Синтез апертурных антенн с заданным радиальным распределением поля в зоне Френеля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.67

СИНТЕЗ АПЕРТУРНЫХ АНТЕНН С ЗАДАННЫМ РАДИАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПОЛЯ В ЗОНЕ ФРЕНЕЛЯ

ДОЛЖИКОВ В.В, ГОРЕЛОВ ю.п.

Рассмаривается способ синтеза антенны в виде круглой сфокусированной апертуры с заданным в произвольном направлении радиальным распределением поля в зоне Френеля.

Введение

Известно, что поле в зоне Френеля обладает более сложной пространственной структурой, чем в дальней зоне. Кроме угловой, оно имеет достаточно сложную зависимость от продольной (радиальной) координаты. Более того, вид углового распределения зависит от расстояния до антенны. В связи с этим на практике может возникнуть необходимость в формировании поля в пространстве не только с заданным угловым распределением, но и с заданным радиальным. Это, например, может потребоваться при разработке радиолокационных систем ближнего действия, космических систем передачи энергии СВЧ лучом (СПЭСЛ), систем обработки оптических и ультразвуковых изображений, представляющих большой интерес для медицинской диагностики, так как получить высокое радиальное разрешение — весьма важная задача.

1. Основные соотношения

2

_ . . ikR2 -1 -ik— 2л 1

e(p) = eE-— e-ikre 2r E0 П Ao(u)>

2nr

0 0

eі\la2^+a[-У0 cos(Ф0-Ф1WссДф-ф!)]}(

ndudipi

(1)

где Єе = E0 / E0 — единичный вектор; r = 2л / X — волновое число в воздухе; E0 — напряженность электрического поля в центре апертуры; А^^ — функция, описывающая амплитудно-фазовое распределение (АФР) поля возбуждения без учета фокусирующего фазового множителя (А0Ф) = 1); u = pi / R — безразмерная радиальная координата; у = kR sin О — обобщенный угол; %= b(1 ~Х0 / х) — обобщенная радиальная координата, определяющая расстояние от фокуса до точки наблюдения;

Х = r/rfz, X0 = rf /rfz , rf и rfz = 8R2 /X - расстояния от апертуры до фокуса и границы дальней зоны соответственно; у 0 = kR sin $0 ; b = n / 16%0 . Заметим, что параметр % 0, обобщенный угол у 0 и угол Ф0 определяют пространственное положение точки фокуса.

Выполнив интегрирование по ф1, получим

е(аУ,ф)= eЕе0ііл2 /8Х ())e_ikxrfzF(^ЦІ,ф), (2) где

FУ, ф) = |1 “ A0(^ei2u2?

b)ъ 0

х J0^uJф2 + У2 _2ф0Фcos(ф-ф0)judu

(3)

Антенна имеет вид круглой апертуры с радиусом R , центр которой лежит в начале цилиндрической системы координат р, ф, z (рис.1).

Рис.1. Геометрия задачи

Предположим, что поле возбуждения E^Q ли-нейно-поляризовано и распределение его амплитуды имеет угловую симметрию. Направление главного максимума излучения задается углами ф0 и О 0 и в общем случае не совпадает с направлением нормали к плоскости апертуры. Тогда электрическое поле в зоне Френеля сфокусированной апертуры в приближении малых углов можно записать следующим образом [ 1]:

описывает пространственное распределение комплексной амплитуды поля во френелевой и дальней зонах сфокусированной круглой апертуры при линейно-поляризованном и осесимметричном амплитудном распределении, J0 (x) — функция Бесселя первого рода. Очевидно, что если ф 0 = 0, то F(|, ф, ф) = F(|, ф), т. е. не зависит от угла ф .

Радиальное распределение поля вдоль направления, задаваемого углами ф и ф , определится следующим выражением:

Ffe> У 0, Ф0) = F0 = e^1 -|) 2_ j А1 (y)e^y dy =

= e^1 -ff & (4)

где y = 2u2 -1,

A1(y) = A^/(y + 0/2)x

X J0 (y +1/2 -д/ф2 +Ф2 -2a0фс°^ф-ф^j. (5)

Соотношения вида (4) могут быть получены для антенн с другой формой апертуры, а также для линейных антенн [2].

16

РИ, 2001, № 1

Функцию F°(§) назовём функцией радиального распределения поля (ФРРП), а f (§), которая связана с преобразованием Фурье так же, как

обычная угловая ДН линейной антенны с её АФР —радиальной диаграммой направленности (РДН).

Величина Aj(y) = A^2u2 -1) есть полное АФР на

апертуре, сфокусированной на бесконечность направление максимального излучения которой совпадает с оптической осью. Область значений

(-да, л /16% 0) переменной | соответствует переднему полупространству; £ =-да — положению точки наблюдения на апертуре (% = о), % = 0 — в фокусе

(% = %о) и § = b = п/16%о — в бесконечности (% = го) . Очевидно, что при удалении фокуса от апертуры % о ^да (приближении антенны к синфазной) величина b ^ 0 . Ближнюю границу зоны Френеля обозначим через ^ (§1 < 0, <да), дальнюю —

через £,2 = л(1 -%о)/16%о • Функция f(|) формально

определена на всей оси | є (- да, да), но имеет физический смысл только на её части, а именно на (- да,л /16% о) • По аналогии с обычной угловой Д Н интервал (- да,л /16хо) можно считать областью видимости РДН на оси \ .

