CC BY
39М^аТемаТичессие методы В экономике
РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕСНОТЫ СВЯЗИ И АВТОКОРРЕЛЯЦИИ В ОСТАТКАХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ: «ПРИРАЩЕНИЕ ОСНОВНОГО КАПИТАЛА»
И «ИНВЕСТИЦИИ»
В.С. ЛЕВИН,
кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой финансов и кредита ФГОУВПО «Оренбургский государственный аграрный университет»
В отечественной статистике сложнейшую проблему измерения тесноты связи между временными рядами разрабатывали В. Н. Афанасьев, М. М. Юзба-шев, А. А. Френкель, О. П. Крастинь, С. П. Бобров, Н. С. Четвериков, Б. С. Ястремский, Н. К. Дружинин, Р. П. Рудакова, Е. В. Лунеева и др. [1, с. 180]. Проводимые этими учеными исследования сегодня дополнены положениями теории о коинтеграции временных рядов, которая позволяет объяснить истинность причинно-следственных связей. Другой важной проблемой, с которой сталкивается исследователь временных рядов, нашедшей отражение во всех современных учебниках по эконометрике, является наличие автокорреляции (серийной корреляции) в остатках временных рядов. Таким образом, при прогнозировании временных рядов необходимо решить две неразрывно связанные проблемы: с одной стороны, необходимо определить наличие истинной (не ложной) связи между временными рядами, с другой стороны, важно исключить взаимосвязь между уровнями этих временных рядов.
Очевидным является тот факт, что инвестиции с определенной задержкой во времени переходят в приращение основного капитала. Воспользуемся информацией, используемой О. О. Замковым [2, с. 73 — 99]. Для анализа возьмем данные об инвестициях и приращениях основного капитала (вводе основных производственных фондов) в России в 1965 — 1990 гг., млрд руб. (в сметных ценах 1984 г.). Данный период характеризуется устойчивым ростом этих показателей и рассматривается нами
как отдельный самостоятельный этап развития инвестиционного процесса в России, который заслуживает отдельного исследования [3].
1. Доказательство истинности причинно-следственных связей между инвестициями и приращениями основного капитала
В учебнике, подготовленном коллективом авторов под общим руководством И. И. Елисеевой [4, с. 447 — 449], представлены два основных метода тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов.
Одним из них является использование величины критерия Дарбина — Уотсона В отличие от традиционной методики его применения в данном случае проверяют гипотезу о том, что полученное фактическое значение критерия DW равно нулю. При этом приводятся следующие критические значения, полученные методом Монте-Карло: 1 % — 0,511; 5 % - 0,386 и 10 % - 0,322. Если результаты тестирования показывают, что фактическое значение критерия превышает критическое значение для заданного уровня значимости, нулевую гипотезу об отсутствии коинтерграции временных рядов отклоняют. В нашем случае фактическое значение критерия DW=0,53, что больше критического значения при уровне значимости 1 %, а значит, между временными рядами инвестиций и приращений основного капитала существует коинтеграция, т. е. взаимосвязь между ними истинна.
Коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням этих временных рядов, равен 0,99. Это говорит об очень тесной прямой связи между инвестициями и приращениями основного капитала за период с 1965 по 1990 г. Однако при расчете параметров уравнения регрессии мы сталкиваемся с другой проблемой — автокорреляцией в остатках (значение критерия DW свидетельствует о наличии положительной автокорреляции в остатках). Поэтому найденные оценки параметров уравнения регрессии не будут являться эффективными ввиду нарушения предпосылок МНК в этом уравнении.
2. Решение проблемы автокорреляции
Если в данных временных рядов обнаружена автокорреляция, ее необходимо нейтрализовать или как-то учесть, прежде чем полученную функцию регрессии можно будет использовать для прогноза. Выбор подходящего метода обработки данных при наличии серийной корреляции зависит от того, что является ее первопричиной. Автокорреляция может появиться из-за некоторой систематической ошибки, например пропущенной переменной. В других случаях коррелируют слагаемые ошибок в корректно определенной во всех остальных отношениях модели.
Решение проблемы серийной автокорреляции начинается с оценки модели регрессии. Подходит ли ее функциональная форма? Не пропущена ли важная независимая переменная? Имеются ли какие-то повторяющиеся явления, которые накладывают свой отпечаток на значения данных во времени и вызывают эффект автокорреляции ошибок?
