Дискретная математическая модель цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.52

Ю. А. Макаричев, А. В. Стариков, И. С. Ткаченко

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОДВЕСОМ РОТОРА

Рассмотрена дискретная математическая модель цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора. Приведены структурные схемы системы с учётом квантования сигналов по времени. Применён математический аппарат z-преобразований для определения дискретных передаточных функций отдельных элементов и системы управления в целом.

Для исследования цифровых систем широкое распространение получило ,г-преобразова-ние [1]. Этот математический аппарат учитывает квантование по времени, характерное для цифровых систем. Квантованием по уровню из-за высокой разрядности современных цифровых устройств можно пренебречь.

Одним из возможных вариантов структурного построения системы управления электромагнитным подвесом ротора является применение принципов подчинённого регулирования координат [2]. Структурная схема одного канала такой цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора с учётом импульсного характера передачи сигналов представлена на рис. 1. Здесь ИЭ1 — импульсный элемент первого рода, который непрерывную функцию времени превращает в решетчатую. ИЭ2 — идеальный импульсный элемент второго рода, преобразующий дискретную последовательность ^[п] в последовательность 5-функций М*[п], т. е. последовательность бесконечных по высоте и бесконечно коротких импульсов. Экстраполятор Э превращает эти импульсы в постоянные в течение такта значения N(£), которые воздействуют на объект управления. Передаточную функцию объекта управления (процесса перемещения ротора в поле электромагнитов) без учёта положительной обратной связи по перемещению можно представить в виде [3]:

тлг I \ кшими

НОу(р) =

кк

ти Тэ Р2 + ти р + -|

кккэм Э Р кккэм Р

Р

где кшим — коэффициент передачи широтно-импульсного модулятора; и — опорное напряжение широтно--мпульсной модуляции; Тэ = Я — электромагнитная постоянная времени обмоток электромагнитов; Ь — индуктивность, а Я — активное сопротивление обмоток электромагнитов; кэм — коэффициент передачи, связывающий приращение силы притяжения магнитов с изменением соотношения токов в их обмотках; т — масса ротора, приходящаяся на один радиальный электромагнитный подшипник; ке — коэффициент, связывающий наводимую в обмотках электромагнитов э.д.с. со скоростью перемещения ротора в магнитном поле.

Введение в структурную схему идеального импульсного элемента второго рода сделано с целью формального изображения экстраполятора в виде динамического звена с передаточной функцией Шэ(р). Цифровое управляющее устройство представлено дискретными передаточными функциями регуляторов №рс(г), №рп(£), сравнивающими устройствами и передаточной функцией обратной связи по скорости Жэсс^).

При переходе к г-изображениям структурная схема одного канала системы управления

Рис. 1. Структурная схема одного канала цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора с учётом импульсного характера передачи воздействий

2 _ 2ГдГи+^ьГГи__________ГдГи_____

* ГдГи+кГГи+Г2* ТдТи+кцТТм+Т2

ТдТи+кпТТи+Т2^ 11

ЩЬ(г)

х(г)

Рис. 2. Структурная схема одного канала цифровой системы управления электромагнитным подвесом ротора с учётом дискретных передаточных функций

электромагнитного подвеса ротора принимает вид, представленный на рис. 2.

Дискретная передаточная функция регулятора скорости, производящего вычисление производной сигнала рассогласования как первой обратной разности, а интеграла —как полной суммы, имеет следующий вид:

Tд(z -1) Tz

Мрс(£) =-----~------------+ кп + тр—.-гт

Tz Тж^ -1)

„2 2ТДТи+кпТТи „ ,

z — гг-----Г^Г-ч*? z +

ТДТИ

ТдТи+кТТи+Т2 z + ТдТи+кпТТи+Т2

ТТи

ТдТи+кпТТи+Т 2

где Т — период квантования (период дискретизации); z = ерТ; Тд = ’ кп = 2т1т ; Ти = 2к1Тц,

2кТ

с учетом того, что апериодическая составляющая в регуляторе не вычисляется, а ее роль выполняет динамическая модель процесса квантования по времени Т^ = Т.

