CC BY
70
исключение автокорреляции во временных рядах инвестиций в основной капитал
в.с. ЯЕвин,
кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой финансов и кредита ФГОу вПО «Оренбургский государственный аграрный университет»
При анализе временных рядов исследователи часто сталкиваются с явлением автокорреляции, когда наблюдения, следующие друг за другом на протяжении некоторого времени, связаны между собой. Автокорреляция может иметь место по той причине, что влияние независимой переменной на зависимую растянуто во времени. Например, увеличение заработной платы может повлиять на объемы сбережений не только в текущем периоде, но и на протяжении некоторого последующего времени. Изменение цены может отразиться на объемах продаж в текущем периоде и в будущем.
Очевидным является тот факт, что инвестиции с определенной задержкой во времени переходят в приращение основного капитала. Для анализа возьмем данные об инвестициях и приращениях основного капитала (о вводе основных производственных фондов) в России в 1965 — 1990 гг., млрд руб. (в сопоставимых ценах 1984 г.), используемые О. О. Замковым [1, с. 73 — 99]. Рассматриваемый период характеризуется устойчивым ростом этих показателей и выделяется в отдельный самостоятельный этап развития инвестиционного процесса в России, который заслуживает специального исследования [2, 3].
Если в данных временных рядов обнаружена автокорреляция (серийная корреляция), ее необходимо нейтрализовать или как-то учесть, прежде чем полученную функцию регрессии можно будет использовать для прогноза. Выбор подходящего метода обработки данных при наличии серийной корреляции зависит от того, что является ее первопричиной. Автокорреляция может появиться из-за некоторой систематической ошибки, например, пропущенной переменной. В других случаях коррелируют слагаемые ошибок в корректно определенной во всех остальных отношениях модели.
Решение проблемы серийной корреляции начинается с оценки модели регрессии. Подходит ли ее функциональная форма? Не пропущена ли важная независимая переменная? Имеются ли какие-то повторяющиеся явления, которые накладывают
свой отпечаток на значения данных во времени и вызывают эффект автокорреляции ошибок?
Поскольку основной причиной автокорреляции ошибок в регрессионной модели является пропуск одной или нескольких важных переменных, наилучший подход к решению проблемы — найти их. В некоторых случаях подобные действия называют процедурой улучшения спецификации модели. Спецификация модели включает не только выбор необходимых независимых переменных, но и введение этих переменных в функцию регрессии должным образом. К сожалению, модель может быть улучшена не всегда — пропущенные переменные могут не поддаваться количественному определению или же данные по ним могут быть просто недоступны. Например, можно предполагать, что величины инвестиций в будущем периоде связаны с мнением потенциальных инвесторов. Однако очень сложно измерить количественно переменную «мнение». Тем не менее, когда это возможно, спецификация модели обязательно должна быть согласована с теоретическим смыслом и интуитивным пониманием величин данных.
Один из методов устранения влияния автокорреляции — добавление в функцию регрессии пропущенной переменной, объясняющей связь значений зависимой переменной в разные периоды времени [4, с. 397 - 399].
Несмотря на высокое качество аппроксимации приращений основного капитала величинами инвестиций, осуществленных в России в период с 1965 по 1990 г. (Л2=0,98), уравнение регрессии на рис. 1 не пригодно для прогнозирования, так как в данных присутствует авткорреляция. Возможно, что существуют переменные, за счет которых можно обосновать дополнительную вариацию результативной переменной и уменьшить отрицательный эффект от автокорреляции.
Для этого будем использовать систему показателей исторических национальных счетов России, охватывающих период с 1961 по 1990 г. и описанных А. Н. Пономаренко [5, 6]. Предположим, что
22
финансы и кредит
У = 2,611+0,895 X
140
120
100
х Я
о а.
о с
в: 2
80 100 Инвестиции, млрд руб.
160
Рис. 1. График регрессии для данных об инвестициях и приращениях основного капитала в России за период 1965 — 1990 гг.
показатели, характеризующие экономический рост в исследуемом периоде, помогут нам в объяснении дополнительных приращений основного капитала.
