АДАПТАЦИЯ РЕЖЕКТОРНЫХ ФИЛЬТРОВ РЕКУРСИВНОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391:621.396.96 doi:10.21685/2072-3059-2022-4-5

Адаптация режекторных фильтров рекурсивного типа

Д. И. Попов

Рязанский государственный радиотехнический университет имени В. Ф. Уткина, Рязань, Россия

[email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Объектом исследования является адаптивный ре-жекторный фильтр (АРФ) рекурсивного типа, предназначенный для выделения радиолокационных сигналов движущихся целей на фоне пассивных помех с априори неизвестными спектрально-корреляционными характеристиками. Целью работы является синтез и анализ рекурсивных АРФ перестраиваемой структуры. Материалы и методы. Рассмотрены принципы построения и структурные схемы рекурсивных АРФ по их системной функции при различной степени априорной неопределенности спектрально-корреляционных характеристик пассивных помех. Результаты. Предложены АРФ с комплексными весовыми коэффициентами, упрощение которых достигается при использовании автокомпенсаторов доплеровской фазы пассивной помехи и последующем ее режектировании фильтром с действительными весовыми коэффициентами. Предложен принцип адаптации по оценочным значениям критерия эффективности ре-жектирования, не требующий оценки формы корреляционной функции поступающей помехи. Выводы. Синтезированные АРФ рекурсивного типа позволяют путем перестройки структуры и адаптивной перестройки параметров достичь в условиях априорной неопределенности характеристик пассивных помех заданной или предельной величины их подавления.

Ключевые слова: автокомпенсация, адаптация, априорная неопределенность, допле-ровская фаза, обучающая выборка, пассивная помеха, режекторный фильтр

Для цитирования: Попов Д. И. Адаптация режекторных фильтров рекурсивного типа // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2022. № 4. С. 45-56. doi:10.21685/2072-3059-2022-4-5

The adaptation of recursive notch filters D.I. Popov

Ryazan State Radio Engineering University named after V.F. Utkin, Ryazan, Russia

[email protected]

Abstract. Background. The object of the study is an adaptive notch filters (ANF) of a recursive type, designed to isolate radar signals of moving targets against the background of passive interference with a priori unknown spectral-correlation characteristics. The puspose of the work is the synthesis and analysis of recursive harps of a tunable structure. Materials and methods. The principles of construction and structural schemes of recursive harps are considered according to their system function with varying degrees of a priori uncertainty of the spectral-correlation characteristics of passive interference. Results. ANFs with complex weighting coefficients are proposed, the simplification of which is achieved by using autocompensators of the Doppler phase of passive interference and its subsequent rejection by a filter with real weighting coefficients. The principle of adaptation according to the

© Попов Д. И., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

estimated values of the criterion of the effectiveness of the rejection is proposed, which does not require an assessment of the form of the correlation function of the incoming interference. Conclusions. Synthesized recursive-type ANFs allow, by restructuring the structure and adaptive adjustment of parameters, to achieve, under conditions of a priori uncertainty, the characteristics of passive interference of a given or limit value of their suppression.

Keywords: autocompensation, adaptation, a priori uncertainty, Doppler phase, training sample, passive interference, rejection filter

For citation: Popov D.I. The adaptation of recursive notch filters. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2022;(4):45-56. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3059-2022-4-5

Введение

В когерентно-импульсных радиолокационных системах высокой скважности при обнаружении сигналов движущихся целей на фоне коррелированных (пассивных) помех, создаваемых мешающими отражениями от неподвижных или медленно перемещающихся объектов, основной операцией является режектирование спектральных составляющих помехи [1-4], осуществляемое нерекурсивными или рекурсивными режекторными фильтрами (РФ). Последние обладают известными преимуществами формирования характеристик перед нерекурсивными РФ того же порядка [5], что позволяет повысить эффективность выделения сигналов движущихся целей на фоне пассивных помех. Параметрическая оптимизация рекурсивных режекторных фильтров позволяет установить связь оптимальных параметров РФ с характеристиками пассивной помехи [6], что в условиях априорной неопределенности предполагает соответствующую адаптацию РФ. Так как источники пассивных помех, как правило, являются множественными отражателями, то помеха представляет собой узкополосный случайный процесс гауссовского типа, статистические свойства цифровых отсчетов Uj = xj + i y j комплексной огибающей которого определяются с точностью до параметров его корреляционной матрицы. При симметричном спектре помехи элементы корреляционной матрицы имеют следующий вид:

Rjk = jk/ 2°п =Р jke'U-k )<?+tâjk,

где р jk =р[( j - k)T] - коэффициенты межпериодной корреляции; ф - допле-

п / п

ровский сдвиг фазы за период повторения T ; Х = аш/ сп - отношение внутренний шум/помеха; ôjk - символ Кронекера.