2. Постановка и общее решение задачи синтеза

Пусть Fq(|) = Fo уо, ф0) — заданная ФРРП.

Необходимо найти АФР Ao(u), создающее радиальное распределение поля f(§, VФ0) , близкое по какому-либо критерию к Fo > Ф ЛФ0) . Очевидно,

что удобнее синтезировать РДН fo (§), которая легко определяется из (4). Кроме того, из (4) также видно, что связь между РДН f(§) и приведенным

АФР A^y) не зависит от направления главного максимума излучения и направления, в котором рассматривается РДН. Следовательно, если найдено АФР, создающее требуемую РДН при каких-

либо заданных значениях величин ф о, Фо, Ф, Ф , то для других значений этих величин нет необходимости вновь решать задачу синтеза. Достаточно воспользоваться уже полученным решением и соотношением (5).

Будем рассматривать комплексные РДН как элементы гильбертова пространства со скалярным произведением

М2) = і fr(0f2 , (6)

где * — знак комплексного сопряжения; g(§) — неотрицательная во всей области интегрирования

весовая функция; fj и f2 — элементы гильбертова

пространства L2 (-да,да) (интегрируемые в квадрате с весом g функции). Тогда комплексные амплитуды A^y) в силу равенства Парсеваля должны принадлежать пространству L [-1,1.

Пусть f0(|) = F0 (5, ф 0, ф0)/|\ --bj — заданная РДН.

Уклонение синтезируемой диаграммы f (§) от заданной fo(|) оценим квадратом нормы в L'g разности диаграмм направленности

8=1 мf<яLg,

где [§1,§2] — интервал, на котором контролируется близость заданной и синтезируемой РДН.

Введем функционал

НМ?)-Ф%142, +НЬ(у%и]. (7)

Задачу синтеза сформулируем следующим образом.

Найти АФР A1 (у) є L2 [-1,1, обеспечивающее минимум функционала є при условии, что квадрат невязки синтезированной РДН не превышает заданного значения 5, т.е.

min

A1eL2 [-1,1]

*

IM %)-f( ЛІ

2 + Lg М2]

+

4 Ml

L2 [-

2

(8)

При этом параметр p определится из следующего функционального уравнения:

II2

fo fe)-f (Лі

Lg [§1,Ы

= 5

(9)

где 5 — заданная точность синтеза требуемой РДН в области, соответствующей зоне Френеля.

Искомое АФР представим в виде разложения по некоторой полной в L2 [-1,1] системе функций

[ф n (у)}п=0 :

ЧЛу) = z ьпфЛу) , (10)

n=0

которое является N -м конечномерным приближением к точному решению A^y), получаемому при N ^ да.

Подставив (9) в (6), после ряда преобразований получим

є N “ ||fo|| + (bN (Т + PP)b N )_ 2Re(bN , cn ) , (11) где b n > — вектор-столбец искомых коэффициентов bn ; ||f0||2 — квадрат нормы заданной РДН на

l2&,12] с весом gfe); Т и р — квадратные симметрические матрицы порядка (N +1 с элементами

РИ, 2001, № 1

17

^n,m = J1 J>n (ykm(y0^(y>yOdy'dy , (12)

Pn,m = J> n (ykm(y)dy , (13)

где K^y ') = —2 1 e ~^y~y^ g(5 , c N) - вектор -

4 n §1

столбец с элементами

1 1 Eo

cn = — J> n(y)1 fo(0 e _iy§ g№ (14)

2л _i %1 У >

Оптимальный вектор b no ), на котором функционал єN достигает минимума, определяется из условия равенства нулю первой вариации его по

<bN:

bN0 > = (* + М^)_1С> , (15)

а множитель ц является решением уравнения (9). Минимальное значение є n при этом равно

ВN,min = |МҐ -<c+ Ц^)-10 . (16)

Полное АФР с учетом квадратичного фокусирующего и обеспечивающего отклонение направления главного максимума линейно-фазовых распределений определяется соотношением

Л(щ Ф1) = A1,n(2u2 -1 х

(i[2u2b -uy0 со^фр -Ф1) [

exp 1

J0 ( WV2 +V2 - 2V0 Vc°s(9o -ф)

. (17)

Xо = 0.375 , при этом ^ =-0.13 , £,2^ = 013 , аl1 =-13.5 и 12 = 0.52 .

В качестве полной системы функций {yn}”=p возьмём собственные функции преобразования Фурье в конечных пределах фn (b,by), связанные с вытянутыми угловыми сфероидальными функциями Spn (b.y), нормированными по Фламмеру, следующим образом [3]:

2^Tn|brSon<b,y •

где коэффициенты kn(b) определяются соотношением kn(b) = J S°n(b, x)dx и X Ль) — собственные

-1

значения, соответствующие собственным функциям фn(b,y) и перенумерованные так, что

1 >Хо >7,1 > ••• > 0 .

