CC BY
9УДК 621.3.078
СИНТЕЗ ФИНИТНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОДШИПНИКОМ
А.В. Стариков
Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Синтезирован регулятор, обеспечивающий финитное управление электромагнитным подшипником. Показано, что применение такого регулятора обеспечивает переходные процессы, заканчивающиеся за пять тактов. В то же время в системе управления электромагнитным подшипником наблюдается большая статическая ошибка.
Ключевые слова: финитный регулятор, дискретная передаточная функция, система управления, электромагнитный подшипник.
В цифровых системах нашло применение так называемое финитное управление [1], позволяющее за строго фиксированное количество тактов, определяемое порядком знаменателя дискретной передаточной функции системы, перевести объект из одного состояния в другое. В этом случае при малых значениях периода дискретизации по времени будет наблюдаться высокое быстродействие системы при отработке как управляющих, так и возмущающих воздействий.
Синтезируем финитный регулятор для цифровой системы управления электромагнитным подшипником. При этом будем считать, что в системе используется только отрицательная обратная связь по перемещению ротора в поле электромагнитов. Тогда линеаризованная структурная схема цифровой системы управления электромагнитным подшипником будет выглядеть следующим образом (см. рисунок).
Линеаризованная структурная схема цифровой системы управления электромагнитным подшипником с финитным регулятором
На структурной схеме приняты следующие обозначения: Яфин (z) - дискретная
передаточная функция регулятора, обеспечивающего финитное управление; Ж0(z) -дискретная передаточная функция процесса перемещения ротора в поле электромагнитов с учетом экстраполятора нулевого порядка; kдП - коэффициент передачи безынерционного датчика положения ротора; лЗ (z) - изображение задающего воздей-
Александр Владимирович Стариков (к.т.н., доцент), доцент кафедры «Электропривод и промышленная автоматика».
240
ствия (как правило, равного нулю); х^) - изображение перемещения ротора; z = ерТ ; р - комплексная переменная; Т - период дискретизации по времени.
При управлении напряжениями на обмотках электромагнитов передаточная функция процесса перемещения ротора в поле электромагнитов как объекта управления [2]
КУ (р) = л( р = кшимКм
N (р)
kF
тТЭ 3 т 2
1^р +1Т р
kF kF
С k k ^
ЭМ Е
Тэ
V Ки Э J
р -1
где Ых (р) - изображение управляющего сигнала на входе силового преобразователя; kШИМ - коэффициент передачи широтно-импульсного модулятора; и - опорное напряжение силового преобразователя; kЭМ - коэффициент передачи, связывающий силу, действующую на ротор со стороны электромагнитов при его центральном положении, с соотношением токов в электромагнитах; kF - коэффициент передачи, характеризующий изменение силы, действующей на ротор, при его отклонении от центрального положения; т - масса ротора; ТЭ - постоянная времени электрической цепи обмоток электромагнитов; kE - коэффициент передачи, определяющий приращение наводимой в обмотках электромагнитов э.д.с. со скоростью перемещения ротора в магнитном поле.
С учетом того, что широтно-импульсный модулятор кроме преобразования входного кода в скважность выполняет функцию экстраполятора нулевого порядка, дискретная передаточная функция объекта [3]
К( *) = ,
2 + Яц2 + #222 + ^33
где а1, Ь1, с1, а11, а22 и а33 с - коэффициенты, зависящие от параметров электро-
магнитов, ротора и силового преобразователя.
Дискретную передаточную функцию цифрового регулятора, обеспечивающего финитное управление в рассматриваемой системе управления электромагнитным подшипником, будем искать в виде
2
(2)=. р)
2 + Г12 + Г2
Для определения неизвестных коэффициентов §0, §1, §2, г1 и г2 найдем дискретную передаточную функцию замкнутой системы:
ф(2) = Х(2) = Ь0024 + Ь0123 + Ь02 2 2 + Ь032 + Ь04 (2)
хЗ (2) 25 + а0124 + а02 23 + а03 2 2 + а04 2 + а05
где Ь00 = а1 §0 ; Ь01 = Ь1 §0 + а1 §1 ; Ь02 = с1 §0 + Ь1 §1 + а1 §2 ; Ь03 = с1 §1 + Ь1 §2; Ь04 = с1 §2 ; а01 = Г1 + а11 + а1^ДП§0 ; а02 = а22 + а11Г1 + Г2 + кДП (Ь1 §0 + а1 §1 ) ;
а03 = а33 + а22 Г1 + а11Г2 + kДП (с1 §0 + Ь1 §1 + а1 §2 ) ; а04 = а33Г + а22 Г2 + kДП (с1 §1 + Ь1 §2 ) ; а05 = а33Г2 + с1кДП§2 .