Конкретные значения коэффициентов корреляции рjk и доплеровского сдвига фазы ф априори неизвестны, что соответствует параметрической

априорной неопределенности. Использование параметрического описания открывает широкие возможности для учета различной степени априорной неопределенности от полностью неизвестной формы корреляционной функции до использования различных аппроксимаций. При этом адекватным методом адаптации является вытекающий из методологии адаптивного байесовского подхода метод прямого использования оценок неизвестных пара-

метров помехи [7]. Тогда адаптация рекурсивных РФ, так же как и нерекурсивных, предполагает использование оценочных значений р^ и eipp. Адаптация к доплеровской фазе помехи осуществляется соответствующим смеще-

" i'0n 1 I л I i® Pk "

нием аргументов нулей zgk = e 0k и полюсов zpk = zpk\e исходной системной функции РФ. В этом случае системная функция адаптивного ре-жекторного фильтра (АРФ) m-го порядка имеет следующий вид:

т ! " \ т k

П(( -e'(%k +р)) (У*) н( -—-Г, (1)

m-^ТГI U |г(0pk+Р) * 1

z

k=1

ПI z-I¡p,^'"] 1 - S4 (z-1e'<i>

k=1

где l < m , а связанные с угловым положением нулей 0Qk и полюсов 0pk весовые коэффициенты äk и bk определяются оценочными значениями pik, исходя из требований к полосе пропускания и к эффективности подавления помехи.

Из оптимизации вектора весовых коэффициентов W [6] вытекает необходимая функциональная зависимость, в результате которой установлено, что оптимальный выбор коэффициентов прямой связи äk определяется оценками pik в соответствии с функциональными зависимостями для нерекурсивных АРФ [7], а выбор коэффициентов обратной связи bk - требованиями к эффективности режектирования помехи и параметрами амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). При заданной величине нормированного коэффициента подавления помехи ц и условии обеспечения максимальной

ширины полосы пропускания АЧХ, определяемой частотой среза 0с , критерий оптимизации вектора W записывается в следующем виде:

0С W(pik)} min W

. (2)

|j=const

Оптимизация параметра 0с по критерию (2) и, следовательно, вектора W устанавливает функциональную связь между весовыми коэффициентами АРФ и параметрами помехи. Эта связь позволяет по оценкам pik осуществлять в процессе адаптации выбор оптимального вектора W .

Принципы построения рекурсивных АРФ

Структура рекурсивного АРФ в соответствии с системной функцией (1) реализуется последовательным подключением к блокам задержки на интервал T комплексных перемножителей, выполняющих сдвиг фазы обрабатываемых отсчетов на величину Рр. Кроме того, в состав АРФ должны входить

блок измерения оценок pik , eiPp и формирователь вектора W . При известной форме корреляционной функции помехи достаточно ограничиться измерени-

ем коэффициента Р12 = Р • АРФ может быть выполнен на основе рекурсивного звена 2-го порядка (РЗ2) (т = I = 2). АРФ более высокого порядка выполняются в виде каскадного соединения звеньев 1-го и 2-го порядков, что предполагает представление числителя и знаменателя выражения (1) в виде произведения соответствующих сомножителей. Для АРФ на основе нерекурсивного звена 1-го порядка и рекурсивного звена 2-го порядка (НЗ1—РЗ2) имеем

к

Н

(1 -2-У()

X а ((

к=0

- х 4 еф)

к=1

Структурная схема такого АРФ с комплексными весовыми коэффициентами приведена на рис. 1. При этом ¿о = ¿2 = 1, а коэффициент ¿1 = а в

формирователе вектора \\ = {а, ¿1, ¿2} определяется по оценке р в соответствии с зависимостью для оптимальных весовых коэффициентов нерекурсивных АРФ [7].

