CC BY
8
УДК 621.391:621.396.96
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-5-133-134
СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ РЕЖЕКТОРНЫХ ФИЛЬТРОВ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ВЕСОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Д.И. Попов
Рассмотрена задача синтеза нерекурсивных режекторных фильтров с действительными весовыми коэффициентами, осуществляющими адаптивное режектирование пассивной помехи при вобу-ляции периода повторения. На основе экстремальных свойств характеристических чисел корреляционной матрицы помехи проведен синтез оптимального весового вектора режекторного фильтра. Получены выражения для действительных весовых коэффициентов режекторного фильтра. Синтезированные алгоритмы с действительными весовыми коэффициентами позволяют существенно упростить структуру адаптивного режекторного фильтра, ограничивая область его целесообразного использования диапазоном малых доплеровских фаз пассивной помехи. Проведенный анализ показывает, что предложенные алгоритмы в зависимости от закона и параметров вобуляции периода повторения позволяет получить дополнительные выигрыши по сравнению с известными стационарными алгоритмами.
Ключевые слова: адаптация, алгоритмы режектирования, весовые коэффициенты, вобуляция периода повторения, пассивные помехи, синтез, эффективность режектирования.
Основной операцией при обнаружении радиолокационных сигналов движущихся целей на фоне пассивных помех, создаваемых протяженными мешающими отражениями от неподвижных или медленно перемещающихся объектов, является когерентное режектирование спектральных составляющих помехи [1-5]. Априорная неопределенность спектрально-корреляционных характеристик помехи, а также их неоднородность и нестационарность в зоне обзора существенно затрудняют реализацию предельных возможностей режектирования помехи. В соответствии с методологией адаптивного байесовского подхода для преодоления априорной неопределенности параметров помехи используются методы адаптации к неизвестным корреляционным свойствам помехи путем замены в алгоритмах режектирова-ния аргумента и модуля коэффициентов межпериодной корреляции помехи их состоятельными оценками [6], что позволяет получить алгоритмы адаптивного режектирования с комплексными весовыми коэффициентами и соответствующие адаптивные режекторные фильтры (АРФ) [7-9]. Цифровая реализация таких АРФ предполагает высокое быстродействие выполнения соответствующих операций обработки поступающих отсчетов. Предварительная компенсация доплеровского сдвига фазы помехи позволяет преодолеть данные трудности [10]. Другим вариантом упрощения АРФ является использование действительных весовых коэффициентов. Данная задача решена для фильтров режектирования эквидистантных отсчетов пассивной помехи, т. е. без вобуляции периода повторения [11].
Помимо априорной неопределенности реализацию эффективного обнаружения сигналов движущихся целей существенно затрудняют так называемые слепые скорости цели. К числу одного из способов исключения слепых скоростей относится изменение (вобуляция) периода повторения импульсов [7, 12]. Алгоритмы адаптивного режектирования пассивных помех при вобуляции периода повторения, синтезированные по энергетическому критерию эффективности, приведены в работе [13]. При этом реализация данных алгоритмов предполагает использование комплексных весовых коэффициентов, сложность которых обусловливает необходимость их упрощения путем перехода к действительным весовым коэффициентам. Целью настоящей работы является синтез АРФ с действительными весовыми коэффициентами при вобуляции периода повторения и определение области целесообразного их использования.
Критерий и алгоритмы адаптации. Применительно к рассматриваемой задаче синтез нерекурсивного режекторного фильтра порядка m заключается в определении вектора действительных весовых коэффициентов g = }, где k = 0, m, реализующего предельную эффективность выделения сигнала от цели на фоне гауссовской коррелированной пассивной помехи. Оптимизацию проведем по критерию максимизации усредненного по доплеровской фазе сигнала коэффициента улучшения отношения сигнал/помеха:
Mmax = max(gт§ / gтR g), (1)
g
где R - корреляционная матрица помехи, элементы которой задаются выражением Rjk = р jk exp(i ф jk), где рд - коэффициенты межпериодной корреляции, ф^ - доплеровский
сдвиг фазы помехи за период повторения (доплеровская фаза помехи), j, к = 0, m .
Ограничивающее условие получения действительных весовых коэффициентов приводит к достаточности учета только действительной части rjk элементов Rjk матрицы R. Таким образом, для
дальнейшего рассмотрения следует использовать корреляционную матрицу помехи r с действительными элементами rjk = Re Rjk = р jk cos ф jk .