Поскольку основной причиной автокорреляции ошибок в регрессионной модели является пропуск одной или нескольких важных переменных, наилучший подход к решению проблемы — найти их. В некоторых случаях подобные действия называют процедурой улучшения спецификации модели. Спецификация модели включает не только выбор необходимых независимых переменных, но и введение этих переменных в функцию регрессии должным образом. К сожалению, модель может быть улучшена не всегда — пропущенные переменные могут не поддаваться количественному определению или же данные по ним могут быть просто недоступны. Например, можно предполагать, что величины инвестиций в будущий
сЗ Ч 140
Л
а ^ 120
я
и о 100
и
о ю
I « о а 80
И ч
о о & 60
3
X 40
<и
1 20
¡8
а 0
С
период связаны с мнением потенциальных инвесторов. Однако очень сложно измерить количественно переменную «мнение». Тем не менее когда это возможно, спецификация модели обязательно должна быть согласована с теоретическим смыслом и интуитивным пониманием величин данных.
Один из методов устранения влияния автокорреляции — добавление в функцию регрессии пропущенной переменной, объясняющей связь значений зависимой переменной в разные периоды времени [5, с. 397 - 399].
Несмотря на высокое качество аппроксимации приращений основного капитала величинами инвестиций, осуществленных в России в период с 1965 по 1990 г. = 0,98), уравнение регрессии на рис. 1 не пригодно для прогнозирования, так как в данных присутствует авткорреляция. Возможно, что существуют переменные, за счет которых можно обосновать дополнительную вариацию результативной переменной и уменьшить отрицательный эффект от автокорреляции.
Для этого будем использовать систему показателей исторических национальных счетов России, охватывающих период с 1961 по 1990 г. и описанных А. Н. Пономаренко [6, 7]. Предположим, что показатели, характеризующие экономический рост в исследуемом периоде, помогут нам в объяснении дополнительных приращений основного капитала.
В качестве дополнительных возможных независимых переменных нами были взяты:
1) показатели, характеризующие ВВП России, рассчитанные производственным методом в текущих ценах, млрд руб. (выпуск в основных ценах, промежуточное потребление, валовая добавленная
у = 0,8948х + 2,6118
50 100 150
Инвестиции, млрд руб.
200
Рис. 1. График регрессии для данных об инвестициях и приращениях основного капитала в России за период 1965 — 1990 гг.
0
стоимость в основных ценах, чистые налоги на продукты и импорт, ВВП в рыночных ценах) [6, с. 65];
2) производственная и непроизводственная сферы в текущих ценах, млрд руб. (ВВП в рыночных ценах, валовая добавленная стоимость в производственной сфере, валовая добавленная стоимость в непроизводственной сфере, чистые налоги на производство и импорт) [6, с. 66];
3) ВВП России, рассчитанный методом расходов в текущих ценах; млрд руб. (ВВП — всего, расходы на конечное потребление, валовое накопление, чистый экспорт, статистическое расхождение) [6, с. 75 — 76];
4) расходы на конечное потребление в текущих ценах; млрд руб. (расходы на конечное потребление— всего, расходы домашних хозяйств на конечное потребление, расходы правительства и НКО на конечное потребление — всего, расходы правительства на индивидуальные услуги, расходы правительства на коллективные услуги, расходы НКО на конечное потребление) [6, с. 76 — 77];
5) рост производства в натуральном выражении по отраслям, в процентах к предыдущему году (шесть временных рядов) [7, с. 244];
6) рост производства в натуральном выражении по отраслям промышленности, в процентах к предыдущему году (одиннадцать временных рядов) [7, с. 245];
7) альтернативные расчеты темпов экономического роста, в процентах к предыдущему году (четыре временных ряда) [7, с. 247];
8) альтернативные расчеты базисных темпов роста, в процентах к 1961 г. (четыре временных ряда) [7, с. 248];
9) «согласованный» индекс роста по отраслям промышленности, в процентах к предыдущему году (одиннадцать временных рядов) [7, с. 253];
10) «согласованные» индексы экономического роста, в процентах (три временных ряда) [7, с. 256].
Всего рассматривалось в качестве второй независимой переменной 59 временных рядов, только 10 из них оказались пригодными с точки зрения значимости параметров уравнения регрессии по F-и ¿-критериям, и только три переменные из десяти оказались пригодными по критерию DW. Одна из них — темпы роста торговли в натуральном выражении, в процентах к предыдущему году.
В таблице наряду с данными о приращениях основного капитала и инвестициях представлены темпы роста торговли за период с 1965 по 1990 г.
Также приведены регрессионные остатки, необходимые для расчета статистики DW.
