Киноформные оптические элементы с увеличенной глубиной фокуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Я, Г. Палъчикова

КИНОФОРМНЬЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ С УВЕЛИЧЕННОЙ ГЛУБИНОЙ ФОКУСА

Введение

Распределение интенсивности сеета в фокальной плоскости хорошо коррегирован ного объектива обусловлено дифракцией на выходном зрачке. Продольный и поперечный размеры каустики вблизи фокуса жестко связаны: чем меньше размер пятна в геометрической фокальной плоскости, тем меньше глубина фокуса, В последнее время возрос интерес к оптическим системам, не обладающим этим фундаментальным ограничением. При конструировании оптических систем с увеличенной глубиной фокальной области необходимы оптические элементы следующих двух типов. Во-первых, элементы, изображающие осевую точку в виде отрезка прямой, расположенного вдоль оптической оси, и не осуществляющие проективных преобразований. Такой тип фокусировки называется аксиконным. Используется он для получения оптического разряда в газе Для создания опорной световой линии в метрологии [2], для бескон-

тактных измерений перемещений отражающей поверхности в специализированных микроскопах [З] » в оптических дисковых системах звукозаписи и воспроизведения ♦ Во-вторых, элементы, удлиняющие каустику без изменения проективных свойств опти

V

ческой системы, что необходимо в микроскопах совмещения установок рентгенолито-графии с использованием синхротронного излучения [5]. устройствах ввода-вывода изображений из ЗВМ [6], в лазерных технологических установках [7].

Традиционные оптические элементы далеко не всегда позволяют эффективно управлять каустикой в перечисленных задачах, поэтому представляет интерес разработка новых оптических элементов и, в частности, киноформов. Настоящая работа посвящена расчету киноформных аксиконов и обобщенных зонных пластинок (ОЗП) со специальным распределением интенсивности вдоль фокального отрезка и обсуждению результатов экспериментального исследования их.

Задача расчета комплексной функции пропускания киноформа для заданного распределения интенсивности в области фокусировки обычно допускает несколько решений. Поэтому особое значение имеет построение феноменологической модели оптической задачи, на основании которой выводятся уравнения, позволяющие рассчитывать и оптимизировать фазовую функцию пропускания и топологию киноформа.

Хорошо известны [8,9] решения уравнения Гельмгольца для световых волн, распространяющихся в однорядной среде от бесконечного линейного источника:

UCr,<p,z,t) = Н^1 'а)(2пуг) exp [i (2u£z + lep - cot) ] э CD

где использованы цилиндрические координаты (г,ср,г) вследствие осевой симметрии задачи, t - время, иСг,ф,г,0 - амплитуда светового поля в произвольной точке (г/ф/2/1)/ Н*1 '**(•) - функция Ханкеля порядка I первого либо второго рода, (£,1) - пространственная и угловая частоты, описывающие наклон волнового фронта <*> e с = к • с, Лис - длина волны и скорость света, I - целое, цр У ка-4тх2£2/2п.

Выражение (1) можно представить в наглядном виде для больших значений г >

UCr,<P,z,t> = —- exp[i (2пцг + 2 n£z + 1Ф - £ - - ut) ] , С2)

nvH? 4 z

где модуль волнового вектора к = 2п >/уа+Са относится к частоте света f как k * 2nf/c, а компоненты волнового вектора имеют вид:

£ = 2щ1г/1г!, 1с = 2nZ7/\z\, к =0.

Г Z ф

Волновой фронт наклонен под углом, равным arctg(£/u) к оси z, вдоль которой рас положена бесконечная светящаяся линия.

Фазовая функция в показателе экспоненты (2) описывает цилиндрические, конические и винтовые волновые фронты. В работе [8] показано, что можно записать выражение для комплексной функции пропускания киноформа, фокусирующего в линию, выбирая коэффициенты (и#£Д) и определяя соответствие координат плоскости киноформа, рабочей апертуры и фокусного отрезка.

