CC BY
10
УДК 681.513
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-1-228-232
СИНТЕЗ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ МНОГОМЕРНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
О.А. Шибякин
Среди широкого класса электротермических объектов повышенной мощностиособое место занимают электропечи сопротивления. Разработка системы управления указанными объектами требует применения тех или иных методик синтезав соответствии с поставленными задачами. Применительно к данным объектам предлагается и исследуется методика синтеза оптимальных по энергосбережению алгоритмов управления с повышенным быстродействием температурным режимом объекта в форме обратной связи. Методика синтеза основана на применении метода аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР А.А. Красовского с модифицированным функционалом обобщенной работы (ФОР).
Ключевые слова: быстродействие, аналитическое конструирование оптимального регулятора, энергосбережение, линейный одномерный объект.
Рассмотрим актуальную в настоящее время научно-техническую задачу энергосберегающего управления применительно к электротермическим объектам, описываемым по каналу «напряжение нагревательного элемента - температура» в соответствующем фазовом пространстве линейным дифференциальным уравнением
X (t) = AX( t) + Bu(t), (1)
где X(t) - вектор состояния объекта размерности n, фазовые координатыкоторого имеют физический смысл отклонений от заданного температурного режима работы объекта, u(t) - сигнал управления -
напряжение на нагревателе, A, B - матрицы параметров объекта, имеющие соответственно размерности n х n,n х 1.
Классическая задача оптимального управления указанными объектами в форме А.А. Красов-ского [2] формулируется следующим образом: найти закон обратной связи u(X), переводящий объект (1) из начального состояния Х(0)=Х0 в конечное нулевое состояние Х(Т)=0 за время T с минимальным значением функционала обобщенной работы (ФОР)
даГ 1 1
.2м , 12,^, 1 2
J2 = i q\x\(t) + 2gu2(t) + 2gUopt(t) dt ^ min, q > 0, (2)
o L 22 _
где g - параметр функционала качества управления, имеющий размерность электрической проводимости нагревательного элемента электропечи.
В данной работе предлагается модификация ФОР (2) путем введения слагаемого ^х4(^ :
да
Лм , „ ,Ам , 1 2/* 1 , 1 2
91X1 (t) + 92X1 (t) + ^gu (t) + -gu0pt(t)
dt ^ min, 91,92 > 0.
(3)
3 = 1
0
За счет введения дополнительного слагаемогопоявится возможность увеличить быстродействие системы и уменьшить ее энергопотребление. Для решения поставленной задачи управления по модифицированномуФОР (3) предлагается использовать метод расширения пространства состояния объекта новыми фазовыми координатами, представляющими собой произведения исходных координат [3].
Покажем применение данного метода для конкретного электротермического объекта, представленного в виде следующей передаточной функции:
Ш(р) =_-_. (4)
Ш (71 р + 1)( р +1)
По данной передаточной функции (4) запишем систему дифференциальных уравнений с использованием канонического вектора состояния:
X = (XIX)Т : хф) = x(t), Х2(г) = хф).
х1({) = х2 (t) (5)
. , 1 Т1 + Т2 у , к у , x2(t) =--X^(t)--1-2 Х2 (t)+-u(t)
' ' /тт /тт X ' ' /тт /тт ^ ' ' /тт /тт ' '
Т1Т2 Т1Т2 Т1Т2 где
1 Т1 + Т2 , = к
a1 , a2 ="
TT2 tt TT
228
Систему дифференциальных уравнений (5) можно представить в виде равенства (1) с матрицами А и В следующего вида:
Г г, 1 Л ЛлЛ
(6)
(7)
( 0 1 1 Г 01
А = V а1 а2 ) , В = V Ь ,
ФОР (2) можно представить матрицейQ:
Я =
91
0 1
V 0
Для того чтобы привести модифицированный ФОР (3) к классическому квадратичному ФОР
2
(2)введем новую переменную состояния Хз(1) = Х1 (t). С учетом новой переменной состояния ФОР
(3) запишется следующим образом:
<»г
91х? + 92 х3 +1 Еи 2 (t) + 2 8и1рЛ t)
^ ^ тт, 91,92 > 0-
(8)
(9)
= 1
0
НайдемХз():
x3(t) = 2 х( )х( ) = 2 х( )х2^ ) С учетом новой переменной состояния по данной передаточной функции (4) запишем систему дифференциальных уравнений с использованием расширенного вектора состояния:
Т 2
X = (Х1 ,Х2,Хз) : Хl(t) = x(t), Х2(t) = Хl(t), Хз(t) = Х1 (t),
Х^) = Х2
< ±2 (t) = а\Х1(t) + «2Х2 (t) + Ьи(t)
ХзО) = 2 Х1^)Х2 О)
Для того чтобы убрать нелинейный член Х1 ^)Х2 (t) из системы (9) расширим вектор состояния новой координатой Х4(t) = Хl(t)■ Х2 (t):
•¿4 (t) = Х1( t)x2 (t) + ХХ( t)Х2 (t) = х|( t) + Х1( t)\alХl( t) + «2 Х2 (t) + Ьи( t)],
2
•¿4(t) = Х2 (t) + а1Хз(t) + а2Х4(t) + Ьх1(t)и(t).