Измененная двухфакторная модель объясняет 99,4 % изменчивости приращений основного капитала. Темпы роста торговли влияют отрицательно на результативную переменную. Все факторы значимы по ¿-критерию. Значение статистики ДЖравно 1,38. Из табл. В. 6 приложения Б [5] для уровня значимости 0,01, п = 26 и k = 2 получаем следующее: L = 1,00; и = 1,31. Поскольку DW = 1,38 > и = 1,31, очевидно, что серийная корреляция отсутствует. Для прогноза приращений основного капитала функцию У = 132,25 + 0,86Х1 — 1,2Х2 можно использовать с полной уверенностью, что ошибки будут независимы.
Другим показателем, который можно использовать при прогнозировании приращений основного капитала, не опасаясь за автокорреляцию остатков, является «альтернативный вариант В» расчета базисных темпов роста, основанный на применении имплицитных индексов-дефляторов на базе данных БНХ. По сравнению с вариантами А, Б и Г вариант В «показывает быстрый рост российской экономики, что весьма близко соответствует официальным показателям экономического роста, основанным на расчетах реального национального дохода» [6, с. 248]. Таким образом, при прогнозировании приращений основного капитала кроме объемов инвестиций существенную роль оказывают темпы экономического роста.
Данная модель объясняет 99,5 % изменчивости приращений основного капитала. Темпы роста экономики влияют положительно на результативную переменную. Все факторы значимы по ¿-критерию. Значение статистики DW = 1,62 > и = 1,31 для уровня значимости 0,01, п = 26 и k = 2, а значит, что серийная корреляция отсутствует.
Третьей переменной, которая устраняет автокорреляцию в используемых данных и может использоваться в прогнозировании приращений основного капитала, является временной ряд темпов роста производства в других отраслях. В «другие отрасли» не входят промышленность, сельское хозяйство, строительство, транспорт и торговля [6, с. 244].
Наши расчеты показали, что модель парной регрессии объясняет 99,1 % изменчивости приращений основного капитала. Фактор Х2 — темпы роста в других отраслях экономики — влияет отрицательно на результативную переменную, все факторы значимы по ¿-критерию. Значение статистики DW = 1,71 > и = 1,31 для уровня значимости 0,01,
Данные о приращениях основного капитала, инвестициях, темпах роста торговли и регрессионных остатках за период с 1965 по 1990 г. в России
Год Приращения основного капитала, млрд руб., У Инвестиции, млрд руб., X Темпы роста торговли, %, X Предсказанные приращения основного капитала, млрд руб., У Остатки, млрд руб., е
1965 35,474 37,759 108,9 33,736 1,738
1966 37,096 40,131 107,8 37,110 -0,014
1967 40,319 43,412 108,8 38,740 1,579
1968 41,816 47,094 108,1 42,764 -0,948
1969 45,239 48,579 106,9 45,492 -0,253
1970 51,176 54,564 107,0 50,542 0,634
1971 54,609 58,884 106,4 54,997 -0,388
1972 56,980 63,251 106,4 58,770 -1,790
1973 62,604 66,325 104,8 63,353 -0,749
1974 66,280 71,378 106,2 66,032 0,248
1975 72,866 78,824 106,8 71,743 1,123
1976 74,958 82,968 104,4 78,213 -3,255
1977 76,798 85,849 104,1 81,064 -4,266
1978 83,654 91,336 103,7 86,286 -2,632
1979 83,814 92,301 103,6 87,240 -3,426
1980 92,488 94,299 105,0 87,280 5,208
1981 94,493 99,074 104,2 92,369 2,124
1982 100,106 102,840 99,9 100,801 -0,695
1983 105,455 107,293 102,3 101,758 3,697
1984 104,244 107,297 103,9 99,835 4,409
1985 106,429 110,957 101,7 105,646 0,783
1986 113,260 121,181 101,5 114,720 -1,460
1987 122,398 128,362 100,9 121,647 0,751
1988 121,601 138,250 107,6 122,121 -0,520
1989 124,794 143,895 108,5 125,914 -1,120
1990 121,350 143,971 111,7 122,127 -0,777
Источник: рассчитано автором по данным примера [2, с. 73 — 99 и 7, с. 244].
п = 26 и k = 2, а значит, что серийная корреляция также отсутствует.
Другим способом исключения автокорреляции является взятие разностей [5, с. 399 — 404]. Для того чтобы устранить серийную корреляцию для сильно автокоррелирующих данных, можно использовать разности их значений. Так, вместо записи уравнения регрессии относительно переменных Yи Х1, Х2,..., Хк данное уравнение может быть записано
Для разностей = Ъ - и Хд= Хл - Х-11 Хп = X 2 — Х-12 и т. д. Разности следует использовать, когда значение статистики DW, вычисленное для начальных переменных, близко к нулю.