При вобуляции периода повторения корреляционная матрица помехи r распадается на l подматриц r¡ аналогично работе [13], элементы которых с учетом вышеизложенных замечаний имеют вид:
j =P#C0S ф(§, где j = P(t¡-j " t¡-k) - коэффициенты корреляции, ф(к =9(í¡_j - t¡_k) -доплеровская фаза помехи, l = (m +1), (m + p) - номер периода повторения в пределах ядра вобуляции p, j, k = 0, m . Диапазон изменения l смещен на m для того, чтобы не учитывать переходной процесс в фильтре. Очевидно, что каждой l -й подматрице r¡ соответствует оптимальный подвектор весовых
коэффициентов g¡ = {gk)} .
Учитывая изложенное выше критерий оптимизации (1) для действительных подвекторов и подматриц запишем в следующей форме:
Ш max = max(g7g¡ / gfo gl). gl
Оптимальный подвектор g ¡ является собственным вектором подматрицы r¡, соответствующим ее минимальному собственному значению a^ -i = 1/ Ш max и определяемым из уравнения
min ' Шал
(r¡ -aän^gl = 0, (2)
I (l) й где I - единичная матрица, а;^ - наименьший корень характеристического уравнения
det(r¡ -1 о (¡)) = 0,
которое, в частности, для фильтра второго порядка (m = 2) может быть представлено в виде
(1 -o(l))3 -(1 -o(l))[(r(j1))2 + (r02))2 + (r/2))2] + 2r0(l)r0(2)r<2) = 0.
Данное уравнение является неполным кубическим и имеет три ненулевых корня, наименьший из которых в соответствии с тригонометрическим способом решения [14] принимает следующий вид:
am)n = 1 - 24013 cos(3 /з),
2 2 2 где а = r01 + r02 + r12, 3 = arccos
- b/2-
4(а/3)3
b = 2Г01Г02Г12, индексация по l для упрощения
записи опущена.
С учетом известных из линейной алгебры экстремальных свойств характеристических (собственных) чисел а матриц система уравнений (2), являясь системой т +1 однородных линейных уравнений с т +1 неизвестными, имеет следующие тождественные решения, отличные от тривиального (нулевого) [14]:
е(/) - СА(/)
ек - САЯоу, к'
где С - произвольная константа, ^ - алгебраическое дополнение элемента а(О к в определи-
теле системы уравнений (2), Яоу - номер строки разложения, Яоу - 0, т, к - 0, т .
При ограничивающем условии е^) — ео — 1 оптимальные весовые коэффициенты нерекурсивного режекторного фильтра определяются выражением
е(/) — а(/) IА(/) к Яоу - 0 т (3)
ек - АЯоу, к/А0, к , к, ПОУ 0, т . (3)
Выражение (3) позволяет определить оптимальные действительные весовые коэффициенты для нерекурсивного режекторного фильтра произвольного порядка. В частности, для фильтра первого порядка ( т - 1 ) весовые коэффициенты
(/) 1 (/) 1 •
е0 - ео-1, - е1 --1>
для фильтра второго порядка (т - 2) -
() )г(/) - г(/)г(/) (/) г(/)г(/) - (1 -а(/) )г(/) „V, - - тт)Г01 г12 г02 (/) _ Г01 г12 атт)Г02
/-7Л Л гЛ'-* Г(ЧГ(Ч Г(ЧГ(Ч п „V \г
g(¡) = g0 = 1 g(l) = (1- amin)r01 -r12 r02 _(¡) = r01 r12 -(1- amln)r(
0 ' =- (1-a!!)2-^)2 2 = (1-a!)2-^)2
134
Предлагаемый алгоритм учитывает изменение от периода к периоду коэффициентов j), ко-
Jk
торое вызвано изменением интервала корреляции At = tj _j — ti _k под воздействием вобуляции периода
повторения. Таким образом, полученные весовые коэффициенты, в отличие от работы [9], являются переменными во времени, т. е. их значения в каждый момент времени будут изменяться в соответствии с вобуляцией периодов повторения аналогично алгоритмам работы [13]. Алгоритмы, описанные в работе [9], позволяют таким же образом найти частные алгоритмы с действительными весовыми коэффициентами, соответствующие случаю обработки эквидистантной последовательности.
Достижение предельной эффективности режектирования пассивной помехи в условиях априорной неопределенности возможно при адаптации фильтра к спектрально-корреляционным характеристикам помехи. В соответствии с адаптивным байесовским подходом [6] переход от оптимальных весовых коэффициентов к адаптивным осуществляется путем замены коэффициентов rj(ki ) их оценочными
jk
значениями r(j), по которым определяются искомые действительные весовые коэффициенты (ДВК)
jk
gf АРф.