Финитное управление требует, чтобы знаменатель передаточной функции (2) имел только нулевые корни, то есть необходимо, чтобы
у (2) = Ь00 2 4 + Ь012 + Ь02 2 2 + Ь03 2 + Ь04
25
Для выполнения этого условия приравняем нулю все коэффициенты знаменателя (2) при степенях 2 ниже пятой. В результате получим систему пяти уравнений, связывающих между собой параметры регулятора с коэффициентами дискретной передаточной функции объекта управления:
(3)
Г1 + а11 + alkдпgo = 0; а22 + а11г1 + г2 + кдп (Ь1 go + а1 gl) = 0; а33 + а22Г1 + а11Г2 + кдп (С go + Ь1 gl + а1 g2) = 0; а33Г1 + а22Г2 + кДП (С gl + Ь1 g2) = 0; а33Г2 + C1kДПg2 = 0-
Решая систему (3) относительно переменных g0, g1, g2, г1 и г2, найдем на стройки цифрового регулятора, обеспечивающего финитное управление электромаг
нитным подшипником:
g 2 =
^2^6 +^3^5
{У4У5 [а1а33(Ь1 а1а11) + с1У1 ]У 2 } kДП
где У1 = с1 + а 1 а121 - а1а22 - Ь1а11;
У2 = (Ъ1 - а1а11)(а1а33 + Ь1а22 - а1а11а22) + (с1 - а1а22)Е1;
Е3 (^^1 а^33 I Ъъ а^22 а^1 а-11 а-22)('^^а-11 а-22 а^33 а11) (а-11 а-22 а-11 а-33 а-22) ^^1;
У4 = а1(а1а33 + Ъ1а22 - а1а11а22) + Ъ1Е1; У5 = а33 ^(Ъ1 - а1а11)2 - а1У1 ^;
У6 = а33 ^(ап - а22)^1 - (Ъ1 - а1а11 )(2аца22 - а33 - а11 ^ ;
= У3 - кдпУ4§2 ^ = 2аца22 - а33 - ац - (Ъ1 - аlаll)kдп§1 - а1кДП§2 ,
§1 = И- у ; §0 = I- у ;
'^ДП У2 '^ДП У1
Г2 = а11 - а22 - (Ъ1 - alal1)kДП§0 - а^ДП§1 ; Г1 = -(а11 + alkДП§0) .
Моделирование электромагнитного подшипника с регулятором вида (1) в программной среде Ма1кЬ Simulinк показывает, что переходные процессы в системе заканчиваются за пять тактов, то есть действительно наблюдается финитное управление. В то же время в рассматриваемой системе наблюдается статическая ошибка положения ротора. Например, в электромагнитном подшипнике, разработанном для ротора с массой т = 36 кг, при периоде дискретизации Т = 0,01 с смещение ротора от центрального положения под действием собственного веса составит Ах = 0,337 мм. Это объясняется тем, что регулятор (1) представляет собой статический импульсный фильтр. Аналогичные результаты получаются и при синтезе финитного регулятора в системе управления электромагнитным подшипником, использующей две обратные связи: по положению ротора и току в обмотках электромагнитов [4]. Поэтому можно сказать, что применение принципа финитного управления при разработке электромагнитного подшипника сталкивается с проблемой обеспечения требуемой точности поддержания ротора в центральном положении.
1. ЦыпкинЯ.З. Основы теории автоматических систем. - М.: Наука, 1977. - 560 с.
2. Макаричев Ю.А., Стариков А.В. Теоретические основы расчета и проектирования радиальных электромагнитных подшипников. - М.: Энергоатомиздат, 2009. - 150 с.
3. Стариков С.А. Влияние квантования по времени на свойства цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - № 1 (33). - 2012. - Самара: СамГТУ, 2012. - С. 165-174.
4. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: Теория, расчет, применение. - СПб.: Политехника, 2003. - 206 с.
Статья поступила в редакцию 3 мая 2012 г.
SYNTHESIS OF THE FINITE REGULATOR FOR THE CONTROL SYSTEM BY THE ELECTROMAGNETIC BEARING
A. V. Starikov
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
The regulator providing the finite control by the electromagnetic bearing is synthesized. It is shown that application such a regulator provides the transients which are coming to an end for five steps. At the same time in a control system of the electromagnetic bearing the big static error is observed.
Keywords: the finite regulator, discrete transfer function, a control system, the electromagnetic bearing
Alexander V. Starikov (Ph.D. (Techn.)), Associate Professor.
