CC BY
13УДК 621.3.078
ВЛИЯНИЕ КВАНТОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ НА СВОЙСТВА ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОДВЕСОМ РОТОРА
С.А. Стариков
Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Рассмотрена математическая модель цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора. Найдены дискретные передаточные функции непрерывной части системы с учетом экстраполятора нулевого порядка, цифровых регуляторов и замкнутой системы управления. Определены значения периода дискретизации, при которых цифровая система управления находится на границе устойчивости.
Ключевые слова: электромагнитный подвес, цифровая система управления, структурная схема, дискретная передаточная функция, экстраполятор нулевого порядка, период дискретизации.
Применим математический аппарат z-преобразований [1] для исследования влияния процесса квантования по времени на свойства электромагнитных опор, оснащенных цифровой двухконтурной системой управления [2].
Структурная схема одного канала такой системы управления с учетом импульсного характера передачи сигналов представлена на рис. 1.
хз (0
ИЭ1
— (-)
ИЭ2 Э
N0 [ п] [ИЭ2 N * [П Г-Ц N (*)
' Щ (р)—*
х(0 -9—►
Щосс(2)
IX!
ИЭ1
''ДП
Рис. 1. Структурная схема одного канала цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора с учетом импульсного характера передачи воздействий
На структурной схеме приняты следующие обозначения: ИЭ1 - импульсный элемент первого рода, который непрерывную функцию времени превращает в решетчатую; ИЭ2 - идеальный импульсный элемент второго рода, преобразующий дискретную последовательность N0 [п] в последовательность 5-функций N [п], т. е.
последовательность бесконечных по высоте и бесконечно коротких импульсов. Экстраполятор Э превращает эти импульсы в постоянные в течение такта значения N (г), которые воздействуют на объект управления.
Введение в структурную схему идеального импульсного элемента второго рода сделано с целью формального изображения экстраполятора в виде динамического звена с передаточной функцией Щэ (р). Цифровое управляющее устройство пред-
Станислав Александрович Стариков, аспирант.
ставлено дискретными передаточными функциями регуляторов Жпд (z), кп , сравнивающими устройствами и передаточной функцией дифференцирующего звена
Ксс (Ю-
Дискретная передаточная функция пропорционально-дифференциального регулятора, осуществляющего вычисление производной как первой обратной разности,
кпд (Тпд + Т)
Щпд(2) = ^^--------^-----^^2 , (1)
1 г
где Т - период дискретизации, кПд и Тщ - коэффициент передачи и постоянная
времени пропорционально-дифференциального регулятора, г = ерТ - комплексная переменная.
Полагая, что дифференцирующее звено также использует в своем алгоритме работы первую обратную разность,
Щосс (г) = коСС1г ~1 , (2)
Тг
где кОСС - коэффициент передачи обратной связи по скорости.
Функция экстраполятора в рассматриваемой системе управления возложена на цифровой широтно-импульсный модулятор силового преобразователя, питающего обмотки электромагнитов. Известно [1], что применение более сложного экстрапо-лятора, чем экстраполятор нулевого порядка, в цифровых системах управления ничем не оправдано. Поэтому найдем дискретную передаточную функцию непрерывной части системы управления электромагнитным подвесом ротора именно с учетом экстраполятора нулевого порядка.
В рассматриваемом случае непрерывная часть системы представлена передаточной функцией одной оси электромагнитного подшипника по отношению к управляющему воздействию [3]:
х(р) кШИМкЭМ
№Оу (р) =
ОУ N ( р)
тТЭ з т 2 (кЭМк ^
~/Р +Т~ Р
kF kF
ЭМ Е _ т
V Э у
Р _ 1
где х(р) - изображение перемещения ротора в поле электромагнитов; N(р) - изображение управляющего сигнала на входе силового преобразователя; кШИМ - коэффициент передачи широтно-импульсного модулятора; и - опорное напряжение силового преобразователя; кэМ - коэффициент передачи, связывающий силу, действующую на ротор со стороны электромагнитов при его центральном положении, с соотношением токов в электромагнитах; кР - коэффициент передачи, характеризующий изменение силы, действующей на ротор, при его отклонении от центрального положения; т - масса ротора; Тэ - постоянная времени электрической цепи обмоток электромагнитов; кЕ - коэффициент передачи, определяющий приращение наводимой в обмотках электромагнитов э.д.с. со скоростью перемещения ротора в магнитном поле.