Принципы построения АРФ с ДВК. Синтез структуры нерекурсивного режекторного фильтра при вобуляции периода повторения осуществляется на основе системной функции в z -плоскости, которая для канонической формы АРФ с ДВК определяется как суперпозиция p частных системных
функций следующим соотношением:
1 p+m—1 m (l) k H ({zj}) = - I I g k) z_k, (4)
p l=m k=0
где zi = exp(i ш Tj).
Структурная схема АРФ с ДВК канонической формы строится аналогично структурной схеме АРФ с комплексными весовыми коэффициентами [9] путем соответствующего ее упрощения. При этом исключаются блоки оценивания доплеровской фазы помехи и комплексные перемножители и вводится
перемножитель для весового коэффициента gm). Оценки gk) определяются по оценочным значениям
коэффициентов межпериодной корреляции rj) в соответствии с алгоритмом (3) и соответствующей
jk
структурной схемой вычислителя.
Для построения фильтров высоких порядков (при m > 2) следует использовать каскадное включение звеньев 1-го и 2-го порядков. В этом случае переменными во времени весовыми коэффициентами будут обладать только звенья 2-го порядка. Переход от канонической реализации к каскадной осуществляется на основе соответствующего преобразования выражения (4). Системная функция в z -плоскости для каскадной реализации фильтра нечетного порядка имеет вид
1 p+m—1 (m—1) /2 ч
H ({zj}) =1 I (1 _ z_1) I (1 + f(l,n) z_1 + h2,n) z_2), p l=m n=1
где коэффициенты /1 , n), П) каждого из n звеньев 2-го порядка могут быть выражены через коэффициенты gkj). В частности, для АРФ 3-го порядка f1l) = 1 + gj-j), ) = g^ ). Системная функция в z -плоскости для фильтра четного порядка принимает вид
1 p+m—1 m/2 ч 1 Л _
H({zj}) = -1 I I (1 + f(l-n)zj—1 + n>z—2).
p l=m n=1
Адаптация каждого последующего звена осуществляется по оценкам остатков помехи на выходе предыдущего звена.
Анализ предельной эффективности АРФ. На рис. 1 представлены зависимости предельной (без учета ошибок адаптации) эффективности Ц оптимального режекторного фильтра второго порядка
от доплеровской фазы помехи для ядра вобуляции p = о и глубины вобуляции mod = 50% при
различных значениях нормированной ширины гауссовского спектра помехи Р = A/Tmin [13]. Кривая
1 соответствует Р = 0,05, кривая 2 - Р = 0,1, кривая 3 - Р = 0,15.
Как видим, увеличение доплеровской фазы помехи приводит к снижению эффективности фильтра, что обусловлено адаптацией АРФ с ДВК к доплеровской фазе помехи путем взаимного смещения нулей передаточной функции без их общего поворота на угол, соответствующий доплеровскому сдвигу фазы помехи. Однако можно выделить некоторый диапазон малых значений фазы, в котором предельная эффективность изменяется незначительно. При этом рост ширины спектра помехи приводит к увеличению указанного диапазона. Это позволяет сделать вывод о целесообразности использования АРФ с ДВК в области малых доплеровских сдвигов фазы помехи.
О 0,05 0,1 0,15 ф, ряд Рис. 1. Кривые зависимостей эффективности АРФ от доплеровской фазы помехи
Целесообразно сравнение фильтра с переменными во времени действительными весовыми коэффициентами по алгоритмам (3) и адаптивного фильтра [9] для частных алгоритмов с постоянными действительными весовыми коэффициентами в случае обработки неэквидистантной последовательности. На рис. 2 представлены зависимости выигрыша в предельной эффективности Дц предлагаемого алгоритма у частного стационарного алгоритма, описанного в справочнике [2], от параметров вобуляции для АРФ третьего порядка, р = 0,05 и ядра вобуляции р = 2 (сплошные кривые) и р = 8 (штриховые кривые). Кривые 1 соответствуют перекрестному закону вобуляции (Т2/—1 = 7т1П + (/ — 1) Д Т, Тц = Тпах — (/ — 1) Д Т, / = 1, р / 2, где Ттах = Тт1П + (р — 1) Д Т [13]), кривые 2 - линейному закону вобуляции (Т/ = Тт1П + (/ — 1) Д Т , / = 1, р , где Т/ - / -й период повторения).