Рис. 1. Структурная схема рекурсивного РФ с комплексными весовыми коэффициентами

Коэффициенты Ь, ¿2 выбираются из совокупности значений, заранее рассчитанных по критерию (2) для заданной величины ц и различных р. В процессе адаптации используются оценки максимального правдоподобия, обладающие известными достоинствами. Соответствующий измеритель (И)

оценок р и вг( выполняется по алгоритмам и схеме работы [8]. По оценке

вг( с помощью комплексных перемножителей (х) осуществляется настройка зоны режекции АЧХ на центральную частоту спектра помехи. Соответствие вводимых при обработке оценок среднему элементу обучающей выборки достигается введением на входе АРФ дополнительной задержки т, равной

задержке при вычислении оценок р и вг((, разбиением задержки Т в НЗ1

на (Т -т) и т и соответствующим подключением измерителя. К приходу

(т +1 )-го отсчета обрабатываемой выборки коммутатор (К) замыкается по команде блока управления (БУ) [9], что соответствует установлению необхо-

1

димых начальных состояний фильтра с учетом завершения процесса адаптации. В результате перестройки структуры и адаптивной настройки параметров эффективность рекурсивного АРФ в условиях априорной неопределенности достигает соответствующего критерию (2) значения практически к (m + 2 )-му отсчету выборки и существенно превосходит эффективность нерекурсивного АРФ того же порядка [7].

В рассмотренных рекурсивных АРФ не учитываются отклонения формы корреляционной функции помехи от принятой аппроксимации. Кроме того, обработка в АРФ с комплексными весовыми коэффициентами в реальном времени предъявляет высокие требования к быстродействию элементов арифметических узлов. Снизить требования к быстродействию элементов и упростить аппаратную и программную реализацию позволяют АРФ с автокомпенсаторами доплеровской скорости помехи [10]. Применение автокомпенсаторов на входе АРФ приводит к упрощению последних, тем более существенному, чем выше порядок фильтра.

Структурная схема АРФ с автокомпенсатором (АК) приведена на рис. 2. В данном АРФ режектирование «остановленной» помехи осуществляется фильтром НЗ1-РЗ2 с действительными весовыми коэффициентами, для адаптации которых используются измеритель параметров поступающей помехи (И1), измеритель мощности остатков помехи на выходе фильтра (И2) и формирователь весовых коэффициентов (вектора W). Адаптация по критерию (2) реализуется на иных, чем в предыдущем АРФ, принципах, вытекающих из выражения для нормированного коэффициента подавления помехи [5]:

И°2/ °ф )п/(°2/ °ф )ш=с°п/<, (3)

^ 1 dz

где c = (оф/о2) = ^ gk = 2- $ H (z)H (z-1) —; gk, H (z) - соответ-

шш , 2П l^i Z

k=0 |z| =1

ственно коэффициенты импульсной характеристики и системная функция РФ.

Рис. 2. Структурная схема рекурсивного РФ с автокомпенсатором доплеровской фазы помехи

Логарифмируя выражение (3) и переходя к оценочным значениям

л ^ 2 ^ 2

мощности помехи, получим ^ Д = ^ с + ^ ап - ^ опф. При этом отличие за-

данного значения ^ 1 от эмпирического ^ (1 определяется ошибкой рассогласования:

£ = - = (1 + lg<пф ) (с + ^). (4)

Заданную величину ( целесообразно выбирать так, чтобы уровень подавления собственно помехи был не ниже ее исходного уровня по отношению к шуму, т.е. 1п >Я-1. Так как результирующий коэффициент

1 = (ц-1 + Я) , то Я-1 > 1 > Я-1Д, что удовлетворяет критерию (2). Оценки

~ 2 ~ 2

<п и <7пф определяются соответственно в измерителях И1 и И2. Кроме того,

в измерителе И1 определяется оценка коэффициента корреляции г остатков помехи на выходе НЗ1. Данные оценки поступают в формирователь вектора \¥, структурная схема которого изображена на рис. 3. По оценке г вычисляется оптимальный весовой коэффициент а = —2Г [7]. Коэффициенты ¿1, ¿2 первоначально также выставляются на основе оценки г . Для этого по оценке г и по величине логарифма заданного коэффициента подавления (^ 1)

определяется начальное значение частоты среза Вс , по которому считыва-ются коэффициенты ¿1, ¿2 и величина ^ с , используемая совместно с величиной ^ 1 при вычислении по алгоритму (4) сигнала ошибки £, поступающего на вход весового блока. Задаваемая величина 1 выбирается из условия

Я 1 >1>Я ^2. Оценка Я 1 =<2/<ш , где оценка <ш определяется непосредственно на участках пространства, свободных от помехи, или косвенно по глубине автоматической регулировки усиления приемного устройства.