2
Для того чтобы убрать нелинейный член Х2 (t) из последнего равенства расширим вектор со-
2
стояния дополнительной координатой Х5(t) = Х2 (t):
Х5(t) = 2 Х2(t )Х2 (t) = 2 Х2(t)\_ аХ( t) + а2 Х2 (t) + Ьи( t)], ¿•5(t) = 2alХ4(t) + 2a2Х5(t) + 2ЬХ2( t)u( t). В итоге получили линейную систему с расширенным вектором состояния. Запишем окончательно систему дифференциальных уравнений для данной системы:
' Xl(t) = хф)
Х2 (t) = ах( t) + а2 Х2 (t) + Ьи( t) x3(t) = 2 х4 (t)
¿¿4(t) = Х5^) + а1Хз( t) + а2 Х4 (t) + Ьх1( t )и( t)
Х5(t) = 2а1Х4 (t) + 2а2 Х5 (t) + 2Ьх2 (t )и( t) Систему дифференциальных уравнений (10) можно представить в виде равенства (1) с матрицами А и В следующего вида:
(10)
Г 0 1 0 0 0 1 Г 0 1
а1 а2 0 0 0 Ь
0 0 0 2 0 ' В = 0
0 0 а1 а2 1 Ьх1
V 0 0 0 2а 1 2а2 ) V2Ьх2,
А =
Модифицированный ФОР (8) можно представить матрицей Q:
229
Q =
q1 0 0 0 01
0 0 0 0 0
0 0 q? 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 J
(12)
Для системы (10) с расширенным вектором состояния, описываемой матрицами (11), и модифицированного ФОР, описываемого матрицей (12),задача АКОР в форме А.А. Красовского была решена в математической среде MathCad со следующими параметрами: к = 0.768, 7] = 59.5, T? = 17.7,
r = 1/59, Хзад = 50 оС. Путем перебора коэффициентови q? удалось определить минимум затраченной энергии. Затраченная энергия оказалась минимальной при следующих параметрах: q1 = 14.968, g2=1.28
т,°с
100т
90 8070 605040 30-
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Рис. 1. Переходная характеристика модифицированной САУпо температуре
На нагрев до величины Т = 49 оС = 98% Хзад было затрачено энергии Ж = 362.2 Вт, а время переходного процесса составило tm = 62.4 мин. Сравним данный результат с классическим решением длясистемы (5) с каноническим вектором состояния, описываемой матрицами (6) иФОР (2), описываемый матрицей (7). Минимум потребления энергии системой (5) соответствует значению коэффициента 91 = 15.435:
т, °с 100
90 80 7060-
¿1 .2 5040 302010-
/ /
/
/
у /
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Zlj .1 t, мин
Рис. 2. Переходная характеристика классической САУ по температуре На нагрев до величины Т = 49 оС = 98% Хзад было затрачено энергии Ж = 371.9 Вт, а
время переходного процесса составило tnn = 69.5 мин .
230
Таким образом, путем модификации классического ФОР удалось увеличить быстродействие системы на 11.4%, при этом энергопотребление снизилось на 2.7%.
Список литературы
1. Пупков К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления: в 3 т. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления. 736 с.
2. Красовский А.А. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.
712 с.
3. Ловчаков В.И., Ловчаков Е.В., Сухинин Б.В. Метод многомерной линеаризации полиномиальных систем управления // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 18-26.
4. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). М.: Физматлит, 2012. 360 с.
5. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1960. № 4. С. 406—411; № 5. С. 561—568; № 6. С. 661—665.
6. Летов А.М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981. 256 с.
7. Калман Р. Когда линейная система является оптимальной? // Теоретические основы инженерных расчетов (ТОИР) N1 серия Д. Перевод Труды американского общества инженеров механиков. Kalman P. When is a linear control system optimal? Trans ASME (J. Basic Engineering). 1964. 86D. P. 54-60. Article reprinted in Frequency Response Methods, edited by A.J.C. MacFarlane, IEEE Pres.
8. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986.
272 с.
9. Современная прикладная теория управления: в 3 т. / А.А. Колесников [и др.]. М.: ООО «ИСПО-Сервис», 2000. 3 т.
10. Kalman R.E. Contributions to the Theory of Optimal Control // Boletin de la SociedadMatematica Mexicana. 1960. V. 5. № 1. P. 102—119.
Шибякин Олег Алексеевич, аспирант, ассистент, Yutiiop@gmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет
SYNTHESIS OF A HIGH-SPEED CONTROL SYSTEM BY THE METHOD OF MULTIDIMENSIONAL LINEARIZATION
O.A. Shibyakin
Among a wide class of electrothermal objects of increased power, a special place is occupied by electric resistance furnaces. The development of a control system for these objects requires the use of certain synthesis methods in accordance with the tasks set. With regard to these objects, a method for synthesizing energy-saving optimal control algorithms with increased speed of response for the temperature regime of an object in the form of feedback is proposed and investigated. The synthesis technique is based on the use of the method of analytical design of optimal regulators (ADOR A.A. Krasovsky with modified functionality of generalized work (FGW).
Key words: speed of response, analytical design of the optimal regulator, energy saving, linear one-dimensional object.
Shibyakin Oleg Alekseevich, postgraduate, assistant, Yutiiop@gmail.com, Russia, Tula, Tula State
University