1 11 12 13 147" /Т7
I 1,1 ^ ^ -'тах' тт
Рис. 2. Кривые зависимостей выигрышей в эффективности АРФ от параметров вобуляции
Из представленных зависимостей видно, что при изменении межимпульсного интервала в пределах, соответствующих 1< Ттах/ Тт[п -1,5, использование переменных от периода к периоду весовых
коэффициентов в зависимости от параметров вобуляции позволяет достичь выигрыша до 15 дБ. Увеличение ядра вобуляции приводит к уменьшению выигрыша. При стационарных параметрах фильтра изменение межимпульсного интервала приводит к существенному снижению эффективности режектирования пассивной помехи. Анализ аналогичных выигрышей в предельной эффективности предлагаемого алгоритма от нормированной ширины спектра помехи р показывает, что величина выигрыша также зависит от закона и параметров вобуляции периода повторения.
Заключение. Синтезированные алгоритмы с действительными весовыми коэффициентами позволяют существенно упростить структуру адаптивного режекторного фильтра, ограничивая область его целесообразного использования диапазоном малых доплеровских фаз помехи.
Проведенный анализ показывает, что предложенный алгоритм в зависимости от закона и параметров вобуляции периода повторения позволяет получить дополнительные выигрыши по сравнению с известными стационарными алгоритмами.
Режекторные фильтры с действительными весовыми коэффициентами могут с высокой эффективностью применяться в области малых доплеровских фаз помехи, позволяя при вобуляции периода повторения достичь желаемой линейности зоны прозрачности скоростных характеристик и обеспечивая эффективное выделение сигналов движущихся целей в значительно большем диапазоне их радиальных скоростей на фоне пассивных помех.
Список литературы
1. Skolnik M.I. Introduction to Radar System, 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 2001. 862 p.
2. Radar Handbook / Ed. by M.I. Skolnik. 3rd ed. McGraw-Hill, 2008. 1352 p.
3. Richards M.A., Scheer J.A., Holm W.A. (Eds.). Principles of Modern Radar: Basic Principles. New York: SciTech Publishing, IET, Edison. 2010. 924 p.
4. Melvin W. L., Scheer J.A. (Eds.). Principles of Modern Radar: Advanced Techniques. New York: SciTech Publishing, IET, Edison, 2013. 846 p.
5. Richards M.A. Fundamentals of Radar Signal Processing, Second Edition. New York: McGraw-Hill Education, 2014. 618 p.
6. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио, 1977. 432 с.
7. Кузьмин С.З. Цифровая радиолокация. Введение в теорию. Киев: КВЩ,, 2000. 428 с.
8. Цифровая обработка сигналов в многофункциональных радиолокаторах. Методы. Алгоритмы. Аппаратура: монография / под ред. Г.В. Зайцева. М.: Радиотехника, 2015. 376 c.
9. Попов Д.И. Адаптивная межпериодная обработка многочастотных сигналов // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. 2018. № 64. С. 17-22.
10. Попов Д.И. Автокомпенсация доплеровской фазы многочастотных пассивных помех // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. 2018. № 65. С. 32-37.
11. Попов Д.И. Адаптивные режекторные фильтры с действительными весовыми коэффициентами // Цифровая обработка сигналов. 2017. №1. С. 22-26.
12. Попов Д.И. Обработка неэквидистантных сигналов на фоне пассивных помех // Вестник Рязанского государственного радиотехнического университета. 2022. № 80. С. 24-31.
13. Попов Д.И. Режектирование пассивных помех при вобуляции периода повторения // Радиотехника. 2015. № 5. С. 97-101.
14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Пер. с англ. под ред. И.Г. Арамановича. М.: Наука, 1973. 832 с.
Попов Дмитрий Иванович, д-р техн. наук, профессор, adop@mail.ru, Россия, Рязань, Рязанский государственный радиотехнический университет
SYNTHESIS OF ADAPTIVE REJECTION FILTERS WITH REAL WEIGHT COEFFICIENTS
D.I. Popov
The problem of synthesis of non-recursive rejection filters with real weight coefficients performing adaptive rejection of passive interference during the wobble of the repetition period is considered. Based on the extreme properties of the characteristic numbers of the interference correlation matrix, the synthesis of the optimal weight vector of the notch filter was carried out. Expressions for the actual weight coefficients of the notch filter are obtained. The synthesized algorithms with real weight coefficients make it possible to significantly simplify the structure of the adaptive notch filter, limiting the scope of its appropriate use to a range of small Dop-pler phases of the passive mecha. The analysis shows that the proposed algorithm, depending on the law and the parameters of the wobble of the repetition period, allows you to get additional gains compared to the known stationary algorithms.
Key words: adaptation, rejection algorithms, weight coefficients, repetition period wobble, passive interference, synthesis, effectiveness of rejection.
Popov Dmitry Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, adop@mail.ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University