Рис. 3. Структурная схема формирователя вектора весовых коэффициентов

После завершения установления процесса на выходе АРФ, происходящего с учетом перестройки структуры практически к (т + 2)-му отсчету, по

команде БУ размыкается коммутатор формирователя (Кф). При этом

с начальным значением частоты среза 0^, поступающим по цепи обратной связи сглаживающего фильтра (СФ) на его вход, алгебраически суммируется взвешенная величина сигнала ошибки ^ . Весовой коэффициент п определяет динамику перестройки весовых коэффициентов bi, b>2, которые теперь

выбираются на основе скорректированной частоты среза 0с =0(0) , что позволяет косвенно учесть влияющие на подавление помехи форму корреляционной функции и величину X . При недостаточном (по сравнению с заданным) подавлении поступающей помехи сигнал ошибки ^ > 0, частота среза корректируется в сторону увеличения, доводя подавление до заданной величины (^ ~ 0). Если заданное подавление не достигается (например, из-за ши-рокополосности помехи), то весовые коэффициенты выбираются из условия обеспечения минимальной разности между заданным подавлением и реализуемым, что соответствует предельной величине подавления в заданных условиях. «Избыточное» подавление, например узкополосной помехи (^ < 0), устраняется соответствующим уменьшением частоты среза и, следовательно, расширением полосы пропускания. При этом во всех случаях достигается предельное подавление при максимальной ширине полосы пропускания с учетом величины X и реальной корреляционной функции без оценки ее формы.

Устойчивость системы адаптации

Адаптация весовых коэффициентов bi, b и связанной с ними частоты

среза 0с осуществляется по принципу замкнутой следящей системы, эквивалентная схема которой для сглаживающего фильтра 1-го порядка приведена на рис. 4. Вычислитель (В) объединяет операции вычисления значений

lg (1(k). Сигнал ошибки на k-м шаге регулирования ^(k) вызывает изменение

частоты среза на величину A0(k) =n^(k). Тогда при следующем шаге регулирования частота среза равна

о(к+1)=0ск )+A0(k )=0ск )+n(lg 1-lg 1(k)/

С учетом прямо пропорциональной зависимости lg (1(k) = d0^) находим, что система адаптации описывается линейным разностным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами:

о(+1)-(1 -nd )o(k )=п lg 1.

Решение данного уравнения при заданном значении lg ( = d0c = const имеет следующий вид:

0(к)=0с - A0(0) (1 -nd)k , (5)

АО(0)

где AO - начальное рассогласование частоты среза.

Рис. 4. Эквивалентная схема системы адаптации

Система адаптации в зависимости от выбора ее параметров может быть как устойчивой, так и неустойчивой, что определяет характер динамики текущих рассогласований частоты среза. Для определения условий устойчивости используем системную функцию схемы адаптации (рис. 4) в z-плоскости:

G (z) = ndE (z)/(1 + ndE (z)),

где E ( z) = z "7(1 - z " ) = (z -1) - системная функция сглаживающего фильтра.

Окончательно имеем

G( z) =nd/ (z-z,),

где zp = 1 - nd - полюс системной функции.

Так как необходимым и достаточным условием устойчивости для замкнутой следящей системы является выполнение неравенства |z^| < 1, то рассматриваемая система адаптации будет устойчивой при 0 < nd < 2. В устойчивой системе в установившемся режиме lim ) = 0с , что соответствует

k ^^

нулевому рассогласованию.

Величина d определяется свойствами РФ, поэтому варьируемым параметром системы является весовой коэффициент n, от величины которого зависит характер переходного процесса в системе. Из уравнения (5) следует, что переходный процесс в устойчивой системе может быть двух видов -апериодический при 0 <n<1/ d и колебательный, затухающий при 1/ d <n<2 / d . Система будет неустойчивой при n> 2 / d , а переходный процесс - колебательным расходящимся. При n = 1/ d система с точностью до погрешностей оценивания параметров помехи отрабатывает первоначальное рассогласование в течение первого шага адаптации. При увеличении или уменьшении n время адаптации увеличивается.