В качестве дополнительных возможных независимых переменных нами были взяты:
1) показатели, характеризующие ВВП России, рассчитанные производственным методом в текущих ценах, млрд руб. (выпуск в основных ценах, промежуточное потребление, валовая добавленная стоимость в основных ценах, чистые налоги на продукты и импорт, ВВП в рыночных ценах) [5, с. 65];
2) производственная и непроизводственная сферы в текущих ценах, млрд руб. (ВВП в рыночных ценах, валовая добавленная стоимость в производственной сфере, валовая добавленная стоимость в непроизводственной сфере, чистые налоги на производство и импорт) [5, с. 66];
3) ВВП России, рассчитанный методом расходов в текущих ценах, млрд руб. (ВВП — всего, расходы на конечное потребление, валовое накопление, чистый экспорт, статистическое расхождение) [5, с. 75 - 76];
4) расходы на конечное потребление в текущих ценах, млрд руб. (расходы на конечное потребление— всего, расходы домашних хозяйств на конечное потребление, расходы правительства и НКО на конечное потребление — всего, расходы правительства на индивидуальные услуги, расходы правительства на коллективные услуги, расходы НКО на конечное потребление) [5, с. 76 — 77];
5) рост производства в натуральном выражении по отраслям, в % к предыдущему году (шесть временных рядов) [6, с. 244];
6) рост производства в натуральном выражении по отраслям промышленности, в % к предыдущему
году (одиннадцать временных рядов) [6, с. 245];
7) альтернативные расчеты темпов экономического роста, в % к предыдущему году (четыре временных ряда) [6, с. 247];
8) альтернативные расчеты базисных темпов роста, в % к 1961 г. (четыре временных ряда) [6, с. 248];
9) «согласованный» индекс роста по отраслям промышленности, в % к предыдущему году (одиннадцать временных рядов) [6, с. 253];
10) «согласованные» индексы экономического роста, в % (три временных ряда) [6, с. 256].
Всего рассматривались в качестве второй независимой переменной 59 временных рядов, только 10 из них оказались пригодными с точки зрения значимости параметров уравнения регрессии по F и I критериям, и только 3 переменные из 10 оказались пригодными по критерию Дарбина-Уотсона (DW). Одна из них — темпы роста торговли в натуральном выражении (в % к предыдущему году).
Измененная двухфакторная модель объясняет 99,4 % изменчивости приращений основного капитала. Темпы роста торговли влияют отрицательно на результативную переменную. Все факторы значимы по ¿-критерию. Значение статистики DW равно 1,38. Из [4, табл. В. 6 приложения Б] для уровня значимости 0,01, п = 26 и k = 2 получаем следующее: L = 1,00; и = 1,31. Поскольку DW = 1,38 > и = 1,31, очевидно, что серийная корреляция отсутствует. Для прогноза приращений основного капитала функцию У = 132,25 + 0,86Х1 — 1,2Х2 можно использовать с полной уверенностью, что ошибки будут независимы.
Другим показателем, который можно использовать при прогнозировании приращений основного капитала, не опасаясь за автокорреляцию остатков, является «альтернативный вариант В» расчета базисных темпов роста, основанный на применении имплицитных индексов-дефляторов на базе данных БНХ. По сравнению с вариантами А, Б и Г вариант В «показывает быстрый рост российской экономики, что весьма близко соответствует официальным показателям экономического роста, основанным на расчетах реального национального дохода» [6, с. 248]. Таким образом, при прогнозировании приращений основного капитала
кроме объемов инвестиций существенную роль оказывают темпы экономического роста.
Данная модель объясняет 99,5 % изменчивости приращений основного капитала. Темпы роста экономики влияют положительно на результативную переменную. Все факторы значимы по ¿-критерию. Значение статистики DW = 1,62 > и = 1,31 для уровня значимости 0,01, п = 26 и k = 2, а значит, что серийная корреляция отсутствует.
Третьей переменной, которая устраняет автокорреляцию в используемых данных и может использоваться в прогнозировании приращений основного капитала, является временной ряд темпов роста производства в других отраслях. В «другие отрасли» не входят промышленность, сельское хозяйство, строительство, транспорт и торговля [6, с. 244].
