CC BY
227
УДК 681.51:518.5.001.57
А.В. Семёнов, А.Р. Гайдук, Ю.А. Геложе МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МОМЕНТНОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА
Рассмотрен объект управления с моментным безредукторным электроприводом с ограниченным рабочий углом поворота ротора. Получены математические модели электропривода в виде дифференциальных уравнений, аналоговой и дискретной передаточных функций. Проведено моделирование в системе MATLAB с расширением Simulink.
Математическая модель; моментный электропривод; система управления
A.V. Semenov, A.R. Gayduk, Y.A. Gelozhe MATHEMATICAL MODEL OF MOMENT ELECTRIC DRIVE
Control object with moment gearless electric drive with restricted angle of effective rotation of the rotor is considered. Mathematical models of electric drive in a kind of differential equation, analog and digital function is obtained. Simulation with Simulink extension is done in MATLAB system.
Mathematical model; moment electric drive; control system.
.
рассогласования необходимый рабочий диапазон регулирования угловых координат обеспечивается, как правило, силовыми исполнительными приводами, а необходимая точность - корректирующими приводами с малым углом поворота. Значения углов поворота корректирующих приводов незначительные, и, обычно, составляют единицы градусов.
Для осуществления незначительных по величине изменений угловой ориентации оптической оси зеркала, можно применить моментный безредукторный электропривод с ограниченным рабочим углом поворота ротора, что исключает влияние люфтов и упругостей элементов редуктора на характеристики привода [1]. Это позволяет также считать, что электромагнитный момент, развиваемый исполнительным двигателем моментного привода, в установившемся режиме пропорционален величине управляющего воздействия и практически не зависит от угловых колебаний статора двигателя.
Описание конструкции корректирующего привода. Конструкция, рассматриваемого в работе однокоординатного электропривода, показана на рис.1. Магниты ротора крепятся на тыльной стороне зеркала. Для преобразования воз-вратно-пос^пательного движения магнитов в изменение угловой ориентации зеркала, оно установлено на оси вращения, как показано на рис. 1. Для создания сим, -телей (дапее моментный электропривод), расположенных симметрично относительно оси вращения зеркала.
Для управления зеркалом по двум координатам в системе использованы два моментных электропривода описанного типа, расположенные таким образом, чтобы их оси в пространстве были взаимно перпендикулярны.
Математическая модель моментного электропривода. С учетом противо-ЭДС, математическую модель моментного электропривода (рис.1), можно описать следующей системой дифференциальных уравнений:
d2 у
J^ — 2M - 2Мтр;
2M = 21(и)В1г — 1К1;
т di ТуГ <їу u — L-------+ lR + Ke
(1)
dt
dt
где у- угол поворота зеркала; J- момент инерции зеркала с магнитами; M-момент, создаваемый исполнительным двигателем; Мм/, - момент трения; B -индукция магнитного поля; i - ток, протекающий в катушках двигателя; u -напряжение на обмотках двигателя (управление); R, L - активное сопротивление и индуктивность катушки; l - общая длина витков катушки; г - расстояние между осями двигателей и осью вращения зеркала; Ki - коэффициент пропорциональности между током в обмотках двигателей и моментом [Нм/А]; Ке - коэффициент противоЭДС [Вс].
Статорная катушка
Магнит
Перейдем от системы уравнений (1) к уравнению «вход-выход» рассматри-. , момент трения пренебрежимо мал, т.е. Мтр ~ 0, из третьего уравнения системы (1), получим выражение для тока г
1 L ^ Ке dy R dt R dt
Подставляя это выражение в первое уравнение системы (1), получаем
К±.
R
J^l — ^
КЬ di КХе dy
и----1---+ - 1 е •
(2)
dt2 R R dt R dt
Так как 2М = К , то первое уравнение системы (1) можно представить в
виде
іК = 3
й 2у йі2
(3)
Дифференцируя левую и правую части равенства (3) по времени, получим выражение для производной тока й1/йг
йі
йі
(4)
К йг3 '
Наконец, подставляя выражение (4) в выражение (2), получаем искомое дифференциальное уравнение «вход-выход» электропривода (рис.1):
3 й Зу 3 й 2у йу 1
й у йу *2 йі
К
(5)
“ КиКе йі3 КиКе йі2 е
где Ки = Кі / Я - коэффициент пропорциональности между управляющим напряжением на обмотках двигателей и моментом М в установившемся режиме, [Нм/В]; Тк - постоянная времени статорных катушек, определяемая выражением Тк = Ь/Я.
Структурная схема моментного электропривода. Введя оператор дифференцирования р^й/йі в выражение (5), получим операторную передаточную функцию моментного электропривода
1
К1Э (Р) =
ї(і) и (і)
К
3
КиКе
ткр+
3
(6)
КиКе
2
р +р
Проведя ряд преобразований в выражении (6), представим передаточную функцию моментного электропривода следующим образом:
К
1
(Ткр +1) 3р
1
К
1
Ке
1.
р
(7)
(Т р 1) 3р
Структурная схема моментного электропривода, соответствующая выраже-(7), . 2.
Рис. 2. Структурная схема моментного электропривода
,
4ККТ
3
< 1.