Таким образом, целесообразно проводить расчет функции пропускания киноформов, имеющих каустику в виде фокального отрезка, предполагая, что плоский волновой фронт преобразуется ими в конический, цилиндрический, винтовой либо в их комбинацию.

Рассмотрим способ расчета киноформных аксиконов, позволяющий получать задан ное распределение интенсивности вдоль фокального отрезка.

КиноФормные аксиконы

В отличие от случая дифракции на отверстиях различной формы и на линзах фо кальный отрезок семейства аксиконов формируется в ближней зоне дифракции, где амплитуда поля определяется окрестностью соответствующих критических точек, рас положенных в плоскости G оптического элемента (рис. 1). Для нахождения дифракционного интеграла Френеля используется метод стационарной фазы [10]# В паракси

ип(р,е)

Рис. 1. Схема прохождения светового пучка через киноформ к записи интеграла Френеля

альном приближении поле 11(г,Ь) в произвольной точке области фокусировки аксико на с фазовой функцией пропускания Мр) описывается выражением:

1+иГ(р)

ехр {т к [И +

(3)

+ Чг~ + нр)]+

где

к =

2л

и 0 С•) - функция Бесселя нулевого порядка;

(.)• - штрих используется для обозначения производной функции; и0(р,д) - амплитуда фокусируемого волнового Фронта в плоскости й.

Из выражения (3) следует, что поперечное распределение интенсивности в фокальном отрезке описывается функцией Бесселя нулевого порядка. Диаметр фокального пятна находится обычным образом: <1 = 5/(1^1 <р))#

То есть область фокусировки имеет вид тела вращения, и ее

(4)

поперечный размер

изменяется вдоль оптической оси. Характер этого изменения определяется конкретным видом зависимости "Р(р).

Для киноформного аксикона р, И и f (р) связаны следующим соотношением:

1 1 (Р)Ь

р = -

ч/ГПмм^у

ъ -1 4 Ь

(5)

В приближении Френеля-Кирхгофа амплитуда поля и(0,И) в произвольной точке на оптической оси имеет вид:

и(0,Ю = -1кио(р)ехр{1к[Ч (р) + Ур2 + Ь2] + 1ц/4} *

ж 1'{р)\1-;-—- • Сб)

1"{р)-1 (р) П-1 3(Р))/Р

С помощью выражения (3) или (6) легко составить дифференциальное уравнение для функции пропускания киноформного аксикона, если задано распределение интенсивности вдоль фокального отрезка. Возможности предлагаемого метода расчета

различного типа аксиконов как в параксиальном, так и в приближении Френеля-Кирхгофа более подробно рассмотрены в работе [ 11J •

Например, найдем в параксиальном приближении функцию пропускания f Ср) акси кона, обеспечивающего постоянную интенсивность U на оптической оси по всей дли не фокального отрезка. Если волновой фронт падающей волны плоский и ее амплиту

да зависит только от радиальной координаты Uq Ср) # из (3) и (.5) следует

I 2

(p)/[f"(p) - = w,

С7)

откуда получаем дифференциальное уравнение, решаемое численно с учетом конкрет-

ного вида ио(р):

it

f • (Р)

f (Р) -

,а(р)4тхаи^Ср)

= 0.

р ли

В частном случае ио(р) = ио=сог^ удобно записать уравнение С8) в новых обозначениях

(8)

f-(p, _ 0£l-£ll£l= о,

(9)

где а

A.W

4ti U

а., а

Уравнение (9) допускает определяется с точностью до f (р > = -а1п(с-ра) + Ь.