Другой вариант решения данной проблемы может быть найден посредством логарифмической линейной модели. Это позволит оценить показатель эластичности приращений основного капитала по отношению к инвестициям. Показатель эластичности демонстрирует, на сколько процентов увеличивается результативный показатель при увеличении факторного на 1 %.
Переходим к логарифмической линейной регрессионной модели, выраженной в виде:
Ln Ъ = Ро + Р, Ln X + е „ (1)
где Ln Ъ — натуральный логарифм приращений основного капитала; Ln X — натуральный логарифм объема инвестиций; е 1 — слагаемое ошибки; Р0 — свободный член; р, — коэффициент регрессии (отношение эластичности приращений основного капитала к инвестициям).
Результаты вычислений регрессионной зависимости переменной Ln (приращения основного капитала) от переменной Ln (инвестиций) показали, что 99,1 % изменчивости логарифма приращений основного капитала объясняется его зависимостью от логарифма объемов инвестиций. Регрессия высокозначима. Кроме того, эластичность приращений основного капитала оценивается в Ь1 = 0,991 со стандартной ошибкой 5Ь1 = 0,019. Однако значение статистики DW, равное 0,71, невелико и меньше L = 1,07, квантиля с уровнем значимости 0,01 для п = 26 и k = 1. Исходя из этого, можно сделать заключение, что корреляция между последовательными значениями ошибок положительна и велика.
Поскольку в результате анализа была обнаружена сильная серийная корреляция, мы решили перей-
ти к модели с разностями логарифмов приращений основного капитала и объемов инвестиций. Можно предположить, что коэффициент наклона в модели для разностей будет таким же, как и в начальной модели с логарифмами. Поэтому по-прежнему можно непосредственно оценить показатель эластичности результативной переменной. Свободный член регрессионной модели для разностей оказался незначимым, поэтому был исключен из модели регрессии. Результаты вычислений говорят о том, что регрессия значима. Оценка эластичности дохода равна Ь1 = 0,879 со стандартной ошибкой £Ь1 = 0,104. Оценка эластичности Ь1 изменилась незначительно по сравнению с первой регрессией (увеличение на 1 % приращений основного капитала соответствует увеличению примерно на 0,88 % годовых объемов инвестиций во втором случае по сравнению с 0,99 % — в первом случае), однако стандартная ошибка оценки (£Ь1 = 0,104) более чем в пять раз больше предыдущей = 0,019). Предыдущая стандартная ошибка существенно занижает истинную стандартную ошибку по причине серийной корреляции.
Анализируя статистику DW= 2,56 для п = 25, k= 1 и уровня значимости 0,01, мы обнаружили, что и= 1,21< DW= 2,56 < 4 — и= 2,79. Поэтому нет оснований отклонять нулевую гипотезу о том, что автокорреляция остатков отсутствует. Изучение автокорреляций остатков показало в автокорреляционной функции, что они хорошо укладываются между двумя прямыми стандартных ошибок для нескольких первых значений запаздываний. В результате мы пришли к выводу, что серийная корреляция устранена, и можно использовать полученное уравнение для прогноза.
Другим способом устранения автокорреляции остатков является использование обобщенных разностей и итерационный подход в соответствии с методом Кохрейна-Оркатта [5, с. 404 — 407]. В соответствии с ним необходимо оценить значение коэффициента автокорреляции остатков первого порядка р, а затем подобрать другие параметры модели, используя оценку У. Для оценки р и последующей эффективной оценки коэффициентов регрессии можно использовать также процедуру, рассмотренную в [4, с. 446 — 453].
Для получения новых оценок параметров, для которых не нарушается свойство эффективности, выполним следующий порядок действий.
1. Найдем оценку коэффициента автокорреляции остатков первого порядка по формуле:
р =1 — DW/2 = 1 — 0,670/2 = 0,665.
2. Проведем пересчет исходных данных с учетом параметра р.
3. Определим параметры уравнения регрессии У'и X'обычным МНК. Получим:
у; = 2,705 + 0,831 X; + е(.
4. Пересчитаем параметр Р0 по формуле:
р0 = Р0 / (1 — 0,665) = 2,705/0,335=8,081.
Уравнение регрессии зависимости приращений основного капитала от объемов инвестиций имеет вид:
У = 8,081 + 0,831Х( + е..
