 2 .[[хт • х)-13,3 ) (3 = 0,т -1)

имеют значения: 5Р 2 = 301,577; 5Р 2 = 0,038; 5Р 2 = 0,030; 5Р 2 = 9,521 -10 5

Р0 Р1 Р2 Р3

5Р = 17,366; 5Р = 0,194; 5Р = 0,173; 5Р = 9,757-10-3.

Р0 Р1 Р2 Р3

Для относительных погрешностей коэффициентов уравнения регрессии и /-статистик по ним имеем:

^ , /. ,-------Л . Р

Р (. = 0,т -1); /р . = {] = 0,т -1); Пр0=-0,252%; Пр1=0,403%; Пр2 = - 0,131%;

р 1 - в ,■

Vр = 0,239%; / в = - 3,964; = 2,483; = - 7,640; / в = 4,184.

Р 3 Р 0 р1 Р 2 р 3

Вывод о статистической значимости коэффициента Р. (. = 0, т -1) делается при условии,

что

*Р 1

> /спу, где - соответствующее табличное значение / -распределения Стьюдента с

п - 4 = 29 степенями свободы.

При уровне доверия р = 0,95 (95 %) и (п - 4) = 29 степенях свободы значение / -распределения Стьюдента: /щг = 2,040. Коэффициенты Р0, Р1, Р2 и Р3 являются статистически значимыми на доверительном уровне 98%.

Стандартные ошибки коэффициентов используются также для оценки статистической значимости коэффициентов при помощи /-критерия Стьюдента. При уровне доверия р = 0,95 (95

%) и (п - 4) = 29 степенях свободы значение / -распределения Стьюдента: 1сп^ = 2,045.

Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии

Р1 - Кпг • ЯР1 < Р1 < Р1 + Кпг • ЯР1 (1 = °,т) имеют значения: - 104,359 < Р0 < - 33,324; 0,085 < Р1 < 0,879; - 1,678 < Р2 < - 0,969; 0,021 < Р3 < 0,061.

При нахождении уравнения регрессии использовались динамические ряды. Для них, обычно, характерно присутствие явления автокорреляции остатков. Оно состоит в том, что в любой из остатков ир. не является случайной величиной, а зависит от величины предыдущего остатка

ир .-1. В результате при использовании уравнения регрессии могут возникнуть большие ошибки. Для определения наличия или отсутствия автокорреляции применяется критерий Дарбина-Уотсона [3]:

п

2(ик. - иК1 -1 )

БЖ = ^---------------- = 0,829.

п

2 ЫРг 2

1=1

Возможные значения критерия БЖ находятся в интервале от 0 до 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то БЖ = 2. Для уравнения (2) значение критерия Дарбина-Уотсона 0,829 показывает присутствие автокорреляции.

Для того, чтобы получить адекватную оценку того, насколько хорошо вариация результирующего признака объясняется вариацией нескольких факторных признаков, применяют коэффициент детерминации р 2 :

— 2 1

Р2 = 1 - -р- • = 0,889.

-г п - т

Если существует линейная связь между откликом и факторами, то коэффициент Р2 близок к 1. Таким образом, 88,9% вариации отклика (логарифм выпуска продукции) объясняется вариацией факторов (логарифм труда, логарифм капитала и год). Остальные 11,1% вариации отклика объясняются факторами, неучтенными в модели. Величина коэффициента детерминации достаточно велика, следовательно, в модели (2) учтены наиболее существенные факторы.

Классическая линейная модель множественной регрессии требует постоянства дисперсии случайной ошибки и (имеется в виду возможное поведение случайного члена до того, как сделана выборка).

Рассмотрим вопрос тестирования выборки случайной ошибки ик. на наличие гомоскеда-

стичности (постоянства дисперсии). Если имеется обширная выборка, то можно воспользоваться стандартным критерием однородности дисперсии Бартлетта.

Расчленим выборку на тВаП независимых групп и вычислим величины

f П

Q

Bart 1

= n ln

S

Bart i

■ ■ ‘Bart

— I

nBarti ln SBarti

q

Bart 2 1 + q/

3V

1

m

Bart

—1)

1

rnBart

где 2 n

Ващ = п , пват - число наблюдений в . -ой группе, 8В

i=1

ВаШ -чыы и , -КЛ1 >^ВагН - дисперсия ошибки в

/ - группе. Величина QBаrtх/QBаrt2 будет приближенно удовлетворять распределению %2 с (тВап _!) степенями свободы. Если вычисленное по выборке значение с2 меньше критического Хсп/2, то гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается, в противном случае отклоняется. Тогда при тВаН = 3 получаем:

п = 33; ПВаН 1 = ПВаН 2 = ПВаН3 = 11 ^ВаНх = 0,106 ^а*2 = 0,132 $ваН3 = 0,103

Qваrn = 0,812; Qваrt 2 = 1,040; ХваГ12 = Qваrt 2 = 0,780.

При уровне значимости р = 0,05 (5%) и тВаП — 1 = 2 степенях свободы критическое значение

2

Хсп/ = 5,991. Следовательно, гипотеза об однородности выборочной дисперсии принимается.

В итоге получили следующую производственную функцию:

Q = к 0.482 1—1'Ъ2-4 е -б8,841+0,04Н

Графики исходных Q и расчетных QR значений выпуска продукции, а также отклонение АR = — QR | для временного интервала с 1965 по 1997 годы представлены на рис.

Таким образом, в результате проведенного исследования была получена и идентифицирована математическая модель зависимости производства продукции от значений показателей капитальных и людских ресурсов на основе ПФ Кобба-Дугласа с учетом НТП, которая позволила определить характеристики рассматриваемой системы: эластичность выпуска по отношению к изменению каждого из ресурсов, эластичностью производства,

среднюю производительность

каждого из ресурсов Р и с Г рафик производственной функдии:

0 ------; QR......; Аа---------

m

n

2

n

i =1

i =1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986. 239 с.

2. Орлова Е.Ю. Структурно-параметрическая идентификация региональных технологических производств как объектов управления: Дис. ... канд. техн. наук: Самара, 1999. 204 с.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., ЧеремныхЮ.Н. Математические методы в экономике. М.: МГУ, 1997. 368 с.

Поступила 18.11.2003 г.