аналитическое решение» трех постоянных а,Ь,,с:

и функция пропускания fСр)

(Ю)

Постоянные интегрирования Ь, с, а также произвольно введенную постоянную а необходимо связать с требуемыми характеристиками фокального отрезка аксикона (рис, 2): длиной фокального отрезка его расположением относительно аксикона

А

Ь^ ^ диаметром фокального пятна в перетяжке с!0 и местоположением перетяжки на оптической оси Ь0.

mi п

Рис. 2, Некоторые параметры аксикона и фокального отрезка, необходимые для определения функции пропускания: - длина фокального отрезка; Ь1 - расположение его на оптической оси относительно плоскости

Р«^/ Р_„ - внутренний и внешний диа-ш1 п шах

метры рабочей зоны аксикона

Для этих целей наиболее удобны следующие два условия:

г(р0) = f'(pj =

О - С = -РI;

- • -

- f р •

(11) (12)

Вид зависимости f ' Ср)/f f CpQ) показан на рис, 3» Условие (11) определяет положение максимума функции f1 (р) , а условие (12) - величину этого максимума, и, соответственно, как следует из и (5), - местоположение перетяжки на оптиче-

ской оси и радиус фокального пятна в перетяжке.

f 1 / f'

Р/Р

Рис- 3. Зависимость производной функции пропускания киноформного коноидного акси-кона ff(p)/f,(p0) от радиальной координаты р/р0. Положение перетяжки фокального отрезка соответствует значению р/р0 = 1. По обе стороны от перетяжки величина диаметра возрастает

Параметры функции пропускания рассчитываются из требуемых характеристик фокального отрезка следующим образом. С помощью (**) и величин с!^ и X рассчитывается постоянная Выражение (5) используется для расчета р. по известным

и fQ. В результате уравнение (10) принимает вид:

f<p) = f;poLn(po2+p2) + b.

(13)

Внутренний Рт^п и внешний Ртах " радиусы рабочей зоны аксикона - рассчитываются с помощью выражений (13) и (5) по известным величинам I. и Н.,. Постоянная Ь в выражении (13) позволяет смещать начало отсчета фазы, что необходимо при нумерации киноформных зон. Таким образом, все постоянные интегрирования определены и связаны с характеристиками аксикона.

Киноформы обычно изготавливаются по технологии фотолитографии (12), когда непрерывный фазовый профиль оптического элемента заменяется ступенчатым. Границы ступеней находятся из уравнения

m

где

kf (р) = 2u(jJ + л) ,

N - число ступеней;

(1М

п - номер киноформной зоны, внутри которой расположена ступенька; т - номер ступеньки. (Высота каждой ступени составляет 2тх/И.) Из (14) следует, что радиусы зон аксикона с функцией пропускания (13) зада ются равенством

ns0,1,2.•. 01 = 0,1,... N-1.

Постоянная b выбиралась с учетом условия i(Pm-jn) =

Видоизменения поперечного распределения интенсивности в фокальном отрезке позволяют получать киноформы, объединяющие свойства аксикона и звезды Сименса, преобразующие плоский волновой фронт в конический по радиальной координате и винтовой - по угловой. Комплексная функция пропускания Т в этом случае имеет вид:

Т = exp[ikf(p) + или для традиционного конического аксикона:

Т = exp[i кар ♦ iId], С16)

а « const; I - целое.

Топология киноформных зон такого элемента не имеет осевой симметрии. Вследствие угловой зависимости фазы, киноформные зоны аксикона непрерывно сдвигаются вдоль радиуса на величину, определяемую I, преобразуясь в спирали. Для поля в

произвольной точке фокального отрезка элемента с функцией пропускания Т при освещении плоской монохроматической световой волной единичной амплитуды легко получить следующее выражение:

(17)

иСг,<р,Ь) =-т Уг^Гк а ехр^СкН + ^ -ж еПф ^(ксхг) /и ,

Таким образом, вдоль фокального отрезка фаза волны изменяется по винтовому закону, а амплитуда определяется функцией Бесселя не нулевого, а 1-го порядка

что и свидетельствует о "раздвоении11 линии в поперечном сечении. Существенной особенностью аксиконной фокусировки, ограничивающей область ее

применения, является низкая концентрация излучения. Как показано в работе [11] , при фокусировке излучения аксиконом интенсивность на оси в 1000 раз меньше, чем

при фокусировке соответствующей сферической линзой. Именно поэтому представляет

• /

интерес возможность изменения каустики линзы путем введения контролируемых абер раций.