Поскольку как минимум один коэффициент характеристического полинома этой передаточной функции является отрицательным, то электромагнитный подшипник представляет собой неустойчивый объект управления, что, впрочем, объясняется
наличием положительной обратной связи с коэффициентом передачи кР. Как правило, передаточную функцию электромагнитного подвеса ротора можно представить в виде последовательно соединенных неустойчивого апериодического [4] и колебательного звеньев
^ОУ (р) =-------------Йт-----------, (3)
(ТНАр - 1)(Т2р + 2%ТКр +1) ^
где кОУ = ^ШИМ^ЭМ— коэффициент передачи объекта управления; ТНА - постоянная кР
времени неустойчивого (с отрицательным самовыравниванием) апериодического звена; ТК - постоянная времени колебательного звена; £ - параметр затухания.
Дискретная передаточная функция непрерывной части в случае использования экстраполятора нулевого порядка находится по известному правилу [1]
Ж0 (2) = 2-1Z ^°Лр±| . (4)
В соответствии с формулами (3) и (4) дискретная передаточная функция процесса перемещения ротора в поле электромагнитов с учетом экстраполятора нулевого порядка определится выражением
^0 (2) = кОу—Z {(Т-------1)(Т2 22 + 2РТ + 1) } . (5)
2 I(Тнар - 1)(Ткр + 2£Ткр +1)р)
Разложим выражение в фигурных скобках (5) на сумму элементарных дробей
А В Ср + D
вида —; -------- и ——---------------:
р Тнар -1 Ткр + 2£Ткр +1
1 = А В Ср + D
(ТнаР - 1)(ТкУ + 2£Ткр +1)р р Тнар -1 ТКр + 2£Ткр +1 ()
Для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D приведем правую часть выражения (6) к общему знаменателю и приравняем числитель полученной дроби к 1:
(ТнаТк2А + Т2КВ + ТНАС)рЪ +[(2£ТкТна -Т2)А + 2£ТКВ + Тн^ - С~\р2 +
+[(ТНЛ - 2£Тк)А + В - D]р - А = 1
Анализ выражения (7) показывает, что в нем будет наблюдаться равенство при А = -1 и выполнении системы уравнений
-ТНЛТ2К + ТК В + ТнаС = 0;
Тк2 - 2£ТкТна + 2£ТкВ + ТН/Р - С = 0;
2£Тк - ТНА + В - D = 0.
Решая (8) относительно коэффициентов В, С и D, получим:
(8)
2£ТкТНа + ТНа + Тк
К
С = тк № + Тк ) (10)
2£ТкТна к Т2а к ТК
D =
ТЖТнл + '(Тк — Ти,)
Т2 + т 2
J- ил I v
(11)
2^ТКТНА 1 * НА ' *К
Следовательно, в соответствии с выражениями (5), (9), (10) и (11) дискретная передаточная функция объекта управления с учетом экстраполятора нулевого порядка
Wo ( z) = ko
z—1
Z
1
1
P 1(ТкТНА + THA + Тк THAP — 1
Тк3('(Тнл + Тк)
'(ТкТнл + Тіл + Т
p
Тк'(4|2Тнл + 1(Тк — Ти,) '(ТкТнл + Ті, + Тк2
(Тк2 p2 + '(ТKp +1)
(12)
Определяя по таблицам z-преобразований [1] изображения элементарных дробей и подставляя их в (12), после несложных преобразований получим
а1 г2 + Ь1 г + с1
W.( z) =
где
z3 — (d1 + 'd2 cos pT)z2 + (d22 + 2d1d1 cos pT)z — d1d22
a1 =-
(dl — 1)ТІА — (1 — d' cos рт ШТкТнА + Тк2) + + [(Тк + (1 — Є)ТШ ]
'(Vi,
; d1 = e1
; d2 = e
Тк
b1 =
1d2 (1 — d1)Tj'A cos pT + (d1 + d2 cos pT — d22 — d1d2 cos pT) x x('(TKTHA + Тк') — (1 + dl)psinpT [(Тк + (1 — i2)THA ]
'(ТкТнл + ті, + тк
d2 (d1 — 1)ТНа + dld'(d2 — cos pT)(1|1K1"нА + Тк ) + + d1d2 sin pT pe,
+ p
p=
Cl — і і
'(Т^а + Ті, + Тк
При переходе к z-преобразованиям структурная схема цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора принимает вид, приведенный на рис. 2.
На структурной схеме введены новые обозначения:
a10 = —(d1 + 1d2 cos pT); a20 = d22 + 1d1d2 cos pT ; a30 = —d1d22.
Учитывая, что правила преобразования структурных схем цифровых систем управления аналогичны правилам преобразования структурных схем непрерывных систем, найдем дискретную передаточную функцию первого (внутреннего) замкнутого контура
Wl(z) =
b01 z + b11 z + b21 z + b31 z
5 4 3 2
z + a^z + an z + a3l z + a4l z + a5
3
z
2
k
Т
2
2
к
k
к
k
Рис. 2. Структурная схема цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора при переходе к дискретным передаточным функциям
где Ь01 =
Ь21
кПДкоуа1 (ТПД + Т) . Ь = кПДкОУ (ТПД + Т)
т
кщкоу (ТПД + т)
(
Ь1 -
а1ТПД
\
Ь1ТПД
V ~ТД+Т
- с
т + т
= — кПДкОУС1ТПД .