Наши расчеты показали, что модель парной регрессии объясняет 99,1 % изменчивости приращений основного капитала. Фактор Х — темпы роста в других отраслях экономики влияет отрицательно на результативную переменную, все факторы значимы по ¿-критерию. Значение статистики DW = 1,71 > и = 1,31 для уровня значимости 0,01, п = 26 и k = 2, а значит, что серийная корреляция также отсутствует.
Другим способом исключения автокорреляции является взятие разностей [4, с. 399 — 404]. Для того чтобы устранить серийную корреляцию для сильно автокоррелирующих данных, можно использовать разности их значений. Так, вместо записи уравнения регрессии относительно переменных Y и Х1, Х2,..., Хк данное уравнение может быть записано
для разностей % = Yt — и Х1 = Х_1 — Х^р Х2 = Х2— Х-12 и т. д. Разности следует использовать, когда значение статистики DW, вычисленное для начальных переменных, близко к нулю.
Другой вариант решения данной проблемы может быть найден посредством логарифмической линейной модели. Это позволит оценить показатель эластичности приращений основного капитала по отношению к инвестициям. Показатель эластичности демонстрирует, на сколько процентов увеличивается результативный показатель при увеличении факторного на 1 %.
Переходим к логарифмической линейной регрессионной модели, выраженной в виде
Ln Y = Р0 + Р1 Ln X + е ¿, (1)
где Ln Y — натуральный логарифм приращений основного капитала; Ln Х( — натуральный логарифм объема инвестиций; st — слагаемое ошибки; Р0— свободный член; в1 — коэффициент регрессии
(отношение эластичности приращений основного капитала по отношению к инвестициям).
Результаты вычислений регрессионной зависимости переменной Ln (приращения основного капитала) от переменной Ln (инвестиций) показали, что 99,1 % изменчивости логарифма приращений основного капитала объясняется его зависимостью от логарифма объемов инвестиций. Регрессия высоко значима. Кроме того, эластичность приращений основного капитала оценивается в Ь1 = 0,991 со стандартной ошибкой 5Ь1 = 0,019. Однако значение статистики DW, равное 0,71, не велико и меньше L= 1,07, квантиля с уровнем значимости 0,01 для п = 26 и k = 1. Исходя из этого, можно сделать заключение, что корреляция между последовательными значениями ошибок положительна и велика.
Поскольку в результате анализа была обнаружена сильная серийная корреляция, можно перейти к модели с разностями логарифмов приращений основного капитала и объемов инвестиций. Предположим, что коэффициент наклона в модели для разностей будет таким же, как и в начальной модели с логарифмами. Поэтому по-прежнему можно непосредственно оценить показатель эластичности результативной переменной. Свободный член регрессионной модели для разностей оказался незначимым, поэтому был исключен из модели регрессии. Результаты вычислений говорят о том, что регрессия значима. Оценка эластичности дохода равна Ь1 = 0,879 со стандартной ошибкой 5Ь1 = 0,104. Оценка эластичности Ь1 изменилась незначительно по сравнению с первой регрессией (увеличение на 1 % приращений основного капитала соответствует увеличению примерно на 0,88 % годовых объемов инвестиций во втором случае по сравнению с 0,99 % — в первом случае), однако стандартная ошибка оценки (5Ь1 = 0,104) более чем в 5 раз больше предыдущей (5Ь1 = 0,019). Предыдущая стандартная ошибка существенно занижает истинную стандартную ошибку по причине серийной корреляции.
Анализируя статистику DW = 2,56 для п = 25, k = 1 и уровня значимости 0,01, можно обнаружить, что и = 1,21< DW = 2,56 < 4 — и = 2,79. Поэтому нет оснований отклонять нулевую гипотезу о том, что автокорреляция остатков отсутствует. Изучение автокорреляций остатков показало в автокорреляционной функции, что они хорошо укладываются между двумя прямыми стандартных ошибок для нескольких первых значений запаздываний. В результате пришли к выводу, что серийная корреляция устранена, и можно использовать полученное уравнение для прогноза.