Ниже представлены способ расчета и результаты экспериментального исследования обобщенной зонной пластинки.

Обобщенные зонные пластинки

Традиционная линза концентрирует весь освещающий ее световой поток в фокаль ную точку. Сквозь любую Круговую Зону В плоскости выходного зрачка, заключенную между радиусом р и (р + Др), протекает поток лучистой энергии мощностью

АЫ(р) = 2КР АР,

(18)

и СО)и* СО)

где и(р) - амплитуда освещающей волны в плоскости линзы.

Рассчитаем дифракционный элемент, концентрирующий эту мощность в область, расположенную вдоль оптической оси между и СН +ДЬ).

Из принципа таутохронизма в приближении малых углов дифракции для киноформных оптических элементов, фокусирующих излучение, следует условие, связывающее фазовую функцию пропускания Ф(р) и фокусное расстояние Ы

с!Ф(р) _ _ £ dp ~ h

(19)

Объединяя (18) и (19), находим распределение мощности потока лучистой энергии вдоль фокального отрезка:

АИ(Р) = 2тер

ДЬ Пр и СО)и* СО)

-1

d

dp [ с[Ф

\dP/.

(20)

откуда следует уравнение для определения фазовой функции пропускания ОЗП. Требуя, например, постоянства мощности вдоль фокального отрезка

= £ , с = const, hG = const, (21)

полу чаем

С22,

Будем считать, что освещающая волна плоская, однородная, монохроматическая и имеет единичную амплитуду. Аналитическое решение удается получить также для

гауссовой волны. В приближении - « 1 уравнение 022) разлагается в ряд

Тейлора, что значительно его упрощает:

Ф(р) = оо - 1- /р {1 - /рс|р)с1р # С23)

Проводя интегрирование, имеем

.(р, = ,в < (|2. ,

(24)

о ""о

Из выражений (19) и (24) находим соответствие между точками фокального отрезка и радиальной координатой ОЗП:

h (р) = - -£г =

ho

1 -п£Р2/* dp 0

(25)

или в том же приближении, что и (23):

Ир) - fi0<1 +

(26)

С помощью (26) определяем постоянные fi

р = 0 h = h = h

О "О

, , . , _ , . "Г IT I и

о "" "О

р = D h = hQ + Ah = hG + TiCD" I fi0 = h0

С =

TiD2 C27)

Таким образом, фазовая функция пропускания (24) получена в приближении т^- « 1, что равнозначно требованию малости глубины фокуса по сравнению с фокус

л

О

ным расстоянием

Границы ступеней киноформных зон находим в соответствии с уравнением (14):

m,n \1 £ h

С28)

В приближении

ДЬ

« 1 получаем:

т „ п

2А.Ь0(= + п) +

[(= ♦ п,л]а

2ДИЬ

где первый член суммы описывает границы ступеней обычной ЗП с киноформным профилем зон, а второй появляется при ненулевых значениях ДЬ.

Разбиение на зоны можно выполнить более точно с помощью принципа таутохро-низма, когда радиусы зон ЗП рассчитываются из условия:

а + = [ь♦ * ^г

(30)

Объединяя выражение С30) и С26), получаем

+ п)ЛИ0 ♦

[<§ ♦ п)Х]

т,п

1 - 2(2. ♦ п)ЯДЬ/В2

что в приближении т^ « 1 дает:

по

(31)

т,п

+ п) + + п) Я]2 + [(£ + п) Л] 24ДИЬ ♦

+ [(£ + п)Я]3 2дЬ/(ти>2))

1/

(32)