Коэффициент детерминации для этого уравнения равен 0,915. Для коэффициента регрессии ¿-критерий составил 15,7. Критерий DWсоставил 1,766, что выше верхней границы и = 1,22 при уровне значимости 0,01 для выборки с п = 26 значением и k = 1 независимой переменной. Следовательно, в скорректированных на коэффициент автокорреляции остатков значениях временных рядов отсутствует автокорреляция, полученные результаты можно считать статистически значимыми и использовать в прогнозировании.
Одним из путей решения проблемы серийной корреляции является модель, где зависимая переменная, взятая с запаздыванием на один или больше периодов, рассматривается в качестве независимой переменной. Регрессионные модели, сформулированные таким образом, называются моделями авторегрессии [5, с. 408 — 409].
Рассчитаем параметры уравнения модели авторегрессии для данных о приращениях основного капитала за 1965 — 1990 гг. в России. В качестве У1 будем использовать приращениях основного капитала из таблицы, а в качестве У-л возьмем эти же значения, но с задержкой (лагом) на один год. Таким образом, для вычисления регрессии теряется по одному уровню для У и У-л. Регрессионный анализ зависимости приращений основного капитала от своих лагированных значений показал следующее: константа Ь0 = 4,579; коэффициент регрессии Ь1 = 0,985; стандартная ошибка коэффициента регрессии Sb1 = 0,021; R2 = 0,988.
Уравнение регрессии имеет вид:
У = 4,579 + 0,985 У-л + е.
При оценке достоверности моделей авторегрессии необходимо учитывать специфику тестирования этих моделей на автокорреляцию остатков. Как указано в [4, с. 492], в таких случаях нельзя использовать обычный критерий DW. Здесь может применяться критерий к Дарбина, рассчитываемый по формуле:
и л ь=(1 -—> ■
1 - nV
(2)
где V — квадрат стандартной ошибки.
п
АКФ остатков
Lag ^гг. S.E.
1 - ,223 ,1886
2 + ,038 ,1846
3 - ,201 ,1805
4 - ,115 ,1764
5 + ,220 ,1721
6 - ,018 ,1678
7 + ,085 ,1633
8 - ,122 ,1587
9 + ,083 ,1540
10 - ,246 ,1491
11 + ,096 ,1440
12 - ,036 ,1388
13 + ,085 ,1333
14 - ,050 ,1277
15 - ,177 ,1217
Q P
1 ,40 , 2362
1 ,45 , 4854
2 ,68 , 4435
3 ,11 , 5402
4 ,74 , 4 4 87
4 ,75 , 5764
5 ,02 , 6574
5 ,61 ,6910
5 ,90 , 7501
8 ,62 , 5687
9 ,06 ,6162
9 ,13 ,6918
9 ,53 ,7315
9 ,69 ,7845
11 ,82 , 6929
Рис. 2. Автокорреляционная функция остатков приращений основного капитала в модели авторегрессии (приложение STATISTICA)
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
0
Полученное значение критерия к Дарбина, равное — 0,619, попадает в интервал — 1,96<к< 1,96. Это свидетельствует о том, что нет оснований отклонять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков. Этот вывод можно также подтвердить анализом автокорреляционной функции, представленной на рис. 2.
Таким образом, в проведенном исследовании: 1) установлена истинная корреляционная связь между объемами инвестиций и приращениями
основного капитала, которая характеризуется высокой теснотой связи за период с 1965 по 1990 г.; 2) предложены методы устранения автокорреляции остатков в исследуемых рядах: улучшение спецификации модели посредством добавления пропущенных переменных, взятие натуральных логарифмов и нахождение их разностей, корректировка уровней временных рядов на коэффициент автокорреляции остатков первого порядка и использование моделей авторегрессии.
Литература
1. Афанасьев В. Н, Юзбашев М. М. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 228 с.
2. Замков О. О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе: Курс лекций. — М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 122 с.
3. Левин В. С. Лаговые модели инвестиционных процессов с независимыми переменными // Финансы и кредит. - 2006. - №18 (222).
4. Эконометрика: Учебник/ И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др., Под ред. И. И. Елисеевой. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2005. — 576 с.
5. Ханк Д. Э, Уичерн Д. У., Райтс А. Дж. Бизнес-прогнозирование, 7-е изд.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. — 656 с.
6. Пономаренко А. Н. Исторические национальные счета России: 1961 — 1990 гг. // Экономический журнал ВШЭ. — 2001. — №1. — С. 57 — 82.
7. Пономаренко А. Н. Исторические национальные счета России: 1961 — 1990 гг. // Экономический журнал ВШЭ. — 2001. — №2. — С. 238 — 261.