24
финансы и кредит
Другим способом устранения автокорреляции остатков является использование обобщенных разностей и итерационный подход в соответствии с методом Кохрейна-Оркатта [4, с. 404 — 407]. В соответствии с ним необходимо оценить значение коэффициента автокорреляции остатков первого порядка р, а затем подобрать другие параметры
А
модели, используя оценку р. Для оценки р и последующей эффективной оценки коэффициентов регрессии можно использовать также процедуру, рассмотренную в [7, с. 446 — 453].
Для получения новых оценок параметров, для которых не нарушается свойство эффективности, выполним следующий порядок действий:
1) найдем оценку коэффициента автокорреляции остатков первого порядка по формуле:
р = 1 — DW/2=1 — 0,670/2 = 0,665;
2) проведем пересчет исходных данных с учетом параметра р;
3) определим параметры уравнения регрессии У и Х обычным МНК:
у; =2,705 + 0,831 Х + в(;
4) Пересчитаем параметр Р0 по формуле: Р0 = Ро/ (1 — 0,665) = 2,705/0,335=8,081.
Уравнение регрессии зависимости приращений основного капитала от объемов инвестиций имеет вид:
У = 8,081 + 0,831Х, + в г
Коэффициент детерминации для этого уравнения равен 0,915. Для коэффициента регрессии ¿-критерий составил 15,7. Критерий DW составил 1,766, что выше верхней границы и = 1,22 при уровне значимости 0,01 для выборки с п = 26 значением и k = 1 независимой переменной. Следовательно, в скорректированных на коэффициент автокорреляции остатков значениях временных рядов отсутствует автокорреляция, полученные результаты можно считать статистически значимыми и использовать в прогнозировании.
Одним из путей решения проблемы серийной корреляции является модель, где зависимая переменная, взятая с запаздыванием на один или больше периодов, рассматривается в качестве независимой переменной. Регрессионные модели, сформулированные таким образом, называются моделями авторегрессии [4, С. 408 — 409].
Рассчитаем параметры уравнения модели авторегрессии для данных о приращениях основного капитала за 1965 — 1990 гг. в России. В качестве у будем использовать приращения основного капитала, а в качестве у_1 возьмем эти же значения, но с задержкой (лагом) на один год. Таким образом,
для вычисления регрессии теряется по одному уровню для у и у_1. Регрессионный анализ зависимости приращений основного капитала от своих лагированных значений показал следующее: константа Ь0=4,579; коэффициент регрессии Ь1=0,985; стандартная ошибка коэффициента регрессии Sb1 = 0,021; ^2=0,988.
Уравнение регрессии имеет вид:
У = 4,579 + 0,985 у_1 + 8 г При оценке достоверности моделей авторегрессии необходимо учитывать специфику тестирования этих моделей на автокорреляцию остатков. В таких случаях нельзя использовать обычный критерий DW [7, с. 492]. Здесь может применяться критерий h Дарбина, рассчитываемый по формуле:
h = (1 - DW /2^/ПдГ-ЙУ), (2)
где V — квадрат стандартной ошибки.
Полученное значение критерия h Дарбина, равное — 0,619, попадает в интервал — 1,96 < h < 1,96. Это свидетельствует о том, что нет оснований отклонять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
Проблемы регрессионного анализа временных рядов инвестиций в России рассматривались здесь с использованием информации за период с 1965 по 1990 г., т. е. в советский период, который не учитывал новых появившихся для России условий функционирования экономики. Поэтому выполненные прогнозные расчеты не представляют особого интереса для сегодняшней реально существующей действительности, так как полученные модели не имеют практического применения, несмотря на то, что позволяют глубже понять сущность происходивших в то время инвестиционных процессов. В связи с этим представляется важным расширение информационного массива в сопоставимой оценке, где накопленная ретроспективная информация в дореформенный период может быть сопоставлена с новыми появившимися данными. На основе увеличенных временных рядов важно не только сопоставить динамику инвестиций и приращений основного капитала в различных условиях функционирования экономических систем, но и воспользоваться богатым инструментарием анализа временных рядов для выявления новых факторов, добавление которых в прогнозные модели, возможно, поможет установить важные движущие силы экономической динамики инвестиционного процесса в России.