Полученное равенство по сравнению с (29) содержит аберрационные поправки» С помощью выражений (15) и (32) рассчитывалась топология фотошаблонов киноформных аксиконов и ОЗП. Изготовленные образцы исследовались экспериментально»

Экспериментальное исследование

Проведены измерения следующих характеристик фокального отрезка: диаметра фокального пятна и распределения интенсивности в различных сечениях, плотности энергии вдоль оптической оси. Экспериментальная установка показана на рис. Излучение одномодового Не-Ме лазера 1 расширяется телескопом из двух объективов 2 и 3 и фокусируется киноформом 5. Диафрагма Ь позволяет изменять рабочую апертуру. Горизонтальный микроскоп 6 перемещается в пределах всего фокального отрезка. Апертура объектива микроскопа значительно превышает выходную апертуру исследуемых киноформов, и микроскоп не вносит собственных аберраций. Изображение фокальной точки наблюдается визуально либо переносится микроскопом в плоскость диафрагмы 7 фотоумножителя 8 с увеличением. Сигнал ФЭУ регистрируется самописцем или вольтметром. Перемещение фотоумножителя с диафрагмой осуществлялось микровинтом .

Рис. Ь. Оптическая схема установки для исследования характеристик фокального отрезка: 1 - лазер; 2, 3 - объективы телескопа; Ь - апертурная диафрагма; 5 - киноформ; 6 - горизонтальный микро скоп; 7 - диафрагма; 8 - ФЭУ

Рассчитан и изготовлен логарифмический киноформный аксикон с двумя ступеня-

ми рельефа для излучения с длиной волны X = 0,63*10 ~ мм, радиусом р = 6 мм,

т а X

длиной фокального отрезка 300 мм, « 50 мм, диаметром фокального пятна в перетяжке 6-0 = 20 мкм. При проведении измерений влияние паразитных дифракционных порядков исключалось диафрагмированием апертуры аксикона« На рис. 5 точками представлены результаты визуального измерения диаметра фокального пятна вдоль

фокального отрезка, сплошная линия соответствует расчетным данным, полученным с помощью выражений (М и (13) по фактическим значениям 1%0 и р0 • Распределение плотности энергии вдоль оси фокусировки измерялось ФЭУ с диафрагмой 20 мкм после увеличения фокального пятна в 200 раз. Экспериментальные данные одной серии измерений представлены на рис. 6, Прямая линия строилась путем обработки резуль-

9

татов измерений по методу наименьших квадратов. Расчетная прямая параллельна оси абсцисс, то есть аксикон обеспечивает постоянную интенсивность на оси.

d/MKM

JO

20

-too

200

300 h мм

W, отн. ед

■юо

200

300

h , им

Рис. 5. Иллюстрация изменения диаметра фокального пятна киноформного аксикона вдоль оптической оси (координата И): ооооо - результаты измерений;

расчетные данные

■

Рис. 6. Распределение плотности энергии V/ вдоль фокального отрезка киноформного коноидного аксикона: оооооо - экспериментальные данные

Исследовалась также каустика ОЗП. Характеристики ОЗП: фокусное расстояние

h - 10 0 мм, длина фокального отрезка ДИ ■ 5 мм, радиус р =10 мм. Одновре-о гп а х

менно аналогичные измерения проводились для объектива с фокусным расстоянием 105 мм и линзы со сферической аберрацией (h0 = 105 мм). На рис. 7 приведены экспериментальные зависимости изменения диаметра фокального пятна вдоль каусти ки: кривая 1 - объектив, кривая 2 - аберрированная линза, кривая 3 ~ ОЗП. Рис. 7 хорошо иллюстрирует удлинение каустики ОЗП. Однако не меньший интерес представляет и распределение плотности энергии вдоль оси каустики (рис. 8), Кривые 1 и 2, соответствующие объективу и линзе, для удобства изображения сдви нуты по оси абсцисс, максимум каждой кривой совпадает с фокусом, а плавное спа дание наблюдается по обе стороны от фокуса. ОЗП дает несколько пиков интенсивности на оси, как показывает кривая 3- Вторичные пики вызваны, по-видимому, интерференцией паразитных дифракционных порядков. Проводилось также сканирование увеличенной дифракционной картины точечной диафрагмой (20 мкм) в различных сечениях фокального отрезка. При движении вдоль каустики в пределах 100-

101 мм пятно практически совладает с кружком Эйри, затем боковые лепестки воз

1 -растают, достигая ^ от максимума, что соответствует величине боковых лепестков

при аксиконной фокусировке.