Сходимость адаптивных алгоритмов

Рассмотрим эффективность АРФ в зависимости от объема обучающей выборки. Представим системную функцию (1) в следующем виде:

H(z, ) = 2 g

гкф —к

к=0

где § к — коэффициенты импульсной характеристики, определяемые по весовым коэффициентам ак и Ьк .

При обработке N отсчетов выходная величина АРФ равна

N—1

V = £ §к^^—к .

к=0

Учитывая отсутствие взаимной корреляции оценок параметров и отсчетов обрабатываемого элемента разрешения и у, не входящих в обучающую

выборку, найдем

-, N—1 _ _ N—1 —

Спф = VV72 = сП £ §]йкрук совК; — к)(ф — ф)] + Х £ §2. (6)

у, к=0 у=0

При известной форме корреляционной функции свойства помехи описываются оценками р12 = р и ф, а весовые коэффициенты АРФ определяются в результате функциональных преобразований § к = /к (р). Для перехода от текущих значений оценок р и ф к параметрам их распределений произведем соответствующие усреднения в (6) с учетом асимптотических свойств оценок максимального правдоподобия. Используем линейную аппроксимацию зависимостей § к = /к (р) в окрестности р = р в виде § к = §к + §к(р — р), где производные йк в связи с отсутствием аналитической зависимости определяются методом конечных разностей:

§к =[ §к( р + А р) — §к( р )]/А р.

Используя данную аппроксимацию при усреднении в (6) с учетом асимптотической нормальности распределения р со средним р и дисперсией

2 «2 Ср, а также распределения ф со средним ф и дисперсией Сф соответственно, найдем

gjgk =[gj + gj( p -P)][gk + gk(p - P )] = gjgk + c ,3g'jg'k,

2 „' „'

k +u

2 2

cos[(у — к)(ф — ф)] = ехр[—(у- — к) Сф / 2].

В результате проведенных усреднений окончательно получим

N—1 N—1

(сф/С2) = £ §у§крук ехр[—(у — к)2Сфф/2] + Х£ §2 +

п у, к=0 у=0

+С

N-1 N-1

E jkPjk exp[-(J - k)2°ф/2] + ^ Z S j,k=1 j=1

Дисперсии оценок определяются в соответствии с выражениями [8]:

о2 =

[(1 +

Лл2

2n[(1 + Х)2 +р2

_2 = (1 + Х)2 -Ф i..„2

2np"

где n - объем обучающей выборки, определяющий число независимых отсчетов со смежных элементов разрешения по дальности [8].

Эффективность АРФ с учетом ошибок адаптации определяется коэф-

2 2

фициентом ц = c / (Сф /о )п . Погрешности оценивания неизвестных параметров приводят к потерям Дц по отношению к эффективности АРФ без учета данных погрешностей. Зависимости потерь от объема обучающей выборки для АРФ на основе НЗ1-РЗ2 с полной адаптацией сплошными, а с частичной штриховыми кривыми при N = 20 и гауссовском спектре помехи с нормированной шириной вп = Д/пТ = 0,05 приведены на рис. 5.

Ау..

дБ

-4

' "2 / 1

\/

16

Рис. 5. Зависимости потерь от объема обучающей выборки

Кривые 1 соответствуют X < 10-6, кривые 2 - Х = 10-4. Увеличение потерь при полной адаптации связано с ошибками при перестройке обратных связей, существенно влияющими на результирующую эффективность. Увеличение отношения X влияет на результирующую эффективность АРФ из-за снижения точности оценивания параметров помехи в значительно меньшей степени, чем на эффективность режектирования помехи, что в конечном счете приводит к уменьшению потерь. При X < 10-6 потери около 1 дБ достигаются при п = 16. При расширении спектра помехи зависимость потерь от объема обучающей выборки несколько усиливается, что обусловлено попаданием помехи на крутые склоны полосы пропускания АЧХ. Асимптотический характер зависимостей потерь от объема обучающей выборки указывает на сходимость рассмотренных адаптивных алгоритмов, использующих оценки максимального правдоподобия неизвестных параметров помехи.