При этом элементы матриц P, Т, с) принимают вид ^ n(b) я

pnm

b

Хn(bXm(b) ІSon(b,x)Som(b,x)^^dx

W _ " • *n V'f'm

nm

2лЬ kn (b)km (b)

\1

cn = -£= Іf0fe)Son(b,£, /b)Spm(b,\/b)>

422 kn(b)

§1

;g(%/b)d(%/ь) ,

nm

Ь

Ь

3. Численные результаты

Пусть требуемое радиальное распределение поля (РРП) постоянно на интервале [с^1),и равно нулю вне его, т.е.

рЛ л=-

о,

1». 5 2>]

І1.Ф Ц Р,

соответственно требуемая ОДН будет иметь вид

1

2

fo( Л =

1

1 -I/Ь 0,

сР, 5 Р.

к 5?») 4Р,

Зададим следующие значения величин:

Х1 = 0.3, X2 = 50, х1^ = 0.014, X21} = 50 •

Параметр х o выберем таким образом, чтобы точка

фокуса §o лежала в центре интервала

, т.е.

2

18

где 5nm — символ Кронекера.

Оптимальное полное АФР определится из соотношений (10) и (17), а соответствующее РРП может быть рассчитано по формуле

F(%) = (b-^Zin/2vbn V n(b, %) .

n=0 V 2лЬ

На рис.2 (кривая 1) представлены нормированное

синтезированное радиальное распределение квадрата поля вдоль оптической оси апертуры ф 0 = 0, ф = 0 и заданное РРП (кривая 4). Соответствующие амплитудное и фазовое распределения на апертуре приведены на рис. 3 и 4 (кривые 1). Расчеты показали, что при небольших отклонениях от направления, для которого проводился

синтез, например для ф1 = 2 , характер РРП практически не меняется - рис.2 (кривая 2), происходит лишь смещение максимума к апертуре. Чтобы создать заданное РРП в указанном направлении, т.е. “отодвинуть” максимум в прежнее положение, необходимо изменить АР - рис.3 (кривая 2). Нормированное РРП для равномерно возбужденной

РИ, 2001, № 1

сфокусированной апертуры с тем же фокусным расстоянием (фазовое распределение показано на рис. 4 кривой 2) имеет вид, описываемый кривой 3 на рис.2.

0,01 0,1 1 10 г

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 p/R

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 p/R

Сравнение последнего и синтезированного РРП позволяет сделать ряд представляющих интерес для систем СПЭСЛ выводов. Известно, что для СПЭСЛ с передающей антенной в виде сфокусированной апертуры с равномерным или другим , но достаточно гладким АР, большой КПД можно получить только при не очень больших расстояниях между

передающей и приемной антеннами (%max и 0.125). Это объясняется невозможностью получить только с помощью квадратичного фазового распределения максимум РРП на расстояниях, больших чем Х = 0.125 [4]. К изменению этого расстояния предъявляются довольно жесткие требования. Так, если потребовать, чтобы в СПЭСЛ с упомянутой передающей антенной амплитуда поля в точке приема при смещении приемной антенны относительно её оптимального положения убывала не более, чем на 0.1 от максимального значения, то допустимые значения % должны лежать в интервале шириной 2%0.81 = 0.062 . Приведенные результаты синтеза свидетельствуют о том, что максимально допустимое расстояние между антеннами можно увеличить. Более того, интервал расстояний, на которых могут находиться антенны, может быть значительно увеличен. В рассматриваемом случае

ширина его становится равной 2%0.81 = 0.38 . Характерно также и то, что в большей части области пространства между апертурой и максимумом РРП возможно обеспечить значительно меньший уровень интенсивности поля, чем в случае равномерно возбужденной сфокусированной апертуры.

Литература: 1. Silver S. Microwave Antenna Theory and Design. New York.: McGraw-Hill, 1949, 312 p. 2. Graham W.J. IEEE Trans. Antennas Propagat. Vol. 31. Jule. 1983. 3. Размахнин M.K., Яковлев В.П. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. М.: Сов. радио,1969. 296 с. 4. Должиков В.В. Продольное распределение интенсивности поля в зоне Френеля круглой сфокусированной апертуры // Радиотехника. 1998. Вып. 106. С. 87-96.

Поступила в редколлегию 12.10.2000

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Еоробец Н.Н.

Должиков Владимир Васильевич, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры основ радиотехники ХТУРЭ. Научные интересы: теория и техника антенн. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-94-30.

Горелов Юрий Петрович, канд. тех. наук, доцент кафедры информационных систем и технологий ОВД Харьковского УниВД. Научные интересы: вычислительные методы математики. Адрес: Украина, 61072, Харьков, ул.23 Августа, 29а, кв.11.

Рис. 4. Фазовое распределение

РИ, 2001, № 1

19