Тогда запишем выражение (6) следующим образом:
к
(Р) -
(8)
р(Т р+1)Т р+1)
где Кт, Ть Т2 - коэффициент передачи по скорости и постоянные времени моментного электропривода, определяемые следующими выражениями:
и
К =
МЭ
К.
Т =
Т =
1 1 ‘2- КеКи
2г ^ І 4Т2
1
1 11 Кеки
2т ‘ V 4Т2 Т
(9)
(10)
(11)
Постоянная времени Т1 определяет электрические свойства моментного электропривода. Как следует из (10), для большинства сочетания параметров используемых моментных электроприводов Т1 ~ Тк. Постоянная времени Т2 определяет электромеханические свойства моментного электропривода. На практике, обычно, Т2 >> Т1.
С учетом выражения (8), структурная схема моментного электропривода имеет вид, представленный на рис. 3.
иРЛ 0 иогр 7 Чр*
А Г -Могр
К,.
1 1 1 у(0
Т1Р +1 Т2 Р + 1 Р
Рис. 3. Структурная схема моментного электропривода с нелинейностью типа
насыщения
, . 3,
на величину управляющего воздействия ире() с выхода регулятора.
Дискретная модель моментного электропривода. Для синтеза цифровых , -, . -дели непрерывных объектов получают, рассматривая непрерывные реакции в дискретные (тактовые) моменты времени кТ, к = 0,1,2.
Ограничимся применением экстраполятора нулевого порядка, запоминаюТ.
описывается передаточной функцией
1 - е~ рТ
К о( Р) =-------.
Р
Дискретная передаточная функция линейного объекта управления с учетом экстраполятора нулевого порядка, определяется выражением [2]
(г) = (1 - г -1) •
(12)
где через 2Т{-} обозначено 2-преобразование выражения в фигурных скобках; К (р)- передаточная функция непрерывного объекта управления.
Подставим передаточную функцию моментного электропривода (9) в выра-(12)
1
1
(z ) = (1 - z -1). Z
—
Т\р 2(Т р + 1)(Т2 р +1)/'
[3] -
ним 7-преобразование
а2в2 1
—
WM3 (z) = -в ар
—( z -1
z-1
Zt
p 2( p + а)( p + Р)
ар
zTаP-z (а + Р) + z^ + P) + z (P -а ) + z(ol d-/] c)
(г -1)2 (в - а)(г - ё)(г - с)
где Т - период дискретизации; а = І/Тг; в = 1/Т2; с = ев; ё = еат - константы, численные значения которых зависят от постоянных времени Т1, Т2 электроприво-
Т.
,
вид
—
WM3 (z) = -ар-ар
Тар-(z- 1)(а + р) + (z-1). z(p2 -а2) +(а2d-р2c)
(z -1)
(р-а)( z - d)(z - c)
. (13)
Моделирование в системе MATLAB. Для анализа полу ченной модели моментного привода была использована широко известная система математического моделирования МЛТЬЛВ. Целью моделирования была проверка идентичности полученных аналоговой и цифровой моделей моментного электропривода.
Структурная схема эксперимента с аналоговой и дискретной моделью привода, созданная в пакете МЛТЬЛБ+8іши1іпк, представлена на рис. 4.
Рис. 4. Структурная схема эксперимента с аналоговой и дискретной моделью
привода
Реакция обоих моделей моментного электропривода на скачек напряжения
. 5.
идентичности аналоговой и цифровой модели моментного электропривода.
z
Discrete Zero-Pole З
Время, с
Рис. 5. Реакция электропривода на скачок напряжения питания (Scope2)
Заключение. Использование полученной дискретной модели моментного исполнительного привода позволяет синтезировать цифровой регулятор, позволяющий скомпенсировать целочисленные задержки в оптических измерителях сигналов рассогласования.
Учет нелинейности в модели двигателя в виде ограничения питающего на, -
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Электрические следящие приводы с моментным управлением исполнительными двигателями: Монография / Баранов М.В., Бродовский В.Н., Зимин А.В., Кар-жавовБ.Н. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006.
2. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти т.т.; 2-е изд. Перераб. и доп. Т.3: Синтез регуляторов автоматического управления / Под ред. Пупкова КА., Егупова Н.Д. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004.
3. . . . - .:
МАШГИЗ, 1962.
4. Дьяконов В.П. MATLAB R2006/2007/2008 + Simulink 5/6/7. Основы применения. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2008. - 800 с.
Гайдук Анатолий Романович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге E-mail: [email protected]
347928, Таганрог, ГСП 17А, Некрасовский, 44. Тел: 88634-371-689
Семенов Александр Валерьевич E-mail: [email protected] Тел.: 8(8634) 312-350
Геложе Юрий Андреевич
E-mail: [email protected] Тел.: 8(8634) 312-350
Gaiduk Anatoly Ramnovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education «Southern Federal University»
E-mail: [email protected]
44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928. Phone: 88634-371-689
Semenov Alexandr Valerevich.
E-mail: [email protected] Phone: 88634 312-350
Geloje Yuri Andreevich
E-mail: [email protected] Phone: 88634 312-350