Заключение

Таким образом, синтезированные АРФ рекурсивного типа позволяют путем перестройки структуры и адаптивной перестройки параметров достичь в условиях априорной неопределенности спектрально-корреляционных характеристик пассивных помех заданной или предельной величины их подавления при максимальной в данных условиях ширине полосы пропускания и минимальной длительности процесса установления.

Принципы построения рекурсивных АРФ по их системной функции приводят к АРФ с комплексными весовыми коэффициентами, упрощение которых достигается при использовании автокомпенсаторов доплеровской фазы пассивной помехи и при последующем ее режектировании фильтром с действительными весовыми коэффициентами.

Предложенный принцип адаптации по оценочным значениям критерия эффективности позволяет учитывать реальную корреляционную функцию помехи, не прибегая к оценке ее формы.

Проведенный анализ эффективности АРФ с учетом погрешностей оценивания неизвестных параметров помехи подтверждает сходимость предложенных адаптивных алгоритмов, использующих оценки максимального правдоподобия.

Список литературы

1. Radar Handbook / ed. by M. I. Skolnik. 3rd ed. New York : McGraw-Hill, 2008. 1352 p.

2. Melvin W. L., Scheer J. A. Principles of Modern Radar: Advanced Techniques. New York : SciTech Publishing, IET, Edison, 2013. 846 p.

3. Richards M. A. Fundamentals of Radar Signal Processing. 2nd ed. New York : McGraw-Hill Education, 2014. 618 p.

4. Кузьмин С. З. Цифровая радиолокация. Введение в теорию. Киев : Изд-во КВЩ, 2000. 428 с.

5. Попов Д. И. Анализ эффективности подавления пассивных помех режекторными фильтрами // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2018. № 2. С. 87-95.

6. Попов Д. И. Оптимизация цифровых систем обработки сигналов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2017. № 1. С. 96-105.

7. Попов Д. И. Адаптация нерекурсивных режекторных фильтров // Известия вузов. Радиоэлектроника. 2009. Т. 52, № 4. С. 46-55.

8. Попов Д. И. Оценивание корреляционных параметров пассивных помех // Радиопромышленность. 2017. № 1. С. 57-62.

9. Попов Д. И. Синтез рекурсивных режекторных фильтров в переходном режиме // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2021. № 3. С. 75-82.

10. Попов Д. И. Анализ автокомпенсаторов доплеровского сдвига фазы пассивных помех // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2021. № 2. С. 44-52.

References

1. Skolnik M.I. (ed.). Radar Handbook. 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 2008:1352.

2. Melvin W.L., Scheer J.A. Principles of Modern Radar: Advanced Techniques. New York: SciTech Publishing, IET, Edison, 2013:846.

3. Richards M.A. Fundamentals of Radar Signal Processing. 2nd ed. New York: McGraw-Hill Education, 2014:618.

4. Kuz'min S.Z. Tsifrovaya radiolokatsiya. Vvedenie v teoriyu = Digital radar. Introduction to theory. Kiev: Izd-vo KViTs, 2000:428. (In Russ.)

5. Popov D.I. Analysis of the efficiency of passive interference suppression by notch filters. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2018;(2):87-95. (In Russ.)

6. Popov D.I. Optimization of digital signal processing systems. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2017;(1):96-105. (In Russ.)

7. Popov D.I. Adapting non-recursive notch filters. Izvestiya vuzov. Radioelektronika = University proceedings. Radioelectronics. 2009;52(4):46-55. (In Russ.)

8. Popov D.I. Estimation of correlation parameters of passive noise. Radio-promyshlennost' = Radio industry. 2017;(1):57-62. (In Russ.)

9. Popov D.I. Synthesis of recursive notch filters in transient mode. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2021;(3):75-82. (In Russ.)

10. Popov D.I. Analysis of auto-compensators for Doppler phase shift in passive interference. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Engineering sciences. 2021;(2):44-52. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Дмитрий Иванович Попов

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры радиотехнических систем, Рязанский государственный радиотехнический университет имени В. Ф. Уткина (Россия, г. Рязань, ул. Гагарина, 59/1)

E-mail: [email protected]

Dmitriy I. Popov

Doctor of engineering sciences, professor, professor of the sub-department of radio engineering systems, Ryazan State Radio Engineering University named after V.F. Utkin (59/1 Gagarina street, Ryazan, Russia)

Поступила в редакцию / Received 15.04.2022

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 08.09.2022 Принята к публикации / Accepted 12.10.2022