И , мм

Рис. 7. Экспериментальная кривая изменения диаметра фокального пятна с1 обобщенной зонной пластинки вдоль каустики

и,оти. ед

4

05

400

ш

402

ЮЗ

**

Н , мм

Рис. 8. Экспериментальная кривая распределения плотности энергии и вдоль оси каустики: Ь - координата вдоль оптической

оси

Выводы

Совпадение результатов расчетов с экспериментальными данными подтверждает возможность расчета киноформных аксиконов и 03П по рассмотренным методикам. Получить специальное распределение интенсивности вдоль фокального отрезка киноформного аксикона возможно путем согласования распределения интенсивности в поперечном сечении лазерного пучка и фазовой функции пропускания. Если интенсивность на оси фокусировки сохраняется постоянной, то диаметр фокального пятна существенно изменяется. ОЗП также обладает каустикой с увеличенной глубиной. Но следует отметить бо'льшие по сравнению с аксиконом колебания интенсивности и изменения фокального пятна вдоль оси фокусировки.

В заключение автор благодарит Ю.И. Юрлова за помощь при изготовлении кино-формов и В.П. Коронкевича за полезные обсуждения.

Литература

1. Т г е hi b L а у R., D'A s t о n s Y., Roy G-, Blanshard M. Laser PLasmasopticaL ly Pumped by Focusing with axicon a C02-TEA Laser Beam in a high-pressue Gas // Opt. Commun., 1979, v. 28, N 2, p. 193.

2. D у s о n J. Optics in Metrology. Oxford, London, New York, Paris: Pergamon Press, 1960.

3. M i chaltsova I.A., Nalivaiko V.I., SoLdaten-kov I.S. Kino-form Axicon // 0ptik/ 1984, Bd. 67, N 3, s. 267.

4. Brenden B.B., R u s s e I J.T. Optical Playback Apparatus focusing System for Produsing a Prescribed Energy Distribution Along an Axial Focal Zone Ii Appl. Opt., 1984, v. 23, N 19, p. 3250.

5.Koronkevitch V.P., Nagorni V.N., Palchikova I.G., Poleschuk A.G. Bifocus microscope // Optic, 1988, Bd. 78, N 2, s. 64.

6. Pat. 4099829 CUSA). Straayer R.J. Flat Field Optical Scanning System.

7. Фокусировка излучения в заданную область пространства с помощью синтезированных на ЭВМ голограмм / Голуб М.А., Карпеев С.В., Прохоров A.M. и др. //Письма в ЖТФ, 1981, т. 7, вып.10 , с. 6-18.

8. Leseberg D- Computer Generated Holograms: Cylindrical, Conical and Helical Waves // Appl. Opt., 1987, v. 26, N 20, p. 4385.

9. F e I s о n L.B., Marcuvitz N. Radiation and Scattering of Waves. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N 1, 1973.

10. Fujiwara Schiro. Optical Propeties of Conic Surfaces. I-Reflecting cone // JOSA, 1962, v. 52, N 3, p. 287.

П.Пальчикова И.Г. Синтез фазовой структуры киноформных акси-конов: Препринт, Новосибирск, Сибирское от-ние АН СССР, 1986 , - ИАиЭ, 328.

12. К о .р о н к е в и ч В«П. и др. Киноформные оптические элементы: методы расчета, технология изготовления, практическое применение У/ Автометрия , 1985, N* 1, с. .