Т .
d1 + 2d2 cos (Т —
к11а1(ТПД + Т)
Т2
2 к11 \(Ь1 — 2а1 )ТПД + (Ь1 — а1)Т -
а21 = d2 + 2d1d2 С08 (Т +-----------------------------------------------[-—- ;
аз1 = —^2
к11 [(2Ь1 — а1 — С1 )ТПД + (Ь1 — с1)Т -1 .
Т2
= к11 [(Ь1 2с1)Тпд с1Т- . = к11С1ТПД . к = к к к
а41 = Т2 ’ а51 = Т2 ’ к11 = кПДкОССкДП ■
Дискретная передаточная функция внешнего контура
Ь02 2 + Ь12 2 + Ь22 2 + Ь32 2
1 + кПкдПЖ1( 2) 2 + а12 2 + а22 2 + а32 2 + а42 2 + а.
'-П'-дп
'ПД
где Ьо? = кгга1,(ТП1+Т); Ь1 ? =~т^[(Ь1— а1)ТПд + Ь1Т-;
к Т ’ 12 к т I-
кДПТ кДПТ
Ь22 = —~к^[(Ь1 — С1)ТПД — с1Т- ; Ь к22сТі
ПД
кДПТ
кДПТ
а12
d1 + 2d2 cos (Т —
(13)
а22 = d2 + 2dld2 со8 (Т +
(к11 + к22Т )а1(ТПД + Т)
т2
к11 [(Ь1 — 2а1 )ТПД + (Ь1 — а1)Т] к22 [(Ь1 — а1)ТПД + Ь1Т- .
аз2 =—№ +
ТТ
к11 [(2Ь1 — а1 — С1 )ТПД + (Ь1 — С1)т- к22 [(Ь1 — С1)ТПД — С1Т-1
Т2
Т
а11 =
^ _ к11 [(Ь1 2С1)ТПД С1Т ] к22С1ТПД . _ _ к11С1ТПД . 1г _ 1,
$42 _ т2 т . а52 _ т2 . к22 _ кПкПДкДП •
Полученная передаточная функция (13) показывает, что цифровая двухконтурная система управления электромагнитным подвесом ротора имеет характеристический полином пятого порядка. Очевидно, что на устойчивость цифровой системы будет оказывать влияние величина периода дискретизации Т. Найдем зависимость граничных значений периода ТГР в функции параметров системы управления. В устойчивой цифровой системе корни характеристического уравнения должны быть по модулю меньше 1, то есть должны лежать внутри круга единичного радиуса плоскости корней z [1]. Для рассматриваемой системы характеристическое уравнение имеет вид
2 + $12 2 + $22 2 + $32 2 + $42 2 + $52 _ 0. (14)
Использование известных критериев устойчивости для уравнения (14) невозможно. Поэтому подстановкой
1 + Н
2 _-------
1 - Н
перейдем от комплексной величины 2 к комплексной величине Н.
(1 + н)5 (1 + н)4 (1 + н)3 (1 + н)2 (1 + н)
------Г + $12------Т + $22------3 + $32------2 + $42------+ $52 _ 0. (15)
(1 - н)5 12 (1 - н)4 22 (1 - н)3 32 (1 - н)2 42 (1 - н) 52
Эта операция отображает внутреннюю часть круга единичного радиуса на левую половину н-плоскости [1], что позволяет использовать известные алгебраические критерии для характеристического уравнения (15). Умножая левую и правую часть (15) на (1 - н)5, после несложных преобразований получим
А Н + А1П’4 + А Н + А3 П’2 + А4 Н + А5 _ 0 , (16)
г^де А 1 $^12 + $22 ^$32 + ^$42 ^$52 . А1 5 3$12 I $22 I ^$32 3 $42 I 5 ^$52 .
А2 _ 10 - 2$12 - 2$22 + 2$32 + 2$42 - 10$52 . А3 _ 10 + 2$12 - 2$22 - 2$32 + 2$42 + 10$52 .
А4 5 + 3$12 + $22 ^$32 3 $42 5$52 . ^^5 1 + $^12 + ^$22 + ^$32 + ^$42 + ^$52 .