Предпримем попытку продолжить обозначенные временные ряды для последующих лет — период либерализации цен и коренных изменений в оте-
160
3 140
СП
X га 120
ш
3" 100
X
1 80
£
ш 60
ю
а 40
а
с 2 20
сф- Ц-°п\ . \ \
Л^О-П
--¿-се
Год
1965
1971
1977
1983
1989
1995
2001
2007
1968
1974
1980
1986
1992
1998
2004
-о- Инвестиции - □ - Приращения основного капитала
Рис. 2. Динамика инвестиций в основной капитал и основных фондов в России за 1965 - 2006 гг. (в ценах 1984 г.)
чественной экономике, начиная с 1991 г.. Причем постараемся сохранить масштаб тех цен, которые действовали до периода реформ, что позволит их считать практически неподверженными инфляционным процессам. Как известно, в дореформенный период инфляции практически не наблюдалось, тем более она не измерялась органами госстатистики.
Предлагаемый автором подход описывается в статьях [2, 3]. Суть его состоит в следующем. Изменившийся масштаб цен, обусловленный либерализацией 1991 г., а также последовавшим позже системным кризисом 1998 г., существенно повлиял на пропорции изменения цен на инвестиционные товары и основные фонды. В связи с этим, чтобы привести имеющиеся данные за период с 1991 г. в сопоставимый вид с данными, которые наблюдались до него, автор решил привести все данные к ценам 1984 г. — последнего года «доперестроечного» периода. Это позволило нам сопоставить дореформенный период с периодом реформирования российской экономики.
Новые временные ряды, очищенные от действия инфляционного фактора и приведенные к ценам 1984 г., приведены на рис. 2.
При добавлении новых наблюдений за 1991 — 2006 гг. выяснилось, что все описанные выше методы устранения автокорреляции действуют также хорошо, как и в 1965 — 1990 гг. Правда, один из них— ошибка спецификации или пропуск переменных, подразумевает использование дополнительных факторов. Вероятно, в новых условиях функционирования экономики должны измениться причины, объясняющие динамику изучаемых показателей.
Между тем добавление в качестве новой объясняющей переменной темпов роста ВВП в 1965 —
2006 гг. улучшает качество модели, что наблюдалось и в дореформенный период. Напротив, темпы роста торговли в расширенном временном интервале сохранили свое отрицательное влияние, но коэффициенты при этой переменной оказались статистически незначимыми, что не позволило использовать эту переменную для предсказательных целей. Другие факторы сохранили свою направленность и предсказательные свойства. Таким образом, в проведенном исследовании рассмотрены методы устранения автокорреляции остатков в исследуемых рядах: улучшение спецификации модели посредством добавления пропущенных переменных, взятие натуральных логарифмов и нахождение их разностей, корректировка уровней временных рядов на коэффициент автокорреляции остатков первого порядка и использование моделей авторегрессии.
Литература
1. Замков О. О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе: Курс лекций. — М.: ГУ ВШЭ, 2001. — 122 с.
2. Левин В. С. Лаговые модели инвестиционных процессов с независимыми переменными / Финансы и кредит. — М.: 2006. — № 18 (222). С. 34 — 38.
3. Левин В. С. Распределенные лаги в инвестиционных процессах / Вестник Саратовского госагроуниверситета им. Н. И. Вавилова. — Саратов. — 2006. — № 4. — С. 56 — 60.
4. Ханк Д. Э, Уичерн Д. У, Райтс А Дж. Бизнес-прогнозирование, 7-е издание: Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. — 656 с.
5. Пономаренко А Н. Исторические национальные счета России: 1961 — 1990 гг. / Экономический журнал ВШЭ. — 2001. № 1. С. 57 — 82.
6. Пономаренко А Н. Исторические национальные счета России: 1961 — 1990 гг. / Экономический журнал ВШЭ. — 2001. — № 2. С. 238 — 261.
7. Эконометрика: Учебник / И.И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др., под ред. И. И. Елисеевой. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 576 с.