Дискретная передаточная функция регулятора положения записывается в виде:

Мрп^) = крп =

кОСС кОСС

4Т

2Т

(1)

Дискретная передаточная функция непрерывной части системы (объекта управления) с учетом экстраполятора нулевого порядка имеет следующий вид:

) = г {Шэ(р тшу(р)} = г^рМу

р

Т

Разлагая выражение

Шоу(Р) Р

на элементарные дроби и переходя от изображений Лапласа к z-

преобразованиям, получим дискретную передаточную функцию объекта управления с учётом экстраполятора нулевого порядка вида

коу Н (z)

^ - 1№2 - 2zdео8вТ+й2) ’

(2)

где

9 1-2(2 Т

Н^) = az + bz+с; а = Т - 2£Т1 + 2£Т1й со8 вТ-в— й віп вТ; й = е Т1;

Ь = 2£Т1(1 - й 2) + ——д Є ) й 8Іп вТ - 2Тй сое вТ; в =^ ^ ‘

в

Т1

9 1-2І2 -е Т

с = й2(Т + 2^Ті)-----й 8Іп вТ - 2^Ті й сое вТй = е *Т1; Є =

Т1 = 1

І ти

кЕкЭМ

Тэ;

кЕкэм Тэ

ти

Регулятор скорости предназначен для компенсации полюсов передаточной функции (2), вызванных комплексно-сопряжёнными корнями, поэтому примем

2 2№ + 2 о J йт ,2

z--------- --------^z +------- -------;т = z -2zdcosBT + d .

ГдГи + kпTTи + T2 TдTи + kпTTи + T2

С учётом (2) дискретная передаточная функция замкнутого контура скорости запишется так:

ТЛ, ^ k2 zH (z)

TW3c (z) =----------------------------,

^ІСоССІСДп^ -1) [z3 - z2 + k2H(z)]

где k2 = TдTи + ^T^ + T2.

Дискретная передаточная функция системы управления электромагнитного подшипника по отношению к задающему воздействию x(z)с учётом выражения (1) имеет вид

тлт, Л x(z) blz3 + b2z2 + b3z

W (z) = —— =-4-----3----------------------------2-’ (3)

x (z) a0 z4 + a1 z3 + a2 z2 + a3 z + a4

„ і . „ Іп 3к2а\. „ ■, , к2(3Ь-2а), „ к2(2Ь-3с). „ к2с. . к2а . . к2Ь . . к2с

где ао = 1; а1 = ^ 2Т3 ); а2 = 1+ 2Т3 ; аз = 2Т3 ; а4 = Т3 ; Ь1 = 2кДпТ3 ; Ь2 = 2кДпТ3 ; Ьз = 2кДпТ3 •

Дискретная передаточная функция (3) позволяет исследовать устойчивость цифровой системы управления радиального электромагнитного подшипника, а также ее динамические характеристики по отношению к управляющему воздействию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Микропроцессорные системы автоматического управления [Текст] / В. А. Бесекерский, Н.Б. Ефимов, С. И. Зи-атдинов и др.; под общ. ред. В. А. Бесекерского. — Л.: Машиностроение, 1988. — 365 с. — КВМ 5-217-00176-3.

2. Рапопорт, Э.Я. Системы подчинённого регулирования электроприводов постоянного тока [Текст] / Э.Я. Рапопорт. — Куйбышев: КПтИ, 1985. — 56 с.

3. Макаричев, Ю.А. Математическая модель радиального электромагнитного подшипника как объекта управления [Текст] / Ю.А. Макаричев, Ал-р.В. Стариков, Ал-й.В. Стариков / Электротехнические системы и комплексы: Межвуз. сб. науч. тр. — Магнитогорск: МГТУ, 1998. —С. 80-86.

Самарский государственный технический университет, г. Самара

поступила 4.07.2006