Для преобразованного характеристического уравнения (16) можно применить критерий устойчивости Гурвица, в соответствии с которым необходимым и достаточным условием устойчивости рассматриваемой системы является положительность всех коэффициентов А„, А1, А2, А3, А4, А5 и выполнение двух неравенств [4]
ДА, - АА3 ^ 0; ]
12 2 !> (17)
(А А2 - А А3ХА3 А4 - А2 А5) - (А А4 - А, А5)2 ^ 0.]
Как правило, второе неравенство в (17) является наиболее жестким для выполнения условия устойчивости. Дальнейшее преобразование неравенств системы (17) бессмысленно из-за сложности выражений и завуалированности параметра т под знаками косинуса, синуса и показательной функции. Поэтому целесообразно искать граничные значения ТГР численными методами.
Граничные значения ТГР можно также найти путем непосредственной оценки корней характеристического уравнения (14). Тем не менее применение условий устойчивости в виде (17) более удобно, поскольку не требует дополнительных затрат на вычисление модуля комплексно-сопряженных корней уравнения (14).
При параметрах электромагнитного подвеса кЕ _ 1461 Вс/м; кЭМ _ 1306 Н; кР _ 1315900 Н/м; т _ 36 кг; ТЭ _ 0,038233 с; и _ 57,7 В; ТПД _ 0,115 с; кОСС _ 0,0032 с; кШИМ _ 1,9608 -10-3; кДП _ 1000000 и вариации коэффициентов кПД и кП передачи регуляторов найдены значения ТГР периода дискретизации, при которых цифровая двухконтурная система управления будет находиться на границе устойчивости (см. таблицу).
Зависимость граничного значения ТГР периода квантования от величины кщ и кП
Значения кПД _ кП 1 2 4 8 16 32 64
ТГР , с 1,1 -10-3 0,55 -10-3 2,7-10-4 1,4-10-4 6,8-10-5 3,4-10-5 1,7 -10-5
х 10"'
X, х 1 о'3
Рис. 3. График переходного процесса по управляющему воздействию в цифровой двухконтурной системе управления электромагнитным подвесом ротора
Анализ данных таблицы показывает, что при увеличении коэффициентов передачи регуляторов необходимо увеличивать частоту квантования по времени. Например, при кПД _ кП _ 64 она должна превышать 58,823 кГц, что достичь как программными, так и аппаратными цифровыми средствами проблематично. Поэтому, ограничиваясь максимальными значениями коэффициентов передачи регуляторов кПД _ кП _ 8 и выбирая период дискретизации Т _ 0,0001 с, найдем численные значения дискретной передаточной функции цифровой двухконтурной системы управления электромагнитным подвесом ротора:
7ТЛ/ . 2,27 68-10-82 + 6,82 64-10-823 - 6,8 1 94-10-822 - 2,27 1 8-10-82
2) _—5-------------4------------3-----------2-----------------------. (18)
25 - 2,8836824 + 3,2451523 -1,6114222 + 0,159192 + 0,09087
График переходного процесса по управляющему воздействию (рис. 3), построенный в соответствии с выражением (18), показывает, что время переходного процесса составляет tПП _ 0,0023 с, а перерегулирование - а _ 6,35 %.
Выбор кПД _ кП обеспечивает показатели качества переходного процесса, близкие к техническому оптимуму. Следует отметить, что при предлагаемом подходе к выбору параметров регуляторов и периода дискретизации требования теоремы Котельникова выполняются автоматически.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бесекерский В.А., Ефимов Н.Б., Зиатдинов С.И. и др. Микропроцессорные системы автоматического управления / Под общ. ред. В.А. Бесекерского. - Л.: Машиностроение, 1988. - 365 с.
2. Патент России № 2375736, МКИ7 G05B11/36, Н02К7/09, Н02Р6/16. Система управления электромагнитным подвесом ротора / Ю.А. Макаричев, А.В. Стариков, С.А. Стариков (Россия) // Опубл. 10.12.2009, Бюл. № 34.
3. Макаричев Ю.А., Стариков А.В. Теоретические основы расчета и проектирования радиальных электромагнитных подшипников. - М.: Энергоатомиздат, 2009. - 150 с.
4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. -768 с.
Статья поступила в редакцию 17 января 2011 г.
THE TIME QUANTIZATION INFLUENCE ON PROPERTIES OF THE DIGITAL CONTROL SYSTEM BY ELECTROMAGNETIC SUSPENSION OF THE ROTOR S.A. Starikov
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
The mathematical model of the digital two-circuit control system by electromagnetic suspension of the rotor is considered. Discrete transfer functions of a continuous part of system with the account of zero-order hold, digital regulators and the closed control system are found. Values of sampling time at which the digital control system is on threshold of stability are defined.
Keywords: electromagnetic suspension, digital control system, block diagram, discrete transfer function, zero-order hold, sampling time.
Stanislav A. Starikov, Postgraduate Student.
